企业无条件政策效应的识别与估计 内源二元处理

对于内生性参数ρ，我们取0,0.25,0.5,0.75和0.9。最后，τ取0.1到0.9之间的值，增量为0.1。对于β6=0的值，当效应不为0时，我们用数值计算πτ的值。我们用1000个观测值进行了1000次模拟，结果在τ=0.1和τ=0.5的情况下是低的。很明显，在几乎所有的情况下，CondenceIntervals都具有一定的覆盖精度。7实证应用我们估计了高校扩招对（对数）工资的无条件分位数影响。结果变量Y为对数工资，二元处理为高校招生状况。Thusp=Pr(D=1)是曾经上过大学的人的比例。可以说，学费(Z)的费用为了改变入学人数的比例，我们考虑了一定数额的学费补贴政策。UQE是当补贴很少时，这种政策对无条件分配工资的不同分位数的影响。这一政策将学费Z转移到某些s(δ)的z1δ=Z+s(δ)，这对所有人都是一样的，并导致大学入学人数从p增加到p+δ。注意，我们不需要t o spe cify s(δ)，因为我们将限制版本视为δ→0。在实践中，我们可以将s(δ)设置为总学费的一个小百分比，如1%。我们使用的数据与inCarneiro,He ck man and Vytlacil(2010)和Carneiro,Heckmanand Vytlacil(2011)相同：1979年全国青年教育调查(NLSY1979)中的白人男性样本。网络附录toCarneiro,Heckman and Vytlacil(2011)包含了对变量的详细描述。结果变量Y是1991年的对数工资。如t h e个体在1991年以前入学，治疗指标等于1，否则等于0。ot和er的协变量为AFQT评分，母亲的教育，兄弟姐妹的数量，1979-2000年的平均日志收入，ave r年龄u n就业人员t 1979-2000年居住国年龄β\\ρ0 0.25 0.5 0.75 0.9-1 0.978 0.982 0.974 0.973 0.948-0.5 0.955 0.958 0.969 0.977 0.977 0.947-0.25 0.962 0.961 0.969 0.957 0.9690 0.952 0.961 0.949 0.949 0.949 0.9640.25 0.958 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969τ=0.1.β\\ρ0 0.25 0.5 0.75 0.9-1 0.94 0.911 0.916 0.91 0.692-0.5 0.939 0.942 0.944 0.944 0.921-0.25 0.955 0.941 0.943 0.946 0.959 0.945 0.945 0.950 0.949 0.942 0.942 0.942 0.959 0.945 0.9530.25 0.949 0.942 0.942 0.942 0.967 0.9540.5 0.949 0.942 0.942 0.942 0.942 0.957 0.957 0.957 0.957 0.957 0.967 0.952 0.940.5 0.946 0.942 0.942 0.942 0.942 0.957 0.957 0.957 0.957 0.957 0.957 0.957 0.957 0.957 1991年本地平均收入和1991年本地失业率。我们将这些变量收集到一个向量中，并用x表示它。我们假设以下四个变量（用Z，Z，Z，Z)进入选择方程，但不进入结果方程：17岁时当地公立四年制大学的学费，14岁时四年制大学的毕业率，17岁时当地收入，17岁时当地失业。总样本量为1747人，其中882人到1991年从未在acollege注册(D=0),865人到1991年在大学注册(D=1)。我们计算了当地公立四年制大学在17岁时学费边际变动的UQE。为了模拟p ropensity得分，我们使用了参数逻辑分析。

为了估计条件期望函数m，我们使用一个级数回归，同时使用估计的propensityscore和协变量X作为回归子。由于涉及的变量较多，λ=10-4的非泛化被强加于系数的L-范数上，不包括岭回归中的常项。我们计算了分位数lτ=0.1,0.15,的UQE。...,0.9。在τ，我们还构造了95%（逐点）约束间隔。图4给出了结果。在分位数中，UQE的范围在0.22到0.47之间，withan平均值为0.37。当我们对无条件均值效应进行研究时，我们得到了一个0.21的估计，这与分位数的情况是一致的。我们用以下方式解释这些估计：在分位数范围内，在0.22×δ和0.47×δ之间，大学入学人数的δ（小）增加由对数工资的加法变化引起的影响。例如，对于δ=0.01，我们得到工资分配的分位数在0.22%和0.47%之间的增长。