企业无条件政策效应的识别与估计 内源二元处理

不同内生性程度的ρ-铅值不同。当ρ=0时，治疗选择是外源的。图2绘制了渐近偏差，计算为bτ:=aτ-πτ，当ρ=0,.25,.5,.75,.9时，渐近偏差是τ的函数。我们可以看到渐近偏差在分位数上是不均匀的。因此，任何基于内生性的“符号”或程度来标记偏见的尝试（即，ρ)的符号或大小是虚数。当ρ=0时，我们只有边际异质性偏差，因为边际选择偏差为0，asFY()D,W(yτ0,W)=FY()UD,W(yτp(W),W)=FY()W(yτW),FY()D,W(yτ1,W)=FY()UD,W(yτp(W),W)=FY(y)W(yτW),W=FY(y)W(y)W(y)W(y)W(y)W(y)W(y)W(y)W)。边缘异质性偏置为b1τ=FY(yτ)W(FYD),W(yτ1,W)-FYD,W(yτ0,W)πp(W)fW(W)-FYD，W(yτ1,(W)6=1和FYD,W(yτ1,W)-FYD,W(yτ0,W)=Pr(X+β+u<yτ)-Pr(X+u<yτ)6=0。因此当β6=0时，边际异质性偏差B1τ不等于0。（34）中的渐近方差Vτ可以用插入式est imator Vτ=hnn∑i=1ψτ，i,(A.34)凡，根据定理M2,ρπτ,i=t2nfy(yτ)T1nρf,i(yτ)+t2nfy(yτ)t1nf′y(yτ)ψq,i(yτ)+t2nfy(yτ)T1nρP,i+t2nfy(yτ)T1n″n∑j=1P(Wj,α)zα′#ρα,I-fy(yτ)T1nρm,I-fy(yτ)T1nρm,I-fy(yτ)T1nρm,I-fy(yτ)T1nφfy～w(α)(yτ～w(α))z#ρq，i(yτ).在此方程中，T2n=T2n(yτ,m,α),T1n=T1n(α),ψf,i(yτ)=Kh([yi-yτ])-nn∑j=1Kh[yj-yτ])-nn∑j=1Kh[yj-yτ]=τq，i(yτ)=τ-1{yi≤yτ}fy(yτ)，ψP,i=P(Wi,α)z-nn∑j=1P(Wj,α)z,θα,i=-nn∑j=1tp（P(Wj,α)z=nn∑j=1P(Wj,Wj,α)wjw\'j P(Wj,α)à1-P(Wj,α)-1P(Wi,α)Wi[di-p(Wi,α)]P(Wi,α)[1-P(Wi,α)]，ρm,i=m(yτ,～Wi(α))z-t2nψm,i=-{yi≤yτ}-m(yτ,～Wi(α))^×e log fW(Wi)z～Wi(α),和e“fy～w(α)(yτ～w(α))Z#=nn∑i=1fy～w(α),X(yτP,Xi)p p=p(Wi,α)p（z,Xi,α)z z=zi。这些插件估计中的大多数都是解释性的。对于e×ample，φα，ii是当P(Wi,α)=P(Wiα)和P(a)=P(a)/a时对ML e的估计函数。如果倾向性得分函数不是线性指数形式，那么我们需要对φα，i作相应的调整。我们只需要为MLE找到一个简单的函数，然后把α插入到这个函数中，剩下的唯一需要解释的量是ψm,i,它涉及到log fW(Wi)zon～Wi(α):=[p(Wi，α),Xi]的非参数回归。我们设e log fW(Wi)z～Wi(α)=-φj(～Wi(α))\'n∑=1φj(～w^(α))φj(～w^(α))\'！-1n∑=1φj(～w^(α))\'。为了了解这对eh log f(Wi)z～Wi(α)i可能是一致的，我们注意到，使用部分积分，上面只是eh log fW(Wi)z～Wi(α)i的级数近似。vτ的一致性可以用统一大数定律建立。这些论点是标准的，但tediou的。