企业无条件政策效应的识别与估计 内源二元处理

在后一种情况下，对于更一般的非线性泛函，我们不能像在线性情况下那样使用迭代期望律来将一个条件效应作为相应条件效应的期望。由于这一根本区别，我们的结果不是文献中已有结果的直接扩展。2.4理解无条件MTE为了进一步理解无条件MTE，我们在这里提供了另一个例子。本小节仅用于启发式；如果ρfi是ρf在FY处的连续导数，我们可以预期limδ→0ρ(FYδ)-ρ(FY)δ=ρFY limδ→0FYδ-FYδ/δ。to表示(FYδ-FY)/δ的一种方法是用E[1{Yδ≤Y}]和E[1{Y≤Y}]分别代替（13）中的E(Yδ)和E(Y)。因此，对于给定n，y，y，FYδ(y)-FY(y)δ=e[1{yδ≤y}-e[1{y≤y}]δ。（15）根据Heckman和Vytlacil(2001b，2005)的精神，我们可以将(FYδ(y)-FY(y))/δ视为与疾病相关的治疗效果：它是政策对y小于y的个体百分比的影响。该效应与特定值y相关，如果y在y上变化，我们得到了一个以y∈y为索引的政策相关效应连续体。极限δ→0FYδ(y)-FY(y)δ可以被看作是以y∈y为索引的边际政策相关治疗效应连续体。根据Carneiro和Lee(2009)的结果，对于每个y∈y，边际政策相关治疗效应可以表示为政策相关“分布”MT e：mted(u,w）；y)=E[{y(1)≤y}-1{y(0)≤y}UD=u,W=W]=FY()UD,W(yu,W)-FY()UD,W(yu,W）.合成ρf=MTEd，定义为y'A(y,ρ，FY)MTEd(u,W；dy）,则为(ρf=mted)(u,w)=y'A(y,ρ，FY)hFY()UD,w(dyu,w)-FY()UD,w(dyu,w)i=y'A(y,ρ，FY)-FY()UD,w(yu,w)-FY()UD,w(yu,w)idy=e[ρ(y),ρ，FY)-ρ(y),ρ，FY)UD=u，w=w]。这表明ρf^mtedis正好是（10）中的无条件MTE。3内生性条件下的无条件分位数回归本文的其余部分主要讨论分位数泛函:ρτ[FY]=f-1y(τ)，并应用我们的结果对ofFirpo,Fortin和Lemieux(2009)的无条件分位数回归进行了详细的研究。3.1二元回归UQR首先，我们回顾了Firpo、Fortin和Le mieux(2009)提出的UQR方法，并说明了Identi策略是如何分解内源性的。设Yτ是Y的τ-分位数，设Yτ，δ是Yδ的τ-分位数。即Pr(Y≤Yτ)=Pr(Yδ≤Yτ,δ)=τ。我们研究了yτ,δ作为δ→0的行为。无条件分位点效应当此极限存在时，无条件分位点效应(UQE)定义为πτ:=limδ→0yτ，δ-yτδ。通过认识，我们有Epr(yδ≤y)=Pr(dδ=1)Pr(yδ≤yDδ=1)+Pr(dδ=0)Pr(yδ≤yDδ=0)。当W不存在时，Firpo,Fortin and Lemieux(2007)中的推论3在d=0和1的情况下得到了以下假设:Pr(yδ≤yDδ=d)=Pr(y≤yD=d)。（16）我们称之为分布不变性，它很容易证明反事实分布:Pr(yδ≤y)=Pr(dδ=1)Pr(y≤yD=1)+Pr(dδ=0)Pr(y≤yD=0)。在一些温和的条件下，Firpo，Fortin和Lemieux(2007)得到了πτ=fy(yτ)[Pr(y>yτd=1)-Pr(y>yτd=0)]。（17）在（16）中给出的分布不变性假设是得到上述结果的关键。它要求在两个政策制度中，影响待遇状况的o utcome变量的条件分布保持不变。如果治疗在两种政策制度下都是随机分配的（例如，dδ=1{UD≤pδ(W)}且(UD，W)与(U，U))无关，那么(U，U)显然与dδ无关。

在这种情况下，Pr(Yδ≤yDδ=d)和Pr(Y≤yD=d)均等于Pr(Y(d)≤Y)，并给出了分布不变性假设。然而，当我们允许dδ与U相关时，分布不变性在gen Eral中并不存在。例如，当d=1时，Pr(Yδ≤yDδ=1)=Pr(Y()≤yDδ=1)=Pr(r(X,U)≤yud≤Pδ(W))和Pr(Y≤yD=1)=Pr(r(X,U)≤yud≤P(W))。3.2 UQR估计的渐近偏差为了得到当分布不变性不成立时UQR估计的渐近偏差的表达式，我们使用了与方程（1）-（3）相同的势结果和交叉模型。下面的推论直接从定理1中得出，将ρ选为分泛函ρτ[FY]=f-1y(τ),其中函数ρ(y,ρτ，FY)=1{τ-1{y≤ρτ[FY]}}/FY(yτ)。推论2。假设1-3成立。进一步假定fY(yτ)>0。则πτ=limδ→0Yτ,δ-Yτδ=fy(Yτ)we[{Y(0)≤Yτ}ud=P(w),w=w]πP(w)fW(w)dw-fy(Yτ)we[{Y(1)≤Yτ}ud=P(w),w=w]πP(w)fW(w)dw。