-0.2 0.00.2 0.4 0.6 0.8分位数UQE0.1 0.25 0.5 0.75 0.9图4：实线：UQE；虚线：95%的间隔。8结论：本文采用内生二元处理方法研究无条件政策效应。将选择方程作为一个阈值交叉模型，我们可以引入一类新的条件边际处理效应，并将无条件效应表示为这些无条件边际处理效应的加权平均值。当用于改变参与率的策略变量是一个条件外生条件时，使用所提出的唯一方法可以恢复无条件的策略效应。为了说明无条件MTEs的有效性，我们重点讨论了无条件的量化效应。我们发现，忽略内生性的无条件分位数回归估计量可能存在严重的偏差。在分位数上，偏差可能不是均匀的。任何试图将偏见作为优先级的尝试都需要对数据生成过程进行非常严格的假设。更有趣的是，如果治疗状态是外源性的，无条件分位数回归估计量可能不一致。当治疗选择部分由某些协变量决定时，这种情况就会发生。我们发现无条件分位数效应和边际政策相关治疗效应可以被视为同一个po licy效应家族的一部分。可以把后者看作前者的一个稳健的离子。这两个m都是基因r al uncon条件策略效应的例子。据我们所知，这种联系在两种文献中都没有建立。1987年。自我选择中的工资收益与福利收益的估计〉，《经济学与统计学评论》，69(1):42-49.卡内罗，佩德罗，李索柏。2009年。“利用局部工具变量估计总体结果的分布，并应用于大学入学人数和Wage不等式的变化”，《计量经济学杂志》，149(2):191-208.卡内罗，佩德罗，詹姆斯·J·赫克曼和爱德华·维特拉西尔。2010年。评估边际政策变化和边际个体治疗的平均效果〉，《经济计量学》，78(1):377-394.卡内罗，佩德罗，詹姆斯·J·赫克曼，爱德华·维特拉西尔。2011年。估计教育的边际收益〉，《美国经济评论》，101(6):2754-2781。2007年。无条件分位数回归〉，NBER技术工作文件339。Firpo,Sergio,Nicole M.Fortin,Thomas Lemieux。2009年。无条件分位数回归〉，《经济计量学》，77(3):953-973。2013年。带有生成回归子的半参数估计的渐近方差〉，《经济学计量学》，81(1):315-340.Heckman,James J.和Edward Vytlacil。1999年。

局部工具变数和潜在变数，用于确定和限制治疗效果〉，美国国家科学院院刊，96(8):4730-4734。Heckman,James J.和Edward Vytlacil。2001年a。局部工具变量〉，《非线性统计建模：第十三届经济理论与计量经济学国际研讨会论文集：纪念阿米宫武的论文》。,艾德。C.Hsiao,K.Morimune和J.Powell,1-46。英国剑桥：Cambrigde大学预科。Heckman,James J.和Edward Vytlacil。2001年b。政策相关的治疗效果〉，《美国经济评论》，91(2):107-111.2005年。结构方程、治疗效果与计量经济学政策评估〉，《经济计量学》,73（3）：669-738.Heckman,James J.,Sergio Urzua,Edward Vytlacil.2006年。理解具有基本异基因的模型中的工具变量〉，《经济学与统计学评论》，88(3):389-432。Ibragimov,I.A.，R.Z.Hasminskii。1981年。统计估计：渐近理论。Springerverlag.Imbens，Guido W.和Whitney K.Newey。2009年。无可加性三角联立方程模型的辨识与估计〉，《经济计量学》，77(5):1481-1512.井上，敦史，李童，徐琪。2021年。两个样本无条件分位数效应〉，arxiv:https://arxiv.org/pdf/215.09445.pdf.kasy，马克西米利安。2016年。部分投资、分配偏好与福利等级〉，《经济与统计评论》98（3月）：111-131。马丁内斯-伊里亚特，朱利安。2020年。无条件分位数效应的敏感性分析〉，《工作论文》，Martinez-Iriarte,Julian,Gabriel Montes-Rojas,和Yixiao Sun。2022年。无条件分位数回归中的位置-标度和补偿Effe cts〉，工作论文，Mogstad,Magne,Alexander Torgovitsky和Christopher R.Walters。2020年。多个工具变量的政策评估〉，工作文件，Mogstad,Magne和Alexander Torgovitsky。2018年。用Instrume n tal变量分析和推断因果效应〉，《经济学年评》，10:577-613。Mukhin,Yaroslav。2019年。关于可微函数的反事实分析〉，《工作论文》，1994。半参数估计的渐近方差〉，《经济计量学》，62(6):1349-1382.帕甘，阿德里安，和阿姆·安·乌拉。1999年。