四色定理的三个证明

首先要肯定你的思路是和主流的思路是一致的，是对的，许多四色定理的证明只是方法不一样。

但是，你的证明除了表达上的不足，真正致命的错误是一个难以察觉到的逻辑陷阱。在赤白二色的论证过程中，你一开始是从五色入手的，但是当把除赤色外的四色都当成白色时，你却在运用"不存在五个或更多的国家两两相邻"这个命题时默认了这四色的综合体可以只用三色就能染色，这就是典型的先假设命题是对的，然后自然而然就能证明命题是对的这么一种逻辑陷阱。
为什么你会犯下这种错误，根源在于"白色邻国"作为四色综合体，赤色不能作为第"四"色，让这四色综合体减去一色变成三色。
事实上，前人必定能发现两两相邻的国家不会有五个这个简单的命题，也必定尝试过，但没有成功，根源就在于，N色综合体之外的颜色对这个综合体并不能有实质上的影响。也就是说在N色综合体之外的国家的染色，对N色综合体的颜色没有影响，自然不能让N色综合体变成N-1色综合体，这也是虽然我们有"不存在两两相邻的五个或者更多的国家"这个简单的命题却无法用于四色定理证明的原因。

你却在运用"不存在五个或更多的国家两两相邻"这个命题时默认了这四色的综合体可以只用三色就能染色----------将任一五色地图，或者任一尚未填色的地图，首先用赤白二色来改涂，改涂成赤白二色，任何一国要么是赤色，要么是白色。改涂的时候，要使得任何一个白色国家都和一个赤色或者多个赤色有相邻，进而来说，所有的白色国家内部，不会有两两相邻的四个白色国家了（如果有，已经改涂成赤色了），顶多有两两相邻的三个白色国家（这三个白色国家共同和赤色相邻）。那么以上做法，是完全合理，完全可行的。

我搞明白你想错在哪了。
所谓两两相邻，用图论来说就是每一个点都和其余所有点有连线。你应该是明白这一点的。
但是，正如我之前所说，赤色国家要对白色邻国有影响，必须是与目标白色邻国综合体(这个范围随你划分)中的所有国家都相邻，才能使得白色邻国内部不存在两两相邻的四个白色国家。
比如说，现在有四个白色邻国，和一个赤色国家，你要使得这四个白色邻国不能全部两两相连，必须使赤色国家已经与其中三个白色邻国组成两两相邻的一个四国综合体，而这一点是无法保证的。这个才是你错误的关键。

这个很容易做到，很容易实现啊。设有任意的尚未上色的一个地图，可以从中任意选择一个国家为赤色，把这一赤色的所有邻国，改涂成白色。之后，再选一个为赤色，再把它的所有邻国涂成白色。这样渐次、持续进行下去，能把整个地图涂完。为了避免万一的万一出现故障，原帖当中说到，选择任一的赤橙黄绿青的五色地图，其中的赤色保持不变，而把橙黄绿青四色一律改涂为白色，白色当中任意一国的邻国如果都是白色的，就把它也改涂成赤色，。。。。当然，存在最佳的赤白二色的上色方案，这里就不探讨了。总之，把任何一个地图，搞成赤白二色的，其中，赤色的都独立一国，两个赤色之间互不相邻，而白色的是多国共用白色，且任一白色都与至少一个赤色相邻，那么这是完全可以实现的，并非是不可完成的。

我还是搞不懂你为什么get不到你错误的点。

"那么从这些白色邻国中任意抽取四个则没有两两相邻。假若有，一定能再次改涂，将其中一个改涂成赤色。"

这是你证明的原文，错误就在这里。首先，你前面的"操作"已经做到以下两点:
一，所有赤色国家互不相邻;
二，每一个白色国家都与至少一个赤色国家相邻。
而然我复制粘贴的这段原文，却说假若有四个两两相邻的白色邻国时必定能把其中一个国家涂改成赤色，这与上述一二两点是矛盾的。

对一个尚未上色的地图来说，把它改涂为赤白二色的，这需要多次，不是需要一次。譬如地图上有一百个国家，第一次当中把一个国家改涂为赤色，它的邻国有九个，则这九个改涂为白色。完成了之后还有90个国家等待改涂，需要继续进行，多次改涂。对一个赤橙黄绿青的五色地图来说，其中的赤色保持不变，其中的橙黄绿青改涂成白色，那么橙黄绿青改涂成白色之后，有一些白色仅仅和其他白色相邻，那么这样的白色还需要继续改涂为赤色。总之，把一个没有上色的地图，把一个五色地图，改涂成赤白二色的地图，这需要一个过程，需要多次的改涂，并不是一次就完成的。那么多次改涂之后，完成了赤白二色的地图了，此后，进而去看，那才有：所有白色国家的内部，没有两两相邻的四个白色。


