[量化金融] 具有中间极限的鲁棒期望效用最大化 [推广有奖]

如果存在一个b∈ R+这样的SUPM∈R+infP∈P{Dmv（qQ k P）+α（P）}=supm∈R+infP∈Pb{Dmv（qQ k P）+α（P）}，（3.4）定理2在[10]yieldssupm中的另一个应用∈R+infP∈P{Dmv（qQ k P）+α（P）}=infP∈Pbsupm公司∈R+{Dmv（qQ k P）+α（P）}≥ infP公司∈P{Dv（qQ-kp）+α（P）}。另一方面，如果（3.4）不适用于任何b∈ R+，在R+中存在一个序列（bn），使得bn→ ∞ 和SUPM∈R+infP∈P{Dmv（qQ k P）+α（P）}≥ 画→∞infω∈Ohmu（ω，0）+bn= ∞.这表明▄U*CZ（qQ）=supm∈R+supX∈CmZinfP公司∈PnEPu（X）+α（P）- qEQXo公司≥ infP公司∈P{Dv（qQ k P）+α（P）}，与（3.3）一起表示（3.2）。接下来，考虑CZN中的一个序列（Xn），这样Xn↑ X代表某些X∈ 捷克。自X起∈ CZ，一个hasX≥ - mZ代表一些m∈ R+。根据引理3.5，存在一个c∈ R+使INFP∈PnEPu（Xn）+α（P）o=infP∈PcnEPu（Xn）+α（P）of or all n.再次利用[10]的定理2，我们得到了supninfp∈PnEPu（Xn）+α（P）o=infP∈PcsupnnEPu（Xn）+α（P）o≥ infP公司∈PnEPu（X）+α（P）o，通过单调性，给出了ssupninfp∈PnEPu（Xn）+α（P）o=infP∈PnEPu（X）+α（P）o.（3.5）自，对于给定策略θ∈Θ，PTt=1θtS属于CZ，我们从（3.5）中得到∈PEPuXn+TXt=1θtSt！=infP公司∈PEPuX+TXt=1θtSt！，其中，由于▄U（X）=supθ∈ΘinfP∈佩普X+PTt=1θtSt公司, 意味着X的▄U满意度（3.1）∈ 捷克。尤其是φ（X）=-U(-十） 是从BZto R到满足定理2.2条件（R1）的增凸映射。此外，φ*CZ（qQ）=U*CZ（qQ）≤ φ*UZ（qQ）=~U*LZ（qQ）：=supX∈LZinfP公司∈PnEPu（X）+α（P）- qEQXo公司≤ infP公司∈P{Dv（qQ k P）+α（P）}=~U*CZ（qQ）代表所有人（q，q）∈^QZ。

因此，从命题2.3可以看出，φ满足定理2.2的条件（R2），也就是说，U满足（3.1）。现在，我们准备证明定理1.1。定理1.1的证明从引理3.7和定理2.2得出▄U（X）=min（q，q）∈^qznqqx+Dαv（qQ）或所有X∈ LZ。因为，引理3.3，~U（X）≤ U（X）≤ inf（q，q）∈^qznqqx+Dαv（qQ）或所有X∈ LZ，这证明了定理。3.2中值极限为了证明定理1.2和推论1.3，我们需要中值极限的概念，为了我们的目的，中值极限是一个正线性泛函，lim-med:l∞→ R、 满足lim inf≤ lim med公司≤ lim sup使得对于任何一致有界序列Xn:M→ 可测空间（M，F）上的泛可测函数的R，X=lim mednXnis泛可测，EPX=lim mednexn关于泛完备F上的每个概率测度P*Mokobozki最初表明，在通常的ZFC公理和连续统假设下，中间限制性性别歧视；见【16】。后来，诺曼（Normann）[19]证明，假设ZFC和Martin的公理就足够了。如果存在中间极限，我们将其扩展到nbysettinglim mednxn：=supk∈Ninfm公司∈Nlim medn公司(-m）∨ （xn∧ k） 。（3.6）引理3.8。假设存在中间限制。然后保持以下条件：（i）满足RN的lim medn | xn |<∞ 是一个线性的s步。（ii）lim med：L→ R是一个正线性函数。（iii）Д（lim mednxn）≤ 每个凸函数的lim m ednД（xn）：R→ R和（xn）∈ 五十、 （iv）lim mednXnis对于每个通用可测函数序列Xn通用可测：Ohm →R、 （v）EPlim mednXn≤ F上每个概率测度P的lim MEDNEPX*以及每个通用可测函数序列Xn：Ohm → R使Xn≥ c表示所有n和常数c∈ R、 证明。（i） 和（ii）是（3.6）的简单结果。

