[量化金融] 一种新的股票市场估值方法 [推广有奖]

; V（0）=1。例如，如果总实际回报率Q（t）=7%，提取率W（t）=4%，则财富来源于t- 1到t乘以实际总回报的e0.07，再乘以提取的0.96。因此，总体倍增系数为e0.07·0.96≈ 1.03. 如果提取过程不是常数，我们定义了一个渐近速率：长期极限。定义5。如果退出过程满足TXT=1W（t），则退出过程W具有渐近速率W→ w a.s.作为T→ ∞.对于任何提取过程，几乎可以肯定所有t的V（t）>0。但是，V（t）可能会减小到较小的值，这当然是不可取的。我们确定了一种不会发生这种情况的条件。定义6。如果V（t），则退出过程称为可持续的→ ∞ a、 s.as t→ ∞.我们的主要结果如下：我们证明了可持续性的充分条件，以及其他非可持续性的充分条件。这两个结果之间存在差距，因为EC+g>1- e-c-g、 因此，这些都不是必要且充分的条件。缩小这一差距是为了将来的研究。定理5。在假设1下，（a）任何常数提取过程W（t）=W<1- e-c-gis可持续发展；（b） 任何渐近速率w＞c+g的退出过程都是不可持续的。5.2. 恒定的实际提款金额。现在，让我们切换到规则（a）。假设年提取率为常数（调整通货膨胀），则可能发生破产（财富小于零）。实际收益增长未建模为i.i.d.或任何其他特定的时间序列模型。因此，很难明确计算破产概率。然而，我们可以使用块引导：随机选择1876至2021之间T年的实际收益增长率。为简单起见，我们假设实际收益增长项和高斯残差之间没有相关性。这与数据不一致，但我们将此假设用作有用但不完美的近似值。

模拟程序如下所示。（1） 固定初始气泡测量值H（0）。（2） 对于t=1，T，使用AR（1）和高斯噪声ε（T）模拟H（T）。（3） 独立于ε，选择1876年的T年连续周期，2021随机（统一）。取本期t的收益增长数据G（t）。（4） 第t年的总回报Q（t）由（10）给出。（5） 使用财富Vw（t）在时间t递归计算财富Vw（t- 1） 在时间t- 1： Vw（t）=Vw（t- 1） 等式（t）- w、 （6）重复步骤2-5给定次数。16 ANDREY Sarantsev退出率3%4%5和当前泡沫测量值0.1%3%13%平均泡沫测量值0.3%5%18%表2。违约概率。40年1000次模拟的结果。（7） 如果在某个步骤t，我们得到：Vw（t）<0，我们停止这个模拟，并认为这是破产（破产）。然后我们计算了经验破产概率。以T=40为例，这似乎是一个合理的退休期限。我们投资股票市场，再投资股息，每年提取w。我们研究了两种情况：（a）从当前（截至2022年1月）的泡沫测度x开始；（b） 从长期平均泡沫指标h开始。因此，在这两种情况下，3%甚至4%的退出率相对安全。但5%的提款率已经不太安全了：10%-20%的破产概率很大。由于x<h，从当前泡沫测度x开始的破产概率小于平均泡沫测度h.6。讨论了M（t）估值测度的两种选择：经典CAPE和bubble；对于平均窗口W的每个选择，我们得到总收益的以下分解：（21）R（t）=4M（t）+Γ（t）+（t） ，式中，Γ是后续5年平均实际收益的收益增长率；M由AR（1）控制，4M（t）≡ M（t）-M（t-1); 和（t） =ln（1+D（t）/S（t））是经典CAPE的对数股息收益率，并且（t） =其他两个度量值为0。

回想一下总回报的三个组成部分：收益增长、股息率和估值变化。我们将它们分布在（21）右侧的条款中，如下所示：（a）对于经典CAPE，4M是估值变化，Γ是收益增长，以及 isdividend产量。（b） 对于泡沫指标，400万同时包含估值和股息收益率的变化，而Γ是收益增长。最初的CAPE在没有附加条款（取决于股息率）的情况下无法解释股市回报。该模型的两个修正将股市回报解释为AR（1）过程和收益增长的总和。1920年之前，年实际收益增长率为1-2%，而股息收益率为5%。1970年后，年实际收益增长率为4-5%，股息率为2%。股息率由公司的支付政策决定。如果一家公司选择将其大部分收益作为股息支付，那么股息收益率很高，但留存收益（用于偿还债务、投资扩张或研发以及进行股票回购）很小；因此，收益增长必须更小。相反，如果一家公司选择回购股票而不是支付股息，那么每股收益增长更快。因此，实际收益增长可能与Tone所谓的基本收益增长不同，基本收益增长是指股息支付/股票回购政策不变的增长。同样，实际股息收益率可能无法代表基本股息收益率。回想一下莫迪利亚尼-米勒定理，该定理规定了股息政策总回报的差异。我们还讨论了退出策略。更准确地说，我们测试了经典的4%提取率（提取初始财富的4%，经通货膨胀调整）是否可持续。答案是肯定的。即使是5%也是相当安全的。