（18）下一个推论将无条件分位数效应分解为忽略p(w)调整的表观分量和偏置分量。推论3。让推论2中的假设成立。则πτ=Aτ-Bτ,其中Aτ=fy(Yτ)we[{Y≤Yτ}D=0,W=W]fw(W)dw-fy(Yτ)we[{Y≤Yτ}D=1,W=W]fw(W)dw,（19）用“a”表示表观分量，用“b”表示偏置分量，并用bτ=b1τ+b2τ,FORB1τ=fy(yτ)W(fyd),W(yτ1,w)-FYD,w(Yτ0,w)πp(w)fW(w)dw-fy(yτ)w(fyd，w(yτ1,w)-FYD,w(Yτ0,w)fW(w)dwandb2τ=FY(Yτ)whfy()D,w(Yτ0,w)-FY()udd,w(Yτ0,w)-FY()udd,w(YτP(w),w)IπP(w)fW(w)dw-fy(Y)whfy()dd,w(Yτ1,w)-FY(w)udd,w(YτP(w),w)IπP(w)fW(w)dw.为了便于理解推论3,我们可以在一个表中求出函数(AIF)的平均值：AIF for Y（）-AIF for Y（）φτ(Y())UD=P(w)]dew[φτ(Y())D=1]-ew[φτ(Y())D=0]其中，φτ(·)是分位数泛函的in函数φ(·,ρτ,FY）的缩写。在上面，EW[·]表示给定W=W的条件平均算子。例如，EW[ρτ(Y())D=0]代表E[ρτ(Y())D=0，W=W]。设Φ，UD(w):=EW[ρτ(Y())-ρτ(Y())UD=P(w)],Φ，D(w):=Ew[ρτ(Y())D=1]-Ew[ρτ(Y())D=0]。平均表观效应Aτ是关于整个总体分布上w的分布的差分σi、D(w)的平均值。它也达到了UQR估计量ofFirpo,Fortin和Lemieux(2009)的极限，其中忽略了处理选择的内生性。注意，如果我们的模型不包含协变量w,则τ=fy(Yτ)e[{Y≤Yτ}D=0]-fy(Yτ)e[{Y≤Yτ}D=1]=fy(Yτ)[pr(Y>YτD=1)-pr(Y>YτD=0)]。（20）这与（17）中给出的无条件分位数效应是相同的。为了理解为什么会这样，我们注意到，在其最简单的形式中，UQR涉及s遗憾地在Diand Wiby OLS上唱“in furence函数”fy(yτ)-1(1-1{yi≤yτ}）并使用Dias上的估计系数作为无条件分位数效应的估计量。这里fY(yτ)是fY(yτ)的相合估计，yτ是yτ的相合估计。如果（19）中的条件期望是线性的，UQR估计在概率上收敛于aτ，那么πτ与aτ之间的差异引起了UQR估计的渐近偏差bτ:bτ=aτ-πτ=ehψ,D(W)i-ehψ,UD(W)πp(W)i=enψ,D(W)1'Ap(W)o{z}b1τ+enhψ,D(W)-ψ,UD(W)iàp(W)o{z}b2τ。（21）很容易看出，上面给出的B1τ和B2τ与推论3中给出的相同。方程（21）中的分解将渐近偏差追溯到两个源。b1τ描述了两个不同亚种群的平均表观效应的异质性。

对于每一个w，θ，D(w)是对于w=w的个体，D对[τ-1{Y≤Yτ}]/fY(Yτ)的平均影响。这些效应在两种不同的W分布上得到了平均：t h e边缘亚种群的W分布（即：p(W)fW(W))和who le种群的W分布（即：fW(W))。B1τ等于两个平均效应之差。如果效应σi，D(w)不依赖于w，则b1τ=0。若p(w)=1，则w在整个总体上的分布与在子总体上的分布相同，因此b1τ=0。对于B1τ6=0,需要存在效应异质性（即，σi，D(w)依赖于w）和分布异质性（即，πp(w)6=1,使得w在边缘亚种群上的分布与在整个种群上的分布不同）。为了突出B1τ为非零的必要条件，我们将r到B1τ作为边缘异质性偏项，第二偏项组合n t,B2τ体现了偏项的第二个来源，并有不同的解释。σi、D(·)和σi、UD(·)的每一个都是与反事实结果Y（）和Y（）相关的平均函数之差。然而，σi、D(·)是与实际选择D=1和D=0的t wo亚群体的差值，而σi、UD(·)是与边缘亚群体的差值。所以，σi、D(·)-ρi、UD(·)是差中的差，B2τ简单地说就是这个差中的差相对于W在边际次平方上分布的平均数。这个术语的出现是因为当D=1和D=0时，Y分布的变化不同于那些UDis刚刚高于P(w)和那些UDis刚刚低于P(w)的情况。我们可以把b2τ标为一个边缘选择项，如果对几乎所有的w∈w都是σi，D(w)=σi，UD(w),则b2τ=0。在差分分析中，该条件是相同的，即EW[ρτ(Y())-ρτ(Y())UD=P(w)]=EW[ρτ(Y())D=1]-EW[ρτ(Y())UD=1]=EW[ρτ(Y())UD=P(w)]-EW[ρτ(Y))D=0]，该条件类似于平行路径假设或常偏置假设。如果UDis与(U，U)无关，则此条件成立，且b2τ=0。