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Part I Distributions and derivatives
1 Motivation and overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 On the definition of distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Function spaces and approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 The space of test functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Some other function spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Approximation theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Partitions of unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Exercises for Chapter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Distributions. Examples and rules of calculus . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 Distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Rules of calculus for distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Distributions with compact support. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Convolutions and coordinate changes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 The calculation rules and the weak∗ topology on D . . . . . . . . 46
Exercises for Chapter 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Part II Extensions and applications
4 Realizations and Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1 Realizations of differential operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 The one-dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Boundary value problems in higher dimensions . . . . . . . . . . . . . 77
Exercises for Chapter 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5 Fourier transformation of distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1 Rapidly decreasing functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2 Temperate distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3 The Fourier transform on S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.4 Homogeneity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.5 Application to the Laplace operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.6 Distributions associated with nonintegrable functions . . . . . . . 116
Exercises for Chapter 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6 Applications to differential operators. The Sobolev theorem123
6.1 Differential and pseudodifferential operators on Rn . . . . . . . . . 123
6.2 Sobolev spaces of arbitrary real order. The Sobolev theorem . 127
6.3 Dualities between Sobolev spaces. The Structure theorem. . . . 132
6.4 Regularity theory for elliptic differential equations . . . . . . . . . . 138
Exercises for Chapter 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Miscellaneous exercises (exam problems) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Part III Pseudodifferential operators
7 Pseudodifferential operators on open sets . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.1 Symbols and operators, mapping properties . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.2 Negligible operators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.3 Composition rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.4 Elliptic pseudodifferential operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.5 Strongly elliptic operators, the G˚arding inequality . . . . . . . . . . 189
Exercises for Chapter 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8 Pseudodifferential operators on manifolds, index of
elliptic operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.1 Coordinate changes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.2 Operators on manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.3 Fredholm theory, the index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Exercises for Chapter 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Part IV Boundary value problems
9 Boundary value problems in a constant-coefficient case . . . 219
9.1 Boundary maps for the half-space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.2 The Dirichlet problem for I −Δ on the half-space . . . . . . . . . . 228
9.3 The Neumann problem for I − Δ on the half-space . . . . . . . . . 234
9.4 Other realizations of I −Δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.5 Variable-coefficient cases, higher orders, systems . . . . . . . . . . . . 246
Exercises for Chapter 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
10 Pseudodifferential boundary operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
10.1 The real formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
10.2 Fourier transform and Laguerre expansion of S+ . . . . . . . . . . . 266
10.3 The complex formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
10.4 Composition rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
10.5 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.6 Elliptic ψdbo’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Exercises for Chapter 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
11 Pseudodifferential methods for boundary value problems . 305
11.1 The Calder´on projector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.2 Application to boundary value problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
11.3 The solution operator for the Dirichlet problem . . . . . . . . . . . . 320
Exercises for Chapter 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Part V Topics on Hilbert space operators
12 Unbounded linear operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
12.1 Unbounded operators in Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
12.2 Unbounded operators in Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
12.3 Symmetric, selfadjoint and semibounded operators . . . . . . . . . . 343
12.4 Operators associated with sesquilinear forms . . . . . . . . . . . . . . . 350
12.5 The Friedrichs extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
12.6 More on variational operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
Exercises for Chapter 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
13 Families of extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
13.1 A universal parametrization of extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
13.2 The symmetric case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
13.3 Consequences for resolvents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
13.4 Boundary triplets and M-functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
Exercises for Chapter 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
14 Semigroups of operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
14.1 Evolution equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
14.2 Contraction semigroups in Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
14.3 Contraction semigroups in Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
14.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
Exercises for Chapter 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
A Some notation and prerequisites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
Exercises for Appendix A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
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