直线平行不过是同心圆平行的特列罢了?

可以这样说，直线平行是同心圆平行的特列，而同心圆平行则是曲线平行的特列。曲线的平行是更一般的平行，而直线平行则是比较特殊的平行。
下面我们来看看同心圆平行的性质。
如图所示，大圆与小圆同心，AB与大圆和小圆相交于C、D，EF过D点且与大圆相切，GH过C点且与小圆相切，R为大圆半径，r为小圆半径。
设
∠BCH为β，∠BDF为α，我们称β为小圆同位角，α为大圆同位角，CD为G
则
90-α=∠ADO
90+β=∠BCO
根据正弦定理：
R/sin(90+β)=r/sin(90-α)
整理后得
R/cosβ=r/cosα
再整理得
Rcosα=rcosβ              （1）
显然这是同心圆的一个性质，也就是说，同心圆与一条直线相交，大圆同位角的余弦与大圆半径的积等于小圆同位角的余弦与小圆半径的积。
那么时不时符合这个条件，两个圆就是同心的呢？
这需要证明。在这里我不证明，大家探索探索看。
根据余弦定理：
G^2=r^2+R^2-2rRcos(180-(90-α+90+β)
整理后得
G^2=r^2+R^2-2rRcos（α-β）              （2）
这也是同心圆的一个性质，大圆同位角与小圆同位角原点的距离的平方等于小圆半径的平方加大圆的半径的平方减大圆同位角与小圆同位差的余弦与大小圆半径的积的二倍。
整理（2）式后得到
cos（α-β）=（r^2+R^2-G^2）/2rR
cos（α-β）=r/2R+R/2r-G^2/2rR
如果大小圆半径趋向于无穷大，那么
cos（α-β）=1/2+1/2+0
cos（α-β）=1
显然，这时
α=β
当大小圆半径趋向于无穷大，大小圆趋向于直线，也就是说，直线时，如果直线平行，那么同位角相等。这也说明，直线平行不过是同心圆的平行的特列罢了。
我认为，（2）也是圆是否同心或平行的判定式，也就是说，只要G^2=r^2+R^2-2rRcos（α-β），那么大圆小圆就同心，否则就不同心。
经过上述的讨论，我还得到如下一些结论：
圆是曲线中的直线，而直线不过是圆的特列罢了。
直线可以相互垂直，曲线也可以相互垂直，而直线的垂直只是曲线的垂直的特列。
直线边的角只是曲线边的角的特列。
三角形不是都是直线边的，也存在曲线边的三角形。而直线边的三角形只是曲线边的三角形的特列。所以三角形的内角和可以大于或小于180.
曲面也也可以相互平行，平面的平行只是曲面的平行的特列。
。。。。。。

呵呵，没人敢回答啊，

我也觉得没人敢回答

曲歌99 发表于 2010-10-4 16:44
我也觉得没人敢回答

有这么可怕吗？

直线是半径无限大的曲线（曲率为0），是曲线中的特例；平面中两平行线与任一直线相交，其同位角相等是“特殊曲线”的特有性质，同一平面上即使是同心圆，只要它们的半径不是无限大，与一任意直线相交，都不可能“同位角”相等，这是从题目论证中可以得到的结论，也就说明两同心圆周不能成为平行线；
“一般中包含特殊而特殊不能代表一般”，这是基本的论证原则。
所有成立的定理，其逆定理不一定就成立，这也是论证问题需要注意的。

曲线的曲率等于1/R，R是曲率半径，当圆的半径趋向无穷大时，曲率就是0，所以说直线是退化的圆

不是经济类问题吧，到数学板块去问问

ilovepeach 发表于 2010-10-4 22:01
直线是半径无限大的曲线（曲率为0），是曲线中的特例；平面中两平行线与任一直线相交，其同位角相等是“特殊曲线”的特有性质，同一平面上即使是同心圆，只要它们的半径不是无限大，与一任意直线相交，都不可能“同位角”相等，这是从题目论证中可以得到的结论，也就说明两同心圆周不能成为平行线；
“一般中包含特殊而特殊不能代表一般”，这是基本的论证原则。
所有成立的定理，其逆定理不一定就成立，这也是论证问题需要注意的。

呵呵，尽这里乱说，要注意同位角相等是对直线的平行的说，而不是对曲线的平行说的，曲线的平行——这里只说了同心圆的平行，同位角的关系已经在楼主的文本中给明了，也就是说符合那个关系的就会是平行的，你犯了经验主义的错误，没有注意·条件的变化，乱套用。

ijackie 发表于 2010-10-5 06:55
曲线的曲率等于1/R，R是曲率半径，当圆的半径趋向无穷大时，曲率就是0，所以说直线是退化的圆

哦，。退化的圆。

囧……楼主去学点微分几何吧，你的问题都不是问题，没问到点子上。所谓两条曲线平行，就是说其中一条可以通过一个平移变换（只有常数项的合同变换）与另一条重合，当然这还是在欧氏几何的框架下。曲线的交角就是交点处切线的夹角。平面曲线的区别仅仅是每一点处的曲率不同而已，直线的曲率为0，圆的曲率为常数，确实没什么太大的区别。