具有中间极限的鲁棒期望效用最大化

然后对于任何子集族（Aα） A、 一个有XTαAα=infαXAα和XSαAα=supαXAα。特别地，Hδ：={A∈ A：XA∈ Hδ}是稳定的有限并集和可数交集。很明显，设置函数|φ：2F→R、 由φ（B）给出：=infφ（XA）：B A、 A∈ A} ，在Hδ中增加并满足极限|φ（Bn）=|φ（TnBn）f或减少序列（Bn）。此外，如果（Bn）是F的子集的递增序列，使得limnφ（Bn）<+∞, 存在一个∈ A和Yn∈ G使Bn 安，XAn≤ Ynandφ（Yn）≤φ（Bn）+1/n（或φ（Yn）≤ -n，若|φ（Bn）=- ∞ ). 序列An=Tm≥nAmand▄Yn=infm≥nYmare在增加，一个hasSnBn A：=序号▄An∈ A和XA≤ Y：=supn▄Yn∈ G、 So▄φ（SnBn）≤^φ（XA）≤ φ（Y）=limnφ（~Yn）≤ limnφ（Bn）。这表明根据[9]，φ是（F，Hδ）上的抽象容量。对于形式为X=supγ的H-Suslin函数∈NNinfn公司∈Nσ（γ，…，γN），定义σ：Sn∈NNn公司→ Hδ乘以￠σ（·）：=Sx∈E{x}×[-∞, σ（·）（x）]。ThenA=[γ∈NN\\n∈N∧σ（γ，…，γN）是由满足XA=X的Hδ生成的Suslin集。因此，从[9]的定理1中可以得到：^φ（X）=φ（a）=sup{φ（B）：B A、 B类∈ Hδ}=sup{φ（Y）：Y≤ 十、 Y型∈ Hδ}。下面，设E为完全正规拓扑空间，V:E→ R+\\{0}是一个连续函数。用BV表示所有Borel可测函数X:E的集合→ 使得X/V分别由BV中的所有连续函数和上半连续函数组成的子集cv和uv包围。如果（Xn）是E上实值函数的递增（递减）序列，该序列向点收敛到E上的实值函数X，我们写Xn↑ X（Xn↓ 十） 。让ca+Vbe表示满足hV，ui<+∞. 对于定义在包含CV的BV子集上的实值映射φ，我们定义φ*CV（u）：=supX∈CV{hX，ui- φ（X）}，u∈ 钙+钒。

（2.1）那么以下条件成立：即|φ（B）≥§φ（C）适用于所有B、C∈ 2使B C即Bn+1 Bn对于所有n，Bn+1 bn特别是对于所有度量空间，这覆盖了所有度量空间。定理2.2。如果φ：CV→ R是满足（R1）φ（Xn）的增凸泛函↓ φ（0）对于CVN中的每个序列（Xn），使得Xn↓ 0，则φ（X）=最大u∈钙+钒hX，ui- φ*CV（u）对于每个X∈ CV，（2.2）和所有子级集{u∈ 钙+钒：φ*CV（u）≤ c} ，c∈ R、 是σ（ca+V，CV）-紧的。此外，每增加一个凸泛函φ：UV→ 性质为（R2）φ（Xn）的R w↓ φ（X）对于CVN中的每个序列（Xn），使得Xn↓ X代表某些X∈ UV的表示形式为φ（X）=maxu∈钙+钒hX，ui- φ*CV（u）, 十、∈ UV，（2.3）和每增凸泛函φ：BV→ 满足（R2）和（R3）φ（Xn）↑ BV中每个序列（Xn）的φ（X），使得Xn↑ X代表某些X∈ BV，可写为φ（X）=supu∈钙+钒hX，ui- φ*CV（u）, 十、∈ 英属维尔京群岛。（2.4）证明。首先，设φ：CV→ R是满足（R1）的增凸函数。从φ的定义可以清楚地看出*固定X的CVthat∈ CV，φ（X）≥ hX，ui- φ*所有u的CV（u）∈ ca+V.（2.5）此外，根据Hahn–Banach扩张定理，存在一个正线性泛函ψ：CV→ R使得ψ（Y）≤ φ（X+Y）- φ（X）表示所有Y∈ 个人简历现在，考虑CVN中的函数序列（Xn），这样Xn↓ 0。那么，一个具有所有λ∈ （0，1），φ（X+Xn）≤ λφXλ+ (1 - λ)φXn1型- λ. （2.6）自7年起→ φ（yX）是从R到R的凸函数，它是连续的。因此，对于λ接近1，λφ（X/λ）接近φ（X）。通过（R1），一个具有（1- λ） φ（Xn/（1- λ)) ↓ (1 - λ)φ(0). 由此得出φ（X+Xn）↓ φ（X），因此，ψ（Xn）↓ 0表示n→ +∞.