为了表示（iii），我们注意到，根据芬切尔-莫雷奥克斯多雷姆公式，可以将Д（x）=supy写成∈Rxy公司- φ*（y） 对于凸共轭Д*共Д。此外，由于lim inf≤ lim med公司≤ lim sup，对于常数序列xn，有lim medn（xn）=c≡ c、 因此，sincelim med在L上是线性的，一个得到了ν（lim m ednxn）=supy∈Rlim mednxny公司- φ*（y）≤ lim m edn公司苏比∈Rxny公司- φ*（y）= lim m ednД（xn）。（iv）从（3.6）中得出，因为对于任何一致有界的普遍可测函数序列Xn，lim mednXnis普遍可测：Ohm → R、 （v）：每k∈ N、 EPlim medn（Xn∧ k） =lim mednEP（Xn∧ k）≤ lim Mednexn，因此，根据（3.6）和单调收敛定理，EPlim mednXn≤ lim m ednEPXn。3.3定理1.2和推论1.3引理3.9的证明。假设存在一个中间极限，u满填充（U1）–（U3）和P满（NA）。让Xn：Ohm → R bea波雷尔可测函数序列逐点递减为波雷尔可测函数X：Ohm → R设定U（X）∈ R、 然后U（Xn）减小到U（X），存在策略θ*∈ Θ使得u（X）=在fP中∈P（EPuX+TXt=1θ*t型St！+α（P））。证据由于U从上方有界，因此每个n都存在aθn∈ Θ使INFP∈P（EPuXn+TXt=1θntSt！+α（P））≥ U（Xn）-n、 表示A±t：={ω∈ Ohm : lim medn（θnt（ω））±=∞} 和定义*t（ω）：=（lim mednθnt（ω）如果ω/∈ A+t∪ A.-t0否则。我们想展示Phlim mednSt |<∞对于所有t=1，…，i=1，T和P∈ P、 （3.7）为此，我们注意到，通过（N A），每个P∈ P由一个P′控制∈ P不允许套利。根据资产定价的基本定理，存在一个与P′等价的鞅测度Q，如EQX+<∞ dQ/dP′是有界的。如果我们能证明Lim mednSt |<∞ Q-几乎可以肯定（3.8）对于所有t=1，T，（3.7）如下，因为Q支配P。为了证明（3.8），我们设置θn=0，并使用归纳参数。