关于参数计量经济学。剑桥大学出版社，Christoph Rothe。2010年。不可分模型中无条件部分效应的定义。《经济学快报》，109(3):171-174。2012年。部分分配政策效应〉，《经济计量学》，80(5):2269-2301.鲁丁，沃尔特。1976年。数学分析原理。纽约：麦格劳-希尔。佐佐木，Y.，T.Ura和Y.Zhang。2020年。高维数据的无条件分位数回归〉，工作P aper.Sasaki,Yuya,Takuya Ura。2021年。政策相关治疗效果的估计与推论〉，《计量经济学杂志》（即将出版）。数理统计逼近定理。新Yo r K：Wiley.van der Vaart,A.W.2000。渐近的S tatisics。坎布里奇大学出版社。2014年。边缘分位数处理效应〉，周、向、余谢。2019年。从倾向评分的角度看边际处理效应〉，《政治经济学杂志》，127(6):3070-3084.附录引理1的额外证明。利用选择方程dδ=1{ud≤pδ(W)},我们有FY(1)dδ(～y1)=Pr(Y(1)≤～ydδ=1)Pr(Y(1)≤～Y,dδ=1)wpr(Y(1)≤～Y,dδ=1w=fW(w)dw=Pr(dδ=1)wpr(Y(1)≤～Y,ud≤pδ(w)w=w)fW(w)dw。因此，FY(1)dδ(～y1)=p+δwfy(1)，UDW(～Y,pδ(w)w)fW(w)dw=p+δw～y-∞pδ(w)-∞FY(1)，UDW(Y,uw）fW(w)dudydw=p+δ～y-∞w“pδ(w)-∞FY(1)，UDW(Y,uw）du#fW(w)dwdy，其中积分的顺序可以切换，因为被积函数是非负的。

其t h如下:fy(1)dδ(～y1)=p+δw“pδ(w)-∞fy(1)，UDW(～y，uw)d u#fw(w)dw=p+δw”pδ(w)-∞fy(1)UD，w(～yu，w)du#fw(w)dw。(a.1)So,(p+δ)fY(1)dδ(～y1)=w“pδ(w)-∞fY(1)UD,w(～yu,w)du#fw(w)dw。(A.2)在假设2(b)和2(c)下，我们可以对(A.2)的两边进行积分符号下关于δ的微分，得到H(p+δ)fY(1)dδ(～y1)iδ=wfy(1)UD,W(～ypδ(W),W)pδ(W)δfw(W)dw。(A.3)根据假设2(b.i)和2(c.II)，fY(1)UD，W(～ypδ(W)，w)pδ(w)/δ对于每一个~Y∈Y()和w∈w在δ中是连续的。鉴于假设2(b.II)和2(c.III)，我们可以调用支配收敛理论m来证明映射δ7→[(p+δ)fY(1)dδ(～y1)]δ对于每个～Y∈Y()是连续的。对于(1-p-δ)fY(0)dδ(～y0)的情况，我们有fY(0)dδ(～y0)δ=δfY(0)dδ(～y0)～y。使用选择方程，我们可以写FY(0)dδ(～y0)asFY(0)dδ(～y0)=Pr(Y(0)≤～ydδ=0)=Pr(Y(0)≤～yd>pδ(W))=Pr[ud>pδ(W)]Pr(Y(0)≤～Y,ud>pδ(W))=1-p-δ[pr(Y(0)≤～Y)-pr(Y(0)≤～Y，ud≤pδ(W))]=1-p-δfy(0)(～Y)-wfy(0)，UDW(～Y，pδ(W)W)fW(W)dw=1-p-δ“fy(0)(～Y)-W～y-∞fy(0)，UDW(Y，uw)fW(W)dw=1-p-δ”fy(0)(～Y)-y-∞fy(0)，UDW(Y，uw)fW(W)dydw#=1-p-δ“fy(0)(～Y)-y-∞W fW(W)dudwdy#，其中积分的阶可以切换d，因为被积函数是非负的。在此之前，(1-p-δ)fY(0)dδ(～y0)=fY(0)(～y)-w pδ(w)-∞fY(0)，UDW(～y，uw)fW(w)dudw。(A.4)以2(b)和2(c)为例，我们有h(1-p-δ)fY(0)dδ(～y0)iδ=-wfy(0)，UDW(～y，pδ(w))w)pδ(w)δfw(w)dw=-wfy(0)UD，w(～ypδ(w)，w)pδ(w)δfw(w)dw。(a.5)δ7→[(1-p-δ)fY(0)dδ(～y0)]δ的连续性与δ7→[(p+δ)fY(1)dδ(～y1)]δ的连续性相同。引理2的证明。对于nε中的任意δ,我们有fYδ(y)=y(1){～y≤y}(p+δ)fY(1)dδ(～y1)d～y+y(0){～y≤y}(1-p-δ)fY(0)dδ(～y0)d～y。我们在δ=0附近进行了δ7→(p+δ)fY(1)dδ和δ7→(1-p-δ)fY(0)dδ的有序展开，引理1是可能的。我们有(p+δ)fY(1)Dδ(～y1)=pfy(1)D(～y1)+δ·wfy(1)UD,W(～yp(W),W)^p(W)fW(W)dw+R(δ；～y，1),(a.6),其中(δ；～y，1):=δ·h(p+δ)fY(1)Dδ(～y1)iδδ=～δ-h(p+δ)fY(1)Dδ(～y1)iδδ=0(a.7)和0≤～δ≤δ。