如何求证——股票价格上涨，看涨期权价格也上涨？

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一般都认为——当标的股票价格上涨时，那么对应该标的股票的看涨期权价格也应该上涨。

从直观上讲，不难理解。因为，当标的股票开始股价上涨时，市场会看好股票的未来发展，大家认为可行权的概率就会比当初发行时变大，所以，看涨期权的价值就会相应增加。

我的问题是，——这个结论，能够从逻辑上严谨的求证么？

当标的股票价格上涨后，原发行期权的价格就应该在该时点重新用BS模型进行计算一遍（在此，为便于说明问题，先假设，期权市场价格与BS模型价格相等）。

但是在用BS模型计算时，会发现两个问题：

1、 有效时间变小了，期权价格在时间这个维度上，有下降的动力。

2、波动率可能变了。虽然股价上去了，但可能在一段时期内的波动率却没有当初发行时的波动率高。期权价格在波动率这个维度上，有下降的动力。

我个人认为，在标的股价上涨时，重新计算期权价格时，应该用新的波动率，而不是期权当初发行时的旧波动率，因为期权的等待期可能会比较长，尤其是发给员工的激励型期权，可能3-5年的等待期。此时，用3-5年前发行时的波动率再来计算期权在新时点的价格会失真很多。

当新的波动率，没有旧的波动率高时，那么期权在该时点的价格就有下行的动力。

因为这2点影响的存在，虽然此时标的股价上涨了，变成了具有更多实值得期权了，但是，同时也存在2个下行的动力。如何就能得出——标的股票涨价，看涨期权也涨价的结论呢？（在此说的期权涨价，是指BS模型计算的价格，而不是市场上受多种因素综合影响的市场表现价格）

本人初学期权，这个问题十分困惑。 请高手们帮忙解释！非常感谢！

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关键词：股票价格 价格上涨 一段时期内 未来发展 我的问题

之前写的回答太长了，要经过论坛审核，半天都没发出来。直接截个图发上来吧。

thanks for sharing

Chemist_MZ 发表于 2020-3-2 11:10
之前写的回答太长了，要经过论坛审核，半天都没发出来。直接截个图发上来吧。

老师，非常感谢您热心帮助小白 ：）。
您的衍生品 价格 要用 无套利原理来定的  解释原则，给了我很大的启发。 那个 C（k1) 必须大于C（k2)的例子，我看懂了。

按您所讲的这个无套利原则，我试着用了一下。 在这个原则下， 我对我提出的问题，有了一个可能不太成熟的判断——无论，剩余的有效期T是多短， 和 当下的波动率δ2是否>=当初的δ1，都能得出结论—— 当标的股价上涨时， 原来发行的看涨期权的价格必然上涨。 我的运用如下。   
您帮我看下，是否正确呢？

一、原期权(看涨）发行时的条件：
发行时点	发行时标的股票价格	期权行权价	期权等待期	发行时标的股票波动率	该期权在发行时价格
t1	S1	K	T	δ1	C(t1)
二、股价上涨情况的出现
现在时点	现在标的股票价格	期权行权价	期权等待期	当下的标的股票波动率	原发行期权，在当下t2时点的价格
t2=t1+Δt(Δt>0)	S2=S1+ΔS,(ΔS>0)	K	T-Δt	δ2,(δ2可大于、等于、小于δ1)	C(t2)
三、结论：C(t1)总是小于C（t2)。  因为，若，C（t1)>C(t2),则会存在套利行为。 具体证明如下：
第1步：构建期权组合——卖出C（t1)+买入C(t2)         说明：C（t2),只有在当标的股票价格上涨的时点才能买到，即，和C（t1)买入不是同一个时点，C（t1)买得早。
第2步：套利行为存在说明     1、若，未来标的股价下跌，则， 卖出的C(t1)，为净赚收益（不必履行兑现期权义务）         2、若，未来标的股价上涨，则买入C(t2)。     此后，因卖出C（t1)需要履行的期权兑现义务，就因为买入了C(t2)而对冲掉了（此处，假设是欧式期权，只有到期才能行权）。 而且因为，买入C（t2)的成本低于卖出的C（t1),所以算下来，还是净赚。         3、即使，最终到期时，股价低于行权价K，C（t1)和C(t2)的买方，都无法行权，但是因为，C（t1)>C(t2),所以还是净赚。         按您说的无套利原则，这种净赚的情况是不可能出现的。         所以，必然就反证了： C（t2)必须大于C(t1)。     而且，无论，时点t2和t1之间相差了多久，也就是说，无论该期权剩余的有效期还有多长；  无论，在时点t2时回头看立足t2时点的标的股票波动率δ2，是大于、等于、小于， 立足于t1时点的标的股票波动率δ1。 这个结论都应该正确。或者说，  C（t2)必须大于C(t1)，和期权剩余有效期、股票波动率其实没有关系。只是因为，在t2时点的S2,>, 在t1时点的S1。         但，这个结论是否适用于可随时行权的美式期权，我没想明白。