一般而言，如果n不与(U，U)无关，且W e n是选择方程，则b1τ6=0和b2τ6=0，因此πτ6=aτ。Ifπp(w)不是给定的，则B1τ是给定的。在gener al中，B2τ在没有附加假设的情况下是不存在的。因此，在没有附加假设的情况下，渐近偏差是不能消除的，πτ是不存在的。在存在内生性的情况下，Ofirpo,Fortin and Lemieux(2009)的UQR估计量是渐近偏差也就不足为奇了。推论3的优点在于它给出了渐近偏差的一个封闭形式的刻划和清晰的表示。据我们所知，这个偏差公式在文献中是新的。如果不能实现点识别，则可以在定界分析或灵敏度分析中使用该比差公式。从广义的角度看，渐近偏差bτ是线性回归框架中OLSESTIMATION的内生偏差的无条件对应物。注3。考虑一个完全独立的设置:V→U→U→W（即这些变量的每个子集独立于其余部分）。在这种情况下，B2τ=0,通过方程（18）,UQE是πτ=fy(Yτ)we[{Y(0)≤Yτ}W=W=W]πp(W)fW(W)dw-fy(Yτ)we[{Y(1)≤Yτ}W=W]fW(W)dw=fy(Yτ)we[{Y(1)≤Yτ}W=W=W]fW(W)dw.在（19）之后，表观效应是aτ=fy(Yτ)we[{Y(1)≤Yτ}W=W=W=fW(W)dw.因此，除非p(W)=1或W=W]fW(W)dw.一般情况下，我们仍有一个由b1τ差分e[{Y(0)≤Yτ}W=W]-e[{Y(1)≤Yτ}W=W]不依赖于W。一般来说，如果W中的某个协变量（即X）非平凡地进入结果方程和选择方程，则两个条件都失败。

在这种情况下，Ofirpo,Fortin and Lemieux(2009)收敛于aτ的无条件分位数回归估计量即使不存在内生性，也是渐近有偏的，在存在内生性的情况下，估计渐近偏差甚至签名都是不容易的。一般而言，在协变量W下需要(U，UD)的联合分布。这不是不典型的。对于非线性估计，如无条件分位数估计，其渐近性质往往以一种非平凡的方式依赖于整个数据生成过程。这与线性回归模型中的OLS等线性估计形成了鲜明的对比，其特性只依赖于很少的数据，偏差分解筛不是唯一的。Corollary3只给出了一种可能性。我们也可以写出bτ=enψ,UD(W)[1]-πp(W)o{z}～b1τ+ehψ,D(W)-ψ,UD(W)i{z}～b2τ。对b1τ和b2τ的解释与b1τ和b2τ的解释是相似的，但有明显的变化。在这种情况下，将～B1τ称为m边缘异质性偏差就更有启发性了，因为非零～B1τ的必要条件是边缘子种群之间存在效应异质性。图2显示了t h e渐近偏差的非均匀性，计算方式为Bτ:=aτ-πτ。它是从一个模型中推导出来的（详情见附录B节），而内生性是由一个单一的相关参数ρ控制的。ρ=0的情况与非外源性治疗的情况相关，并说明了边缘异质性偏差0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9量化-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.250.50.750.9图2：工具干预下UQR估计量对ρ.4无条件分位数效应不同值的渐近偏差在前一节中，我们已经证明了Ofirpo,Fortin和Lemieux(2009)的UQR估计量在内生性或边缘异质性下是渐近偏差的，并且UQE是本质上唯一的。在本节中，为了达到UQE的点识别，我们对Z施加了额外的假设。我们提出了解决内生性问题的方法，因为分位数泛函可以很容易地转化为处理一般泛函。为了节省篇幅，我们不打算进行这种直截了当的概括。4.1工具干预我们对Z施加了以下附加假设，这些假设取自Mheckman和Vyt lacil(1999，2001a，2005)假设5。相关性和外源性(a)μ(Z,X）是一个以X为条件的非退化随机变量。(b)(U,U,V）与Z无关，以X为条件。假设5(a)是一个相关性假设：对于X的任一给定变量l，变量Z可以引起D的变异。假设5(b)被称为外源性假设。两个假设本质上是有效工具变量的条件，因此，我们将把Z称为工具变量，把干预称为instr umental干预。假设5(b)允许我们写UD=FVZ，X(VZ，X)=FVX(VX)。假设5(b)则意味着(U，U，UD)是Z的独立于X的条件。如果对进入结构函数r(·，U)和r(·，U)的协变量X的条件不足以确保(U，U，UD)与Z的独立性，我们可以增加条件集，以包括额外的控制变量，例如xc。xcd中的控制变量不输入r，r，o r。但是，我们可以认为XCenters r,因此，只要滥用一些符号，我们就可以写出(0)=r(XS，XC，U)，Y(1)=r(XS，XC，U)，D=1{V≤μ(Z，XS，XC)}，其中XSis是非日常意义上的结构变量，而xcs是日常意义上的控制变量（即，r，randμ是XC给定其他变量的常数函数）。设X=(XS，XC)和W=(Z，XS，XC)，则上述模型与（1）和（2）中的模型具有相同的形式。

