20190324【充实计划】第1017期

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2.3 概率逼近正确学习（Probably Approximately Correct，PAC）

使用最紧凑的矩形S作为假设，希望找出我们需要多少实例。
（希望我们的假设是近似正确的，即误差概率不超过某个值）
在概率逼近正确（Praobably Approximately Correct, PAC）学习中，给定类C和从未知但具有确定概率分布P（x）中抽取样本，我们希望找出样本数N，使得对于任意的δ<=1/2 和 ε>0，假设h的误差至多为ε的概率至少为1-δ
               P{C△h ≤ ε} ≥ 1-δ
其中，C△h是C与h不同的区域。
在这种情况下，因为S是最紧凑的可能的矩形，C与h=S之间的误差区域是四个矩形条带之和。
我们希望确保正例落在该区域（导致错误）的概率最多为ε

对于任何这样的条带，如果我们能够确保其概率上届为ε/4，则误差最多为4（ε/4）=ε
注意，我们将矩形角部的重叠部分计算了两次，并且这种情况下总的实际误差小于4（ε/4）。随机抽取的样本不在此条带中的概率是1-ε/4。
所有N个独立抽取的样本不在此条带中的概率为（1- ε/4）ⁿ，我们希望其最大值为δ。有不等式
      （ 1 - x ） ≤ exp[ - x ]
如果选定 N 和 δ 满足   4 exp [ - εN/4] ≤ δ
则我们有 4（1 - ε/4 ）ⁿ ≤ δ ，不等式两边同时除以4，再取自然对数，并重新排列各项，可以得到：
         N ≥ （4/ε）log（4/δ）             （式2-7）

因此，只要我们至少从C中取（4/ε）log（4/δ）个独立样本，并使用紧凑矩形作为我们的假设h，则在置信概率（confidence probability）至少为 1-δ的情况下，一个给定点被误分类的错误概率最多为 ε 。
减少δ我们可以有任意大的置信度，而减少ε我们可以有任意小的误差，且我们在不等式（2-7）中看到，样本的数量是分别随1/ε和1/δ呈线性和对数缓慢增长的函数。

obaby85 发表于 2019-3-24 10:05
3月24日
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学习和投资心得：
低波动 Smart Beta ETF：
Smart Beta 指在传统的指数投资基础上，通过系统性的方法，对指数中选股方法和权重进行优化，获得超越基准的收益或控制组合风险。
Smart Beta是对传统市值加权指数投资的改善，是对投资组合收入来源的认识深化的结果，是兼具主动和被动投资特点的投资方式。Beta 策略的核心之一是因子投资，波动率因子作为一种主要的风格因子，可以用来构建 Smart  Beta策略。华安沪深300行业中性低波动F（512273.OF）和华安中证500行业中性低波动 ETF（512260.OF）在行业分配上保持和沪深 300 和中证 500 的行业中性，在行业内使用股票波动率的倒数加权，以达到在尽量控制跟踪误差的基础上，获得超越宽基指数收益的目的。波动率因子分层测试及解释 低波动 Smart Beta ETF 能够获得超越宽基指数表现的内在原因是低波动率的股票相比高波动率的股票有更好的表现。为了说明这个现象，我们在沪深 300 成分股和中证 500 成分股内分别测试三个月波动率因子（std_3m）的表现。以沪深 300 为例，我们将沪深 300成分股按照三个月波动率因子进行排序并进行分 5 层因子测试。图展示了沪深 300分股内三个月波动率因子的测试结果，高波动率组合对应第一层，低波动率组合对应第五层。可以看出，自 2015 年以来，低波动率组合的表现明显要优于高波动率组合。沪深 300 成分股内三个月波动率因子的测试结果，高波动率组合对应第一层，低波动率组合对应第五层。可以看出，几乎在整个回测区间内，低波动率组合的表现明显要优于高波动率组合。
对于低波动率股票表现优于高波动率股票的原因，主要有以下解释：
彩票偏好理论
投资者倾向于高估小概率事件，高波动率的股票的回报表现类似彩票，虽然大多数时候回报低甚至亏损，但是依然有小概率赚大钱的可能，这样就会吸引高估小概率事件的散户参与。专业的投资者也倾向于购买高波动率的股票中一次大奖，成为市场的明星。 过度自信和乐观理论 散户和专业投资者都高估自己买入高波动率股票赚大钱的能力。投资者的购买会推升高波动股票价格，从而导致预期收益下降；而低波动股票，投资者不愿意购买，从而导致低波动股票存在低估，预期收益反而上升。