具有中间极限的鲁棒期望效用最大化

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英文标题：
《Robust expected utility maximization with medial limits》
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作者：
Daniel Bartl, Patrick Cheridito and Michael Kupper
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper we study a robust expected utility maximization problem with random endowment in discrete time. We give conditions under which an optimal strategy exists and derive a dual representation for the optimal utility. Our approach is based on a general representation result for monotone convex functionals, a functional version of Choquet\'s capacitability theorem and medial limits. The novelty is that it works under nondominated model uncertainty without any assumptions of time-consistency. As applications, we discuss robust utility maximization problems with moment constraints, Wasserstein constraints and Wasserstein penalties.
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中文摘要：
本文研究了离散时间内具有随机禀赋的鲁棒期望效用最大化问题。我们给出了最优策略存在的条件，并导出了最优效用的对偶表示。我们的方法基于单调凸泛函的一般表示结果、Choquet电容性定理的函数版本和中间极限。新颖之处在于，它在非支配模型不确定性下工作，没有任何时间一致性假设。作为应用，我们讨论了具有矩约束、Wasserstein约束和Wasserstein惩罚的鲁棒效用最大化问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
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关键词：效用最大化 期望效用 最大化 maximization Presentation

具有中间限制的鲁棒期望效用最大化*Patrick Cheridito+Michael Kupper2018年11月摘要本文研究了离散时间内随机禀赋下的鲁棒期望效用最大化问题。我们给出了最优策略存在的条件，并导出了最优效用的对偶表示。我们的方法基于单音凸泛函的一般表示结果、Choquet电容性定理和mediallimits的函数版本。新颖之处在于，它可以在非支配模型不确定性下工作，而不需要任何时间一致性假设。作为应用，我们讨论了具有动量约束、Wasserstein约束和Wasserstein惩罚的鲁棒效用最大化问题。关键词：鲁棒期望效用最大化、凸对偶、Choquet容量、中值极限、动量约束、Wasserstein距离。MSC 2010学科类别一：91B16、90C47、93E201简介我们考虑一个稳健的预期效用最大化问题，公式（X）=supθ∈ΘinfP∈P（EPuX+TXt=1θtSt！+α（P）），（1.1），其中X是随机禀赋，S，S，St可交易资产的价格演化，Θ可能交易策略集，u a随机效用函数，P a一组概率测度和α：P→ [0, ∞)惩罚函数。在特殊情况下α≡ 0，（1.1）减少toU（X）=supθ∈ΘinfP∈PEPuX+TXt=1θtSt！。（1.2）关于稳健效用最大化的大量文献假设P族占主导地位；参见例如[13、23、12、24、25、5、22、1]。在这种情况下，我们可以，就像在经典的预期效用中一样*德国康斯坦茨大学数学和统计系，邮编78464；奥地利维也纳大学数学系，邮编1090。

非常感谢澳大利亚科学基金（FWF）通过Y00782赠款提供的财政支持。+瑞士苏黎世苏黎世ETH数学系RiskLab，8092德国康斯坦茨大学数学与统计系，邮编78464。e、 ，全部P∈ P对于公共概率测度P是绝对连续的*框架P={P}，应用Komlós定理从近似最优策略序列构造最优策略。然后，可以使用最优策略的存在性来推导出U的对偶表示。非支配模型不确定性下问题（1.2）的不同离散时间版本已由[21，4，18，2]研究过。他们都做出了时间一致性假设，这使得他们能够使用动态规划参数在时间上逐步向后解决问题。[15，17]研究了形式为（1.2）的非连续时间非支配问题，其中P由鞅或Lévy过程定律的时间一致族组成。在本文中，我们研究了没有支配或时间一致性假设的问题（1.1）。因此，我们不能应用Komlós定理或动态规划参数。相反，我们使用凸对偶方法，这是Choquet电容性定理[9]和mediallimits的函数版本。就我们的目的而言，中间极限是一个正线性函数lim-med:l∞→ R满足LIM inf≤ lim med公司≤ 具有以下性质：对于任意一致有界的泛可测函数序列Xn:E→ R在可测空间（E，F）上，X=lim med Xnis universallymeasurable，EPX=lim med EPX对于F的泛完备上的每一个概率测度P。Mokobozki证明了在ZFC的常用公理和连续势下存在中间极限；见[16]。

