上海交通大学2019年数学分析真题

声明：以下部分为题目试解，不当和错误之处肯请指正。
---------------------------------------------------------------------------------------------------

一、1.不正确。
        举反例：$a_n=\frac{2+(-1)^n}{n},$此时有$a_n\rightarrow a=0,(n \to \infty ).$

        但$|a_n-a|=|\frac{2+(-1)^n}{n}|$不单调趋于零。

一、2.不正确。

      举反例如下：$f(x)=x,f^2(x)=x^2.$

        显然：$f(x)$在题设区间内一致连续，但$f^2(x)$不一致连续。

一、3.不对。

         因为函数可微必可导。因此导函数必有界。

一、4.正确。

       因为级数有限项后$a_n\sim b_n$。

一、5.正确。


     $\because df=f'_xdx+f'_ydy=0,\therefore f=C.$

二、
      6.解：
               由泰勒展开公式：$\cos x=1-\frac{1}{2!}x^2+o(x^2),$

                                         $\sqrt[3]{\cos x}\sqrt[3]{1-\frac{1}{2!}x^2+o(x^2)}=1+\frac{1}{3}(-\frac{1}{2!}x^2)+o(x^2),$

                                         $\tan x^2=x^2+\frac{1}{3}x^6+o(x^6).$

             因此：$$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-\sqrt[3]{\cos x}}{\tan x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^2+o(x^2)}{x^2+\frac{1}{3}x^6+o(x^6)}=-\frac{1}{3}.$$

7.解：
             令$\arcsin e^x=t,e^x=\sin t,dx=\frac{\cos x}{\sin x}dt,$
            所以有
                 \begin{align*}
\int \frac{\arcsin e^x}{e^x}dx&=\int \frac{t\cos x}{\sin^2x}dt=-\frac{t}{\sin t}+\int \frac{dt}{\sin t}\\
&=-\frac{t}{\sin t}+\int\frac{d\cos t}{1-\cos^2t}=-\frac{t}{\sin t}+\frac{1}{2}\ln(1-\cos^2t)+C \\
&=-\frac{\arcsin e^x}{e^x}+x+C.
\end{align*}

二、8.解：
              $$\begin{align*}
\arctan \frac{1-2x}{1+2x}&=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+(\frac{1-2t}{1+2t})^2}dt=\int_{0}^{x}\frac{(1+2t)^2}{2+8t^2}dt \\
&=\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{4t+1+4t^2}{1+4t^2}dt=\frac{1}{2}x+2\int_{0}^{x}\frac{t}{1+4t^2}dt \\
&=\frac{1}{2}x+2\int_{0}^{x}t\sum_{n=0}^{\infty }(-4t^2)^ndt \\
&=\frac{1}{2}x+2\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty }(-4)^nt^{2n+1}dt \\
&=\frac{1}{2}x+2\sum_{n=0}^{\infty }(-4)^n\frac{x^{2n+2}}{2n+2} \\
&=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^n\frac{(2x)^{2n+2}}{2n+2}.
\end{align*}$$

二、8.解（更正）：

三、11.
        证：由stolz公式，$$\lim_{n \to \infty }\frac{x_n}{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{x_n-x_{n-1}}{n-(n-1)}=\lim_{n \to \infty }(x_n-x_{n-1})=a.$$
              因此命题显然是成立的。
              
           用$\varepsilon -N$语言证明如下：
            由已知条件，知：$$\forall \varepsilon> 0,\exists N\in \mathbb{N},n> N,|x_n-x_{n-1}-a|< \varepsilon .$$$$\therefore a-\varepsilon < x_N-x_{N-1}< a+\varepsilon ,$$ $$a-\varepsilon < x_{N+1}-x_{N}< a+\varepsilon ,$$ $$ \cdots \cdots $$$$a-\varepsilon < x_n-x_{n-1}< a+\varepsilon,$$
            相加，有$$(n-N)(a-\varepsilon)< x_n-x_{N}< (n-N)(a+\varepsilon),$$$$a-\varepsilon <\frac{x_n-x_{N}}{n-N}< a+\varepsilon,$$$$a-\varepsilon <\frac{\frac{x_n}{n}-\frac{x_{N}}{n}}{1-\frac{N}{n}}< a+\varepsilon,$$$$(a-\varepsilon)(1-\frac{N}{n})+\frac{x_N}{n}< \frac{x_n}{n}< (a+\varepsilon)(1-\frac{N}{n})+\frac{x_N}{n}.$$$$\therefore a-\varepsilon < \frac{x_n}{n}< a+\varepsilon ,(n> N).$$
           即：$$|\frac{x_n}{n}-a|< \varepsilon .(n> N).$$