由于在完全正规空间上，Borelσ-代数与所有连续实值函数生成的σ-代数相一致（见[26]），从Daniell–Stone定理中可以得出存在u∈ ca+v使ψ（Y）=hY，所有Y的ui∈ 个人简历因此，hX+Y，ui- φ（X+Y）≤ hX，ui- φ（X）表示所有Y∈ 个人简历特别是φ*CV（u）=hX，ui- φ（X），与（2.5）一起证明（2.2）。接下来，我们证明了子级集∧c：={u∈ 钙+钒：φ*CV（u）≤ c} ，c∈ R、 是σ（ca+V，CV）-紧的。请注意，配备有规范kXkV的cv：=supx | X（X）/V（X）|是一个Banachspace。我们扩展φ*CVC至正锥体C*,+Vin拓扑对偶C*Vof CVusing定义（2.1）。然后设置∧∧c：={u∈ C*,+五： φ*CV（u）≤ c} isσ（c*五、 CV）-关闭。此外，s inceφ是实值，递增凸函数ν：R+→ (-∞, ∞], 由Д（y）给出：=supx∈R+{xy- φ（xV）}，满意→+∞^1（y）/y=∞. 因此，右连续逆ν-1： R→ R+具有propertylimx→+∞φ-1（x）/x=0。自φ起*CV（u）≥ su px∈R+{hxV，ui- φ（xV）}=Д（hV，ui），一个为u∈∧c，kukC*V=hV，ui≤ φ-1(φ*CV（u））≤ φ-1（c）<∞.因此，从Banach–Alaoglu定理得出∧aisσ（C*五、 CV）-紧凑型。现在，cho ose a∈ C*,+Vwithφ*CV（u）<∞ 设（Xn）是cv中的一个序列，使得Xn↓ 那么，对于每个y>0的常数，φ*CV（u）≥ hyXn，ui- φ（yXn），因此，hXn，ui≤φ（yXn）y+φ*CV（u）y.By（R1），一个得到hXn，ui↓ 0，根据Daniell–Stone定理，u在ca+V中。这表明φ*CV（u）=∞ 对于所有u∈ C*,+尤其是∧cis等于∧cand，因此σ（ca+V，CV）-紧。现在，假设φ：UV→ R是一个性质为（R2）的增凸函数。

为了证明二元表示（2.2）从cv扩展到UV，我们使用了在完全正规空间上，每个上半连续函数都是连续函数递减序列的逐点极限（见[26]）。结果很简单，每X∈ UV可以写为CV中递减序列（Xn）的逐点极限。根据（R2）和φ的定义*CVthatφ（X）=limnφ（Xn）≥ limnhXn，ui- φ*CV（u）≥ hX，ui- φ*所有u的CV（u）∈ ca+V.（2.7），另一方面，从（2.2）中得出φ（X）≤ φ（Xn）=m axu∈钙+钒hXn，ui- φ*CV（u）对于每n.SincehXn，ui- φ*CV（u）≤ hX，ui- φ*CV（u）≤ kXkVkukC*五、- φ*CV（u）≤ kXkVД-1(φ*CV（u））- φ*CV（u），这意味着存在c级∈ R使得φ（Xn）=最大u∈∧chXn，ui- φ*CV（u）对于所有n.请注意，hXn，ui- φ*n中的CV（u）和σ（ca+V，CV）都在下降-上部s连续性和凹陷性u。因此，根据极大极小结果，[10]的定理2，以及单调收敛定理，φ（X）=infnφ（Xn）=in fnmaxu∈∧ahXn，ui- φ*CV（u）= 最大u∈∧ainfnhXn，ui- φ*CV（u）= 最大u∈∧ahX，ui- φ*CV（u）,与（2.7）一起证明（2.3）。定理2.2的最后一部分来自命题2.1。的确，如果φ：BV→ R是一个满足（R 2）–（R3）的递增凸泛函，我们定义一个常数R>0，并设G为x的集合∈ BV满足| X |≤ r | V |。那么，φ，G和H=CV∩ G满足命题2.1的假设。M或以上，Hδ=UV∩ G