非参数Pr倾向得分下的无条件工具分位点估计在本节中，我们放弃假设8，用级数方法对倾向得分n进行参数估计。对于第5节中的结果，我们只需修改引理6,sinceLemma8表明我们不需要考虑估计倾向得分的误差，设P(w)表示P(w)的非参数级数估计量。t:=eh P(W)ziisnowt1n(P):=nn∑i=1P(W)zw=W.Tis的估计量与文（28）相同，但用P(Wi):t2n(yτ,m,P):=nn∑i=1m(yτ,P(Wi),Xi)z(a.35)代替P(Wi，α),其中，与文（28）一样，m是m的级数e stimator。公式与前文相同，我们只需将P（Wi,α)替换为P（Wi）。非参数U为πτ(yτ,fy,m,p):=-fy(yτ)“nn∑i=1p(Wi)z#-1nn∑i=1m(yτ,p(Wi),Xi)z=-fy(yτ)T2n(yτ,m,p)T1n(p)。(a.36)以下引理直接从Newey(1994)的定理7.2引理9。设引理7的假设(a)和引理8的假设(a)和(c)成立。

进一步假定P（z,x）对于所有阶都是关于z的可微的，并且存在一个常数C，当P（z,x）/zπ≤Cε时，所有的π∈n都是1n(P)-t=pnψps+pnψps+op(n-1/2),其中我们得到了φps:=P(W)z-t，以及φps:=-(d-p(W))×log fW(W)z。利用类似于Le mma8的证明，我们可以证明T2n(yτ,m,P）和T2n(yτ,m,P）在定义函数上是相同的。即我们有2n(Yτ,m,P)-T=pnψm+pnψm+pn～ρq(Yτ)+op(n-1/2),其中，ρm:=m(Yτ,P(W),X)z-t,ρm:=-（{Y≤Yτ}-m(Yτ,P(W),X))×e log fW(W)z P(W),X,和～ρq(Yτ)=e“fYP(W),X(YτP(W),X)z#ρq(Yτ),给定T1n(P)-T、T2n(Yτ)的渐近线性表示,m,P）-T,我们可以直接利用引理8和引理5得到πτ(Yτ,fy,m,P）的渐近线性表示。在引理5,8和9的假设下，我们得到了πτ-πτ=TFY(Yτ)THPNρfY(Yτ)+BfY(Yτ)I+TFY(Yτ)TFF′Y(Yτ)PNρq(Yτ)+TFY(Yτ)TPNρps-FY(Yτ)TPNρm-FY(Yτ)TPNθq(Yτ)+Rπ，(a.37),其中π=op fY(Yτ)-fY(Yτ)+op n-1+op n-1/2fY(Yτ)-fY(Yτ)+op RFY~+op(n-1/2)+op(h)。(a.38)此外，在假定7下，我们将定理3的结果归纳为一个方程:πτ-πτ=pnρπτ+～bfy(yτ)+op(n-1/2h-1/2)，其中，ρπτ收集了(a.37)中除偏置外的所有in函数，Rπ被吸收在op(n-1/2h-1/2)项中，而～bfy(yτ):=tfy(yτ)TBfY(yτ)中，偏置项为op(n-1/2h-1/2)。假定7中，偏置项为op(n-1/2h-1/2)。下面的推论给出了πτ的渐近分布。推论6。在定理3的假设下，τnhπτ-πτ=τnpn√hρπτ+op(1)yenN(0,vτ)，其中vτ=limh↓0 ehhρπτi。渐近方差的形式与推论5中的渐近方差相同。估计渐近方差和检验零无条件效应完全类似于用参数prope n sity评分的方法。为了避免重复和冗余，我们省略了细节。从实现的角度来看，倾向得分est的参数化方法和非参数化方法没有实质性的区别。此图“emp_app1.png”的“png”格式可从:http://arxiv.org/ps/2010.15864v3获得