中间点～δ依赖于δ。对于o f d=0的情况，我们有一个类似的表达式:(1-p-δ)fY(0)dδ(～y0)(a.8)-δ·wfy(0)UD，W(～yp(W)，W)πp(W)fW(W)dw+R(δ；～y，0)，其中(δ；～δ≤δ。中间点～δ取决于δ。现在FYδ(y)=FY(y)+δy(1)W{～y≤y}FY(1)UD,W(～yp(W),W)^p(W)fW(W)dwd～y-δy(0)W{～y≤y}FY(0)UD,W(～yp(W),W)^p(W)fW(W)dwd～y+RF(δ；y)(a.10)其中剩余的RF(δ；y)isRF(δ；y):=y(1){～y≤y}R(δ；～y,1)d～y+y(0){～y≤y}R(δ；～y,1)d～y+y(0){～y≤y}）d～y。(a.11)下一步是证明(a.11)中的余项在y∈y=y(0)TMy(1)上一致为o(δ)，即:limδ→0supy∈y rf(δ；y)δ=0。利用(A.7)和(A.9)，我们得到了SUPY∈y RF(δ；y)δ≤y(1)H(p+δ)fY(1)Dδ(～Y1)Iδδ=～δ-H(p+δ)fY(1)Dδ(～Y1)Iδδ=0d～y假设3允许u s在积分符号下取极限δ→0。同样，通过引理1，[(p+δ)fY(1)dδ(～y1)]δ和[(1-p-δ)fY(0)dδ(～y0)]δ在δ中都是连续的。我们通过记号Limδ→0supy∈YrF(δ；y)δ=0得到了所需的Result。So,一致上y∈y为δ→0FYδ(y)=FY(y)+δy(1)W{～y≤y}FY(1)UD,W(～yp(W),W)πp(W)fW(W)dwd～y-δy(0)W{～y≤y}FY(0)UD,W(～yp(W),W)πp(W)fW(W)dwd～y+o(δ).定理1的证明。大部分的证明都在正文中，紧接在定理的陈述之前。我们只需证明atg(y)=EhnFY(1)UD,W(yP(W),W)-FY(0)UD,W(yP(W),W)oπp(W)ii是可微的。

为此，我们同意r的极限Limh→0h[G(y+h)-G(y)]=Limh→0e“(FY(1)UD,W(y+hp(W),W)-FY(1)UD，W(yP(W)，W)h)πP(W)#-limh→0e“（FY(0)UD,W(y+h P(W),W)-FY(0)UD,W(yP(W),W)h)^P(W)#.butsuph FY(d)UD,W(y+h P(W),W)-FY(d)UD,W(yP(W),W)h≤sup～y∈y(d)FY(d)UD,W(～yP(W),W).这和假设2(b.ii)和2(c.iii)允许我们使用支配conve rgen ce定理得到limh→0h[G(y+h)-G(y)]=EhnfY(1)UD,W(yP(W),W)-FY(0)UD,W(yP(W),W)OπP(W)i，因此G(y)是可微的，具有上面给出的导数。因此，y'A(y,ρ，FY)dG(y)=y'A(y,ρ，FY)×EhnfY(1)UD,W(yP(W),W)-FY(0)UD,W(yP(W),W)oàp(W)ydy。证明C推论1。我们可以看到yyehnfy(1)UD,W(yP(W),W)-fY(0)UD,W(yP(W),W)OπP(W)idy=e e[y(1)-y()UD=P(W),W]πP(W),因此可以证明limδ→0δ-1′yydrf(δ；y)=0。在假设4下，我们有δyydrf(δ；y)≤py(1)～y·fY(1)Dδ(～y1)δδ=～δ-fY(1)Dδ(～y1)δδ=0D～y+(1-p)y(0)～y·fY(0)Dδ(～y0)δδ=～δ-fY(0)Dδ(～y0)δδ=0D～y+y(1)～y·fY(1)D(～y1)-fY(1）Dδ(～y1)D～y+y(0)～y·fY(0)D(～y0)-fY(0)Dδ(～y0)D～y。正如在Lemma2的证明中，上述上界中的每个项都收敛到零为δ→0。因此，Limδ→0δyydrf(δ；y)=0，如愿。E quation的推导（14）。注意(yδ)=e(yδpδ=t)fpδ(t)dt。(A.12)现在，条件为E(yδpδ=t)。在Pδ相对于指标UD的值悬而未决的情况下，我们观察潜在的结果Y（）或Y（）。根据UD对pδ的依赖和迭代期望定律，我们得到(Yδpδ=t)=E(Yδpδ=t,ud=u)du=te(Y(1)ud=u)du+te(Y(0)ud=u)du={0≤u≤t}E(Y(1)ud=u)+1{t≤u≤1}E(Y(0)ud=u)du。(A.13)将(A.13)塞回(A.12)中，我们得到(Yδ)={0≤u≤t}E(Y(1)ud=u)+1{t≤u≤1}E(Y(0)ud=u)du fpδ(t)dt={u≤t≤1}E(Y(1)ud=u)+1{0≤t≤u}E(Y(0)ud=u)fpδ(t)dt=(1-fpδ(u))E(Y(1)ud=u)+fpδ(u)E(Y(0)ud=u)du。