因此，根据命题2.1和（2.3），φ（X）=supY≤十、 Y型∈紫外线∩Gφ（Y）=supY≤十、 Y型∈紫外线∩Gmaxu∈钙+钒hY，ui- φ*CV（u）对于所有X∈ G∩ S（H）。自固定u起∈ ca+V，映射X 7→ hX，ui以及G和H也满足命题2.1的假设，其中φ（X）=supu∈ca+VsupY≤十、 Y型∈紫外线∩GhY，ui- φ*CV（u）= supu∈钙+钒hX，ui- φ*CV（u）对于所有X∈ G∩ S（H）。如果我们能证明G S（H），表示法（2.4）适用于所有X∈ 因为BVR是任意的。证明G S（H），我们注意到函数X∈ G可以写成asX=supqqV 1{X≥qV}- rV 1{X<qV},其中上确界接管所有有理数q in[-r、 r]。由于在完全正规空间中，开集可以表示为闭集的可数并（见[26]），因此从[3]中的属性7.35和推论7.35.1可以得出，由闭集生成的Suslin集包含Borelσ代数。因此，{X≥ qV}的形式为γ∈NNTn公司∈在E的闭子集中有值的Suslin格式∑的N∑（γ，…，γN）。映射σ：=qV 1∑- rV 1σctakes Hδ中的值，因此，qV 1{X≥qV}- rV 1{X<qV}=supγ∈NNinfn公司∈Nσ（γ，…，γN）属于S（Hδ）=S（H）。此外，S（H）在取可数上确界下是稳定的。因此，X∈ S（H），证明是完整的。下面的结果给出了（R2）的对偶条件，这将有助于下面定理1.1的证明。提案2.3。一个增凸泛函φ：UV→ R的性质（R1）满足（R2）i且仅当φ*CV（u）=φ*UV（u）：=supX∈UV{hX，ui- φ（X）}对于所有u∈ ca+V.（2.8）证明。首先，假设φsaties（R2）。对于给定的X∈ UZ，在cv中存在一个序列（Xn），使得Xn↓ X（见【26】）。

根据单调收敛定理和（R2），一个hashXn，ui- φ（Xn）→ hX，ui- φ（X）。这表明φ*CV（u）=φ*UV（u）f或所有u∈ 现在，假设φsaties（R1）与（2.8）一起，并假设（Xn）是cv中的一个序列，使得Xn↓十、∈ 紫外线。从φ的定义开始*UVand（2.8）φ（X）≥ supu∈钙+钒hX，ui- φ*紫外线（u）= supu∈钙+钒hX，ui- φ*CV（u）.另一方面，从定理2.2证明中的论点可以看出，存在一个σ（ca+V，CV）-紧凸子集∧，ca+V的φ（Xn）=maxu∈∧（hXn，ui- φ*CV（u））。极大极小结果的应用，定理2（10），以及单调收敛定理，给出了fnmaxu中的最小φ（Xn）=∈ΛhXn，ui- φ*CV（u）= 最大u∈∧infnhXn，ui- φ*CV（u）= 最大u∈ΛhX，ui- φ*CV（u）.特别是φ（Xn）↓ φ（X）。备注2.4。假设E是一个Polish空间，由所有Suslin函数X:E的集合SV表示→ r由cv生成，使得X/V有界。那么sv等于所有上半解析函数的集合x:E→ 使得X/V是有界的（见[3]的第7.41条），并且每个上半解析函数对于E上的Borelσ-代数的泛完备是可测的（见[3]的推论7.42.1）。由于E上的每个Borel测度都对Borelσ-代数的普遍完备有唯一的扩展，因此对于所有X，都很好地定义了hX，ui∈ SVandu∈ ca+V.