bleblemig 发表于 2020-3-3 14:37
老师，非常感谢您热心帮助小白 ：）。
您的衍生品 价格 要用 无套利原理来定的  解释原则，给了我很大的 ...

“此后，因卖出C（t1)需要履行的期权兑现义务，就因为买入了C(t2)而对冲掉了（此处，假设是欧式期权，只有到期才能行权）。 而且因为，买入C（t2)的成本低于卖出的C（t1),所以算下来，还是净赚。”

这里有点问题，就是在t1到t2间，股价和时间变化的时候实际上你卖出的C(t1)的期权是会损失价值的，首先如果股价上涨，你卖空看涨期权会损失钱，其次因为时间的流逝，你会损失时间价值，所以这时候很难说这部分损失能够抵消买入C（t2)卖出的C（t1)的收益。

其次无套利并不是说净赚是不可能出现的，净赚完全可以出现，但是前提是它不能没有代价。你可以有一个payoff在任何时候都至少不亏钱，但是如果期初你需要投入一笔钱，那么这就不是无套利因为这是有代价的。如果你期初不用付钱甚至得到钱那才是套利。

Chemist_MZ 发表于 2020-3-4 10:36
“此后，因卖出C（t1)需要履行的期权兑现义务，就因为买入了C(t2)而对冲掉了（此处，假设是欧式期权，只有 ...

老师， 能和您再进一步讨论，真好！能加深我的理解。

一、我要说明的一点是：我所说的——“因卖出C（t1)需要履行的期权兑现义务，就因为买入了C(t2)而对冲掉了”，是特别指，期权买方要求行权而 必须由期权卖方所承担的损失。
比如： 我在C(t1)时，卖了一份行权价为5元的看涨期权， 在期权到期时 ，股价为20元，那么我的损失就是 20-5=15元。  
我说的对冲，是指， 虽然我因卖C(t1)而损失了15元，但是，我后来在t2时，买入了C(t2)，行权价也是5元，因为 C(t2)的到期时间和C(t1)是一致的，所以到期时，我就可以行权，从而赚到 20-5=15元。
这样，一赔，一赚， 因为期权的行权而对我产生的净影响，就是零。  但是，因为 我们之前假设的是， C(t1)>C(t2),所以，我最终还是赚到了钱。  （而且，最初付出的成本是0，因为我最开始没掏本钱，上来就卖了一份C(t1)，这个是不是应该算套利呀？）

这样解释完，您再帮忙看看，能否支持我的还没想成熟的结论呢？ ——“只要是在标的股票价格在未来比发行时股价 高的时点， 即S（t2)>S（t1)的时点，那么，对于 K(行权价）、T末 （到期时间） 保持不变的 看涨期权，一定能得出C（t2) >C（t1)”的结论。  （目前，我认为仅适用于欧式期权）

二、我是有一个困惑，如果现在的情形不是如您说讲， “假设一个其他条件不变，仅考虑股价变动对期权的价格影响”、您还特别举个例子说“财报前后，股价可能突然就蹦上去了，所T的影响很小”。  假如，我们不是要单独说明 “股价的单一因素影响”  ， 而是就是在在需要的时候来重新评估下之前已发行的期权的价值， 比如： 我的企业发行了一个3年到期的给高管的激励期权， 现在因为各种原因，还有3个月期权将到期。综合考虑后， 企业想收回员工已经成熟的期权， 与员工达成一致按当前的期权价来回收（事实未必是定这样的回收价，只是便于讨论）。那么此时，企业就应该评估一下该期权在当前时点的价值。  那么这个时候， 我们该如何重新计算这个期权在当前时点的价值呢？  是不是再用一遍BS模型， 只是， S2（股价）  、 δ2（波动率） 、T2（现在的剩余到期日）、K（行权价，保持不变）。 都应该用立足于 现在的时点的参数， 带入就行？