(A.14)利用(A.14)回到(13)，我们得到prte=δ(1-FPδ(u))E(Y(1)ud=u)+FPδ(u)E(Y(0)ud=u)du-δ(1-FP(u))E(Y(1)ud=u)-FP(u)E(Y(0)ud=u)du=δmte(u)(FP(u)-FPδ(u))du。(a.15)取(a.15)中的极限为δ→0产率smprte=limδ→0-δmte(u)(FPδ(u)-FP(u))du=-mte(u)FPδ(u)δδ=0du。从定理1出发，考虑了φ(y,ρ，FY)=τ-1{y≤yτ}FY(yτ)。C推论3的证明。对于d=0和1，我们有fy(Yτ)we[{Y(d)≤Yτ}ud=P(w),W=W]πp(W)fW(W)dw=fy(Yτ)we[{Y(d)≤Yτ}d=d,W=W]πP(W)fW(W)dw+fy(Yτ)we[{Y(d)≤Yτ}ud=P(W),W=W]àp(W)fW(W)dw-fy(Yτ)we[{Y(d)≤Yτ}d=d,W=W]πp(W)fW(W)dw=fy(Yτ)we[{Y(d)≤Yτ}d=d,W=W]fw(W)dw-fy(Yτ)we[{Y(d)≤Yτ}d=d,W=W]fw(W)[1]p(W)[1]dw[1]f(W)]dw[1]fy(y)d]wfy(d)d,w)-FY(d)UD，w(yτp(w)，w)Ióp(w)fW(w)dw:=aτ(d)-b1τ(d)-b2τ(d)，其中aτ(d)=fy(Yτ)we[{Y(d)≤Yτ}d=d,W=W]fw(W)dw,b1τ(d)=fy(Yτ)we[{Y(d)≤Yτ}d=d,W=W]fw(W)[1]p(W)dw,b2τ(d)=fy(yτ)whfy(d)d,W(yτd),w)-FY(d)UD，w(yτp(w)，w)Ióp(w)fW(w)dw.soπτ=aτ()-b1τ()-b2τ()-[aτ()-b1τ()-b2τ()]=aτ-b1τ-b2τ，其中aτ=aτ()-aτ()=fy(Y)we[{Y≤Yτ}D=0,W=W]fW(W)dw-fy(Yτ)we[{Y≤Yτ}D=1,W=W]fW(W)dw,b1τ=b1τ()-b1τ()=FY(Yτ)whfy()D,W(Yτ0，W)-FYD，W(Yτ1，W)I[1-πp(W)fW(W)dw=FY(Y)FYD，W(Yτ1，W)[1τ=b2τ()-b2τ()=FY(Yτ)whfy(D)D,W(Yτ1，W)=FY(Y)FYD，W(Yτ1，W)dw(Yτ0,W)-FY()UD,W(Yτp(W),W)iàp(W)fW(W)dw+FY(Yτ)whfy()UD,W(Yτp(W),W)-FY()D,W(Yτ1,W)iàp(W)fW(W)D.引理3的证明。对于给定的δ，s(δ)满足Pr(dδ=1)=p+δ。但是pr(dδ=1)=e[pδ(W)]=wfvw(μ(gπ(W,s(δ)),x)W)fW(W)dw,其中gπ(W,s)=(Z+g(W)s,Z,···,ZdZ)。请注意，G*(W，s)与G(W，δ)具有相同的形式，但它们的第二个自变量是不同的。Sop+δ=WFVW(μ(G*(w,s(δ)),x)w)fW(w)dW。(A.16)注意s(0)=0。我们将隐函数s(δ)的导数与ct对应为δ.definnet(δ，s)=p+δ-wfvw(μ(G*(w,s）,x)w)fW(w)dw。

（a.17）由Theore M9.28 inRudin(1976)证明了t(δ，s)在(0，0)的邻域内对(δ，s)连续可微。我们证明了(A.17)关于δ和s的偏导数是存在的并且是连续的（s ee定理9.21 inRudin(1976))，对于ct对δ的偏导数，我们有t(δ,s)/δ=1，它在(δ,s）中明显是连续的。对于关于s的偏导数，我们在引理中假定(iii)得到t(δ，s)s=-wfvw(μ(Gut(w，s),x)w)μ\'z(Gut(w，s),x)g(w)fW(w)d，该函数在δ中基本连续。鉴于fVW（vw）在v中几乎全部连续，支配收敛定理表明t(δ，s)/s在s中也是连续的。因此，我们可以应用隐函数定理在δ=0的邻域内求出S′(δ)。取(a.16)w ith对δ的导数，我们得到S(δ)δ=WFVW(μ(G(w)，δ)，x）w）μ\'z（G（w,δ)，x)g(w)fW(w)dw=ehfvw(μ(g(w),δ)，X）W）μ\'z（G（W,δ)，X)g(W)I.接下来，我们有pδ(z，x)=Pr(dδ=1z=z,X=X)=FVW(μ(G(w),δ)，x)w)。所以pδ(z,x)δ=fVW(μ(G(w,δ)，x)w)μ\'z(z+G(w)s(δ)，x)G(w)s(δ)δ=fVW(μ(G(w,δ)，x)w)μ\'z(G(w,δ)，x)G(w)i.那么s(δ)δδ=0=EhfVW(μ(w)w)μ\'z(w)G(w)G(w)i，pδ(z,x)δ=0=EhfVW(μ(w)w)μ\'z(w)G(w)iδ=0=fVW(μ(w)w)μ\'z(w)G(w)EhfVW(μ(w)w)μ\'z(w)G(w)i.