[量化金融] 一种自上而下的员工多重练习和评估方法 [推广有奖]

这种成熟度随机化允许我们推导出成本的显式近似值。5.1既得ESO首先，我们在行权期结束时考虑ESO成本。如果《时代》电视台的员工在公司任职，则既得ESO的剩余期限为T- 电视。因此，对于指数分布的成熟度τ~ exp（κ），可以设置κ=1/（T- 电视）。在时间tv时，既定ESO成本函数C（m）（s）由C（m）（s）=IE给出Zτ∧ξtve-r（u-电视）（Su- K） +dLu+e-r（τ∧ξ-tv）（M- Lτ∧ξ） （Sτ∧ξ- K） +| Stv=s，Ltv=M- m、 τ∧ ξ ≥ 电视（50）=IEZ∞tve公司-（r+κ+β）（u-电视）（Su-K） +dLu+Z∞tv（κ+β）e-（r+κ+β）（u-tv）（M-Lu）（苏- K） +du | Stv=s，Ltv=M- m级（51）=IEZ∞e-（r+κ+β）u（Su- K） +dLu+Z∞（κ+β）e-（r+κ+β）u（M- Lu）（苏- K） +du | S=S，L=M- m级, （52）对于m=1，MFr om（52），我们推导了C（m）（s）的相关ODE。为方便起见，我们表示a=-（r+λ+β+κ），a=r- q、 a=σ，gm=λ′pm+m（β+κ）。（53）然后，我们得到了一个二阶线性常微分方程组：aC（m）+asddsC（m）+asddsC（m）+λm-1Xz=1pm，zC（m-z） +总经理- K） +=0，（54）对于m=1，M、 和s∈ R+，边界条件C（m）（0）=0。命题4 ODE系统的解决方案（54）isC（m）（s）=Ams+BmK+m-1Xn=0Em，n[ln（sK）]n（sK）γ-θ; 如果s>K，m-1Xn=0Fm，n[ln（sK）]n（sK）γ+θ；如果0≤ s≤ K、 （55）对于m=1。

，M，其中Am=a+a-λm-1Xz=下午1点，zAm-z- 克Bm=a-λm-1Xz=1pm，zBm-z+gm！，E1,0=-（A+B）K（γ+θ）- AK2θ，F1,0=-（A+B）K（γ- θ) - AK2θ，Em，m-1= -λpm，1Em-1，米-2（米- 1） [a+2a（γ- θ) - a] ，对于m≥ 2，Fm，m-1= -λpm，1Fm-1，米-2（米- 1） [a+2a（γ+θ）- a] ，对于m≥ 2，Em，n=-λPm-新西兰=下午1点，zEm-z、 n个-1+（n+1）奈姆，n+1n[α+2a（γ- θ) - a] ，对于1≤ n≤ m级- 2，Fm，n=-λPm-新西兰=下午1点，zFm-z、 n个-1+（n+1）naFm，n+1n[α+2a（γ+θ）- a] ，对于1≤ n≤ m级- 2，Em，0=-（Am+Bm）K（γ+θ）- AmK+Fm，1-Em，12θ，对于m≥ 2，Fm，0=-（Am+Bm）K（γ- θ) - AmK+Fm，1-Em，12θ，对于m≥ 2、（56）和γ=-r- qσ，θ=rγ+2（r+λ+β+κ）σ。（57）证明。我们首先考虑员工只持有一个选项的情况。当M=1时，ODE（54）的通解由C（1）（s）给出=As+BK+E1,0（sK）γ-θ+~E1,0（sK）γ+θ；如果s>K，F1,0（sK）γ+θ+F1,0（sK）γ-θ; 如果0≤ s≤ K、 （58）其中=-ga+a，B=ga.（59）通过强制C（1）（s）和DDSC（1）（s）在执行价格K下连续，我们考虑了s=K下的C（1）（s），并获得1 1γ - θ γ + θE1,0-F1,0E1,0- F1,0= -KA+BA(60)=>E1,0-F1,0E1,0- F1,0= -K2θ（γ+θ）（A+B）- A.-(γ - θ） （A+B）+A. （61）此外，由于γ- θ<0，我们将有▄F1，0=0，以保证C（1）（0）=0。当κ→ ∞, 成熟度τ→ 0，P-a.s.，这将导致C（1）（s）→ （s）- K） +。因此，我们有▄E1，0=0。因此，我们获得了剩余的非零系数：E1,0F1,0= -K2θ（γ+θ）（A+B）- A（γ- θ） （A+B）- A..