如果φ：SV→ R是满足（R2）和φ（Xn）的递增凸函数↑ 对于SV中的每个序列（Xn），φ（X）使得Xn↑ X代表someX∈ SV，它与定理2.2的证明完全一样，φ（X）=supu∈钙+钒hX，ui- φ*CV（u）对于所有X∈ SV。3主要结果的证明3.1定理1.1的证明对于定理1.1的证明，我们需要以下引理：引理3.1。如果u等于（U2）–（U3），则为sup（ω，y）∈Ohm×[0，n]| v（ω，y）|<∞ 对于每n∈ N、 证明。修复n∈ N、 通过（U3），存在常数x≤ 0 s uch，supωu（ω，x）≤ （n+1）x表示所有x≤ x。

另一方面，根据f rom（U2），c：=supωsupx≥x | u（ω，x）|∈ R、 现在，让x∈ 兰特y∈ [0，n]。Thenu（ω，x）- xy型≤ （n+1）x- xn公司≤ 如果x，则为0≤ xu（ω，x）- xy型≤ c- xn如果x≥ x、 这表明v（ω，y）=supx∈R（u（ω，x）- xy）≤ c- xn。另一方面，v（ω，y）≥ u（ω，0）≥ -c、 证明是完整的。引理3.2。如果u s aties（U1）–（U2），则存在常量c∈ R这样的QEQY-≤ qEQX+- EPu（X+Y）+EPvqdQdP+ C对于所有Borel可测函数X，Y：Ohm → R、 每季度∈ R+和每对Borel概率测度P和Q onOhm 这样qdQ<< 数据处理证据由于u满足（U1）–（U2），c：=sup（ω，x）∈Ohm×R+{u（ω，x）- u（ω，0）}是有限的，满足pu（X+Y）≤ EPu-（X+Y）-+ c、 此外，根据v的定义，（X+Y）-qdQdP≤ - u-（X+Y）-+ vqdQdP.因此，qEQY-≤ qEQX++qEQ（X+Y）-≤ qEQX+- EPu-（X+Y）-+ EPv公司qdQdP≤ qEQX+- EPu（X+Y）+EPvqdQdP+ c、 引理3.3。如果u s aties（U1）–（U3），则functionalD（X）：=inf（q，q）∈^qznqqx+Dαv（qQ）osatis fies U（X）≤ D（X）<∞ 对于所有X∈ BZ。证据根据引理3.1，一个有D（X）≤ Dαv（0）=infP∈PEPv（0）+α（P）< ∞ 对于所有X∈ BZ。现在，考虑P∈ P、 X个∈ BZandθ∈ Θ使EPuX+PTt=1θtSt公司> - ∞ . v thatEPuX+TXt=1θt的定义立即生效圣！≤ EPv（0）。此外，对于q∈ (0, ∞) 和Q∈ QZ点击那个qQ<< P和EQv（qdQ/dP）<∞, 从引理3.2中可以得出，存在一个常数c∈ R使得qeqText=1θt圣！-≤ qEQX+- EPuX+TXt=1θtSt！+EPv公司qdQdP+ c<∞.因此，从[14]中的定理1和2可以看出Pts=1θns不锈钢Tt=0是一个Q-鞅，因此，EQPTt=1θtSt=0。

根据v的定义，一个hasuX+TXt=1θt圣！≤X+TXt=1θt圣！qdQdP+vqdQdP.因此，EPuX+TXt=1θt圣！≤ qEQ“X+TXt=1θtSt#+EPvqdQdP= qEQX+EPvqdQdP.现在，首先取inEPuX+TXt=1θtSt！+α（P）≤ qEQX+EPvqdQdP+ α（P）在所有P上∈ P和（q，q）∈^QZsuch that qQ<< P，然后是全域上的上确界θ∈ Θ，yieldsU（X）≤ D（X）。引理3.4。