证明C推论4。它是引理3到推论3的一个应用。命题1的证明。注意，对于任意Boun ded函数L(·)，我们有[L(Y)P(W)=P(W),X=X]=E[L(Y(1))D=1，P(W)=P(W)，X=X]×PR(D=1P(W)=P(W),X=X)+E[L(Y(0))D=0,P(W)=P(W)，X=X]×PR(D=0P(W)=P(W),X=X)。但是，利用D=1{ud≤P(W)},我们havePr(D=1P(W)=P(W),X=X)=Pr(Ud≤P(W)P(W)=P(W),X=X)=Pr(Ud≤P(w)P(w)=P(w),X=X)=P(w),因为UDis是w.So,E[L(Y)P(w)=P(w),X=X]=E[L(Y(1))D=1，P(W)=P(W)，X=X]p(w)+e[l(Y(0))D=0,P(W)=P(W)，X=X](1-P(w)).=e[l(Y(1)))ud≤P(w),P(W)=P(W)，X=X]P(w)+E[L(Y(0))UD>P(w),P(W)=P(W)，X=X](1-P(w))=E[L(Y(1)))Ud≤P(w),X=X]P(w)+E[L(Y(0))UD>P(w),X=X](1-P(w))，其中最后一行在后面，因为U=(U，给定X和UD，U)与Z无关。nowe[l(Y(1))UD≤P(w),X=X]=E{E[l(Y(1))UD,X=X]UD≤P(w),X=X}=E{E[l(Y(1))UD,X=X]UD≤P(w)}=P(w)E[l(Y(1))UD=U,X=X]dup(w),其中第一个等式使用迭代d期望律，第二个等式U与X无关，最后一个等式在[0,1]上使用UD。类似地，E[L(Y(0))UD>P(w),X=X]=P(w)E[L(Y(1))UD=u，X=X]du1-p(w)。所以我们有[L(Y)P(w)=P(w)，X=X]=P(w)E[L(Y(1))UD=u,X=X]du+P(w)e[L(Y(0))ud=u,X=X]du。通过取L(·)=1{·≤Yτ}，我们得到[{Y≤Yτ}P(w)=P(w),X=X]=P(w)e[{Y()≤Yτ}ud=u,X=X]du+P(w)e[{Y()≤Yτ}ud=u,X=X]du。在假设2(a)和2(b)下，我们可以调用微积分的基本定理得到e[{Y≤Yτ}P(w)=P(w),X=X]P(w)=e[{Y()≤Yτ}ud=u,X=X]du,X=X]-e[{Y()≤Yτ}ud=P(w),X=X]=mteτ(P(w),X）。(a.18)即对于任意u,mteτ(u,x)=e[{Y≤Yτ}P(W)=u,x=x]u，使得存在一个满足P(W)=u的W∈W。引理5的证明。我们有fY(y)-fY(y)=nhn∑i=1 k yi-yh-fy(y)=nn∑i=1 hk yi-yh-e fY(y)+e fY(y)-fY(y)=nn∑i=1 hk yi-yh-e fY(y)+BfY(y)+op(h)，其中BfY(y)=hf\'\'2y(y)∞-∞uk(u)du。我们简明地将其写成fY(y)-fY(y)=nn∑i=1ψfY,i(y，h)+BfY(y)+op(h)，其中，ψfY,i(y，h):=hk YH=op(n-1/2h-1/2)。这就完成了本文结果的证明。我们现在证明引理的第二个结果。由于K(u)是两次连续可微的，我们对yτ和yτ之间的某个yτ作了泰勒展开式o bt ain fy(yτ)-fy(yτ)=f′y(yτ)(yτ-yτ)+f′(～yτ)(yτ-yτ)(a.19)。T h和二阶导数是f′y(y)=-nhn∑i=1k′yi-yh,f′y(y)=nhn∑i=1k′yi-yh。为了了解f′y(y)的阶数，我们计算了它的均值和方差。

我们有h f\'\'y(y)i=nhn∑i=1k\'\'yi-yh=o h,varh f\'\'y(y)i≤n(nh)ek\'\'yi-yh=o nh。因此，当nh→∞时，f\'\'y(y)=op h-2,对于任意y。也就是说，对于任何一个θ>0，当n足够大时，存在一个M>0，使得pr h f\'\'y(yτ)>M<l。假设我们选择M如此大，当n足够大时，我们也有pr√n～yτ-yτ>M<l。然后，当n足够大时，Pr h f\'\'y(～yτ)>m≤pr h f\'\'y(～yτ)-f\'\'y(yτ)>m+pr h f\'\'y(～yτ)-f\'\'y(yτ)i>m+≤pr hh f\'\'y(～yτ)-f\'\'y(yτ)i>m,√n～yτ-yτ<m+.(A.20)我们将τn～yτ-yτ<M分为两种情况。当τn～yτ-yτ<√h时，我们得到了H f′y(～yτ)-f′y(yτ)≤nhn∑i=1k′yi-yτh-k′yi-yτh≤nh·n·lkhyτ-yτ≤lk·h≤hτhτn=lk·n=nh·n=nh·nh，其Lipschitz常数lk为k′(·)的Lipschitz连续性。