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Applied probabilityand mathematical finance theory 2006

1 Introduction 5
2 Basic Probability Theory 6
2.1 Why Probability? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Probability Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Conditional Probability and Independence . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Expectation, Variance and Standard Deviation . . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Covariance and Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7 How to Make a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Normal Random Variables 16
3.1 What is Normal Random Variable? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Lognormal Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Useful Probability Theorems 22
4.1 The Law of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Poisson Random Variables and the Law of Small Numbers . . . . . . 23
4.3 The Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Useful Estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 Brownian Motions and Poisson Processes 28
5.1 Geometric Brownian Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2 Discrete Time Tree Binomial Process . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3 Brownian Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.4 Poisson Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2
CONTENTS 3
6 Simulating Brownian Motions 38
6.1 Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.1.1 As an Advanced Calculator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2 Generating Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3 Two-Dimensional Brownian Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3.1 Random Variable on Unit Circle . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3.2 Generating Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.4 Geometric Brownian Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.4.1 Generating Bernouilli Random Variables . . . . . . . . . . . 41
6.4.2 Generating geometric brownian motions . . . . . . . . . . . . 41
7 Present Value Analysis 42
7.1 Interest Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.2 Continuously Compounded Interest Rates . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.3 Present Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.4 Rate of Return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8 Risk Neutral Probability and Arbitrage 48
8.1 Option to Buy Stocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.1.1 Risk Neutralization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.1.2 Arbitrage and Price of Option . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.2 Duplication and Law of One Price . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.3 Arbitrage Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9 Black-Scholes Formula 55
9.1 Risk-neutral Tree Binomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.2 Option Price on the Discrete Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.3 Black-Scholes Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.4 Examples of Option Price via Black-Scholes Formula . . . . . . . . . 61
9.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
10 Delta Hedging Strategy 63
10.1 Binomial Hedging Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.2 Hedging in Black-Scholes Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.3 Partial Derivative D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.4 References . . . . . . . . . .




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Applied probability and mathematical finance theory
9 Black-Scholes Formula 55
9.1 Risk-neutral Tree Binomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.2 Option Price on the Discrete Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.3 Black-Scholes Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.4 Examples of Option Price via Black-Scholes Formula . . . . . . . . . 61
9.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
10 Delta Hedging Strategy 63
10.1 Binomial Hedging Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.2 Hedging in Black-Scholes Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.3 Partial Derivative D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 CONTENTS
11 More Vanilla Options in Detail 71
11.1 American Call Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
11.2 Put Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
11.3 Pricing American Put Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11.4 Stock with Continuous Dividend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.5 Stock with Fixed-time-Dividend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.6 Forward and Futures Contract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

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