后来，诺曼（Normann）[19]证明，假设ZFC和Martin的公理就足够了。在[20]中，利用中值极限证明了关于一般鞅测度集的最优拟sure超边策略的存在性。首先，我们仅从凸性和可积性假设出发，推导出下半连续随机禀赋X的U（X）的对偶表示。然后，我们证明了一个合适的无套利条件和一个中间极限的存在意味着问题（1.1）允许最优策略。在此基础上，我们可以将U（X）的对偶表示从下半连续推广到可测随机禀赋。作为样本空间，我们考虑一个非空子集Ohm 共（（0，∞) ×R）T+1包含欧几里德度量和相应的Borelσ-代数。我们假设有一个货币市场账户根据Mt（ω）=ωt发展，1和一个金融资产，其单位Mt的价格由St（ω）=ωt给出，2。X：Ohm → R是一个Borel可测映射，描述了以MT为单位的随机禀赋。通常，St表示增量St- St公司-1、假设P是Borel概率测度的非空集Ohm 和α：P→ R+：=[0，∞) 具有infP属性的映射∈Pα（P）=0。用（Ft）Tt=0表示由（Mt，St）Tt=0生成的过滤。集合Θ由所有策略（θt）Tt=1组成，对于每个t，θt：Ohm → R相对于通用完成F是可测量的*t型-1英尺-1和Borelσ-代数R.u：Ohm ×R→ R是一个随机效用函数，我们假设它满足以下条件：（U1）u（ω，x）对于每n，在x（U2）中是递增和凹的∈ N、 u：Ohm × [-n∞) → R是连续且有界（U3）limx→-∞supω∈Ohmu（ω，x）/| x |=-∞.如果集P在转移概率串联下是稳定的，则问题（1.2）是时间一致的。形式（1.1）问题的时间一致性条件如。

[7, 8].回想一下，通用补全F*σ-代数F定义为σ（F）的交集∪ NP）在F上的所有概率测度P上，其中NP表示P-null集的集合。说X:E→ R是普遍可测的，我们的意思是它相对于普遍完成F是可测的*关于F和R上的Borelσ-代数，这等价于说X相对于F是可测的*以及R上Borelσ-代数的普遍完备。在整篇文章中，我们理解了弱意义上的“增加”和“减少”。即满足度u（ω，x）≥ 所有x的u（ω，y）≥ y、 注意，如果u不依赖于ω，（1.1）测量贴现终端财富x+PTt=1θt的效用另一方面，如果u的形式为u（ω，x）=u（ωTx），则函数为u:R→ R、 然后（1.1）评估未贴现的终端财富MT（X+PTt=1θtSt）。我们假设存在一个连续函数Z：Ohm → [1, ∞) 这样Z≥ 1.∨PTt=0 | St |和所有子级集{ω∈ Ohm : Z（ω）≤ z} ，z∈ R+，结构紧凑。设BZbe所有Borel可测函数X的s步：Ohm → 使得X/Z有界，lz所有下半连续X的集合∈ BZand-cz全连续X的空间∈ BZ。通过MZwe表示所有Borel概率测度P的集合Ohm满足EPZ<∞.

那么，所有P的EPX都已确定∈ MZand X公司∈ BZ。为了导出U的对偶表示，我们需要P和α满足以下两个条件：（A1）P是MZandα的凸集：P→ σ（MZ，CZ）-闭子级集的R+a凸映射Pc：={P∈ P：α（P）≤ c} ，c∈ R+（A2）存在一个递增函数β：[1，∞) → R使得limx→∞β（x）/x=∞ andinfP公司∈PnEPu(-β（Z））+α（P）o>- ∞ .由v表示u的凸共轭，由v（ω，y）：=supx给出∈R{u（ω，x）- xy}，（ω，y）∈ Ohm ×R+。如果u满足（U2），u（ω，0）在ω中有界，并且一个hasv（ω，y）=supx∈Q{u（ω，x）- xy}≥ u（ω，0）。特别是，v是一个Borel可测函数Ohm ×R+至(-∞ , ∞ ] 从下面开始的边界。索福q∈ R+和Borel概率测度Q onOhm, 可以定义αv（qQ）：=infP∈P{Dv（qQ k P）+α（P）}，其中Dv（qQ k P）是qQ和P之间的v-散度，给定byDv（qQ k P）：=EPv公司qdQ/dP如果qQ<< P∞ 否则设QZbe为所有概率测度P的集合∈ MZunder，其中（St）Tt=0是鞅和所有对（q，q）的^QZtheset∈ R+×MZ使q=0或q∈ QZ。我们的第一个对偶结果如下：定理1.1。假设（U1）–（U3）和（A1）–（A2）。ThenU（X）=min（q，q）∈^qznqqx+Dαv（qQ）o∈ R代表所有X∈ LZ。（1.3）为了能够导出最优策略的存在性并将对偶性（1.3）推广到Borel可测随机禀赋X，我们需要以下无套利条件：（NA）每个P∈ P由一个P′控制∈ 不允许套利，其中Borel概率测度POhm 如果存在策略，据说会承认套利∈ Θ因此P[PTt=1θtSt>0>0和P[PTt=1θtSt公司≥ 0] = 1.定理1.2。假设存在一个中间极限，则u full fills（U1）–（U3）和（NA）成立。然后，对于每个Borel可测函数X，获得了supremumin（1.1）：Ohm → R使得U（X）∈ R、 此外，如果满足（A1）–（A2），则u（X）=inf（q，q）∈^qznqqx+Dαv（qQ）o∈ R代表所有X∈ BZ。