当≤h≤√n～yτ-yτ<M时，我们有yi-yτh-yi-yτ～yτh=√n～yτ-yτh>√h→∞。使用k′(·)上的第二个条件，对于≤h≤≤n～yτ-yτ<M，k′yi-yτhτ-k′yi-yτh≤C(～yτ-yτ)h≤CMnh，以及hf′y(～yτ)-f′y(yτ)≤nhn∑i=1k′yi-yττh-k′yi-yτh≤CMnh因此，在这两种情况下，h f\'\'y(～yτ)-f\'\'y(yτ)=op n-1/2h-3/2。A s A结果，Pr HH f\'\'y(～yτ)-f\'\'y(yτ)i>m,√n～yτ-yτ<m→0。将th与(A.20)合并，我们得到H f′y(～yτ)=Op()和F′y(～yτ)(yτ-yτ)=OPn-1H-2。鉴于(A.19)，我们有fy(yτ)-fy(yτ)=f′y(yτ)(yτ-yτ)+Op(n-1h-2)。现在，使用乐mma4，我们可以写出fy(yτ)-fy(yτ)=f′y(yτ)(yτ-yτ)+hf′y(yτ)-f′y(yτ)i(yτ-yτ)+Op(nτ)=f′y(yτ)-f′y(yτ)i[yτ-yτ]+Op(n-1/2)+Op(n-1h-2)和th e Op(n-1/2)项是yτ-yτ线性渐近表示的误差。为了得到RfY的阶数，我们使用t h e得到如下结果:F′y(y)=F′y(y)+op√nh+h,yτ=yτ+op√nh+h op√n+op(N-1H-2)。因此，RFY=op(N-1/2)+OPN-1H-3/2+OPN-1/2h+op(N-1H-2)=op(N-1/2)+OPN-1H-3/2+op(N-1H-2)tion7,h↓0,所以op n-1/2 h=op(n-1/2)。我们需要证明√nHRFY=op(1)。我们一项一项地做。首先，因为h↓0，所以√NH×op(n-1/2)=op(H1/2)=op(1)。S econd,只要nh↑∞,则√nh×op n^a1 h^a3/2=op n↑1/2 h^a1=op（1）,这是假设7所保证的，因为它是由nh↑∞隐含的。最后，由于假定为7 nh↑∞,所以，√nh×Op(n-1h-2)=Op(n-1/2h-3/2)=Op(1).因此，√nHRFY=op(1).引理6的证明。我们有如下解译:nn∑i=1p(Zi,Xi,α)z-e p(Z,X,α)Z=nn∑i=1p(Zi,Xi,α)z-nn∑i=1p(Zi,Xi,α)z-e p(Z,X,α)Z=nn∑i=1p(Zi,Xi,α)Z=1ψp,i=Op(n-1/2),其中α)z-e p(Z,X,α)Z。对于这一项，我们通过应用平均值m坐标-wisenn∑i=1p(Zi,Xi,α)z-nn∑i=1p(Zi,Xi,α)Z=nn∑i=1p(Zi,Xi,~α)αZ！\'(α-α)，其中～α是在α和α之间具有（不是ne ce ssally相等）坐标的向量。引理的条件（c）和(d),我们得到n∑i=1p(Zi，Xi，～α)αzp→e p(Z，X，α)αZ。(a.21)利用(a.21)和条件(a)中α的线性表达式，我们得到nn∑i=1p(Zi,Xi,α)z-nn∑i=1p(Zi,Xi,α)Z=(e p(Z,X,α)αzz′+op(n))npn∑i=1p(Zi,Xi,α)np∑i=1p(Zi,Xi,α)Z=(e p(Z,X,α)αZ′+op(n-1/2)o=ep(Z,X,α)αZ′pnθα+op(n-1/2),我们可以写出1n(α)-t=nn∑i=1p(Zi,Xi,α)z-e p(Z,X,αZ′pnψα+pnψp+op(n-1/2)引理7的证明。回想一下m(Yτ,～w(αθ)):=m(Yτ,P(w,αθ),x)=e[{Y≤Yτ}P(w,αθ)=P(w,αθ),x=x]。为了强调αθ的双重作用，我们将m(Yτ,u,x；P(·,αθ))=e[{Y≤Yτ}P(w,αθ)=u,x=x]。由于Yτ是d,所以我们把~mas看作依赖于函数P(·,αθ)的（u,x）函数。

T h en～m(yτ,P（w,αθ),x；P(·,αθ))θ=θ=θ=e[{Y≤Yτ}P(W,αθ)=P(W,αθ),X=X]=m(Yτ,P(W,αθ),X)。