[量化金融] 空间中径向对称边值之间的最优鞅输运 [推广有奖]

因此，Lx对称测度σ可以被视为这种对称性（z，~z）所支持的极小测度之和，上述变分演算适用于每一种对称性。详细计算如下：Zh（|x- z |）dσ（z）=zh（| x）- z |）+h（|x）- ~z |）dσ（z）=ZZh（|x- y |）dρz（y）dσ（z）（其中ρz:=（δz+δz））。现在每当z/∈ Lx，我们上面给出的计算（应用于由x和z生成的二维子空间）表明zh（|x）- y |）dρz（y）>Zh（| x）- y |）dLx（ρz）（y）。因此，如果σ（Lx）<1，Zh（|x- y |）dσ（y）>ZZh（| x- y |）dLx（ρz）（y）dσ（z）=ZZh（|x- y |）dLx（δz）（y）dσ（z）（因为Lx（ρz）=Lx（δz））=Zh（|x- y |）dLx（σ）（y）。Tongseok Lim/径向对称边缘之间的鞅16最后要检查的是Lx（σ）的重心与σ的重心相同，σ的Lx对称性用于此。这一点已经在简单情况下得到证明，在一般情况下也可以通过上述类似的计算得到证明。具体如下：bary（σ）：=Zy dσ（y）=z z dσ（z）+zz dσ（~z）=Z（Z+~Z）dσ（Z）（因为σ是Lx对称的）=Zbary（ρZ）dσ（Z）=Zbary（Lx（ρZ））dσ（Z）（在这个简单的例子中显示了等式）=ZZy Lx（ρZ）（y）dσ（Z）=Zy dLx（σ）（y）=bary（Lx（σ））。最后，我们应用对称化参数和变形引理来证明定理1。2.回想一下，在不失去概括性的情况下，我们可以假设：∧ ν = 0.证据设π为极小值。然后cost（π）=cost（Sπ），我们假设π=Sπ。设dπ（x，y）=dπx（y）du（x）。现在我们声称对于ua.e.x，πxis集中在Lx线上。要看到这一点，让F+（x，y）=（x，F+x（y）），F-（x，y）=（x，f）-x（y））和w+（x，y）=+x |x | y | y |，w-（x，y）=-x | x | y | y |对于x，y6=0。写入π=π*+ π，其中π：=π| Rd×{0}。

注意，然后π*（{0}×Rd）=π*（Rd×{0}）=0。现在定义测量ρ，就像在引理4中一样。6：ρ=π+F+#（w+π）*) + F-#（w）-π*).然后是引理4中的论点。6和引理4.4（2）一起，只要πxis不集中在Lx上，我们就会立即看到成本（π）>成本（ρ）。此外，由于引理中质心的不变性质。6我们看到ρ是鞅。然而，请注意，ρ不一定在MT（u，ν）中，因为它可能没有作为第二个边缘的ν。设dρ（x，y）=dρx（y）du（x），设|ν为ρ的第二个边缘。让我们 可以设置任何环形空间。然后，由于πx和ρx是u-a.e.x的R-等价物，ν（a）=Zπx（a）du（x）=Zρx（a）du（x）=μν（a），意味着。然后是外稃4。4（1）意味着Sρ∈ MT（u，ν），与成本（π）>成本（ρ）=成本（Sρ）这一事实的矛盾。因此，对于每一个极小值π，这个主张都是正确的∈ MT（u，ν）（即使不假设π=Sπ，因为如果π不满足要求，那么Sπ也不满足要求）。Tongseok Lim/径向对称边值之间的鞅17现在，问题（1.3）被分解为具有诱导边值的每个一维子空间上的问题，如下所示：设L是Rd的所有一维子空间的集合，对于每个L∈ L让L:=L\\{0}。沿着不相交集族{L×Rd | L分解π∈ 五十} （回忆一下u（{0}）=0）并表示itas（πL）L∈上述证明表明πLis实际上集中在L×L上，这是一个一维鞅输运。然后是推论3。4提供每个πL的唯一性，从而产生π的唯一性。参考文献[1]L.Ambrosio、B.Kirchheim和A.Pratelli。晶体范数的最优输运图的存在性。杜克数学。J.，第125卷，第2期（2004年），207-241。[2] 安布罗西奥和普拉泰利。存在性和稳定性是最优运输理论的结果。

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