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雷达卡
牛顿曾经说过：“我可以计算天体运行的轨迹，却没有办法计算人性的疯狂。”
据说牛顿买了当初大家都非常看好的英国南海公司股票，但最终由于南海泡沫破灭，官至皇家造币局局长的牛顿巨亏了2万英镑，为此他才发出这番感慨。
不过，20世纪的布莱克和斯克尔斯却似乎有自己的不同意见：经济没有那么复杂，关键是数学关心不关心而已。
这两位玩转风云的金融大师，在1973年对1966年至1969年间期权交易数据进行分析后发表《期权定价和公司债务》一文，给出了期权定价公式，一个堪称金融巫师的公式。为表纪念，这个公式以二人名字命名，即著名的布莱克-斯科尔斯公式。
这个公式向世界证明，无论经济的表面现象有多复杂，数学总能将这种复杂刻画出来。
后来，斯科尔斯和默顿又进一步发展了这一方程，为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
这个方程的崛起助力全球金融衍生市场步入全盛时期，一个衍生工具的时代冉冉升起。它创造出数十万亿金融衍生产品，并令美国金融行业升至社会所有行业的顶峰，甚至包括世界经济也因衍生市场的繁荣而焕然一新。
美国“第二次华尔街革命”也由此吹起了新生的号角，“金融工程”在经济学界破土而出，人称“数量分析专家”的新一代交易家成为华尔街最炽手可热的精英人才。
大批固步自封的传统投资银行在这个过程中猝不及防地转瞬江河日下，而一家长期资本管理公司——LTCM（Long-Term Capital Management）却开始展露锋芒。
LTCM：华尔街的时代宠儿
关于布莱克-斯科尔斯方程的伟大应用，LTCM是最有发言权的，可以说，它是这一方程的最佳代言人。通过一丝不苟地执行布莱克-斯科尔斯方程套期理论，在整个金融界掀起一翻腥风血雨，让整个华尔街都闻风丧胆，而后却又因此骤然一落千丈，沦为史上最大对冲基金失败案例。
至今回想起那段岁月，人们仍难免心有余悸。
1994年，长期资本管理公司LTCM创立，这是一家主要从事定息债务工具套利活动的对冲基金公司。自一出生，就是天子骄子。
LTCM的创始人是被誉为能“点石成金”的华尔街“债券套利之父”梅里韦瑟，早期曾就职于华尔街的著名投资银行所罗门兄弟公司债券部门，离开后创立了LTCM。合伙人包括前美联储副主席莫林斯、默顿和斯科尔斯等。其中斯科尔斯和默顿两位泰斗级大师，前者是布莱克-斯科尔斯方程的两位创始者之一，后者是公式的改进人，他们因此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。而彼时，方程的另一创立者布莱克，因逝世遗憾与奖项无缘。
这样一支号称“每平方英寸智商密度高于地球上任何其他地方”的梦之队，共集结数学、金融、政客、交易员等诸多精英于一体，在成立之初就毫不费力地融资了12.5亿美元。
与传统债券交易员依赖经验和直觉不同的是，梅里韦瑟更相信数学天才的头脑和计算机里的模型，他认为数学模型是揭露债券市场秘密的最好利器。他曾经在所罗门公司组建了套利部，收罗了一批与别人格格不入的数学怪胎，这批最能赚钱的赌徒在华尔街赫赫有名。
而这一次，LTCM掌门人梅里韦瑟依旧选用了数学模型作为投资法宝。
斯科尔斯和默顿两位金融工程的著名学者，将金融市场的历史交易资料、已有的市场理论和市场信息有机结合在一起，形成了一套较完整的电脑数学自动投资模型。
以“不同市场证券见不合理价差生灭自然性”为基础，LTCM利用计算机处理大量历史数据，通过精密计算得到两个不同金融工具间的历史价差作为参考。再综合市场信息分析最新价差，当发现不正常市场价差时，电脑立即建立起庞大的债券和衍性工具组合，进行套利。
套利建立在对冲操作上，所谓对冲，就是在交易和投资中，同时进行两笔行情相关、方向相反、数量相当、盈亏相抵的交易，用一定的成本去“冲掉”风险，来获取风险较低或无风险利润。LTCM主要从事所谓“趋同交易”，即寻找相对于其他证券价格错配的证券，做多低价的，沽空高价的，并通过加杠杆的方式将小利润变成大收益。
例如，在1996年，意大利、丹麦、希腊政府债券价格被低估，而德国债券价格被高估，根据数学模型预测，意丹希三国的债券与德国债券的的息差会随着欧元的启动而缩小，于是LTCM大量买入低价的意大利、丹麦、希腊的政府债券，卖空高价的德国债券。只要德国债券与意大利债券价格变化方向相同，当二者息差收窄时，就可以从中得到巨额收益。
后来，市场表现果然与LTMC的预测一致，在高财务杠杆下，资金收益被无限放大。
