[量化金融] 一类存在的可解多维停止问题 [推广有奖]

因此，我们通过使用与定理3.2中的证明类似的参数来观察到▄Vκ（y）=supτ∈TEQθye-rτpYτ- K+.给定此函数，我们立即注意到如果条件满足→0+π（y*K） ψ（y）=∏（y*K） （2pκ+2r）d-1.≥ Kis-met，则Vκ（y）支配着运动的收益|√y- K |所有y∈ R+也是。因此，我们注意到，在这种情况下，Vκ（y）=supτ∈TEQθyhe-rτ| pYτ- K | i.然而，iflimy→0+π（y*K） ψ（y）=∏（y*K） （2pκ+2r）d-1<K（4.4），则最优策略不再是标准的单边界策略。要确定这一点，请考虑比率∏c（y）的行为=|√y- K | Uc（y）适用于所有c∈ (0, ∞) 和y∈ R+。立即确定任意状态y∈ R+连续差异：R+7→ R asD（c）=supw≥y^∏c（w）- supw公司≤y^∏c（w）。首先考虑极端情况D（0）。从我们对上面处理的单边界情况的分析中可以清楚地看出，^∏（y）在（0，K）上单调递减∪ （y）*K∞), 单调递增（K，y*K） ，并满足极限条件limy→∞^∏（y）=0和limy→0^∏（y）=（2pκ+2r）1-dK>∏（y*K） 根据假设（4.4）。综合这些观察结果表明，对于所有y，^∏（0）>^∏（y）∈ 因此，D（0）<0。现在，依次考虑另一个极端设置D(∞).像以前一样利用现在完全类似的论点，我们注意到∞（y） 是单调递增的（K，∞), 以y为界∈ (0, ∞), 并满足极限条件∞（0）=0和石灰→∞^Π∞（y） =∞. 因此，我们注意到对于y∈ (0, ∞) 我们有supw≤y^∏∞（w）<∞,supw公司≥y^∏∞（w） =∞因此，limc→∞D（c）=∞.

将这些结果与差值D（c）的连续性相结合，证明至少存在一个c*∈ R+使D（c*) = 0表示SUPW≥y^∏c*（w） =supw≤y^∏c*（w） 。此外，最优阈值y*i、 i=1，2满足一般一阶最优性条件hic*（y）*i） py公司*i=hic*（y）*i） （py*我- K） ，i=1，2。在这种情况下，该值读取asVκ（y）=√y- K、 y型≥ y*^∏c*（y）*)h1c*（y） ，y*< y<y*K-√y、 y型≤ y*.自然，集合（0，y*) ∪ （y）*, ∞) 构成本例中的停止集。为了从数值上说明我们的发现，我们现在假设r=0.1，κ=0.02，d=5（这意味着低于该问题成为单边界问题的临界成本为≈ 0.975222). 假设K=4（意味着y*= 3.85108，y*= 63.4344和c*= 9.07278). 在K=0.85的假设下（意味着*0.85= 4.7294).y0.51.1.5VΚhyl图5：值（均匀）和运动补偿（虚线）4.2真正的二维修正前面描述的问题的显式可解性基于情况对称性的降维。即使稍微打破了这种对称性，通常也没有希望再找到这样明确的解决方案。在本节的其余部分，我们将通过一个示例对此进行说明，并说明如何处理这些更一般的问题。我们再次考虑径向对称payoff（4.1），但不是假设kθtk≤ 对于密度过程，我们现在假设kθtk∞≤ κ、 即，最大{|θ1t |，|θ2t |}≤ κ，并用^Pκ表示所有相应概率度量的集合。我们注意到，Alvarez E.和Christensen（2019）曾考虑过这种模糊结构。

我们写出^Vκ（x）=supτ∈TinfQθ∈^PκEQθxe-rτF（Xτ）{τ<∞}和^Cκ对应的连续集。像√丹麦·k≤ k·k∞≤ k·k，很明显，对于allxVκ√d（x）≤^Vκ（x）≤ Vκ（x）及其预测κ√d^Cκ Cκ。为了简单起见，我们现在将注意力限制在d=2和F（y）=y的情况下。在这种情况下，利用本节的结果很容易看出Cκ√D和Cκ是围绕0的圆。虽然明确地找到^Vκ和^Cκ的希望很小，但很容易推断出解决方案的结构：最坏情况下的度量是以密度生成器^θ为特征的*= （κsgn（x），κsgn（x））。由于情况的对称性，要解决的最佳停止问题可以写成^Vκ（x）=supτ∈TE^θ*x个e-rτF（Xτ）{τ<∞},因为x在上象限R+，其中x是一个带漂移的布朗运动(-κ, -κ） 以及R+边界上的（正交）反射。请注意，象限中的反射布朗运动已被广泛研究，见Harrison和Reiman（1981）；Williams（1985）提到了两个。最近，半显式地（在瞬态情况下）发现了绿色内核，见Franceschi（2019）。这为利用积分方程技术描述未知的最佳停车边界打开了大门，一般理论见Peskir和Shiryaev（2006），而Christensen等人（2019）则了解与此非常接近的特定设置。5结论我们分析了在基础服从多维布朗运动的情况下，奈特不确定性对模糊逆向决策者的最佳时机策略的影响。我们确定了两种可以显式解决问题的特殊情况，并在显式参数化示例中说明了我们的发现。

我们的结果表明，与明确的基准情况相比，Knightian不确定性不仅加快了最优时机策略的速度，而且还可以在worstcase测度下增加基础动态的稳定性。更准确地说，即使潜在的多维布朗运动在长期内不会收敛到平稳分布，受控过程也会收敛。这一观察结果表明，在某些情况下，歧义可能会对潜在的动态产生深远而非重大的影响。本研究将潜在的随机因素动力学建模为多维布朗运动，并侧重于两种允许使用降维技术的函数形式，从而导致停止线性差异问题。我们选择的建模框架至少有三个自然的方向可以尝试扩展。首先，尽管大多数标准因子模型依赖于驱动因子的线性组合，但分析潜在非线性在存在歧义的情况下如何影响最佳时机决策自然会很有意义。特别是，引入状态相关因素将揭示因素动态中的非线性如何影响模糊厌恶决策者的决策的机制。其次，对第4.2小节中提出的真正的二维修改进行彻底分析，将提供关于允许降维的问题与不允许降维的问题之间差异的有价值的信息。第三，将贝叶斯学习添加到所考虑的问题类别中也是一个有趣的方向，我们的分析可以扩展到这一方向。所有这些扩展都极具挑战性，目前超出了本研究的范围。参考文献Alvarez E.，L.H.R.（2007）。

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