数学分析习题练习六

中山大学2020数学分析试题


此题类型常考，用定义讨论即可。

中山大学2020数学分析试题

中山大学2020数学分析试题


解：
                 利用格林公式计算，添加直线AB，使之与圆弧AB组成一个闭合区域：L+BA，方向从B到A。

                                $\displaystyle P=y(\frac{y}{2x^2}+1),Q=-(\frac{y}{x}+x).$

                               $\begin{align*}I&=\int_LPdx+Qdy\\\\&=\oint_{L+BA}Pdx+Qdy-\int_{BA}Pdx+Qdy\\\\&=\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy-\int_{y=x}Pdx+Qdy\\\\&=\iint_D(\frac{y}{x^2}-1-\frac{y}{x^2}-1)dxdy-\int_{3}^{1}(\frac{1}{2}+x-1-x)dx\\\\&=-\pi-1.\end{align*}$

中山大学2020数学分析试题


解：
           为计算方便，将坐标轴下移：$z'=z+1.$,则在下移后的坐标中，曲面和所围平面为：
                                               $\displaystyle z'=\sqrt{x^2+y^2},z'=1,z'=2.$

              则要求的曲面的表面积为：
                                              $\displaystyle S=\iint_\Sigma dS=\iint_{D_{xy}}\sqrt{1+z'^2_x+z'^2_y}dxdy=2\iint_{D_{xy}}dxdy=2\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{1}^{2}rdr=6\pi.$

中山大学2020数学分析试题


解：先用放缩法，再利用夹逼法求
                             $\displaystyle \because \frac{1}{n+1}< \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}< \frac{1}{n},$

                             $\displaystyle \therefore \lim_{n \to +\infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n+1}\cdot \frac{1}{n}\sin \frac{k\pi}{n}< \lim_{n \to +\infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin \frac{k\pi}{n}}{\sqrt{n^2+k}}< \lim_{n \to +\infty }\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n}\sin \frac{k\pi}{n}.$

                             $\displaystyle \Rightarrow  \lim_{n \to +\infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin \frac{k\pi}{n}}{\sqrt{n^2+k}}=\int_{0}^{1}\sin x\pi dx=\frac{2}{\pi}.$

中山大学2020数学分析试题


证明：
                利用不等式
                                    $\displaystyle \because \sin x\geq \frac{2}{\pi}x,x\in[0,\frac{\pi}{2}],$

                                     $\displaystyle \therefore \tan x\sin ^2x-x^3=\frac{1}{\cos x}\sin^3x-x^3\geq \sin^3x-x^3\geq (\frac{2}{\pi}x)^3-x^3=(\frac{8}{\pi^3}-1)x^3> 0.$

中山大学2020数学分析试题


解：
                             $\displaystyle \because \sin \frac{1}{n}\sim \frac{1}{n},(n \to \infty ),$

                              $\displaystyle \therefore \sqrt[n]{\frac{1}{n}}\sin n\sin \frac{1}{n}< \frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}.$

            由级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}$的收敛性，知原级数绝对收敛。

浙江科技学院2020年数学分析


解
        1、
                      $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin2x+xf(x)}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{2x+o(x)+xf(x)}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{2+f(x)}{x^2}=0.$


        2、          $\displaystyle f(x)=a\sin x+\frac{1}{3}\sin 3x,$

                        $\displaystyle f'(x)=a\cos x+\cos 3x=0,$

                     $\displaystyle a=\frac{-\cos 3x}{\cos x}|_{t=\frac{\pi}{3}}=2.$

      3、
                        $\begin{align*}I&=\int_{0}^{1}dy\int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}}f(x,y)dx+\int_{1}^{0}dy\int_{\frac{\pi}{2}}^{\arcsin y}f(x,y)dx\\\\&+\int_{0}^{-1}dy\int_{\arcsin y}^{\frac{3\pi}{2}}f(x,y)dx+\int_{-1}^{0}dy\int_{\frac{3\pi}{2}}^{\arcsin y}f(x,y)dx.\end{align*}$

浙江科技学院2020年数学分析


解：
        4、
                         $\displaystyle I=\oint_L(x+y)dx-(x-y)dy=\int_D(-1-1)dxdy=-\pi.$


        5、
                        $\displaystyle z=e^{xy}\sin(x+y)$

                        $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=ye^{xy}\sin(x+y)+e^{xy}\cos(x+y)|_{(0,0)}=1,$

                        $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=xe^{xy}\sin(x+y)+e^{xy}\cos(x+y)|_{(0,0)}=1,$

                        $\displaystyle dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy|_{(0,0)}=dx+dy.$

浙江科技学院2020年数学分析


解
        6、
                                   $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\arcsin x\sqrt{1-x^2}|_0^1+\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=1.$


        7、
                                    $\displaystyle F'(x)=-\sin xf(\cos x,x^3)-f(x,x^3)$



         8、
                                   $\displaystyle \because |R'|=\frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}=e,(n \to \infty )$

                                     $\displaystyle \therefore |R|=R'+1=\pm e+1.$