我说的可能有点乱。 哪没说明白，您告诉我。

bleblemig 发表于 2020-3-4 12:15
老师， 能和您再进一步讨论，真好！能加深我的理解。

一、我要说明的一点是：我所说的——“因卖出C（ ...

你的结论要符合常识“ “只要是在标的股票价格在未来比发行时股价 高的时点， 即S（t2)>S（t1)的时点，那么，对于 K(行权价）、T末 （到期时间） 保持不变的 看涨期权，一定能得出C（t2) >C（t1)”的结论。”这个结论显然是有问题的。

一、我要说明的一点是：我所说的——“因卖出C（t1)需要履行的期权兑现义务，就因为买入了C(t2)而对冲掉了”，是特别指，期权买方要求行权而 必须由期权卖方所承担的损失。
比如： 我在C(t1)时，卖了一份行权价为5元的看涨期权， 在期权到期时 ，股价为20元，那么我的损失就是 20-5=15元。  
我说的对冲，是指， 虽然我因卖C(t1)而损失了15元，但是，我后来在t2时，买入了C(t2)，行权价也是5元，因为 C(t2)的到期时间和C(t1)是一致的，所以到期时，我就可以行权，从而赚到 20-5=15元。
这样，一赔，一赚， 因为期权的行权而对我产生的净影响，就是零。  但是，因为 我们之前假设的是， C(t1)>C(t2),所以，我最终还是赚到了钱。  （而且，最初付出的成本是0，因为我最开始没掏本钱，上来就卖了一份C(t1)，这个是不是应该算套利呀？）

你这里前面的分析都对，两个期权最后的收益会抵消，但是你是在不同时间买入和卖出的，那么问题来了，t1-t2之间这段风险怎么算？这里是有风险的，假如这段时间市场啥都没发生，你每天损失时间价值，你在t1买的期权价格下跌了呢？或者股价下跌造成你的期权价值下跌呢？你要等到t2才能卖出然后对冲，所以中间是有风险的，不能算套利，套利一定是在任何情况下你都没有负的收益才对。你再t2卖出对冲后确实是没有风险了，C(t2)>C(t1)，但是你得把t1-t2之间那段损益pnl也加进去，所有你的净收入是C(t2)-C(t1)+pnl 这个符号就不确定了。

当然你可以聪明一点，argue说所以只有当t2和t1无限接近，这段risk够小，选择t2使得PnL=epsilon<C(t2)-C(t1)，的时候这个结论成立，其实也就是之前说的瞬时移动，或者说当别的变量不动的时候，股价上升看涨期权上升这个结论成立。以后你在推导任何结论的时候首先要直观上去想一想，是不是符合常识，只有符合常识定量推导才有意义。

Chemist_MZ 发表于 2020-3-5 20:30
你的结论要符合常识“ “只要是在标的股票价格在未来比发行时股价 高的时点， 即S（t2)>S（t1)的时点，那 ...

非常感谢老师的回复！谢谢：））

bleblemig 发表于 2020-3-5 21:05
非常感谢老师的回复！谢谢：））

Chemist_MZ 发表于 2020-3-5 20:30
你的结论要符合常识“ “只要是在标的股票价格在未来比发行时股价 高的时点， 即S（t2)>S（t1)的时点，那 ...

老师， 关于BS模型，我还有一个问题，一直不解。  
就是公式中，为啥，只用 δ ——股价对数收益率的波动率，而不用u——股价对数收益率的期望均值？  

δ 是用历史数据来算的， 既然是历史的， 那么算的时候，一定是有u的， 那么在通过历史而推测未来的时候， 为什么就跟历史上的u没有关系了呢？ 它是导出δ的依据， 没有它就算不出来历史的δ。  为什么不用呢？
这是基于一个什么样的逻辑呢? 老师。