如果u s aties（U1）–（U2），则dv（qQ k P）=supX∈CZnEPu（X）- QEQXO适用于所有q∈ R+和P，Q∈ MZ。证据首先，注意如果q∈ R+和P，Q∈ 这样qQ对于P不是绝对连续的，存在一个Borel集a Ohm 这样qQ[A]>0，P[A]=0。因为Q是一个正则度量，所以存在一个闭集K A使得qQ[K]>0且P[K]=0。每m∈ N、 存在一系列有界连续函数Xn：Ohm → R使Xn↓ m1K。根据单调收敛定理，EPU(-Xn）+qEQXn→ EPu(-m1K）+qEQ[m1K]=EPu（0）+qmQ[K]，因此，supX∈CZnEPu（X）- qEQXo=∞ = Dv（qQ k P）。接下来，假设qQ相对于P是绝对连续的。然后，EPu（X）- qEQX=EPu（X）- qdQdPX≤ EPv公司qdQdP对于所有X∈ 捷克。另一方面，存在一系列简单随机变量（Yn）uch thatEPu（Yn）- qdQdPYn→ EPv公司qdQdP,由此可知，CZEP中存在一个序列（Xn），因此u（Xn）- qdQdPXn→ EPv公司qdQdP= Dv（qQ k P）。这就完成了引理的证明。引理3.5。假设（U1）–（U3）和（A2）保持不变。然后，对于每个常数m∈ R+，存在c∈ R+使INFP∈PnEPu（X）+α（P）o=infP∈所有Borel可测函数X的PcnEPu（X）+α（P）：Ohm → R满足X≥ -mZ。证据修复m∈ R+。由（U2）–（U3）和（A2）可知，Д（x）：=infP∈PnxEPu(-mZ）+α（P）OI定义，适用于所有x∈ R+。那么，函数ψ：R→ (∞, ∞], 由ψ（y）给出：=supx≥0{xy+Д（x）}，正在增加并满足极限→∞ψ（y）/y→ ∞.

因此，右连续逆ψ-1（y）：=inf{x∈ R：ψ（x）>y}具有limy性质→∞ψ-1（y）/y=0。自α（P）≥ ^1（x）- xEPu公司(-mZ）适用于所有x∈ R+，一个有α（P）≥ ψ(-EPu(-mZ），因此，EPu(-mZ）≥ -ψ-1（α（P））。通过（U1），一个具有所有X≥ -mZ，infP∈PnEPu（X）+α（P）o≤ EPu(∞) < ∞andEPu（X）+α（P）≥ EPu(-mZ）+α（P）≥ -ψ-1（α（P））+α（P）。自limc以来→∞c- ψ-1（c）=∞, 这表明存在一个c∈ R使INFP∈PnEPu（X）+α（P）o=infP∈PcnEPu（X）+或所有X的α（P）≥ -mZ。接下来，请注意，如果u满足（U2），则对于每个连续函数γ：[1，∞) → R、 Zγ：=1∨ (-u型(-γ（Z）））定义了Ohm 至[1，∞).引理3.6。假设（U2）–（U3）和（A1）–（A2）保持不变。然后，存在一个连续递增函数γ：[0，∞) → R使得limx→∞γ（x）/x=∞, 对于所有c∈ R+，Pcis aσ（MZγ，CZγ）-紧子集MZγ。证据通过（A2），存在一个递增函数β：[1，∞) → R使得limx→∞β（x）/x=∞ andinfP公司∈PEPu(-β（Z））+α（P）> - ∞ . 所以我们可以构造一个连续增函数γ：[1，∞) →R使得limx→∞γ（x）/x=limx→∞β（x）/γ（x）=∞. 从（U3）可以看出，存在一个z∈ R如u所示(-γ（Z））≤ -Z在{Z>Z}上。这表明CZ CZγ和MZγ MZ。givenc自∈ R+，一个搭扣∈PcEPu(-β（Z））+c≥ infP公司∈PcnEPu(-β（Z））+α（P）o>- ∞ ,一个获得Slimz→∞支持∈PcEP[Zγ{Z>Z}]=0。