四色定理的三个证明

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一、四色问题的简介

根据网络上的一些内容，可知：

四色猜想是说，任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。也就是说，在不引起混淆的情况下，一张地图只需四种颜色来标记就行。用数学语言来说就是，将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。简单来说也就是，给平面或球面上的任意一张地图上色，使得相邻国家异色，那么至少需要预备几种颜料几种颜色？是否可以只预备四种颜色？

在长期的论证过程中，人们发现，大量的试涂表明，四种颜色够用。人们证明，三种颜色是不够用的，五种颜色肯定够用，四种颜色也够用（计算机证明）。人们还证明，二维平面内无法构造五个或五个以上两两相邻区域。

在四色问题中，假设相邻关系是指两个国家有一段或多段共同边界，是指有邻边，不是指有邻点。
在四色问题中，假设没有公地，所有国家都直接接壤（分别相邻），或者间接接壤（分别相连）。
在四色问题中，假设没有飞地，国土连通。飞地相当于任意指定一些他国属于某国，则四色肯定不够用了。
在四色问题中，假设国家的面积都足够大，不是一丁点、一个点。
在四色问题中，假设国家的数量有限，不是无限多。
在四色问题中，假设国家的形状任意。这可以是五花八门，变化莫测，花样繁多，譬如像麋鹿的剪影：



在四色问题中，需要考虑任意地带的上下方面的相邻情况，左右方面的相邻情况，内外方面的相邻情况，首尾衔接（例如圆周中）的相邻情况，跨越跳跃（例如某国形状像拱桥、麋鹿、藤蔓、交际花，与诸多位置的国家们接壤）着的相邻情况，等等。
在四色问题中，需要考虑各国的排序，需要考虑上色的顺序。因为许多国家相邻相连，交织交错，来来往往，层层叠叠，那么从多个方向来上色的话，齐头并进来上色的话，就会互相遭遇、碰头，在交汇点上可能发生冲突，难以协调、确定某国的颜色，使得问题复杂，影响证明的进行。

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关键词：共同边界 四色猜想 相邻区域 相邻国家 来来往往

二、证明一

一个平面或球面上的点是无限小、无限多，或者是足够小、非常多。令这些点各自随机选择红黄蓝三色的一种，再做布朗运动。运动时间随机，但是不能过长或过短。运动中，颜色相同的点相遇后就粘结在一起，形成色斑、色块。运动结束后，那些零星零散的足够小的色点色斑被吸附，被改色，融入附近的色块。这样一来，这个平面或球面就被分割成红黄蓝三色的若干色块，其中相邻的色块肯定颜色不同，也就是构造出了三色地图。
上述的过程可以反复进行，无限进行，就构造出了三色地图的无限丰富的素材库、成品库。
按照上述做法，随机选择红黄蓝绿四种颜色，就构造出了四色地图及其无限丰富的素材库、成品库。
按照上述做法，随机选择赤橙黄绿青五种色，就构造出了五色地图及其无限丰富的素材库、成品库。

已知三色不够用，三色地图仅是特例之类，已知五色够用，那么四色是够用还是不够用呢？
如果任一五色地图可以改涂成四色，就证明四色有充分的可行性。
如果任一地图不需要用五种及更多颜色来上色，就证明四色够用。

将任一五色地图（赤橙黄绿青），改涂成四色地图（红黄蓝绿），这有充分的可行性吗？
首先，可以将五色地图中的橙黄绿青改涂成白色，赤色保持不变。
那么这些赤色之间没有相邻，
那么这些白色只有二种可能：与一个或多个赤色有相邻，或者无相邻。
如果一个白色与赤色没有相邻，那就把它再改涂成赤色。如果多个白色与赤色没有相邻，就从中选择一个或多个，改成赤色。
总之，就是说，用赤色和白色给所有国家上色，使得任一白色与一个或多个赤色有相邻，使得赤色之间没有相邻，使得赤色尽量多，使得赤色及其白色邻国涵盖所有国家，其中，赤色的都是独立一国，白色的是多国共用白色。

此时就任一赤色来看，它的邻国全是白色。假设这些白色邻国多于四个（或者一个，或二个，或三个等）。
那么从这些白色邻国中任意抽取四个则没有两两相邻。假若有，一定能再次改涂，将其中一个改涂成赤色。
也就是说，任意抽取、反复抽取四个白色邻国，它们顶多使用三色即可。除非它们两两相邻，才需要四色。

