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Optimal Trading Algorithms:
Portfolio Transactions, Multiperiod Portfolio
Selection, and Competitive Online Search
A dissertation submitted to the
ETH Zürich
for the degree of
Doctor of Sciences
presented by
Julian Michael Lorenz
Diplom-Mathematiker, Technische Universität München
born 19.12.1978
citizen of Germany
accepted on the recommendation of
Prof. Dr. Angelika Steger, examiner
Prof. Dr. Hans-Jakob Lüthi, co-examiner
Dr. Robert Almgren, co-examiner
2008     

Contents
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Chapter 1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Optimal Execution of Portfolio Transactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Adaptive Trading with Market Impact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Bayesian Adaptive Trading with Price Appreciation . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Multiperiod Mean-Variance Portfolio Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5. Optimal k-Search and Pricing of Lookback Options . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Chapter 2. Adaptive Trading with Market Impact: Single Update . . . . . . . . . . . . . 11
2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Continuous-time Market Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Optimal Path-Independent Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4. Single Update Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5. Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Chapter 3. Optimal Adaptive Trading with Market Impact . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Trading Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3. Efficient Frontier of Optimal Execution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4. Optimal Adaptive Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Chapter 4. Bayesian Adaptive Trading with Price Appreciation . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2. Trading Model Including Bayesian Update . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3. Optimal Trading Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Chapter 5. Multiperiod Portfolio Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2. Problem Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3. Dynamic Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.4. Explicit Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
xi
xii
Chapter 6. Optimal k-Search and Pricing of Lookback Options . . . . . . . . . . . . . . 85
6.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2. Deterministic Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3. Randomized Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.4. Robust Valuation of Lookback Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Appendix A. Trading with Market Impact: Optimization of Expected Utility . . . . . . 103
Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
List of Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Curriculum Vitae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

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