修复t≥ 1，并假设（3.8）适用于所有s≤ t型- 1、自EP′uXn+TXt=1θntSt！+α（P′）≥ U（Xn）≥ U（X）∈ R、 从引理3.1和3.2中可以得出，存在t常数c，c′∈ R，使EQTXt=1θnt圣！-≤ EQX+- EP′uXn+TXt=1θntSt！+EP′vqdQdP′+ c≤ EQX++α（P′）- U（X）+EP′vqdQdP′+ 对于所有n，c=c′。因此，从[14]中的定理1和2可以看出，pts=1θnsSsis是一个Q-鞅。因此Pts=1θns不锈钢-是Q-次鞅，因此，EQtXs=1θnsSs！-≤ 均衡器TXs=1θnsSs！-≤ c′。要了解这一点，请注意，d▄P/dP′=（1/1+X+）/EP′（1/1+X+）定义了一个与P′等效的度量值▄P，以便E▄PX+<∞.~P仍然不允许套利。因此，存在一个鞅测度Q，其界密度为dQ/dP；参见【11】中的定理5.17。Q等于P′，因此EQX+<∞ dQ/dP′是有界的。现在，我们从引理3.8的第（v）部分得到lim mednPts=1θns不锈钢-几乎可以肯定是Q-fine。但自（n）（圣）-≤t型-1Xs=1nsSs++tXs=1θnsSs！-,我们从归纳假设中得出lim medn（θnt）±(St）几乎可以肯定是Q-fine。自lim medn（θnt）起+(St）-=∞ A+t上∩ {St<0}，一个有Q[A+t∩ {St<0}]=0。根据鞅性质，这意味着q[A+t∩ {St6=0}]=0。相同的参数应用于-tgives Q[答-t型∩ {St6=0}]=0。接下来就是lim mednSt |<∞ Q-几乎可以肯定，这意味着（3.7）。因此，lim mednPTt=1θntSt=PTt=1θ*t型StP几乎可以肯定所有P∈ P、 由于u是递增的，凹的，并且从上面有界，引理3.8的（iii）和（v）的应用-u givesU（X）≥ infP公司∈P（EPuX+TXt=1θ*t型St！+α（P））≥ infP公司∈P（EPlim mednuXn+TXt=1θntSt！+α（P））≥ infP公司∈P（lim mednEPuXn+TXt=1θntSt！+α（P））≥ lim medninfP∈P（EPuXn+TXt=1θntSt！+α（P））=在fnU（Xn）中。通过单调性，U（Xn）↓ U（X）和U（X）=infP∈PnEPuX+PTt=1θ*t型St公司+ α（P）o.定理1.2的证明假设存在一个中间极限，u满足（U1）–（U3）和P满（NA）。

然后，应用Lemma3.9（Xn=X）得出（1.1）中的上确界对于每个Borel可测函数X：Ohm → R满足U（X）∈ R.如果另外，（A1）-（A2）成立，我们从定理1.1的证明中知道φ（X）=-U型(-十） 是从BZto R到满足定理2.2和φ的条件（R2）的增凸映射*CZ（qQ）=U*CZ（qQ）=如果q=0或q，则Dv（qQ，P）∈ QZ公司∞ 如果q>0和q∈ MZ\\QZ。此外，通过引理3.9，φful fills（R 3）。因此，根据定理2.2，u（X）=- φ(-十） =inf（q，q）∈R+×MZnqEQX+U*CZ（qQ）o=inf（q，q）∈^qznqqx+U*或所有X的CZ（qQ）∈ BZ。推论1.3的证明注：W（X）=-λ对数(-U（X））forU（X）=supθ∈ΘinfP∈PEPuX+TXt=1θt圣！和u（x）=- 经验值(-λx）。（3.9）很明显，u满足（U1）–（U3），并且在推论的假设下，P和平凡函数α≡ 0满填充（A1）–（A2）。因此，从定理1.2可以看出，（3.9）中的上确界是针对所有X的∈ BZ。特别是U（X）∈ (-∞, 0），因此，W（X）∈ R代表所有X∈ BZ。此外，v（y）=supx∈R{u（x）- xy}=yλ逻辑λ- 1.,从中可以看出∈PDv（qQ k P）=qλH（q k P）+qλlogqλ- 1..根据定理1.2，W（X）=-λ对数(-U（X））=-λ对数- inf（q，q）∈^QZqEQX+infP∈PDv（qQ k P）= -λ对数- infq公司∈R+qinfQ公司∈QZ（EQX+λH（Q k P））+qλlogqλ- 1..求解最小q得到W（X）=infQ∈QZ公司方程x+λH（Q k P）.附录A。1示例1.4的性质很明显，P是MZ的凸集。证明α满足（A1）≡ 0，足以证明它是σ（MZ，CZ）-闭合的。为此，设（Pn）是P中的一个序列，在σ（MZ，CZ）中收敛到一个Borelprobability测度P∧ m] =limnEPn[Scit∧ 米]≤ Citand EP[Sdit∧ m] =limnEPn【Sdit∧ 米]≤ 同上，对于所有t=1，T，i=1。