通过这种概念上的改变，我们的结果对于有加法控制的情况仍然有效。利用屈反泛函的In privence函数，我们对t h eτ-分位数定义了一个uncon条件边际处理效应，这将是无条件分位数效应的基本构造块。τ-分位数的无条件边缘处理效应被定义为mteτ(u,x):=eτ-1{Y(1)≤Yτ}fY(Yτ)-τ-1{Y(0)≤Yτ}fY(Yτ)UD=u,x=x=x)e[{Y(0)≤Yτ}UD=u,x=x]，Mteτ不同于Carneiroand Lee(2009)和Yu(2014)的边缘处理效应的分位数模拟，被定义为f-1y(1)UD,x(τu,x)-f-1y(0)UD,x(τu,x)。无条件q-uantile效应不能表示为后者的积分形式，文献5中给出的MTEτ是文献（10）中一般无条件MTE的一个特例，其中φ(y,ρ，FY)=[τ-1{y≤yτ}]/FY(yτ)。这里，由于假设5(b)，对Z的条件是不必要的，因此被取消了。defire@(Yτ):=({Y(0)≤Yτ}-1{Y(1)≤Yτ}）/fY(Yτ)，其下是上述mteτ(u,x）的条件。T h e rand om变量Δ(Yτ)可以取三个值：如果Y(0)≤Yτ且Y(1)>Yτ，Y(0)>Yτ且Y(1)>Yτ或Y(0)≤Yτ且Y(1)≤Yτ，Y(1)≤Yτ-fY(Yτ)-1，如果Y(0)>Yτ且Y(1)≤Yτ,当处理诱导个体从下面“穿越”Y的τ-分位数Yτ时，Δ(Yτ)=1/fY(Yτ)；当th T诱导个体“穿越”时，Δ(Yτ)=-1/fY(Yτ)。当th T诱导个体“穿越”时，Δ(Yτ)=-1/fY(Yτ)。从上面看Y的τ-分位数Yτ。在第一种情况下，个人受益于治疗，而在第二种情况下，治疗伤害了她。当处理没有引起任何类型的分位点交叉时，出现中间情况，Δ(yτ)=0。因此，无条件的expected valuefY(yτ)×e[(yτ)]等于从治疗中恢复的个体比例与受到治疗伤害的个体比例之间的差值。对于UQE来说，这种治疗是有益的还是有害的，是根据分位数交叉来衡量的。在具有特征Ud=u和X=X的个体中，MTEτ(u,X）等于从治疗中受益的个体比例与受治疗伤害的个体比例之间的重新标号（1/fY(yτ))差。因此，如果更多的个体在Yτ以上增加其结果，则MTEτ(u,x）为正；如果更多的个体在Yτ以下减少其结果，则MTEτ(u,x）为负。为了使我们的设置更接近于Firpo,Fortin and Lemieux(2009)研究中的连续协变量移位的情况，我们考虑了区间(W，δ)=(Z+g(W)s(δ),Z,···,ZdZ)(22)，其中g(·)是一个可测函数，s(δ)是满足s()=0的光滑函数。也就是说，我们干预改变z的firegrst分量。注意，虽然s(δ)对所有个体都是相同的，但g(W)依赖于W的值，因此它是个体特定的。在经验应用中，Z可能由几个变量组成，而ZI是我们认为要改变的变量。无条件的政策效应取决于我们为了提高治疗采纳率而选择干预的不同程度。引理3。假定(i)(V，X)是绝对连续的随机变量，联合密度为fV，X(V，X)由fVX(vx)fX(X)给定；(ii)对于几乎所有x∈x，fVX(vx)在v中是连续的；(iii)对于几乎所有w∈w,μ(z,x）在z中连续可微；(iv)设μ\'z(z,x）是μ(z,x）关于z的偏导数，我们得到了δ∈nεfvx(μ(G(W,δ),x)x)μ\'z(G(W,δ),x)G(W)<∞；通过设置G(·)1得到了一个简单的齐次干涉，在这种情况下，我们在z中有一个加法移位。用G(W)=z给出了一个异次干涉的例子，在这种情况下，我们得到了一个乘法移位，序为r1+s(δ)。

这两种情况都由Carneiro,Heckman和Vytlacil(2010)研究，(v)对于每个δε，EhfVX(μ(G(W,δ),X)X)μ\'z(G(W,δ),X)G(W)i6=0；(vi)s(δ)是零附近的微分函数，s()=0,则s(δ)δδ=0=EhfVW(μ(W)W)μ\'z(W)G(W)i,pδ(z,X)δδ=0=fvw(μ(W)W)μ\'z(W)G(W)i,pδ(z,X)δδ=0=fvw(μ(W)W)μ\'z(W)G(W)）G(W)一。推论4。设假设1-3和5以及引理3的假设成立。假定further fy(yτ)>0。然后，(22)中Z位移的无条件分位数效应是πτ=wmteτ(P(w),x)πP(w)fW(w)dw,其中πP(w)=Pδ(w)δδ=0=fvx(μ(w)x)μ\'Z(w)g(w)EhfVX(μ(w)x)μ\'Z(w)g(w)I.4.2为考察πτ的可识别性，我们分别研究了无条件mteτ和权函数或RN导数Pδ(w)δδ=0的可识别性。