此外，从（U2）可以看出，Zγ在集合{Z）上有界≤ z} 。因此，Pc包含在MZγ中，并且由于（A1）是σ（MZ，CZ）-闭合的，所以它也是σ（MZγ，CZγ）-闭合的。请注意，第7页→ ZγdP transformsPcinto a subsetPcof the finite Borel measures M onOhm. 因为集合{Z≤ z} 是紧致的，它来自Prokhorov定理▄Pcisσ（M，Cb）-紧致，其中Cb都是有界连续函数Ohm. 但这相当于Pcbeingσ（MZγ，CZγ）-紧。接下来，让我们用Θ表示所有策略的集合θ∈ Θ使得θ对于所有t=1是连续且有界的。

，T，和定义U（X）：=supθ∈ΘinfP∈P（EPuX+TXt=1θtSt！+α（P）），X∈ BZ，以及▄U*CZ（qQ）：=supX∈CZn▄U（X）- qEQXo，用于q∈ R+和Q∈ MZ。那么下面的公式成立：引理3.7。如果（U1）–（U3）和（A1）–（A2）保持不变，则▄U是从BZto r到满足▄U（Xn）的递增凹映射↑对于CZ中的每个序列（Xn），U（X）使得Xn↑ X代表某些X∈ LZ（3.1）和▄U*CZ（qQ）=（Dαv（qQ），如果q=0或q∈ QZ公司∞ 如果q>0和q∈ MZ\\QZ。（3.2）证明。直接检查▄U是从BZto R增加的凹映射。为了显示（3.2），我们注意到对于给定的q∈ R+和Q∈ MZ，~U*CZ（qQ）=supX∈CZsupθ∈ΘinfP∈P（EPuX+TXt=1θtSt！+α（P）- qEQX）=supX∈CZsupθ∈ΘinfP∈P（EPu（X）+α（P）- qEQX+qEQTXt=1θtSt）。因为EQPTt=1θtSt=0表示所有θ∈~UΘ当且仅当S是Q-鞅时，有~U*CZ（qQ）=∞ 对于Q>0和Q∈ MZ\\QZ。另一方面，如果q=0或q∈ QZ，然后▄U*CZ（qQ）=supX∈CZinfP公司∈PnEPu（X）+α（P）- qEQXo。因此，从引理3.4中可以看出，U*CZ（qQ）≤ infP公司∈PsupX公司∈CZnEPu（X）+α（P）- qEQXo=infP∈P{Dv（qQ-kp）+α（P）}。（3.3）引理3.6中，存在一个连续递增函数γ：[1，∞) → R使得limx→∞γ（x）/x=∞, 对于所有c∈ R+，pC是MZγ的σ（MZγ，CZγ）-紧子集。对于给定常数m∈ R+，表示Cmz：={X∈ CZ:X≥ -mZ}和Dmv（qQ k P）：=supX∈CmZnEPu（X）- qEQXo。根据引理3.5，存在a∈ R+这样SUPX∈CmZinfP公司∈PnEPu（X）+α（P）- qEQXo=supX∈CmZinfP公司∈PanEPu（X）+α（P）- qEQXo。因此，由于EPu（X）+α（P）- qEQX在X中是凹的∈ CmZas以及P中的凸和σ（MZγ，CZγ）-下连续∈ Pc，它遵循极大极小结果，定理2（10），thatsupX∈CmZinfP公司∈PnEPu（X）+α（P）- qEQXo=infP∈帕苏普克斯∈CmZnEPu（X）+α（P）- qEQXo公司≥ infP公司∈P{Dmv（qQ-k-P）+α（P）}。现在，请注意-∞ < infω∈Ohmu（ω，0）≤ Dmv（qQ k P）≤ sup（ω，x）∈Ohm×R+u（ω，x）+qmEQZ<∞ 对于所有P∈ P、 此外，Dmv（qQ-k-P）+α（P）在m中增加∈ P中的R~+以及凸和σ（MZγ，CZγ）-下半连续∈ P