当把一个地图，改涂为赤白二色了，完成了赤白二色的改涂了，之后，就一定没有两两相邻的四个白色国家了。之所以说“假若有，一定能再次改涂，将其中一个改涂成赤色”，这仅仅是重复、复述而已，强调而已，这并不是存有怀疑，怀疑说，是否万一的万一，真的在所有白色国家的内部，是存在两两相邻的四个白色国家的？并没有这种怀疑。只是复述，强调，解释，解释说：退一万步来说，那就假设是有的，则即便是有的，也可以弥补，可以处理，也不过是说，在改涂成赤白二色地图的时候啊，存在纰漏了，存在失误了，应予纠正，也完全可以纠正的。

等等，我说的不完善，我这段其实并没有错，我只是说漏了一点东西。

你可能会说，如果存在四个两两相邻的白色邻国，那么其中必定有一个无法与赤色国家相邻所以可以染成赤色，但是这就是我前面回复说的漏洞。必须是这四个白色邻国都相邻于同一个赤色国家，这才是可以证明的。
但是，你的方法无法排除，四个白色邻国两两相邻同时这四个白色邻国分别相邻着不同的赤色国家这种情况。如果要靠强约束来排除这种情况，这又已经不是四色定理了，变成了一个更弱的命题。

怕你还是不懂，你可以手动按以下画一下。

一，画一个正三角形;
二，画出这个正三角形的中心;
三，用线段把中心与三个端点连起来，总共三条线段;
四，正三角形被三条线段分成全等的三个小的等腰三角形;
五，在这三个全等的小三角形中任选两个，画出其中各自的重心;
六，用线段把两个重心分别与各自小三角形的三个端点相连，总共六条线段。

这时候我们把大的正三角形的三个端点以及它的中心当成白色，两个小三角形的重心当成赤色，怎么样发现问题了吗?虽然我们从上帝视角知道，这一个图确实只能用四色填涂，但是这个图能证明你的方法是不对的，这就是矛盾所在。

本帖的证明思路是这样：
1，论证任意一个赤橙黄绿青的五色地图（或者尚未上色的任一地图），能够改涂为赤白二色。
2，论证任意一个赤白二色的地图，顶多需要四色。这证明了四色有充分的可行性，但是这没有证明必定上色成功。
3，论证四色地图有存在性，且有无限的丰富性，从而证明了四色有充分的可行性，并且也具有上色成功的必然性。
得证。

那么在将五色地图或者任一地图，改涂为赤白二色的时候，任意的一些白色国家当中，假若有一个白色国家和赤色没有相邻，是和其他白色相邻，那么这个白色一定也可以改涂为赤色。假若有多个白色国家相连，它们都和赤色没有相邻，它们的所有邻国都是白色的，那么这些相连的白色国家当中，一定可以被选择一个或多个也改涂为赤色。经过上述反复处理之后，任一白色国家都和一个赤色或者多个赤色相邻了。

假若，有一个赤色A，它的所有邻国都是白色，并且这些白色国家内部存在两两相邻的四个国家，那么这四个国家当中的一个或三个，必定和赤色A并没有相邻，其实和赤色A并没有相邻，
并且，这四个白色国家当中的一个，必定可以改涂为赤色---另一个赤色B。
另外，任一地图改涂为赤白二色，这必定存在最佳改涂方法、方案。但是最佳方案问题，在这里并不是重点，可以不做探讨。在这里，只要存在改涂成赤白二色的充分可能性即可。
那么，一个赤色的所有邻国都是白色，这些白色另外还和其他赤色（例如赤色B）也相邻，这并不影响本帖的论证、逻辑。
本帖当中也说了，“任一赤色”，这个所谓任一赤色，就是分别看遍所有的赤色，从赤色A，到赤色B，到赤色C，。。。。。遍历所有的赤色。
那么在这种遍历赤色的过程当中，任一赤色的白色邻国当中必定没有两两相邻的四个白色，所有赤色的所有白色邻国当中（所有赤色及其所有白色邻国必定能够涵盖地图上的所有国家）也必定没有两两相邻的四个白色。
本帖当中还说，“任一白色”，这个所谓任一白色，就是说这个白色（以及所有的白色）的邻国当中，有一个或者多个赤色，并且也有一个或者多个白色，那么这些白色当中也没有两两相邻的四个白色。

你可能会说，如果存在四个两两相邻的白色邻国，那么其中必定有一个无法与赤色国家相邻所以可以染成赤色，但是这就是我前面回复说的漏洞。必须是这四个白色邻国都相邻于同一个赤色国家，这才是可以证明的。
但是，你的方法无法排除，四个白色邻国两两相邻同时这四个白色邻国分别相邻着不同的赤色国家这种情况。如果要靠强约束来排除这种情况，这又已经不是四色定理了，变成了一个更弱的命题。

