【原创】黎曼的1/2

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引言或说明
       1900年，希尔伯特总结了23个有待研究的数学问题，2000年克莱基金会组织数学家选出了7个问题，并为每个问题的解答悬赏100万美元。时隔百年，对比两份问题目录，黎曼猜想是两次皆入选的唯一问题。
据说黎曼猜想是史上最难的问题，据说其中隐含了宇宙的终极秘密，据说数学家愿意不惜一切来换取它的解答，哪怕是交出自己的灵魂，但据说的事未必靠谱。
现在就能正确预言的是：解答黎曼猜想的人肯定不是我！J但还是有点小小的野心，对这个猜想多少能有些理解。
然而到底能理解多少，这却又是一个问题。用自己的语言把有关内容复述一遍，这是个人的解决方案，也是下面文字的一个缘起。自以为理解的是否真的就是理解了？这也是一个问题，但愿好运气，有大牛出手赐教。这是另一个原因。

一、素数和它们的个数
    我上学的时候素数一般被称为质数，顾名思义就是本质的数，而“素”在字典中的释义里有“构成事物的基本成分”一条。结合起来，素数就是组成正整数的基本材料。素数是大于1并且除了1和其本身外不能被其他数整除的正整数，这是素数的定义。对于素数的定义，数学书中的文字表达形式可能不同，但其意思是等价的。考虑到语言习惯和严密性，推敲之后我以为这里的表达是最恰当的。
好的定义，您只能去看数学家们给出的了，但那多半不会是纯文字形式的。从字里行间揣度出各种的“微言大义”，这种活儿数学家们不擅长，他们用人造的形式化“语言”来避免理解上的歧义。
2是唯一的偶素数，100以内的素数如下：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
一共25个，1000以内有168个，而10000以内有1229个。换算成比例，在1到100的正整数当中素数的比例是25%，1到1000中素数占有的比例是16.8%，1到10000时是12.29%。容易看出，随着正整数取值范围的变大素数似乎变得越来越少，那么在某一个非常大的素数之后会不会再也没有素数了呢？答案是否定的，因为素数有无穷多个。
    按目前已知的历史资料，“素数的个数是无穷的”，对这个论断最早给出证明的是2300多年前的欧几里得。他的生平事迹没有流传下来，所以今天关于他的故事讲不出什么。大家都知道的，他是《几何原本》一书的作者，其实“几何原本”这个名字是徐光启翻译时给起的，如果直译过来书的名字就叫“原本”。
欧几里得有关素数有无穷多个的证明，是数学史上一个伟大而经典的证明，而且还蕴含了数学之美。古人以“羊大”为美，我以为数学之美就是简洁，在什么是美的价值标准上我们都是实际主义者。
    即使没有数学基础，用五分钟也能搞明白欧几里得的证明，如果再多花点时间那就可以向其他人准确复述了。下面是我的复述。
在正整数范围内，
    1、假定素数的个数是有限的，设最大的素数为p。
    2、根据假定，可以从2开始，将所有的素数相乘，结果用S表示。即，S=2×3×5×7×……×p。
    3、考虑S+1的情形，它是否为素数？这里有两种情形：
A：是。那么，S+1﹥p，这与第一条的假定不符。
B：不是。那么，S+1可以表示为若干素数乘积的形式，若某个可以整除S+1的素数表示为n，显然，从2开始到p的素数当中，n不会是其中的任何一个，因为当用它们分别去除S+1时都会有余数1。由此可知n必大于p, 这也与第一条的假定不符。
结论：第一条假定不成立，反之，素数的个数是无穷的。
    欧几里得的证明使用了反证法，和证明本身比起来，这个方法更了不起。哈代曾盛赞这种数学方法，他用国际象棋做过一个比喻，他说：一般人会想到“舍车保帅”，但数学家会舍弃整个棋局。这里说的哈代是数学家，不是那个写小说的哈代。我理解哈代同志的讲话精神就是：数学家就是那种能够把整个宇宙豁出去的人。所以，当罗马士兵举着剑对阿基米德高喊“缴枪不杀”时，阿基米德却回到：别闹，让我把题算完。一个对宇宙是否毁灭都不在意的人自然也不会在意自己的小命。结果当然是悲剧，士兵砍下了当时最聪明的头颅，而吊诡的是那家伙竟没有留下姓名。凶手是谁？有人写过一本书叫“阿基米德的报复”，每个人都该看，因为我们都不是凶手，否则……怎么证明不是你干的？！
    一个正整数，如果它不是素数，则被称为合数。在上面的证明中隐含地使用了一个结论，任何一个合数总可以表示为若干素数的乘积形式。对此您可以把它看作是一个不言自明的公理，不过数学家是把它当作一个定理来看的，作为一个数学定理当然需要证明，讲解“数论”的书中，一般开篇都会讨论数的整除性问题，其中便有此定理的证明。有兴趣者请自行参考。这里要说明的是一个“历史”问题，即欧几里得是否知道这个定理？答案是肯定的。
    补充一点，合数必可唯一地表示为若干素数的乘积形式，其实是算数基本定理的一种直观叙述。不用这个定理，用辗转相除法也能证明有关的结论，如果不怕麻烦的话。而对辗转相除法欧几里得同志很专业。
    除了数论教科书之外，哈代在《一个数学家的辩白》那本小册中，以及在《数学天书中的证明》（艾格纳、齐格勒，高等教育出版社，2009年5月）中，对欧几里得的证明也有叙述。按简洁就是美的原则，我的复述属于很“丑”的那一类。