但6%不再安全。截至2022年1月，市场定价过高还是过低？海角显示其价格过高，但curret泡沫低于其长期平均值。在图4中，我们绘制了这两个估价指标：CAPE的对数和泡沫指标。两者都是通过将其历史平均值细分而集中的。我们可以看到，在21世纪初之前，这两项措施非常接近，但后来又出现了明显的分歧。如第2节所述，这可归因于公司重新开始支付股息。这种变化是最近的（过去20年）。如果这种对股息的厌恶再持续一个世纪，那么资本支出可能会上升，不再代表市场状况。然后，泡沫指标将对未来回报具有更强的预测能力。未来的研究可能集中在盈利增长建模上。这将包括经济预测，因为企业盈利与整体经济和税收政策密切相关。此外，还需要对退出率进行更详细的调查。或者，可以将此研究复制到单个股票和股票投资组合，而不是整个股票市场指数。此外，可以缓解我们模拟研究中的不足，包括自回归残差和实际收益增长项之间的去相关。最后，我们可以在建模中包括利率（短期国库券、长期国库券和长期AAA公司利率），这些利率也可以从1871年起获得。我们可以在回归模型中使用这些债券收益率。低债券收益率降低了它们的吸引力，并推高了股价，使CAPE走高。由于目前美国的收益率处于历史低位，这可以解释历史高位的CAPE比率。此外，我们可以制作股票（以标准普尔指数衡量）和债券（国债或AAA公司债券）的投资组合。7、附录7.1。

引理1的证明。方程式（15）来自（12）和以下计算：Q（T）=T(1) + . . . + （T）+G（1）+…+G（T）=TH（1）- H（0）+c+H（2）- H（1）+c+…+H（T）- H（T- 1） +c+TG（1）+G（2）+…+G（T）= c+H（T）T-H（0）T+TG（1）+G（2）+…+G（T）.方程式（16）来自（11）和（15）。7.2. 定理1的证明。让我们证明一下（17）。我们可以重写(1) + . . . + （T）=TcT+H（T）- H（0）= c+H（T）- H（0）T。让我们证明H（T）/T→ 取（1）中的期望值，我们得到：E[H（t）]- h=b（E[h（t-1)]-h） 。通过求解这个递归关系，我们得到序列EH（t），t=0，1。18 ANDREY SARANTSEVis边界。接下来，从（1），Var（H（t））=b·Var（H（t- 1)) + σ. 由于0<b<1，我们有：（22）Var（H（t））≤σ1 - b、 将期望的有界性与（22）相结合，得到：EH（t）≤ C代表所有t≥ 0和一些常数C。根据马尔可夫不等式，对于每一个a>0，我们有：P（t-1 | H（t）|≥ （a）≤EH（t）/在≤ C/at。从Borel-Cantelli引理来看，a.s.仅在许多事件中出现：{t-1 | H（t）|≥ a} 。由于这对于所有a>0都是正确的，我们得出结论，（23）t-1H（t）→ 0 a.s.作为t→ ∞.根据[14，第28.5节，定理6]，从假设1，我们得到了过程G的强大数定律：几乎可以肯定，（24）G（0）+…+G（T- 1） T型→ g： =E[g（1）]，T→ ∞.结合（23）和（24），我们完成了定理1.7.3的证明。定理2的证明。确定N（0，σ）的密度：Д（z）=[√2πσ]-1exp-z/2σ.然后我们可以表示ε（t）=H（t）- h类- b（H（t- 1) - h） 使用（5）。因此，（G，H）的传递度：给定G（t）（G，H）时（G（t），H（t））的条件密度- 1） =甘地（t- 1） =h，由（25）p（g，h）给出- h类- b（h- h） ，g）Д（h- h类- b（h- h） ）。7.4. 定理3的证明。第1步。假设3中的函数p对于任何参数值都是严格正的。高斯密度也是严格正的。因此，函数（25）也是如此。

因此，马尔可夫过程（G，H）具有正性：对于子集a Rof正Lebesgue测度，对于任何g，h∈ R、 （26）P（（G（1），H（1））∈ A | G（0）=G，H（0）=H）>0。第2步。求解回归方程（5）：H（t）-h=bt-1ε(1) + . . . + ε（t）+bt（H（0）-h） 。该随机变量的分布与H（t）=Pts=1bs相同-1ε（s）+bt（H（0）-h） +h。以下级数在Lp中收敛：（27）h(∞):=∞Xs=1bs-1ε（s）。实际上，ε（s）的p-范数是常数（不依赖于s），b∈ (0, 1). 因此，这些序列（27）在Lp中收敛。我们应用空间Lpis-Banach，即每个基本序列收敛。因此，序列H（t）→ H类(∞) + h作为t→ ∞ 在Lp中。因此，H（t）的分布（与H（t）的分布相同）在法律上收敛于H的分布(∞)+h、 此外，h（t）的pth矩收敛于h的pth矩(∞)+有t→ ∞. 由于Wp中的收敛等价于弱收敛加上pth矩的收敛，上述结果意味着Wp中的收敛。平稳分布∏的有限pth矩由（28）和Fatou引理表示。通过观察H是具有高斯新息的AR（1），我们得到了H的∏的边缘分布；查看时间序列上的任何classictext，例如[8]。新的估值指标股票挂钩年金19步骤3。最后，让我们证明平稳分布的唯一性和全变分的收敛性。这源于两个观察结果。首先，如上所述，过程（G，H）具有正性（26）。第二，我们有：（28）suptE|G（t）| p+| H（t）| p< ∞.对于G，这在假设4中；对于H，如上所示，因为H（t）收敛于pas t→ ∞. 从（28）中，我们得到序列（G（t），H（t））是紧的：（29）supt=0,1，。。。P（| G（t）|>u）+P（| H（t）|>u）→ 0，u→ ∞.在[17]中，属性（29）称为概率有界性。

