请教几个经济学题目证明支出函数e(p,u)为凹函数

关于证明e（p,u）为凹的一种证法：先给出支出函数定义e(p,u)=min px   <s.t.  u>=u >
设（p,x）与（p1,x1）分别是维持一定支出效应u的两个最小的支出组合，再令p2=tp+(1-t)p1,0=<t=<1.
所以e(p2,u)=p2*x=tpx+(1-t)xp1>tpx+(1-t)x1p1 说明（p2,x）绝不是e（p,u）在效用u下的最小解。所以支出函数为凹函数，证毕。

如果你是某大型彩电制造集团公司的经济顾问，该公司面临着销售额下降，正考虑对其产品进行大幅度降价，若需要预计这一行动的效果，你必须考虑哪些因素。

价格的形成过程，定价的机制，在于下图:





设全社会某类型彩电的当期最大产量（包括已经生产+正在生产+库存+可以增产出来的）在上图的M点，数量为0M，

设全社会对此类型彩电的需求曲线如上图，

上述假设下，均衡单价点在J。


在点J上，全行业的此类型彩电可以出清，此时均衡单价的数值=线段JM的高度的数值。
-------而线段JM的数值，可能小于成本，等于成本，略高于成本，较高于成本，等等。
----------也就是说，这个均衡单价，不一定符合商家们的意愿。

1993110 发表于 2017-2-13 17:53
价格的形成过程，定价的机制，在于下图:

在当期，

设全行业此类型彩电的既有定价点，在上图中的点1的附近，各厂家的定价点分布在点1的附近，且互相紧密靠拢，不可能太疏远。
-------过点1，做垂线相交于横轴，交点处代表了定价点1时候的销售量。
----------此销售量*点1的纵坐标=当期全行业的最大化销售额。


现在，行业中厂家之一的某集团公司决定在上述基础上扩大销售额。
那么，根据上图，通常的多数的情况下，扩大销售额的唯一手段就是降价，从而扩大了销售量。
假设降价后的任意定价点，在上图中的点2。

那么，扩大销售量，不一定就能扩大销售额。


点2是下一步准备降价的那个任意降价点。
过点2，做垂线相交于横轴，交点处代表了降价后的当期全行业的最大化销售量。
此销售量*点2的纵坐标=降价后当期全行业的最大化销售额。


比较上述2个最大化销售额，就可以做出决定了。
--------也就是说，把任意降价点2，在需求曲线上随意移动，寻找那个最大化的差额，降价后导致的销售额的增长额。

但是，

1，这里不考虑实现利润及其对比问题。如果考虑利润问题，可引入单位成本。

2，这里需要对当期全社会在此类型彩电上的需求曲线，有较为准确的估测。

3，当某集团公司降价，可能引起同行业当中其他厂家的反应。需要考虑这种因素。
-------例如说，假若他们也跟风降价，则某集团公司在新增销售额当中的所占份额，就会降低了。
-----------也就是说，比方说，降价到点2的时候，能新增销售额1亿元，但，其他厂家也降价的话，则某集团公司或许只能新增销售额4千万元了，而不是1亿元。

1993110 发表于 2017-2-13 18:17
在当期，

设全行业此类型彩电的既有定价点，在上图中的点1的附近，各厂家的定价点分布在点1的 ...

上面，没有考虑如下问题：

1，技术性的细节问题。
例如说，设当期=当年，设此集团公司是在当年3月份考虑降价的，那么，此时已经销售了3个月，有一定销售量、销售额，也只剩下9个月可以执行降价后的新价格了。
此外，还有销售旺季、淡季的问题，例如节假日的时候可能是销售旺季，等等。
那么，这里需要考虑这些情况。


2，不考虑彩电行业的新产品，不考虑各种意外情况。
假若有新产品，可能会对既有的各类型的彩电销售，造成影响的。
例如说，国外突然出现了金融危机，等等意外，进而影响到彩电行业。


3，不考虑行业外的其他影响因素。
例如说，假若其他行业的产品涨价了，假若其他行业出现新产品了，假若税收变化了，假若有关产品的进口变化了，等等，则对此类型彩电的销售会有所影响的。

1993110 发表于 2017-2-13 18:17
在当期，

设全行业此类型彩电的既有定价点，在上图中的点1的附近，各厂家的定价点分布在点1的 ...

上面，也没有考虑需求曲线的估测问题。这是进一步的理论问题了。


另，本帖所说的需求曲线，不同于主流经济学。本帖的需求曲线，也一定是从高到低，向右下方倾斜的，因为，定义就是这样的。

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