这样的对冲组合交易，LTCM在同一时间持有20多种，每一笔核心交易都有着数以百计的金融衍生合约作为支持。借助于复杂的数学估价模型，LTCM很快在市场上赚得盆满钵满。
成立短短4年，LTCM战绩赫赫，净资产增长速度极快。到了1997年底，资本已达到了70多亿美元。同时，每年的回报率平均超过40%，1994年收益率达到28%，1995年收益率高达59%，1996年收益率是57%。即使在东亚金融危机发生的1997年，也依然斩获25%的收益率。
这一系列记录以及合伙人的声望都使得投资人对LTCM情有独钟，贝尔斯登、所罗门美邦、信孚银行、JP摩根、雷曼兄弟公司、大通曼哈顿银行、美林、摩根士丹利等华尔街各大银行更是欲求成为投资者能分得一杯羹，裹挟着资本纷纷踏破门槛。
至此，LTCM如日中天。
B-S模型：最“昂贵”的公式
LTCM造就的财富神话，一度使人惊叹不已，他们几乎从无亏损，没有波动，这简直就像是没有风险。著名的金融学家夏普疑惑不解地问斯科尔斯：“你们的风险在哪里？”
斯科尔斯也直挠头：没有人看到风险去哪里了。
在LTCM的操作中，斯科尔斯他们始终遵循“市场中性”原则，即不从事任何单方面交易，仅以寻找套利空间为主，再通过对冲机制规避风险，使市场风险最小化。
在这一系列对冲组合的背后，隐藏着无数控制风险的金融衍生合约，以及错综复杂的数学估价模型。而最初开创了金融衍生时代、催生出一大批新生代“数量分析师”的布莱克-斯科尔斯方程，在LTCM战无不胜攻无不克的一路高歌中，可谓是立下了汗马功劳。
布莱克-斯科尔斯方程（Black-Scholes期权定价模型）简称B-S模型，最早于1973年由布莱克和斯科尔斯共同提出，其思想来源于现代金融学中的一场“实践之旅”。
1952年，芝加哥大学一名博士生马科维茨用一篇论文点燃了现代金融学的大爆炸，人类历史上第一次清晰地用数学概念定义和解释了“风险”和“收益”两个概念，把收益率视为一个数学的随机变量，证券的期望收益是该随机变量的数学期望，而风险则可以用该随机变量的方差来表示。
60年代，马科维茨的学生夏普携手其他几人再续前缘，进一步推导出期望收益率与相对风险程度之间的关系，那就是金融学中最著名的资产定价模型（CAPM）。
布莱克的核心思想，就是在CAPM世界中寻找一个漂亮的衍生品定价数学模型。
从马科维茨开始，金融学就步入了一场理论与现实相结合的“实践之旅”，在那个思想熠熠生辉的年代，行为金融学日渐兴起。而70年代的“异端”布莱克，就在那个无套利分析法在舞台大放光彩的市场中，窥见了一套为金融衍生品投资行为量身定制的法宝。
无套利假定告诉我们，在一定的价格随机过程假设下，每一时刻都可通过股票和股票期权的适当组合对冲风险，使得该组合变成无风险证券，这样就可以得到期权价格与股票价格之间的一个偏微分方程。只要解出这个偏微分方程，期权的价格也就随之而出。
布莱克和斯科尔斯两人借助于物理界一个热运动随机方程，再把f定义为依赖于股票价格的衍生证券的价格，一鼓作气推出了著名的B-S偏微分方程，这个方程就藏着衍生证券的价格。
B-S偏微分方程令布莱克和斯科尔斯两人着迷不已，但也令他们抓耳挠腮。在苦苦思索后，布莱克选择从欧式看涨期权入手，将未来期望收益值进行折现，进一步解出看涨期权价格ct为：
式中：
其中，N(x)是标准正态变量的累积分布概率,x服从N(0,1)。T为到期日，t为当前定价日，T-t是定价日距到期日的时间，St为定价日标的股票的价格，x为看涨期权合同的执行价格，r是按连续复利计算的无风险利率，σ是标的股票价格的波动率。
有趣的是，同年，来自MIT的金融教授“期权之父”默顿也发现了同样的结论。
这三人相逢，便是一出高山流水的经典戏码，高手过招，惺惺相惜，碰撞出了更多期权思想的火花。谦逊的默顿一直等到布莱克模型公布后才发表自己的论文，甚至在后来还改进了模型，创造性地提出了“看跌期权定价模型”，扩大了公式的应用范围。
欧式看涨期权和看跌期权之间存在着一种平价关系：
将这种平价关系同标准正态分布函数的特性结合起来：
就可以得到欧式看跌期权的定价公式：
B-S模型刚推出之时，曾因完全脱离了经济学一般均衡的框架而被主流经济期刊视为“异端”不予接收，不少经济学家大惊失色：怎么可以直接用无套利的方法给证券定价？但与模型定价惊人吻合的市场数据，让华尔街欣喜若狂、依旧不顾一切视其为掌中珍宝。
这一模型十分有效，是经济史以来应用最频繁的一个数学公式，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价，但要使其奏效，还需满足一些复杂的假设：
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