概率论问题

sin_cera 发表于 2010-3-17 08:40
8# bobguy ……那个书是拿来卖的，没办法看啊。

That is why you cannot find answer. Can you borrow it from library?

徐培蓓 发表于 2010-3-16 22:04
过程：取1号球，放在除1号盒子的（n-1)种可能的盒子中，记下该盒子编号m1；取m1号球，放在除1号球已经占据的m1号盒子以外的盒子中，（n-1)种可能性，记下编号m2；取m2号球，(n-2)种可能性，依次往下，取最后一个球，放在最后剩下的盒子中，一种可能性。所以结果：(n-1)*(n-1)!

这个解题思路错在原本选择球的顺序是多种的，而你这个思路选择球的顺序是固定的，所以最终导致概率比正确概率偏低。

假设是3个球，3个盒，正确的概率是2/3，而你的答案是1/3。

目前能想到的也只是简单的反命题解题，还在思考中！

首先明确一点，在所有放法中，排除全部不对号的放法，
剩下的就是至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数。

为研究全部不对号的放法种数的计算法。
设f(1)为只有一个球放入一个盒子，且不对号的放法种数，显然f(1)＝0；
f(2)为只有二个球放入二个盒子，且不对号的放法种数， f(2)＝1；
f(3)为只有三个球放入三个盒子，且都不对号的放法种数，f(3)＝2；
……，f(n)为有n个球放入n个盒子，且都不对号的放法种数。

下面我们研究f(n+1)的计算方法，考虑它与f(n)及f(n-1)的关系。

如果现在有 n个球已经按全部不对号的方法放好，种数为f(n)。
取其中的任意一种，将第n+1个球和第n+1个盒子拿来，
将前面n个盒子中的任一盒子(如第m个盒子)中的球(肯定不是编号为m的球)放入第n+1个盒子，
将第n+1个球放入刚才空出来的盒子，这样的放法都是合理的。共有n*f(n)种不同的放法。

但是!

在刚才的操作中，忽略了编号为m的球(它当时却在第m个盒子中)放入第n+1个盒子中的情况!
即还有这样一种情况，第m盒中编号为m的球放入第n+1个盒子中，且编号为n+1的球放入第m个盒中，
其余的n-1个球也都不对号。于是又有了n*f( n-1)种情况是合理的。

其他情况，不可能有n个球中同时两个球同时对号入座而调整一次就可使得全部不对号的。

综上所述得f(n+1)＝n*f(n)+n*f(n-1),并且f(1)=0,f(2)=1,递推可解
（注意这个的特征方程无整数根，故不易给显式表达）

根据古典概型，欲求之概率即是1-f(n)/n!，当n趋于无穷大时，他的极限是1-1/e。

12# zhuwx 我验证一下，貌似答案还是不大对~~~~~~~

13# sin_cera 你放心好了，绝对是对的，我做过这道题很久了。
如果你英文可以的话，可以Google一下id:A000166(该数列的特定编号)看看，就明白我为什么这么说了。
替你摘一段描述该Integer Sequences的核心部分：

A000166 Subfactorial or rencontres numbers, or derangements: number of permutations of n elements with no fixed points. [size=-1](Formerly M1937 N0766)

基本的配对问题

排列组合问题,

14# zhuwx 但是答案不是你给出的那个形式，参见4楼我给出的答案。

貌似当年期末考试做过这样的题

用广义加法公式即可！