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关键词：高等教育出版社 悬赏100 欧几里得 黎曼猜想 数学之美 黎曼 原创

二、两个有趣的例子

它们是梅森数和费马数。让数学家去关心意义而我们来关心“故事”。

请看下面的等式，
2^2-1=3     2^3-1=7     2^5-1=31   2^7-1=127
    等号的左边都具有如下的形式，
2^n-1
其计算结果被称为梅森数，用符号Mp表示。当然这里的讨论是限于正整数范围之内的，而像3，7，31，127这样的素数被称为梅森素数。需注意的，2^4-1=15，15是梅森数但不是梅森素数。

      1644年，按天干地支的纪年法是甲申年，在中国历史上那一年是多事之秋。北方爆发鼠疫、李自成攻进北京、崇祯自缢、吴三桂引清兵进入山海关等等。也是在这一年，梅森同志宣布：当n分别为2、3、5、7、13、17、31、67、127、257时，2^n-1的计算结果为素数。人们一直没搞清楚他是怎样得出这个结论的，但人们后来搞清了他的结论中都有哪些错误。而这里所要说的只是n=67的情形。

2^67—1=147573952589676412927

       1903年10月，一群数学家在美国开会，有一个叫科尔（Fredrick nelson cole）的家伙，他在黑板上写下了上面那个数，然后他又写了761838257287×193707721，然后他就回到了座位上，然后大家就开始鼓掌。然后这个故事就流传了下来。

       据说在整个过程中没人说过话，如果当时有一位不知情的旁观者，他也许会认为自己恰巧看到了一次疯子的聚会。

       梅森认为哪个有21位的大数是个素数，而科尔却发现它是761838257287×193707721相乘的结果。据说为了这事他苦干了3年，在没有计算机的年代，研究数学也是一项力气活儿。

       按我的想象，从科尔写完最后一个数字，到他返回自己的座位应该不超过3分钟，在短时间内，当时在场的人都对结果进行了验算，不然他们不会鼓掌表示赞同。这就是数学家，没有计算器，没有算盘，不知您能否完成？

       我做不到。但有一个“投机取巧”的方法，87×21=1827；76×19=1444，11+8+2=21。所以，假如有人鼓掌，我若也在场会跟着鼓掌的，俺是一个没有主见的笨人。

       人笨不代表没有阴暗心理，所以我特愿意再八卦一下费马的故事。

       费马给后人留下了很多数学猜想，而它们总是被证明是对的。于是就有了一种很奇诡的事情，比如著名的费马大定理，上个世纪末才最终获得证明，但在这之前，人们已经习惯上称它为“大定理”而不是“大猜想”。一个未获证明的数学命题竟被称为“定理”，据我所知，好像只有费马同志的言论能有这种待遇。作为对比，广为人知的哥德巴赫猜想，没人把它写成“哥德巴赫定理”。虽然陈景润给出了非常近似的证明，但就因为还差一步所以只能是“猜想”。不公平，按郭德纲的话，把费马的糗事再说一遍，让大家痛快一下。据说那是他唯一的糗事。

请看下面5个计算式。
                       
         
计算式的左边有统一的形式：


和梅森数类似，计算的结果称为费马数。

       费马同志相信当n分别遍取自然数时，则式子的计算结果必为素数。实际上当n=5时，结果为：4294967297=6700417×641。他错了！到上世纪80年代末，人们已经知道，对于小于21的情形，除了上面那5个之外，其他结果都是合数。

       通过直观就可以想见，随着n值的增加，计算量将火箭式的增大，每前进一步都是对计算能力的巨大挑战。不过，诚如各位所知，计算机技术一直在进步，特别是互联网技术也在高速发展，如果一台大型计算机的计算能力不够，可以让全世界的计算机联合起来，所以计算不是问题。至今，新的费马素数没有找到。（截止2004年，已知217个费马数是合数。）