（1.4）在特殊情况下，其中α≡ 0且u的形式为u（x）=- 经验值(-λx）对于风险规避参数λ>0，如果考虑等效问题w（x）=supθ，则对偶表达式（1.4）简化，而不是（1.2）∈ΘinfP∈P-λlog EPexp-λX- λTXt=1θtSt！。推论1.3。假设存在一个中间极限，并且P是一个n，关于空σ（MZ，CZ）-满足（NA）的闭凸子集。如果存在递增函数β：[1，∞) → R使得limx→∞β（x）/x=∞andsupP∈PEPexp（β（Z））<∞,thenW（X）=infQ∈QZ公司方程x+λH（Q k P）∈ R代表所有X∈ BZ，其中H（Q k P）：=infP∈PH（Q k P）是相对熵（Q k P）的稳健版本：=（EQlog（dQ/dP）如果Q<< P∞ 否则在下文中，我们将讨论三个稳健效用最大化问题的例子，这些问题既不占主导地位，也不具有时间一致性，但在我们的框架中仍然有效。示例1.4。我们的第一个例子是由动量约束给出的一组概率度量P的形式（1.2）。考虑表单的示例空间Ohm = Ohm× · · · × OhmT、 在哪里Ohm= {（a，s）}对于初始值a，s>0和Ohmt=[at，bt]×（0，∞) f或常数0<at≤ bt，t=1，T注意z（ω）=PTt=0ωt，2∨ （ωt，2）-1定义连续函数Z：Ohm → [1, ∞) 对于紧凑的子级设置，显然，（NA）弱于没有P∈ P承认套利。另一方面，它意味着[6]的鲁棒无套利条件NA（P），该条件已在[21，4，18，2]中用于推导最优策略的存在性。实际上，假设（NA）成立，并且存在这样一种策略，即P[PTt=1θtSt公司≥ 0]=1表示所有P∈ P、 然后每个P∈ P由一个P′控制∈ P不允许套利。因此，P[PTt=1θtSt>0]=P′[PTt=1θtSt>0]=0，表明NA（P）h变老。{Z≤ z} ，z∈ R+，使Z≥ 1.∨PTt=0 | St |。对于所有t=1，T和i=1，一、 设ci<0和Di，Cit，Dit>0为常数，使m inici<-1和maxidi>1。

假设所有钻孔概率的集合POhm 满足力矩约束集≤ Citand EP[Sdit]≤ 同上，对于所有t=1，T和i=1，一、 为非空。然后对α进行全填充（A1）≡ 0.此外，如果u：Ohm ×R→ R是一个满足（U1）–（U3）的随机效用函数，且存在一个常数q<max1≤我≤I | ci |∧ 最大值1≤我≤I | di |使得u（ω，x）/（1+| x | q）有界，那么（A2）保持α≡ 最后，如果sci<cIt和sdi<Ditforall t=1，T和i=1，一、 然后P也满足（NA）。附录A.1中给出了证明。示例1.5。作为第二个例子，我们考虑一个形式为（1.2）的问题，其概率测度集P在参考测度的给定Wasserstein距离内。让示例空间Ohm与示例1.4中的形式相同，并考虑metricd（ω，ω′）：=TXt=1e-ρκt（|ωt，1- ω′t，1 |κ+|Д（ωt，2）- Д（ω′t，2）|κ）！1/κ, ω, ω′∈ Ohm,式中ρ≥ 0和κ≥ 1是常数，函数Д：（0，∞) → R由ν（x）：=（x）给出- 1如果x>1日志（x）如果x≤ 1、表示ω*= （（a，s），（a，1），（aT，1））∈ Ohm. 那么，Z（ω）=s+T+eρTT1-1/κd（ω，ω*) 是连续函数Z：Ohm → [1, ∞) 具有紧子级集{Z≤ z} ，z∈ R+，使Z≥ 1.∨PTt=0 | St |。选择一个参考度量值P*∈ MZ满足EP*Zp<∞ 对于给定的指数p>1。固定一个常数η>0，并考虑ballP：={P∈ MZ：Wp（P，P*) ≤ η} P左右*关于p-Wasserstein距离Wp，由Wp（p，p*) := infπZOhm×Ohmd（ω，ω′）pdπ（ω，ω′）1/p，其中对所有钻孔概率测量π取最小值Ohm × Ohm 带边线P和P*.然后，α的P满足度（A1）≡ 0以及（NA）。此外，如果u：Ohm ×R→ R是一个满足（U1）–（U3）的随机效用函数，存在一个常数q<p，使得u（ω，x）/（1+| x | q）有界，那么（A2）也适用于α≡ 0