下面的命题表明，对于某些w∈w，对于每个u=P(w),atmteτ(u,x）是等价的。命题1。假设2(a)、2(b)和5(b)成立。然后，对于每一个u=P(w),w∈w,我们得到τ(u,x)=-fy(Yτ)e[{Y≤Yτ}P(w)=u,x=x]u。命题1可以用Carneiro和L ee(2009)中的定理1得到证明。在本文中，我们给出了一个与移动倾向记分的思想直接相关的独立的证明。对于一个更广义的泛函ρ，我们可以证明对于某些W∈W，对于每个u等于P(W)，我们可以证明mteρ(u,x)=e[ρ(Y,ρ，FY)P(W)=u,x=x]u，现在我们转到推论4中给出的RN der ivativeπP(W)的证明。在假设5(b)下，倾向分数为p(w)=Pr(V≤μ(w)w=w)=FVZ,X(μ(z，X)z,X)=FVX(μ(z，X)X).因此，p(w)z=FVX(μ(z，X)X)μ\'z(z，X)=FVX(μ(w)X)μ\'z(w).现在可以清楚地用p(w)zand g(w)来表示p(w)。我们在下面的命题中对此进行形式化。命题2。假设5和引理3中的假设成立。则p(w)=pδ(w)δδ=0=p(w)zg(w)eh p(w)zg(w)i。（23）由于g(w)是已知的，而P(w)是已知的，所以P(w)也是已知的。与MTEτ的情况一样，假设5(b)在识别p(w)中起着关键作用。如果不假定th在V与Z无关，则我们只能得到πP(w)=fvw(μ(w)w)μ\'Z(w)g(w)EhfVW(μ(w)w)μ\'Z(w)g(w)i，且P(w)Z=fVZ,X(μ(w)w)μ\'Z(w)+fVZ,X(μ(w)～Z,X)～Z=Z=Z=Z(23)。利用propos1和2,我们可以得到πτ=-fy(Yτ)w e[{Y≤Yτ}P(w)=P(w),X=X]P(w)P(w)zg(w)eh P(w)zg(w)ifW(w)dw。（24）以上所有的对象都是点IDENTI，因此πτ是点IDENTIY。5无条件工具分位数估计本节主要讨论在（22）的instr umental干预下UQE的估计和推断。我们假定倾向性得分函数是参数的，我们把具有非参数的prope n sity得分的情况留给t h e附录的第D节。为了简化表示法，我们将g(·)1设为余文。设m(Yτ,P(w),x):=e[{Y≤Yτ}P(w)=P(w),x=x],利用（24）,我们得到g(·)的存在相当于一个测度的变化：从密度为fW(w)的测度到密度为g(w)fW(w)的测度。当g(·)不等于一个常函数时，我们只需将包含W的分布的总体期望算子E[H(W)]转化为E[H(W)g(W)]，将经验平均算子PN[H(W)]转化为PN[H(W)g(W)]。πτ=-fy(yτ)e P(W)z-1e m(yτ,P(W),X)z。πτ由两个平均导数和一个在一点上求值的de n组成，其中一些wh ich依赖于无条件τ-分位数yτ。总之，πτ取决于四个未知量。无条件工具分位点估计的方法是将这四个量分别估计，然后将这些估计插入到πτ中，得到估计量πτ。πτ的公式见(32)，我们在接下来的几小节中考虑估计这四个量。

F或给定样本{oi=(Yi,Zi,Xi,Di）}ni=1,我们将用Pn表示经验测度。5.1估计给定τ的分位数和密度，我们用经验分布函数y:yτ=inf{y:Fn(y)≥τ},wh ereFn(y):=nn∑i=1{yi≤y}的（广义）逆估计yτ。下面的渐近结果可以是foun d Inser Bing(1980)的结果。引理4。如果Y的密度fY(·)在Yτ处为正且连续，则Yτ-Yτ=pnψq(Yτ)+op(n-1/2),其中φq(Yτ):=τ-1{Y≤Yτ}fY(Yτ)。我们用核密度估计量来估计fY(Y)。我们对核函数和带宽保持以下假设。假设6。核假设核函数K(·)满足(i)∞-∞K(u)du=1,(ii)∞-∞UK(u)du<∞,(ii)K(u)=K(-u),且K(u)=K(-u)两次可微，且Lipschitz连续二阶导数K\'\'(u)满足(i)∞-∞K\'\'(u)udu<∞,(ii)K\'\'(u)≤cu-uforu-u≥c。速率假设n↑∞和h↓0使得nh↑∞但nh=O(1).非S tandard条件nh↑∞是由于yτ的估计。因为我们需要展开fy(yτ)-fy(yτ)，这涉及fy(y)的导数，所以我们必须对h施加一个较慢的衰变速率来控制余数。这些细节可以在Lemma5的证明中找到。然而，我们注意到nh↑∞包含t h e u sual速率条件nh↑∞。然后由fY(y)=nn∑i=1kh(yi-y)给出fY(y)的估计量，见2.5.1节。实际上，Ser Beting(1980)提供了一个更好的剩余率，其中Kh(u):=K(u/h)/h。引理5。假设6和假设7成立。