（62）对于M≥ 2，ODE（54）isC（m）（s）的通解=Ams+BmK+m-1Xn=0Em，n[ln（sK）]n（sK）γ-θ如果s>K，m-1Xn=0Fm，n[ln（sK）]n（sK）γ+θ，如果0≤ s≤ K、 （63）应用O DE（54），我们得到了C（m）（s）的系数和C（n）（s）的系数之间的关系，对于n≤ m级- 1，如下所示：Am=a+a-λm-1Xz=下午1点，zAm-z- 克Bm=a-λm-1Xz=1pm，zBm-z+gm！，Em，m-1= -λpm，1Em-1，米-2（米- 1） [a+2a（γ- θ) - a] ，Fm，m-1= -λpm，1Fm-1，米-2（米- 1） [a+2a（γ+θ）- a] ，Em，n=-λPm-新西兰=下午1点，zEm-z、 n个-1+（n+1）奈姆，n+1n[α+2a（γ- θ) - a] ，对于1≤ n≤ m级- 2，Fm，n=-λPm-新西兰=下午1点，zFm-z、 n个-1+（n+1）naFm，n+1n[α+2a（γ+θ）- a] ，对于1≤ n≤ m级- 2，（64）对于m=2，M、 此外，C（M）（s）和DDSC（M）（s）围绕s trike price K的连续性产生（Am+Bm）K+Em，0=Fm，0，Am+（γ- θ） Em，0K+Em，1K=（γ+θ）Fm，0K+Fm，1K。（65）重新排列，我们获得解决方案的剩余系数：Em，0=-（Am+Bm）K（γ+θ）- AmK+Fm，1- Em，12θ，Fm，0=-（Am+Bm）K（γ- θ) - AmK+Fm，1- Em，12θ。（66）5.2未授予ESO对于未授予ESO，我们可以通过指数随机变量τv来建模授予时间tV~ exp（|κ），其中|κ=1/tv。然后，时间0时的未授予ESO成本由▄C（m）（s）=IE给出e-（r+α）τvC（m）（Sτv）S=S（67）=IEZ∞κe-（r+α+～κ）uC（m）（Su）duS=S.