这个过程（G，H）也是不可约的（也就是说，它没有两个或多个断开的状态间隔组件），因为跃迁密度处处都是严格正的。函数Дfrom（？？）是连续的。假设3中的函数p在前两个参数中是连续的。因此，马尔可夫过程（G，H）在[17，p.548]的意义上是一个T链。应用[17，p.550]中的推论（ii），我们得出结论，马尔可夫过程H在[17]的意义上是正Harrisrecurrent。因此，它具有唯一的平稳分布。将[17，定理3.4]应用于Lebesgue测度ψ（因为（G，H）对于该Lebesgue测度是不可约的），我们得到：所有紧集都是小的。应用【17，定理5.2（iii）】。使用非周期性（在引用的定理的符号中，m=1），它来自于跃迁密度的正性。这就完成了步骤3.7.5的证明。定理4的证明。我们重写Q（1）+…+Q（T）- （c+g）T√VT=G（1）+…+G（T）- 燃气轮机√VT+H（T）- H（0）√根据[11]，假设2暗示了以下中心极限定理：G（1）+…+G（T）- 燃气轮机√及物动词=> N（0，1），T→ ∞.有必要证明分布（或概率，这是等效的）的收敛性：（H（T）-H（0））/√及物动词→ 0作为T→ ∞. 反过来，它需要在L中显示收敛性，这比在概率上的收敛性强。但这种收敛性源自定理1.7.6的证明中所示的H（t）二阶矩的有界性。定理5的证明。（a） 我们可以重写V（t）=V（t-1） eG（t）+（t）-w*对于t=1，2。，其中w*= -ln（1-w） <g+c.通过感应，V（t）=expG（1）+…+G（t）+(1) + . . . + （t）- tw公司*.我们可以把这个指数表示为lnv（t）=G（1）+…+G（t）+H（t）- H（0）+ct- w*t、 使用之前的结果（23），我们得到：tln V（t）=ttXk=1G（k）+tH（t）-tH（0）+c- w*→ g+c- w*> 因此V（t）→ ∞ a、 s。

作为t→ ∞.20 ANDREY SARANTSEV（b）类似地，ln V（t）=G（1）++G（t）+H（t）-H（0）+ct+ln（1-W（1））++ln（1-W（t））。请注意-ln（1-w）≥ w代表w∈ (0, 1). 因此ln V（t）≤ G（1）+…+G（t）+H（t）-H（0）+ct- W（1）- . . . - W（t）。除以t，让t→ ∞, 我们有：tln V（t）≤ttXk=1G（k）+H（t）t-H（0）t+c→ g+c- w<0。因此限制→∞V（t）≤ 1，而且这种退出率是不可持续的。参考文献【1】Robert D.Arnott、Denis B.Chaves、Tzee man Chow（2017）。《山中之王：先令市盈率和宏观经济状况》。《投资组合管理杂志》44（1），55–68。[2] Anna R.Bacinello（2014年）。股票挂钩人寿保险。在威利统计在线参考。[3] Anna R.Bacinello，Fulvio Ortu（1993年）。采用内生最低担保的股票挂钩人寿保险定价。保险：数学与经济学12（3），245–257。[4] H.Kent Baker，Robert A.Weigand（2015年）。重新审视公司股息政策。管理财务41（2），126–144。[5] Alicia Barrett，Peter Rappoport（2011年）。价格收益投资。摩根大通资产管理公司，《现实回报2011年11月》（1），1–12。[6] 马修·布德罗特（Mathieu Boudreault），让·弗朗索瓦·雷诺（Jean-Francois Renaud）（2019）。精算金融：衍生品、量化模型和风险管理。威利。[7] Phelim Boyle，田卫东（2008）。股票指数年金的设计。保险：数学和经济学。43 (3), 303–315.[8] Peter J.Brockwell，Richard A.Davis（2016）。时间序列和预测简介。第三条，斯普林格。[9] Oliver D.Bunn，Robert J.Shiller（2014年）。变化的时代，变化的价值观：1872-2013年美国股市各部门的历史分析。NBER工作文件20370。[10] 约翰·Y·坎贝尔，罗伯特·J·希勒（1998）。估值比率和长期股市前景。《投资组合管理杂志》24（2），11–26。[11] Ernst Eberlein，Murad Taqqu（1986年）。

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