然后fY(y)-fY(y)=PnψfY(y)+BfY(y)+op(h),其中φfY(y):=Kh(Y-Y)-E[Kh(Y-Y)]=op(N-1/2H-1/2)和BfY(y)=HF′2y(y)∞-∞uk(u)du。此外，对于yτ的分位点估计量yτ，我们有fY(yτ)-fY(yτ)=fY(yτ)-fY(yτ)+RfY=F′y(yτ)PNψQ(yτ)+RfY，其中fY=op(N-1/2H-1/2)为了分离f和yτ，我们可以用Lemma5写出fY(yτ)-fY(yτ)=fY(yτ)-fY(yτ)+fY(yτ)-fY(yτ)+RfY。(25)(25)右边的一对项表示主导项，并确定Fy估计中的不确定性。第二对项重述了估计yτ的误差。为了保证rfy=op(n-1/2h-1/2)，我们需要nh↑∞,如假设7.5.2估计平均导数为了估计两个平均导数，我们对倾向得分做了一个参数假设，将非参数说明留在附录中。假设8。在假定8下，P参数ττ可以写成πτ=-fy(yτ)·T·T，(26),其中=e P(Z,X,α)Z和T=e m(yτ,P（Z,X,α),X)Z。首先，我们估计T,T的导数的平均值，按t1n(α):=nn∑i=1P(Z,X,α)Z(Z,X)=(Zi,Xi)，其中α是α的估计量。为了节省篇幅，我们略微滥用记号法，写成p(Z,X,α)Z=p(Z,X,α)Z(Z,X)=(Z,X）。假定(a)α允许表示α-α=Pnψα+op(N-1/2),其中，φα(Wi)是一个均值零的dα×1随机向量，且ekφα(Wi)k<∞,且k·k表示Eu clidean范数；(b)p(Z,X,α)Z:=p(Z,X,α)Z(Z,X)=(Z,X)=(Z,X)的方差是有限的；(c)dα×1导数向量p(Z,X,α)αZ对于所有Z和X以及对于α在α周围的开邻域中存在；(d)对于α∈A,在α附近的一个邻域，映射α7→eh p(Z,X,α)αZi连续，u niform大数定律成立:supα∈a pn p(Zi,Xi,α)αz-eh p(Z,X,α)αzip→0。则T1n(α)-存在以下随机近似T1n(α)-t=e p(Z,X,α)Zα′pn'Aα+pn'Ap+op(n-1/2),其中，θp:=p(Z,X,α)z-e p(Z,X,α)z-e p(Z,X,α)z-e p(Z,X,α)z-e p(Z,X,α)z-e p(Z,X,α)Z 6 asT1n(α)-t=T1n(α)-t+T1n(α)-T1n(α)=T1n(α)-t+e p(Z,X,α)z-e p(Z,X,α)Z+op(n-1/2)。

（27）方程（27）具有与方程（25）相同的解释。它由一对不考虑α中的估计不确定但考虑样本均值的变异性的前导术语和另一对考虑α中的t h e不确定性但考虑样本均值的变异性的前导术语组成。我们估计了二阶平均导数TbyT2n(yτ,m,α):=nn∑i=1m(yτ,P(Zi,Xi,α),Xi)z；（28）关于exp合法构造，请参见（29）。我们可以把T2n(yτ,m,α)看作一个四步估计量。第一步估计yτ，第二步估计α，第三步e用ge n个回归子P(Z，X，α)来表示条件期望m(y，P(Z，X，α)，X)，第四步h平均X上的导数(Z，X，α)产生的回归子P(Z，X，α)，我们用级数方法估计m。为了简化表示法，定义向量~w(α):=(P(z，x，α)，x)\'和~wi(α):=(P(Zi，Xi，α)，Xi)\'。我们写～w=～w(α)和～wi=～wi(α)来抑制它们对真参数值α的依赖。～w(α)和～wi(α)都在rdx+1中。设φJ(～w(α))=(φ1J(～w(α)),...,φjj(～w(α)))\'是具有n个第二动量的J个基函数的向量。这里，每个φjj(·)是一个可微基函数。则m(yτ，～w(α))的估计量为m(yτ，～w(α))=φj(～w(α))\'b(α，yτ),其中b(α，yτ)为:b(α，yτ)=n∑i=1φj(～wi(α)))φj(～wi(α))\'！-1n∑i=1φj(～wi(α))1{yi≤yτ}。平均导数的估计量为2n(yτ，m，α)=nn∑i=1φj(～wi(α))=1φj(～wi(α))=1φj(～wi(α))=2n∑i=1φj(～wi(α))z\'b(α,Yτ)。（29）我们使用Newey(1994)的路径导数方法对T2n(yτ,m,α)-t进行分解，这与Hahn和Ridder(2013)在2.1节中的方法相似。为了描述这一思想，设{fθ}是一个以θ∈R为索引的分布的路径，使得fθ是O:=(Y,Z,X,D）的真分布，该路径不需要附加关于倾向得分的参数假设，参数子模l的得分为S(O)=log dfθ(O)θθ=θ。对于任一θ,我们得到Net2，θ=eθmθ(yτ,θ,～w(αθ))z,其中，mθ，yτ，θ和αθ分别是m,yτ和α的概率极限，当O的d值为fθ时。注：当θ=θ时，我们有T2,θ=t。