       有人认为，对n的所有可能取值，除了前5个的计算结果是素数外，其他的都不是。如果这一点被证明了，那么费马在这事上不仅是糗了，而且是糗大了。

     这可以当作一个自我鞭策的实例。

三、目标和欧拉

素数有无穷多，能否找到一个式子来表示所有的素数？这是很自然的想法。梅森和费马的尝试并不成功，退一步讲，即使成功也仅是表示了部分素数。也许这暗示了他们的思路并不正确。他们给出的计算式有一个共同的特点，即只有一个变量，如果那样的式子存在可能要有多个变量。

或者，永远也不会有一个什么式子可以表示出所有的素数。那么，人们能否发现素数的分布规律？毕竟，从观察可见，随着自然数取值范围的增大，素数越来越少，但绝不会没有。这也可以勉强算作一条规律。别的规律还有吗？

目标之一，表示所有素数的式子；目标之二，素数分布规律的表达式。任何人能解决其一就足以名垂史册。这两个目标近乎是由一个人完成的，他就是欧拉。

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler），1707年4月15日生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国的彼得堡。莫里斯·克莱因说：他是18世纪数学界的中心人物、占统治地位的理论物理学家，能与阿基米德、牛顿和高斯并列的人。埃里克·坦普利·贝尔（E.T. Bell，1883—1960）说：他是分析的化身，无人能出其右的“算法学家”。拉普拉斯说：读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师。

西方的习惯，在事物之前加上人名以表示对首创者的纪念，凡名称中带有“欧拉”二字都是指一个人，如果确实不是他干的，那就是为了纪念他。欧拉=伟大？

据说欧拉的著作量惊人，这世界上真的有人曾经写论文就像写小说，最后搞得著作等身。欧拉的著作纯按数量计算，接近世界三大小说家著作量的总和。权威的数值没找到，百度上查了一下，我喜欢其中的一个统计结果，论文和书籍共：888。不仅吉利还可以“名正言顺”地“八”。

八卦一下，下面这个式子的最终结果是什么？

1－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＋……

在欧拉的时代有三种答案。

其一：（1－1）＋（1－1）＋（1－1）＋（1－1）＋（1－1）＋（1－1）＋……=0



其二：1+（－1+1）+（－1+1）+（－1+1）+（－1+1）+（－1+1）+（－1+1）＋……=1

或：1－（1－1）－（1－1）－（1－1）－（1－1）－（1－1）－（1－1）－……=1



欧拉认为，因为：

1/（1－X）=1+X+X2+X3+X4+X5+……

当X=﹣1时，

1/2=1－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＋……



人一定会输给时间。

四、欧拉的式子

下面是一个著名的等式，它是由欧拉发现的。

1+1/2s+1/3s+1/4s+1/5s+1/6s+1/7s+1/8s+1/9s+……=

[1/(1-1/2s)]×[1/(1-1/3s)]×[1/(1-1/5s)]×[1/(1-1/7s)]×[1/(1-1/11s)]×[1/(1-1/13s)]×……



符号化的写法，


其中，S大于1，Pn表示素数。

在式子中，等号的右侧包含了全部素数，如果我说这就是关于素数的表达式，恐怕没有一个数学家会同意。如果我再说这是史上有数的几个伟大等式之一，恐怕读者也会拍砖了。

但这确实是一个了不起的等式！是这个式子首先给出了素数的积性关系。就像一把打开宝库的钥匙，它是促成素数定理的原因之一，而素数定理则指明了素数在自然数域的分布规律。它还是多个数学分支产生或发展的基础。当然，它是黎曼猜想的直接起点，这在后面会述及，而对其他内容的较详尽讨论这里就从略了。

素数有无穷多个，利用这个式子欧拉给出了一个全新的证明，不过却是“间接”的，其大致的思路是，让S=1，显然等式左边是发散的，若素数是有限的，则等式就不成立了。我个人以为这与其说是证明不如说是一个说明。实际上，自欧几里得以后，关于素数无限的证明有很多种，欧拉的证明并不受到数学家们的特别推崇。

等式本身的深刻内容是欧拉之后的数学家逐渐发现的，而欧拉本人除了利用式子再次证明了素数是无穷的，另一项内容就是说明了S必须是大于1的。他对式子的研究可以用浅尝辄止来形容，至于为什么，以及他是如何想到这个式子的，我并不清楚。不过如下的信息大约可以提供一些端倪。

其一，在得出等式的5年之前，正是欧拉证明了第6个费马数是合数，即前面提到的4294967297=6700417×641。这也许促使他有了新想法。附带一句，欧拉也给出过一个计算式，X2+X+41，至今，人们已经知道，虽然这个式子仍然不能表示出全部素数，但只要是形如X2+X+n的式子，欧拉的结果已然是最好的了。