附录A.2证明了这一点。或者，可以考虑满足形式EP[（MtSt）ci]力矩条件的Borel概率测度集P≤ Citand EP[（MtSt）di]≤ 同上，t=1，T和i=1，一、 其中，mt描述了货币市场账户的演变。然后，假设P为非空，（A1）仍然满足，并且（A2）在相同条件下适用于u。对于（NA）的有效条件是存在常数et∈ 【at，bt】使得（ets）ci<Citand（ets）di<dit对于所有t=1，T和i=1，一、 示例1.6。作为我们的最后一个例子，我们考虑一个形式为（1.1）且带有Wasserstein惩罚的问题。让示例空间Ohm 与示例1.4和1.5中的形式相同。如示例1.5所示，修复一个组件p>1和letZ、d、Wpbe。对于给定常数η>0和参考测量值P*∈ MZsatisfyingEP*Zp<∞, 定义α（P）：=ηWp（P，P*)pand P：={P∈ MZ：α（P）<∞}. 然后（A1）和（NA）保持不变。此外，如果u：Ohm ×R→ R是一个满足（U1）–（U3）的随机效用函数，存在一个常数q<p，使得u（x）/（1+| x | q）有界，然后（A2）也被填满。附录A中提供了证明。3、其余部分的组织如下。在第2节中，我们首先建立了Choquet电容性定理的函数版本。然后，我们得到了不同实值函数集上增加凸函数的对偶表示结果。这些结果适用于具有完全正规拓扑的一般样本空间，并且不需要存在中间极限。在第3节中，我们首先证明定理1.1。然后，在证明定理1.2和推论1.3之前，我们导出了中值极限的一些基本性质。

在附录中，我们展示了条件（A1）、（A2）和（NA）在Choquet电容性定理的三个示例1.4、1.5和1.6.2函数版本和增加凸函数的对偶表示中的适用性。在本节中，我们首先通过在论文结尾处计算aremark，推导出Choquet电容性定理的函数版本【9】。然后，我们建立了可测函数空间上定义的增加凸函数的对偶表示结果。用扩展实线表示[-∞, ∞]. 对于给定的非空集E，考虑两个嵌套子集H G结果H是一个非空格，G包含G中递增序列的所有上确界以及G中任意序列的所有上确界。H-Suslin格式是一个映射σ：Sn∈NNn公司→ H和H-Suslin函数a元素X∈f或mx=supγ∈NNinfn公司∈Nσ（γ，…，γN），其中σ是H-Suslin格式。我们用S（H）表示所有H-Suslin函数集，用Hδ表示所有H中的序列。如果φ：G→R是一个递增映射，我们将其扩展到REby setting^φ（X）：=inf{φ（Y）：X≤ Y、 Y型∈ G} ，X∈重新连接约定inf := +∞.下面是[9]中定理1的函数形式：命题2.1。Letφ：G→R是具有以下两个性质的递增映射：（C1）limnφ（Xn）=φ（limnXn）对于H（C2）中的每个递减序列（Xn）limnφ（Xn）=φ（limnXn）对于G中的每个递增序列（Xn）。特别是，对于可度量样本空间，如果Xn+1，我们称G中的序列（Xn）为递增序列（Xn）≥ 对于所有n，如果Xn+1，则减小≤ 对于所有n，即φ（X）≥ φ（Y）表示所有X，Y∈ G使得X≥ YThen，^φ（X）=sup{φ（Y）：Y≤ 十、 Y型∈ 所有X的Hδ}∈ S（H）。证据表示F=E×R，设A是形式sx的F子集的集合∈E{x}×Ax，其中每个x，Ax=[-∞, ax）或ax=[-∞, ax]对于某些ax∈R、 那么A在交集和并集下是稳定的。对于∈ A、 定义XA:E→R乘以XA（x）：=ax。