假定全参数子模型{fθ}的分数集{S(O)}可以逼近任意一个零均值，方差函数，如果e函数θ→T2,θ在θ处可微，并且我们可以为某个零均值和二阶矩函数γ(·)和任意路径写出T2,θθθ=θ=e['A(O)S(O)](30)，那么，根据Newey(1994)的定理2.1,T2n(Yτ,m,α)的渐近方差是e['A(O)]。在下一引理中，我们将证明θ→T2的渐近方差是e['A(O)]。2，θ在θ处可微。假设，就目前而言，情况是这样的。然后，通过链式规则，我们可以写出t2,θθθ=θ=θeθm(yτ,～w(α))zθ=θ+θe m(yτ,θ,～w(α))zθ=θ+θe m(yτ,θ,～w(α))zθ=θ+θe m(yτ,～w(α))zθ=θ。正如我们后面所示，估计倾向得分的误差并不影响2n(yτ,m,α)的渐近方差。这是该方法的“通用性”要求。为了使用Newey(1994)的定理2.1，我们需要把所有这些项写成外积形式，即（30）的右端形式o f t h e。对于所要求的函数γ(·)，我们通过处理kn所拥有的剩余项，一次跟随Newey(1994)和e x amine的一个分量。下一个引理给出了在渐近分析中可以忽略估计倾向得分的条件。使用以下符号:Z-1=(Z,..,ZdZ)，W-1=(W,..,WdW)=(Z-1,X)表示DW=DX+dZ，W-1是W-1的支持。引理7。

假定(a)(Z)，X）是绝对连续的，密度为fZX(z，x）和(i)fZX(z，x）关于zin Z×x连续可微，(ii)对于每个w-1∈w-1，对于Z(w-1)边界上的任一zon,Zconditional在W-1=W-1上的支持为fzw-1(Zw-1)=0。(b)m(yτ，～W)对于所有阶都是关于Z连续可微的，对于θ的邻域θ,以下成立:(i)E“supθ∈θαθm(yτ,～W(αθ))Z#<∞,(ii)E supθ∈θαθE log fW(W)Z～W(αθ)<∞,(iii)E supθ∈θαθm(yτ,～W(αθ))E(W)Z～W(αθ)<∞,(iii)E supθ∈θαθm(yτ,～W(αθ))E log fW(W)Z～W(αθ)<∞。则θE m(yτ,～W(αθ))Zθ=θ=0。下一个引理建立了T2n(yτ,m,α)-t的随机逼近，并给出了相应的函数。引理的假设离子是从Mnewey(1994)改编而来的。eassumptions不一定是最弱的。引理8。设(a)(i)W的支座W为[w1l,w1u]×··×[wdWl,wdWu]；(ii)对于w=(w,...,wdW)，当C>0,κ>0时，fW(w)下界为C×πdwj=1(Wj-Wjl)κ(Wju-Wj)κ;(iii)wsupθ∈θθfw(w；θ)dw<∞；(iv)E{[Zlog fW（W；θ)]}<∞对于θ∈θ；(b)存在一个常数C，使得对于所有的π∈n存在一个常数C:0m(yτ,～w)/z^≤C^；(C)级数项的个数，J,对于一些>0的动物，J(n)=O(n)，，和J7+2κ=O(n)；(d)对于每个w-1∈w-1，地图(y，z)7→m(y，～W)是可微的，ANDE“SUPY∈y m(y,～W)y Z#<∞；(e)以下随机等度连续条件成立:e Z^m(yτ,～W)-m(yτ,～W)-m(yτ,～W)-m(yτ,～W)+op(N-1/2),e Z^m(yτ,～W)-m(yτ,～W)=PN Z[m(yτ,～W)-m(yτ,～W)]+op(N-1/2)；(f)Lemma7的假设成立。那么，我们有分解T2n(Yτ,m,α)-t=T2n(Yτ,m,α)-t+T2n(Yτ,m,α)-T2n(Yτ,m,α)+T2n(Yτ,m,α)-T2n(Yτ,m,α)+op(n-1/2)(31)=pnψm+pnψm+pn～q(Yτ)+op(n-1/2),其中，θm:=m(Yτ,～W)z-t,θm:=-θ{Y≤Yτ}-m(Yτ,～W×e log fW(W)z～W,和～θq(Yτ):=e“fY～W(Yτ～W)z#τ-1{Y≤Yτ}fY(Yτ).引理8刻画了每个阶段对T2n(Yτ,m,α)函数的贡献，由pnφm给出的估计m的贡献与Newey(1994)(p。5.3用前人给出的yτ,fy,m,α估计UQE，我们用πτ(yτ,fy,m,α)=-fy(yτ)T2n(yτ,m,α)T1n(α)估计UQE。（32）这是我们的无条件工具分位数估计量(UNIQUE)。利用三个分量fy(yτ)、T1n(α)和T2n(yτ,m,α)的渐近线性表示，我们可以得到πτ(yτ,fy,m,α)的渐近线性表示。下一个定理是由列式5、6、7和8组合而成的。定理2。