期权定价公式

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求布莱克舒尔斯期权定价公式的推导式

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关键词：期权定价 布莱克 布莱克

B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是: 　　E[G] = E[max(St − L,O)]
　　其中，E[G]—看涨期权到期期望值
　　St—到期所交易金融资产的市场价值
　　L—期权交割(实施)价
　　到期有两种可能情况:
　　1、如果St > L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且max(St − L,O) = St − L
　　2、如果St < L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有:
　　max(St − L,O) = 0
　　从而:
　　L]+(1-P)\times O=P\times E[S_t|S_t>L]-L)" src="/w/images/math/3/7/a/37a16f68ba5880daf3099875cb81b85d.png">
　　其中:P：(St > L)的概率E[St | St > L]：既定(St > L)下St的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:
　　C = Pe − rT(E[St | St > L] − L)这样期权定价转化为确定P和E[St | St > L]。
　　首先，对收益进行定义。与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(St)与现价(S)比值的对数值，即收益 = lnSt / S = ln(St / L)。由假设1收益服从对数正态分布，即ln(St / L)～，所以E[lN(St / S] = μt，St / S～可以证明，相对价格期望值大于eμt，为:E[St / S] = eμt + σ2T2 = erT从而，μt = T(r − σ2)，且有σt = σT
　　其次，求(St > L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06[ξ > x] = 1 − N(x − μσ)其中:
　　ζ：正态分布随机变量
　　x：关键值
　　μ-ζ的期望值
　　σ-ζ的标准差
　　所以:P = Pr06[St > 1] = Pr06[lnSt / s] > lnLS = :LN − lnLS − (r − σ2)TσTnc4 由对称性:1 − N(d) = N( − d)P = NlnSL + (r − σ2)TσTarS。
　　第三，求既定St > L下St的期望值。因为E[St | St > L]处于正态分布的L到∞范围，所以，
　　E[St | St] > = SerTN(d1)N(d2)
　　其中:
　　最后，将P、E[St | St] > L]代入(C = Pe − rT(E[St | St > L] − L))式整理得B-S定价模型:C = SN(d1) − Le − rTN(d2)
　　(二)看跌期权定价公式的推导
　　B-S模型是看涨期权的定价公式，根据售出—购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期权的定价模型，由售出—购进平价理论，购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值，以公式表示为:
　　S + Pe(S,T,L) = Ce(S,T,L) + L(1 + r) − T
　　移项得:
　　Pe(S,T,L) = Ce(S,T,L) + L(1 + r) − T − S，
　　将B-S模型代入整理得:
　　
　　此即为看跌期权初始价格定价模型。

额，你发的东西好多乱码啊，我还是理解不了啊，我其实关键是想知道股价服从对数正态分布，如何计算
E【S-K\S>K】

哥们儿，好多教材上都有，找本书就OK了！

J.H的书上就有，从布莱克斯科尔斯微分方程 和 风险中性定价 两种证明

哦，谢谢大家，我在金融数学那本书上找到了，思路还比较清晰