上述说法是错误的。
1，假设一个赤色A的白色邻国当中，有两两相邻的四个白色国家，那么这四个白色国家当中，必定有一个或者三个白色与赤色A并没有相邻。
2，假设一个赤色A的白色邻国当中，有一个或者多个的白色国家，这些白色同时也和另外的赤色（例如赤色B等等）也相邻，则不影响论证。
3，将任一尚未上色的地图或者任一五色地图，改涂为赤白二色，这样做是合理的，也是可行的，这也在客观上形成强约束，而并不是人为的歪曲了篡改了题意和论证要求。所谓强约束，并不是强行的生硬的任性的蛮横的约束。譬如地球的吸引力对任何跳高运动员来说就是强约束。

在一个赤色的各个白色邻国当中，或者所有赤色的所有白色邻国当中，假若出现了四色，假若必须使用四种颜色来给这些白色国家改涂、上色，那么必定存在两两相邻的四个白色。这种情况可能大量存在，至少是存在一回。

设一个赤色或者多个赤色的那些白色邻国当中，有任意一个白色，是和其他的三个白色、四个白色、四十个白色、四百个白色当中的一部分相邻（或者全部相邻），并且，这任意的一个白色它需要使用第四种颜色来改涂来上色，而其他白色需要使用三种颜色来改涂来上色，那么，这个白色必定和其他三个白色形成了两两相邻的四个白色国家，从而必须用四种颜色来改涂来上色。这种情况可能大量存在，至少是存在着一回。

那么也就是说，对任意一个白色，不需要看它有多少个白色邻国，只需要看它和其他的任意的三个白色，能否形成两两相邻的四个白色。
亦即在所有白色当中随机抽取四个、反复抽取四个即可。不需要抽取更多。
如果它这个白色，和其他的任意三个白色，能够形成两两相邻的四个白色，则就需要使用四种颜色来改涂，来上色。
如果它这个白色，和其他的任意三个白色，不能形成两两相邻的四个白色，则不需要使用四种颜色来改涂，来上色。
因为，三个白色两两相邻必须不同的三色，三个白色都和第四个白色相邻，那就必须使用四种颜色了。
那么，没有两两相邻的四个白色，这就是说，顶多有三个白色是两两相邻（占用黄蓝绿），并且第四个白色顶多与三个中的二个都相邻，
亦即第四个白色顶多与三个中的二个（设用黄蓝）都相邻，和另一个白色（设用绿色）不相邻，这第四个白色再用绿色即可，合计三色。

由于任一赤色的所有白色邻国顶多使用黄蓝绿三色，
由于所有赤色的所有白色邻国顶多使用黄蓝绿三色，
由于任一白色的所有白色邻国顶多使用黄蓝绿三色，
那么赤色和黄蓝绿合计是四种，就是红黄蓝绿四色。顶多使用四色，就可以把赤白二色的任一地图改涂、上色。

早就给你说了，你根本不用搞这些长篇大论，连篇累牍。

你只需要用一千字，或者一万字，证明大自然，或者人工物，或者资本，或者资本家，能生产出人类产品，弄出产值，财富，

那么，马克思主义经济学，就立马垮塌了，全面垮塌了，

因此，你必得诺贝尔经济学大奖。指日可待。

人家经济学家发表一篇论文，几篇论文，平均二十年后才获奖，平均二十五年后才获奖，三十年才获奖，你指日可待，三年五年而已。




你弄这一堆的垃圾，经不起推敲，经不起一驳斥，经不起一问，有用吗？有屁用没有？

上述的证明，存在含混模糊，存在缺失的环节，跳跃的环节，存在失误错误，所以，是不成立不成功的。

标题说，三个证明，这是为了给自己施加一下压力，和增加证明成功的概率。

不过，还是拖拖拉拉，一直没有完成。

搞了好多种思路，都一直没有完成。

只完成了一种思路的。

四色定理的逻辑证明，仍旧是比较艰难的课题。经过一百多年许多人们的大量探索之后，在几十年前证明成功之后，这不再是顶尖课题了，不过，仍旧是比较艰难的课题。

比这个课题更艰深的，是有关的数学性质问题。这譬如，比方说，是点和线和面的某种关系问题，是拓扑集合的某种结构某种特性问题，等等，从而，使得球面平面上的任何地图，可以只用四种颜色填涂就可以了。这个课题，和证明四色定理，还是不同的。证明四色定理，只是说，任何平面球面上的地图，预备四种颜色就可以进行填涂了。而这个更基础的课题是说，为什么会这样？四色定理反映了数学上的什么性质呢？这个课题更艰深。

我国古人在二千多年前说，凡草木花多五出，雪花独六出。那么，人们可以证明，没有五瓣的雪花，只有六角形的雪花。但是雪花为什么六出？这就需要深入到水分子的形状结构来看了。

那么，四色定理体现了几何代数等等的什么特性，这个课题更艰深。兄弟我能力有限，精力有限，就不探讨了。