在引理5、6、7和8的假设下，我们得到了πτ-πτ=TFY(Yτ)THPNρfY(Yτ)+BfY(Yτ)I+TFY(Yτ)TF′Y(Yτ)PNρq(Yτ)+TFY(Yτ)TPNρ+TFY(Yτ)TPNρm-FY(Yτ)TPNρm-FY(Yτ)TPN~q(Yτ)+Rπ，其中π=op fY(Yτ)-fY(Yτ)+op N-1+op N-1/2fY(Yτ)+TFY(Yτ)TPN=op fY(Yτ)+op N-1/此外，在假设7下，方程（33）由六个函数和一个偏置项组成。偏项BfY(yτ)是由密度估计引起的，是o f阶o(h)。这六个显着性函数对Feach估计的影响有影响。πτ的收敛速度通过pnψfy(yτ)而减慢，为Op(n-1/2h-1/2)级。我们可以在一个方程中总结出定理的结果:πτ-πτ=Pnρπτ+～bfy(yτ)+op(n-1/2h-1/2),其中，ρπτ收集（33）中除偏置外的所有函数，且～bfy(yτ):=tfy(yτ)TBfY(yτ)。如果nh→0，则偏置项为o(n-1/2h-1/2)。下面的推论给出了πτ的渐近分布。推论5。在定理M2的假设下，假定nh→0,τnhπτ-πτ=√npn√hρπτ+op(1)yenN(0,vτ)，其中vτ=limh↓0 ehhρπτi。（34）从渐近ic理论y的角度出发，下列所有项均为Op(h)=Op()级，因此在大样本中可以忽略:√nhpnψq(yτ)，√nhpnψp，√nhpnψα，√nhpnψm和√nhpnψm。

渐近方差由vτ=tfy(yτ)tlimh↓0 ehhψf(yτ,h)i=tfy(yτ)t∞-∞k(u)du给出。然而，除fy(yτ)外，vτ忽略了所有的时间不确定性，我们不期望它能很好地影响εnh(πτ-πτ)的样本变化。为了改进样本估计方法，我们保留了es时间误差各源中的主导项，并用EHφττ的一个样本分量估计Vτ。详细情况见附录C节。5.4我们可以用推论5对πτ进行假设检验。由于πτ以非参数速率收敛于πτ，一般而言，该检验只对非参数速率的局部偏离具有幂，然而，如果我们想检验零效应的零值，即h:πτ=0对h:πτ6=0，我们可以检测偏离零值的参数速率。re ason是，(26),πτ=0,仅当t=0时，t=0可以用通常的参数率估计。因此，我们可以不检验h:πτ=0 vs.h:πτ6=0，而检验h:t=0 vs.h:t6=0。我们的tes t是基于t的估计量T2n(yτ,m,α)。鉴于T2n(yτ,m,α)的给定函数，我们可以用v=nn∑i=1ψm,i+ψm,i+e“fy～w(α)(yτ～w(α))z#ψq,i(yτ)来估计T2n(yτ,m,α)的渐近方差。然后我们可以形成检验统计量:to2n:=√nt2n(yτ,m,α)！τ,m,α)p v。（35）通过Lemma8并使用标准参数，我们可以将其显示为2N^aN(0,1）。为了节省空间，在这里给出细节。6模拟证据对于我们的模拟，我们考虑以下模式L：Y(0)=U，Y(1)=β+U，且D={V≤Z},其中Z∈R。推论4,假设fUV=fUV，我们有πτ=fy(yτ)z″yτyτ-βfuv(uz)du#～fz(z)dz,（36）式中~fZ(z)=fv(z)fZ(z)zfv(éz)fZ(éz)déz。为了用数值方法计算πτ，我们假定z是标准正态，并与（U,U,V）无关，后者与me是一个联合正态，方差-协方差矩阵∑=1ρ01ρρρ1。详细情况可在附录B节中找到。这里，ρ是U和V之间的相关性，U和V之间的相关性。它也是控制d内生性的参数。对πτ的估计需要估计yτ、fY、T和T。分位数通常是估计的。我们使用一个高斯核，其带宽h=1.06×σy×n-1/5,wh ereσy是y的样本标准差，这是Silverman规则。为了估计T，我们使用aprobit模型。为了估计T，我们进行了一个三次级数回归。6.1我们设β=0为零假设，(36)设πτ=0，因此零效应的零假设成立。检验统计符合方程（35）。由于检验统计量不涉及es对密度（以及T）进行定时，因此检验从零开始又具有1/√n-de partures（即，对于某些c6=0，β=c/√n)的非平凡幂。为了模拟n ominal 5%检验的幂函数，我们在-1和1之间设置了25个β值的范围。由参数ρ控制的内生性取适当值:0、0.25、0.5、0.75和0.9。我们每个rm有1000个观测的1000个模拟。对于不同的τ值，其幂函数如下F igure3所示。除了极端分位数τ=0.1外，该测试具有所需的水平，在高endog环境下，拒绝概率增加不够快。省略了中位数的幂函数τ=0.5，它与τ=0.4基本没有区别。此外，本文未报道的模拟结果表明，幂函数fo rτ=0.6，0.7，0.8，0.9分别与τ=0.4，0.3，0.2，0.1非常相似。6.2经验复盖本节我们利用文献(A.34)中给出的evariance估计量vτ建立了经验复盖区间。由于πnhπτ-πτ≈N(0,vτ)，所以可以用πτ±1.96×pvτ√nh构造出一个95%的区间，我们使用取值为-1、-0.5、-0.25、0、0.25、0.5和1的β网格。