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浙江科技学院2020年数学分析
证明
$\displaystyle \because f(0)=0< \frac{a}{a+b}< 1=f(1),$
由连续函数的介值定理,有
$\displaystyle \exists x_0\in (0,1),s.t.$
$\displaystyle f(x_0)=\frac{a}{a+b}.$
再利用拉氏微分中值定理
$\displaystyle \exists \xi \in (0,x_0),\eta \in (x_0,1),s.t.$
$\displaystyle f(x_0)-f(0)=\frac{a}{a+b}=f'(\xi)x_0,$
$\displaystyle f(1)-f(x_0)=1-\frac{a}{a+b}=\frac{b}{a+b}=f'(\eta )(1-x_0),$
$\displaystyle \therefore \frac{a}{f'(\xi)}=(a+b)x_0,$
$\displaystyle \frac{b}{f'(\eta )}=(a+b)(1-x_0),$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{a}{f'(\xi)}+\frac{b}{f'(\eta )}=a+b.$
【注】此题太技巧了。不太容易想到。更一般的形式为:
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