直线平行不过是同心圆平行的特列罢了?

Brandonp 发表于 2010-10-21 11:01
囧……楼主去学点微分几何吧，你的问题都不是问题，没问到点子上。所谓两条曲线平行，就是说其中一条可以通过一个平移变换（只有常数项的合同变换）与另一条重合，当然这还是在欧氏几何的框架下。曲线的交角就是交点处切线的夹角。平面曲线的区别仅仅是每一点处的曲率不同而已，直线的曲率为0，圆的曲率为常数，确实没什么太大的区别。

那么曲线是不是也可以互相平行呢？

曲线平行没有被定义过，实际上也没有必要。按照直线平行的定义推广，只要两条曲线不相交就可以说是平行，没什么可研究的，反而直线的平行公理非常重要。具有正Gauss曲率（比如球面）的曲面上，不存在平行“直线”，具有负Gauss曲率（比如马鞍面）的平面上，过一点有不止一条“直线”与已知“直线”平行。只有在Gauss曲率为0的面上才有欧几里得的平行公理成立。圆柱体的Gauss曲率为0，所以在圆柱体上欧氏公理仍然成立。这里的“直线”，并不是我们通常概念中的直线，而是“测地线”，是平面直线的推广，曲面上两点间沿着测地线的距离最短。直观理解，地球上的经线就是测地线。测地线在曲面上可以看成直线，因为它的弯曲仅仅是因为所在的曲面弯曲所导致的。

Brandonp 发表于 2010-10-21 23:51
曲线平行没有被定义过，实际上也没有必要。按照直线平行的定义推广，只要两条曲线不相交就可以说是平行，没什么可研究的，反而直线的平行公理非常重要。具有正Gauss曲率（比如球面）的曲面上，不存在平行“直线”，具有负Gauss曲率（比如马鞍面）的平面上，过一点有不止一条“直线”与已知“直线”平行。只有在Gauss曲率为0的面上才有欧几里得的平行公理成立。圆柱体的Gauss曲率为0，所以在圆柱体上欧氏公理仍然成立。这里的“直线”，并不是我们通常概念中的直线，而是“测地线”，是平面直线的推广，曲面上两点间沿着测地线的距离最短。直观理解，地球上的经线就是测地线。测地线在曲面上可以看成直线，因为它的弯曲仅仅是因为所在的曲面弯曲所导致的。

你的概念有问题，不相交不等于就是平行的，只有直线的不相交才可以称为是平行的。
球面上确实没有直线（大圆）的平行，但是却有曲线的平行，比如说之间的纬线的平行。

我说了曲线平行没有定义过，因为没什么研究价值。纬线除了赤道以外都不是测地线。不要从平直的三维欧氏空间去理解曲面问题，你要想象自己生活在曲面上

搂主很牛啊

Brandonp 发表于 2010-10-22 09:06
我说了曲线平行没有定义过，因为没什么研究价值。纬线除了赤道以外都不是测地线。不要从平直的三维欧氏空间去理解曲面问题，你要想象自己生活在曲面上

为啥不定义，事实是平行的啊，为啥没研究价值啊？

Brandonp 发表于 2010-10-21 23:51
曲线平行没有被定义过，实际上也没有必要。按照直线平行的定义推广，只要两条曲线不相交就可以说是平行，没什么可研究的，反而直线的平行公理非常重要。具有正Gauss曲率（比如球面）的曲面上，不存在平行“直线”，具有负Gauss曲率（比如马鞍面）的平面上，过一点有不止一条“直线”与已知“直线”平行。只有在Gauss曲率为0的面上才有欧几里得的平行公理成立。圆柱体的Gauss曲率为0，所以在圆柱体上欧氏公理仍然成立。这里的“直线”，并不是我们通常概念中的直线，而是“测地线”，是平面直线的推广，曲面上两点间沿着测地线的距离最短。直观理解，地球上的经线就是测地线。测地线在曲面上可以看成直线，因为它的弯曲仅仅是因为所在的曲面弯曲所导致的。

在高斯曲率为负的平面上，其平行也不是原来意义上的平行吧？直线不是原来意义上的直线，平行，也不是原来意义上的平行。
不是原来意义上的，干吗还叫平行呢？

测地线就是曲面上的直线，这个平行跟原来的意义是完全一样的

Brandonp 发表于 2010-10-22 20:11
测地线就是曲面上的直线，这个平行跟原来的意义是完全一样的

哦？那么在非欧几何中的平行线之间的距离是不是一样的呢？在平面几何中，平行直线之间的距离是一样的啊。

在某种意义下，说那两个圆平行也无不可。不过请问你接下来想说明什么问题呢？如果能从这个关系着手，发展出一套新的几何理论，自然能让所有人都承认你的观点。定义这种东西没有对错之分，关键在于定义之后的演绎过程。