此时就任一赤色来看，它的邻国全是白色。假设这些白色邻国多于四个（或者一个，或二个，或三个等）。
那么从这些白色邻国中任意抽取三个，与这一赤色之间要么有两两相邻，要么没有。
也就是说，任意抽取、反复抽取三个白色邻国，它们与赤色用四色即可。

此时就任一白色来看，它的邻国是白色和赤色。假设这些邻国多于四个（或者一个，或二个，或三个等）。
那么从这一白色和其白色邻国来看，顶多三色就可以进行改涂。
那么从这一白色和其赤色邻国来看，顶多四色就可以进行改涂。

以上，任意抽取的三个国家，任意抽取的四个国家，要么分别相邻，要么存在隔离。
三个国家分别相邻，四个国家分别相邻，则相邻的情况就那么几种，结论容易得出。

以上任一赤色或任一白色，其边界可以看成圆周，其国土形状可以看成圆形或圆环，这样去看，更容易看到结论。
譬如，一个赤色圆周的外围有若干段白色弧线（白色国家），结成了交际圈。若白色内部没有两两相邻的四国，则任何情况下，任何可能下，白色内部顶多使用三色，整个圈子顶多使用四色，就可进行改涂了。
譬如，一个白色圆周任意分成若干段白色弧线（白色国家），任意抽取四段，反复抽取四段，则其中的二段或多段，要么同属一国要么分属各国；则分属各国的四段，要么分别相邻要么存在隔离；则分别相邻的四国，不存在两两相邻，有三个邻国的国家顶多二个，这二个国家可以分别改涂为黄蓝二色，其余二个国家可以改涂为绿色，顶多三色就可以进行改涂。

以上也就是说，任一五色地图进行改涂的话，任一地图进行上色的话，顶多使用四色即可。亦即，四色具备充分可行性。
在这里，如何上色就不讨论了，能否上色成功也不讨论了。不需要讨论，可以不进行讨论。


综上可得：
由于四色具备了充分可行性，
由于四色地图具备了存在性，
由于四色地图的素材库、成品库具备了无限丰富性，
那么针对平面或球面上的任一地图来说，四色总是够用，总是可以上色成功。

证毕。

1993110 发表于 2019-4-2 03:37
二、证明一

一个平面或球面上的点是无限小、无限多，或者是足够小、非常多。令这些点各自随 ...

上述是说，将赤橙黄绿青的五色地图首先改涂为赤白二色，暂时改涂为赤白二色，再考虑能否继续改涂为红黄蓝绿的四色地图。
那么任意抽取四个或三个白色国家，总是能够用黄蓝绿三色来处理，来改涂，顶多三色即可。整体来说顶多四色即可进行改涂。
也就是说，这个赤白二色的地图上，处处能用红黄蓝绿四色来处理，来改涂，总是能够如此。则整体上顶多四色即可进行改涂。
这就如同，白色罐子里面的小球，任意摸取四个或三个，则总是二色（黄蓝、黄绿或蓝绿）、三色（黄蓝绿），没见过第四色，
则可以说，这些很多很多的小球，总共只有三种的颜色，并没有第四种颜色。加上白色罐子外面的红色小球，才顶多四种颜色。

或许说了，从罐子里摸取四个小球那可能是黄蓝绿三色，另外又摸取四个那可能是蓝绿青三色，则这些小球是四色或更多颜色。
-----那么，这种说法不符合上述的意思。

那么任意抽取四个或三个白色国家，总是能够用黄蓝绿三色来处理，来改涂，顶多三色即可。整体来说顶多四色即可进行改涂。

那么应该任意抽取五个或六个或更多的白色国家啊，当抽取更多，相邻情况更复杂，用黄蓝绿三色来改涂就不够了，
--------上述是错误的看法。也不需要随机抽取更多。

以任意抽取五个白色国家来说，这五个白色都是某一赤色的邻国，这是很强的前提，很强的约束。
当任意抽取五个白色邻国之时，假若用黄蓝绿三色改涂不了，必须引入第四种颜色，这就是在说：
至少有三个白色国家两两相邻，并且和第四个白色两两相邻，并且这四个白色都和赤色两两相邻。
--------这显然是不可能的。已知二维平面内无法构造五个或五个以上两两相邻区域。

以任意抽取五个白色国家来说，这五个白色都是某一赤色的邻国，这是很强的前提，很强的约束。
那么这五个白色国家的相邻情况可以表达为：对这五个白色国家任意抽取四个，反复抽取，抽取结果形成了一个组合。
如果在这个组合当中不需要出现第四种颜色，如果任意的四国顶多会出现三色，那么五个白色中也不会出现四种颜色。

