求一个直观的用Monte Carlo方法求积分的解释! 谢谢大家！！！

以下是对monte Carlo Method的概述：

这是一种基于“随机数”的计算方法，与一般数值计算方法有很大区别；
以概率统计理论为基础；
通俗的说，Monte Carlo Method是用随机试验的方法计算积分，即将所要计算的积分看做服从某种分布密度函数F(x)的随机变量g(x)的数学期望。

开始看觉得貌似懂了。做题也还行。但仔细想想又想不通了。

问题出现在以下一个方面：

比如对X^2在（0,6）上积分，可以转换成对216Y^2在（0,1）上积分。
在excel spreadsheet里，就rand()给出 比如1000 个随机数字 （在0到1范围内），然后求这1000个随机数字的平方，再求平均数 再乘以216。然后得出的结果是很接近0.33333的。也就是说用Monte Carlo Method 解决了这个求积分的问题。

这里怎么做知道。但是将变量范围控制在（0,1）内倒底意义是什么？
将X^2看做分布函数，则面积和概率就联系起来了。但是如何和具体算的过程中的平均数（即期望）联系起来的？

啊思路相当混乱。
先谢谢能耐着性子看完的。
问题也可能很幼稚。望有人指点。。

3# aliehs

在这里预先假设的概率分布就是随机分布，不是y^2。通俗解释就是，积分是求函数y^2在(0，1)下的面积，蒙特卡洛则是求事件y^2在(0，1)发生的概率，两者其实是一回事。

我的理解是，随机数字的生成范围（0,1）正是所求积分的范围。X^2并不是随机数的分布函数，1000个随机数是在（0,1）范围内以相同概率随机生成的。在这里蒙特卡洛模拟的实质就是通过预先设定某一分布并根据此分布大量生成随机数字，最后给出的平均值将会随着实验次数的增大而越来越接近真实的平均值。不过你确定你的结果正确吗？我觉得最后结果应是0.33333*216.

2# zxwkag

你好！谢谢你的解答。答案的确是需要乘以216的：）

但下面这一句话不是很理解：
“在这里蒙特卡洛模拟的实质就是通过预先设定某一分布并根据此分布大量生成随机数字，最后给出的平均值将会随着实验次数的增大而越来越接近真实的平均值。”你这里的 “预先设定某一分布" 是此例中的Y^2?

可是还是不明白1000个随机数的平方的期望怎么就等于 Y^2在（0,1）上的积分了。
是因为随机数在（0,1）上均匀分布，所以和求积分时的Y有共性？。。。

可是还是不明白1000个随机数的平方的期望怎么就等于 Y^2在（0,1）上的积分了。

hehe
law of large numbers
Reimann 积分本身就是由求和得来的嘛
LLN保证收敛

5# sortout


谢谢啊~ 看出了我纠结的关键点~ 嗯。非常感谢热心相助：）

3# zxwkag


解释的很清楚！谢谢！

both integrations and expectations are sums.

楼上的解释很到位，其实就是积分的定义要搞清楚啦
至于 “预先设定某一分布" ，就是（0,1）上的均匀分布~