，我和m∈ N、 然后是单调收敛≤ Citand EP[Sdit]≤ 同上，对于所有t和i。因此，P是σ（MZ，CZ）-闭合的。此外，如果u：Ohm ×R→ R是一个满足（U1）–（U3）的随机效用函数，存在一个常数q<p：=max1≤我≤I | ci |∧ 最大值1≤我≤I | di |使得u（ω，x）/（1+| x | q）有界，那么（A2）保持α≡ 0和β（x）=xp/q。现在，让我们假设sci<cIt和sdi<同上，对于所有t和i。为了表明P满足度（NA），我们假设t=2，对于t=1，2，t=bt=1表示符号简单。然后Ohm 可以用（0，∞) × (0, ∞). 一般情况来自类似的论点。选择P∈ P和分解itas P=P K、 其中，Pis是第一个边际分布（对应于S的分布），K是转移概率核（对应于S的条件分布）。预测ε∈ （0，1），用Pε和Kε表示，由Pε给出的测度和核：=δ（1-ε） s+δ（1+ε）砂Kεx：=δ（1-ε） x+δ（1+ε）x。然后，测量值ε：=（εP+（1- ε） Pε） （εK+（1- ε） Kε）支配P，不允许套利。对于某些ε>0的情况，仍需证明Pε属于P。首先，请注意，对于m=cior di，EPεSm=εEPSm+（1- ε)(1 - ε） m+（1+ε）msm→ smasε→ 这表明，只要ε>0足够小，Pε下的力矩条件就满足。此外，对于m=cior di，一个hasEPεSm=εEPSm+ε（1- ε） EP公司KεSm+ε（1- ε） EPεKSm+（1- ε） EPεKεSm。（A.1）术语EPεKεSmconverges to smforε→ 因此，如果我们可以证明（A.1）中的其他期望值以ε为界，那么可以得出ε>0的力矩约束足够小。由于P属于P，因此预测EPSmis独立于ε和有限。第二个期望值满足PKεSm=EP（1- ε） mSm+EP（1+ε）mSm→ EPSm≤ Ciforε→ 最后，请注意，可以在P-zero集合上更改K，但仍然有P=PK

因此，可以假设K（1±εn）s=δsfo，对于一个收敛到0的正数序列（εn）。然后EPεnKSm=sm。因此，对于εnclose，Pεnhold的破裂力矩条件也足以为0，表明P full fills（NA）。A、 2例1.5的性质显然，W（·，P*)p、 因此p也是凸的。此外，通过Kantorovich对偶（参见[27]中的定理5.10），一个hasWp（P，P*)p=supf∈Cb公司(Ohm) , g级∈Cb公司(Ohm) , f+g≤数据处理EPf+EP*g级,从中很容易看出P是σ（MZ，PZ）-闭合的。这表明（A1）适用于α≡ 接下来，注意Z（ω）=s+T+eρTT1-1/κd（ω，ω*) 定义连续函数Z：Ohm → [1, ∞) 具有紧子级集{Z≤ z} ，z∈ R+，使得z（ω）≥ s+T+TXt=1 |Д（ωT，2）- φ(ω*t、 2）|≥ 1.∨s+TXt=1ωt，2！=1.∨TXt=0 | St |。因为存在一个常数c∈ R+，使得Z（ω）p≤ c（1+d）（ω，ω*)p） ，WPS满足三角形线质量（参见第6章，共27章）和EPd（·，ω）*)p=Wp（p，Δω*)p、 一个hasEPZp≤ c（1+Wp（P，Δω*)p）≤ 2p级-1c（1+Wp（P，P*)p+Wp（p*, δω*)p）≤ 2p级-1c（1+Wp（P，P*)p+EP*Zp）适用于所有P∈ MZ。特别地，如果u（ω，x）/（1+| x | q）有界于常数q<p，则(-β（Z））≥ -c（1+Wp（P，P*)p） 对于β（x）=xp/q，一个新常数c∈ R+和所有P∈ P、 表明（A2）适用于α≡ 为了证明P满意度（NA），我们再次假设T=2，对于T=1，2，at=bt=1。一般情况类似。选择P∈ P，并将其分解为P=P K、 类似地，写入P*= P* K*,定义λ∈ （0，1），Pλ：=λδ（1-λ） s+δ（1+λ）s+（1- λ） P*Kλx：=λδ（1-λ） x+δ（1+λ）x+（1- λ） K级*x、 那么测量值Pλ：=Pλ Kλ不允许套利。此外，存在λ∈ （0，1）如EPλd（·，ω*)p<∞ 和Wp（Pλ，P*) ≤ η/2. 现在，选择一个测度Pe等价于扩展一个转移概率核K，这样对于所有x>0，Kxis等价于kx和三个期望值sePKd（·，ω）*)p、 EpKλd（·，ω）*)pand EPλKd（·，ω）*)帕累尼特。