（68）然后我们可以推导出▄C（m）（s）的ODE：-（r+α+～κ）~C（m）+（r- q） s的SDD▄C（m）+σSDD▄C（m）+▄κC（m）=0∈ R+，~C（m）（0）=0。（69）假设λ+β+κ6=α+κ，我们可以从（63）中C（m）的溶液中推导出▄C（m）的溶液，即▄C（m）（s）=§Ams+～BmK+m-1Xn=0Em，n[ln（sK）]n（sK）γ-θ+~Em（sK）~γ-如果s>K，m，则为θ-1Xn=0Fm，n[ln（sK）]n（sK）γ+θ+~Fm（sK）~γ+~θ如果0≤ s≤ K、 （70）其中~γ = γ =-r- qσ，△θ=r△γ+2（r+α+△κ）σ，△Am=△κAmq+α+△κ，△Bm=△κBmr+α+△κ，（71）和Em，m-1= -ИκEm，m-1R、~Fm、m-1= -κFm，m-1R、~Em、m-2= -ИκEm，m-2+（m- 1） PEm，m-1R、~Fm、m-2= -κFm，m-2+（m- 1） QFm，m-1R，~Em，n=-2？κEm，n+2（n+1）P？Em，n+1+σ（n+2）（n+1）？Em，n+22rf或0≤ n≤ m级- 3，~Fm，n=-2？κFm，n+2（n+1）Q？Fm，n+1+σ（n+2）（n+1）？Fm，n+22rf或0≤ n≤ m级- 3，▄Em=（▄γ+▄θ）P- Q▄θ，▄Fm=（▄γ-θ）P- Q￠θ，（72）带R=λ+β+κ- α - Иκ，P=r- q+σ（2γ- 2θ - 1） ，Q=r- q+σ（2γ+2θ- 1） ，P=~Fm，0-Em，0- KAm-KBm，Q=（γ+θ）~Fm，0- (γ - θ） Em，0- K▄Am+▄Fm，1-Em，1。（73）或者，可以使用FDM或FFT计算未授予的ESO成本，而无需第二次应用成熟度随机化。在图6中，我们显示了未授予ESO的成本，该成本由我们的到期随机化方法计算，作为初始库存价格S的函数，以及ESO支付。正如预期的那样，SESO成本在S越来越凸。比较两种不同的解雇率α对应的成本∈ {0.01，0.1}在等待期内，我们发现较高的工作终止率会降低ESO值。这是很直观的，因为员工在行权期内离开公司的几率更高，进而完全失去期权。成熟度随机化方法提供了允许即时计算的分析近似值。在图7中，我们检查了此方法的错误。

正如我们所看到的，随着锻炼强度λ或授予后工作终止率β的增加，每个选项的估值误差会相应减少到一便士以下。这种成熟度随机化方法对于ESO估值非常准确和有效。0 5 10 15 20股票价格=0.01=0.1（S-K）+图6：使用成熟度随机化方法计算的E SO成本，并绘制为股票价格的函数，其中两个不同的工作终止率α=0.01，0.1，以及ESO支付- K） +用于比较。参数s：T=10，tv=2，κ=0.125，|κ=0.5，r=5%，q=1.5%，σ=20%，λ=0.1和β=0.1.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10运动强度（）0.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10.11（a）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10工作终止率（）0.020.040.060.080.10.12（b）图7：成熟度随机化方法误差与（a）和（b）中运动强度λ和工作终止率β的函数关系图。We fixβ=1 in（a）和λ=1 in（b）。参数：S=K=10，T=10，tv=0，κ=0.1，|κ=0，r=5%，q=1.5%，σ=20%，pm，z=1/m，m=5。常见参数：λ=1和β=1.6隐含到期鉴于ESO很可能在到期前行使，ESO授予的总成本由员工有效持有期权的时间决定。对于每次授予的Moptions，行使时间是不同的，它们取决于估值模型和相关参数。因此，我们引入隐含成熟度的概念，以直观地衡量任何给定估值模型隐含的有效成熟度。与众所周知的波动率叠加概念一样，我们使用Black-Scholes期权pricingformu la。带有s trike K和到期日T的欧洲电话的价格由CBS（St，T）=e给出-q（T-t） StΦ（d）- e-r（T-t） KΦ（d），（74），其中d=σ√T- t型自然对数StK公司+r+σ（T- t）, d=d- σ√T- t。

（75）接下来，回顾第2节自上而下估值模型下的ESO成本函数C（m）（t，s）。然后，m ESO的隐含到期日被定义为CBS（s，eT）=C（m）（0，s）m（76）持有的到期参数T s uch，所有其他参数保持不变。为了确定另一种模型下的隐含到期日，仅需替换（76）中右侧的相应成本函数。通过隐含成熟度的视角，我们可以看到模型和参数对员工在Black-Scholes模型下持有期权的时间的影响。例如，如果锻炼强度λ增加，则ESO更有可能提前锻炼，从而降低成本。由于看涨期权的价值随着到期日的增加而增加，预计隐含到期日将随着行使强度的增加而减少。图8中的曲线图证实了这一直觉。此外，在高行使强度下，所有ESO都将很早行使，合同到期日对ES O成本的影响较小，因此对隐含到期日的影响较小。事实上，图8显示，随着λ的增加，与不同合同到期日T=5、8和10相关的隐含自然数彼此越来越接近。接下来，我们考虑授予的ESO总数的影响。直觉上，我们预计隐含到期日将随着期权数量M的增加而增加，但其影响远非线性。在图9中，我们看到隐含到期日随着M的增加而增加。换言之，在假设ESO将逐步行使的情况下，更大的ESO授予会间接推迟行使，从而导致更高的隐含到期日。不同运动强度下的缓解趋势保持不变，但大运动量下的缓解率显著降低。