其二，在得出等式的约2年之前，他已经解决了著名的巴塞尔问题，即求正整数平方的倒数的累加和。结果是π的平方除以6，见下式，


其三，正整数倒数的累加和，其结果是发散的，这一点欧拉显然是知道的，结合上式，想到等式的左侧形式对欧拉而言应该是情理之中的事。

18世纪的数学家，对于无穷级数和有关概念并不如我们今天这样清晰，而欧拉也确曾表示过只有收敛的级数才有应用的意义，也许他是倾向于把级数看作为一种“多项式”。再有，考虑到欧拉在数学上的多方面贡献以及爱好的广泛（包括文学），数学家中的劳模恐怕也没有时间在一个问题上做更多的思考，毕竟生命是有限的。

人总是会输给时间的。

五、补注和欧拉的证明

不喜欢数学的可以跳过这一节，当然，这也意味着您不怕被我上面的文字给忽悠了。



A、调和级数，其中经典的形如：

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+……       ①

它是发散的，其证明可将某些项更改后成为下式，

1/2+1/2+（1/4+1/4）+（1/8+1/8+1/8+1/8）+……=1+1/2+1/2+1/2+…… =M/2   ②

当M为无穷时，式②为无穷，显然，式①大于式②，故发散。

按莫里斯·克莱因的说法，这个证明最早是由法国的奥雷姆（Nicole Oresme 1323-1382）做出的。现在是有关教科书上的“标准讨论”形式。曾见王元先生的一本著作，里面的证明对级数的第一项未作变动，当然这不影响结论，但细究起来，上面的更不失于一般性，至少我见到的，辛钦也是这样的思路。另，奥雷姆的出生时间有多种说法，这里取克莱因的，他的名字好像还可以翻成“你抠了”。J



B、借用哈代的说法，我们可以问，其一，对于第N个素数是否能有一个表达式；其二，对某个任意的素数，是否能用小于它的所有素数来表示。如果答案存在，可能就是数学家认同的素数表达式。目前已知的，素数集合是丢图番集。是解决希尔伯特第十个问题的“副产品”，上帝也搞捆绑销售？另，若您真的准备研究数论，搞清问题是第一步，而问题的恰当表述是成功的前提之一，哈代的说法尚嫌写意，而我的措辞则更不足论。不过，就是喜欢欧拉的那个等式，所以那就是素数的表达式。‘这也没有枪毙的罪过’，至少郭德纲不会让徒弟打我。J

C、假定A和B为互素数，那么，由它们所构成的任何一个算术序列，如：

A，A+B，A+2B，A+3B，A+4B，… A+nB，…

其中必包含无穷多的素数。比之欧拉的等式，这是更一般性的结论。欧拉本人也曾提出过这个猜想，最终，1837年，由狄利克雷（Dirichlet，1805.2.13—1859.5.5）给出了正确的证明，那已经是欧拉提出他的等式一百年之后了。



D、“八卦欧拉”中的内容其实是一个好例子。至少，可以用于直观地理解什么是‘有界但无穷’，以及，无限不一定是有限的自然延伸，等等。



关于等式的证明，重写欧拉的等式，


个人以为欧拉的证明很精巧，颇值欣赏，其证明与埃拉托色尼（Eratosthenes，约公元前275年—前194年）筛法有神似之处。埃拉托色尼筛法广为人知，即，先写出从2开始的自然数，然后依次去掉2的多倍数、3的多倍数、5的多倍数、7的多倍数……，在某个数上停止，小于该数的那些数即为素数，当然更准确的是小于其平方的数都为素数。（这里‘多倍数’是指大于1的整倍数。）其中的原理可大致表达为：素数的多倍数不是素数，从自然数集中依次去掉它们，所剩的就是素数。

现依其思路重述，由等式的左边内容可以得下式，


其中用符号ζ(S) 代表式中右侧的内容，据说就是欧拉首先采用的。

现用1/2s乘以ζ(S)，再用结果去减ζ(S)，同时as×bs=(a×b)s，则得：


第二步，（1-1/2s）ζ(S)【即上式】乘以1/3s，其结果去减（1-1/2s）ζ(S)【上式】，则得：


第三步，上式乘以1/5s，并重复前步骤，得：


    第四步，乘以1/7s，并重复前过程，得：

    ……

上述运算进行下去，右侧的值会越来越接近于1，最终会得到，


保留上式左侧的ζ(S)，其他转移到右侧，于是右侧的内容就是欧拉等式中右侧内容的展开形式。讨论结束。

不只是我一个人喜欢欧拉的这个等式，有人甚至将它称为“欧拉恒等式”，不过，按照一般的习惯是指另一个等式，它自然也是欧拉发现的。一个人创作的内容太多，以至于人们难以用不同的名字将它们区别开，史上好像只有欧拉做到了。欧拉恒等式：


换一种形式，


它被称为数学中最漂亮的公式，通过一个式子就将几个基本量联系起来了。

文章没贴完，悲剧啊！不会编辑图片，那位肯施以援手？先谢了！

哥，黎曼猜想的内容到底是什么。。。。