对于每个ε∈ （0，1），测量值ε，λ：=（εИP+（1- ε） Pλ） （εИK+（1- ε） Kλ）不允许套利，P<<PK<< Pε，λ。自Wp（·，P*)pis凸，Wp（Pε，λ，P*)由εWp（~P）控制的PIK，P*)p+ε（1- ε） Wp（▄P Kλ，P*)p+（1- ε） εWp（PλK，P*)p+（1- ε） Wp（Pλ，P*)p、 由于EP*d（·ω）*)p<∞, 从三角形不等式中可以得到wp（≈PK，P*) ≤ Wp（▄PK，Δω*) + Wp（Δω*, P*) =EPKd（·，ω）*)p1/p+EP公司*d（·，ω）*))p1/p<∞,类似地，Wp（￠P Kλ，P*) < ∞ 以及Wp（PλK，P*) < ∞. 这表明Wp（Pε，λ，P*) ≤ η表示ε>0足够小，证明P满足（na）。A、 3例1.6的性质很容易看出P和α是凸的。此外，它遵循附录A.2中所有子级集Pc、c的参数∈ R+，是σ（MZ，CZ）-闭合的，对于每个c>0，则为pSaties（NA）。So（A1）保持并填充（NA）。最后，如果u（ω，x）/（1+| x | q）有界于常数q<p，则得到附录a.2中的结果(-β（Z））≥ -c1+W（p+q）/2（p，p*)（p+q）/2≥ -c1+Wp（P，P*)（p+q）/2（A.2）对于β（x）=x（p+q）/2q，常数c∈ R+和所有P∈ P、 这表明INFP∈PnEPu(-β（Z））+ηWp（P，P*)采购订单>- ∞ ,和（A2）保持不变。参考文献【1】J.Backho Off和J.Fontbona（2016年）。无模型紧性的鲁棒效用最大化。西亚姆杰。鳍数学7(1), 70–103.[2] D.Bartl（2018年）。无界禀赋模型不确定性下的指数效用最大化。即将在Ann发布。应用程序。问题。[3] D.P.Bertsekas和S.E.Shreve（1978年）。随机最优控制：离散时间情况。纽约学术出版社。[4] R.Blanchard和L.Carassus（2018年）。无界函数的离散时间鲁棒最优投资。安。应用程序。概率。28(3), 1856-1892.[5] G.Bordigoni、A.Matoussi和M.Schweizer（2007年）。鲁棒效用最大化问题的随机控制方法。在随机分析和应用中，Abel Sympos ium 2，125–151。[6] B.Bouchard，M。Nutz（2015）。

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