王晓明先生已经不来这儿了

在这样的高度，只有挑战者，没有应战者，所谓的权威都会哑声，挑战者只能自知自明

马列光 发表于 2019-4-2 23:44
在这样的高度，只有挑战者，没有应战者，所谓的权威都会哑声，挑战者只能自知自明

上述证明一，是把任一地图处理成赤白色，所有赤色及其白色邻国涵盖所有国家，进而，再考虑能否用四色填涂。经过这样的处理，就方便使用已经证明的结论：不存在两两相邻的五个国家。

经过上述处理之后，一个赤色的所有白色邻国，都在这个赤色的圆周上，并且基本上呈现单行纵队了，白色邻国之间不会出现复杂的相邻情况。这样一来，简化了问题和论证。

太民科了，证明一那里用"布朗运动"来说，太过模糊太过暧昧，无法令人接受。
事实上，我也见过一些更高级的民科，他们懂得用图论(事实上我怀疑四色定理本来就是图论中的问题，只不过用更通俗的语言而不是用晦涩的数学语言说出来罢了)来证明四色定理。虽然证明本身有漏洞，但是相比起这个"四色定理的两个证明"，那个反而更好懂一些。

平面里的那些点，可以看成气体分子，它们各自随机染色，形成有红黄蓝等各种颜色的分子，它们各自做布朗运动，也就是随机运动。在运动中，相同颜色的分子会相遇、粘结，不同颜色的分子会互相弹开、分离。这样一来，运动的结果是平面上布满了红黄蓝等各种颜色的形状不一的色块，相当于国家。这些国家，会恰好分割整个平面。

这里提供的是证明一，这个证明应该是成立的吧。另外还有一个独立的证明二，还没有写出。

这个"布朗运动"的说法和四色已经不一样了，是不能用"布朗运动"这种暧昧不清的东西来证明四色定理的。我用图论来给你说一说，你自己理解吧。
四色定理中的国家可以理解为抽象的点，国与国之间的相邻可以用点与点的连线来表示。
而作为绘图，特别是平面图的限制是线与线不可交叉，相同两个点之间的连线只有一条。四色定理在这个体系下的描述就是:给定任意的数量的点，这些点以符合上述两个限制的情况任意连线。在连线的两个点不可着上相同颜****况下，至少用多少种颜色能做到全着色?
回过头来，我们看看"布朗运动"在这个体系下是怎样的。"布朗运动"在证明四色定理中的错误之处就在于相连的着上相同颜色的两个点看作一个点。说通俗一点就是实际上是两个国家，可那个证明却要把它们看作一个国家，无视这两个相邻的国家着上了相同的颜色。
也可能是我理解错了。但是我会理解错这也本身是那个证明表达上的不足之处，也就是我一开始说的"布朗运动"的意义暧昧不清。

我说的证明，没有使用图论，也没有把两个国家的相邻关系看成两点之间的连线。我是把任何一个地图，首先处理成赤白二色，使得所有白色国家都在赤色的圆周上，并且任一赤色圆周上，没有两两相邻的四个白色国家。这样，就使用了已经被证明的结论：不存在两两相邻的五个国家，并且使得这个已经被证明的结论，能运用到地图上的所有地方，无一遗漏，从而得证。

你想，条条大路通罗马，为什么必须使用图论等等呢？

我觉得你没有看懂原帖。原帖当中，令地图上的点随机选择颜色，随机运动，这只是为了构造三色地图、四色地图、五色地图，这仅仅是说，三色地图是存在的，五色地图是存在的，四色地图是存在的且无限丰富的，那么，这并没有证明什么。那么，这有进一步的问题，四色够用吗？四色地图并不是特例吗？五色地图能够改涂成四色地图吗？这个问题及其解答，才是原帖的核心内容。

而布朗运动等等，都不需要进行解释，完全可以一笔带过。

所谓布朗运动，根本不需要在意、计较，因为这合理且是很枝叶的东西。问题的关键在于，大家都知道两两相邻的国家不会有五个，也知道这个结论很关键，可是这个已经被证明的结论，并不能证明四色定理，需要找出一些关键的东西之后，才能够拿着去证明四色定理。如何拿着它去证明四色定理呢？不清楚。所以，原帖先把任一地图，用赤白二色来上色，进而展示出，地图上任何一个地方不会超出四色。此时还没有得出证明，那么引入四色地图的无限丰富性，就得证了。