此外，运动强度越高，隐含成熟度越低。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1锻炼强度t=5T=8T=100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1锻炼强度t=5T=8T=10图8：使用FFT或成熟度随机化计算的成熟度t=5、8或10时，作为员工锻炼强度λ函数的隐含成熟度。左：FFT。右图：成熟的专制统治。参数：S=K=10，r=5%，q=1.5%，σ=20%，pm，z=1/m，m=5，tv=0，β=0.1。FFT中：Nx=2，xmin=-10，xmax=10.0 5 10 15 20期权数量（M）=0.1=0.2=0.40 5 10 15 20期权数量（M）1.52.53.54.5=0.1=0.2=0.4图9：使用FFT或到期随机化计算的不同行使强度λ，作为授予M的期权数量的函数，影响到期日。左：FFT。右图：成熟的专制统治。常用参数：S=K=10，r=5%，q=1.5%，σ=20%，pm，z=1/m，T=10，tv=0，β=0.5。FFT中：Nx=2，xmin=-10，xmax=10.7结论我们研究了一个新的估值框架，该框架允许ESO持有人在一段时间内分散不同数量的行使，而不是假设所有期权将在同一时间行使。持有者的多次随机练习是由一个外生的重复过程来模拟的。我们举例说明了与经验证据一致的多日期练习的分布。包括的其他特征是在授予期内和之后的工作终止风险。对于成本计算，我们采用快速傅立叶变换方法和有限差分方法来求解相关的偏微分方程组。此外，我们还提供了一种基于成熟度随机化的评估ESO成本的替代方法。其已授予和未授予ESO成本的分析公式允许即时计算。

拟议的数字方法不仅适用于监管机构要求的ESO费用，而且有助于了解锻炼强度和工作终止风险对ESO成本的综合影响。对于未来的研究，有许多与我们的建议框架相关的方向。对于许多公司来说，大型ESO池的风险评估既具有重要的实践意义，又具有挑战性。另一个相关问题涉及ESO的激励效应和优化设计，以便企业能够在更长的时间内更好地协调员工的利益。参考Armstrong，C.S.，Jag olinzer，A.D.，和Larcker，D.F.（2007）。员工行使股票期权的时间和股票期权授予的成本。工作文件，斯坦福大学。Bettis，J.C.、Bizza k，J.M.和Lemmon，M.L.（2001）。管理层所有权、激励性合同、零成本合约的使用以及公司内部人员的股权互换。《金融与定量分析杂志》，36:345–370。Bettis，J.C.、Bizjak，J.M.和Lemmon，M.L.（2005）。行使员工股票期权的行为、估值和激励效果。《金融经济学杂志》，76（2）：445470。Carmona，J.、Le\'on，A.和Va e llo Sebasti\'A，A.（2011年）。就业冲击下的高管股票期权定价。《经济动力与控制杂志》，3 5:97–114。Carpenter，J.（1998）。高管股票期权的行使和估值。《金融经济学杂志》，48:127–158。Carpenter，J.N.、Stanton，R.和Wallace，N.（2017）。估计员工股票期权行使率和固定成本。工作文件，纽约大学和加州大学伯克利分校。Carr，P.和Linetsky，V.（2000年）。在基于意向的框架下对执行股票期权的估价。《欧洲金融评论》，4:211–230。Cvitani\'c，J.、Wiener，Z.和Zapater o，F.（2008年）。员工股票期权的分析定价。

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