与inHahn和Ridder(2013)一样，我们采用~m(Yτ,u,X；P(·,αθ))仅作为一个e x位置装置，本文研究了[m]=:h[m(yτ,P(·,αθ),·)]=w m(yτ,P(w,αθ),x)zfw(w)dw=w～m(yτ,P(w,αθ),x；在引理的条件（B.I）下，我们可以将αθ与ainαθh[m]θ=θ=wz～m(yτ,P(w,αθ),x交换；P(·,αθ))αθθ=θ=θfw(w)dw+wz～m(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))αθθ=θ=θfw(w)dw=wz~m\'0,α(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))fw(w)dw,其中～m\'0,α(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))=～m(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))αθθ=θ+～m(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))αθθ=θ。在引理的条件(a)下，我们可以用分项积分。..,zdZ）和[Z1L(w-1),z1u(w-1)]是Z的支座，给定w-1=w-1，我们有wz~~m\'0,α(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))fw(w)dw=xz1u(w-1)z1l(w-1)z~~m′0,α(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))fzw-1(zw-1)dzfw-1(w-1)dw-1=x～m\'0,α(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))fzw-1(Zw-1)z1u(w-1)z1l(w-1)fw-1(w-1)dw-1-w～m\'0，α(yτ，P(w，αθ)，x；P(·,αθ))log fzw-1(zw-1)zfw(w)dw=-w～m\'0,α(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))对数fW(w)zfw(w)dw.definneü(u,x）；P(·,αθ))=e log fW(W)z P(W,αθ)=u,X=X。根据迭代期望定律，我们有W～m(yτ,P(W,αθ),X；P(·,αθ))'A(P(w,αθ),x；P(·,αθ))fW(w)dw=e[{Y≤Yτ}(P(w,αθ),x；P(·,αθ))]。(a.22)这是因为~m(Yτ,P(w,αθ)，x；P(·,αθ))=e[{Y≤Yτ}iθ]其中iθ是由(P(W,αθ),X）和v(P(W,αθ),X构成的子σ代数gen；P(·,αθ))是(P(W,αθ),X）的泛函，因此是iθ-可测的。对αθ微分(a.22)并求出所得方程在θ=θ处，我们得到“~m(yτ,P(W,αθ),X；P(·,αθ))αθ=θ(P(W,αθ),X；P(·,αθ))#+e”~m(yτ,P(W,αθ),X；P(·,αθ))αθθ=θ(P(W,αθ),x；P(·,αθ))#=E([{Y≤Yτ}-m(Yτ,P(W,αθ),X)]'A(P(W,αθ),X；P(·,αθ))αθ=θ),(a.23)其中我们使用引理的条件(b.ii)和(b.iii)将微分与期望交换。利用(a.23)和迭代期望定律，我们得到wz~m′0,α(Yτ,P(W,αθ),X；P(·,αθ))fw(w)dw=-w～m\'0,α(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))log fW(w)zfw(w)dw=w～m′0,α(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))'A(P(w,αθ),x；P(·,αθ))fW(w)dw=E([{Y≤Yτ}-m(Yτ,P(w,αθ),X)]'A(P(w,αθ),X；P(·,αθ))αθ=θ)。请注意v(P(W,αθ),X；P(·,αθ))αθ=θ是P(W,αθ)，X和P(W,αθ)/αθ的可测函数。另外，E{{Y≤Yτ}P(W,αθ),P(W,αθ)/αθ,X}=E{{Y≤Yτ}P(W,αθ),X}=m(Yτ,P(W,αθ),X}=m(Yτ,P(W,αθ)/αθ,因为P(W,αθ)/αθ包含了关于Z和Z的信息，与UD,U,U）Givenx无关。引理8的证明：w Z~~m′0,α(yτ,P(w,αθ),X；P(·,αθ))fw(w)dw=0。因此，θe m(yτ,P(Z,X,αθ),X)Zθ=θ=0。首先，我们证明了（31）中的分解是有效的。我们首先证明，θ=eθmθ(yτ,θ,～w(αθ))z在θ处是可微的。为此，我们可以证明下面四个导数中的每一个都存在于θ=θ:θeθm(yτ,～w(α))z；θe mθ(yτ,θ,～w(α))z；θe m(yτ,θ,～w(α))z；θe m(yτ,～w(α))z。(A.24)由Lemma7,最后一个导数存在并且在θ=θ处等于零。我们在(a.24)中一次处理REST3个导数。考虑一下情况。在引理的条件(A.III)和条件(b)中，当引理的=0=0时，我们有w″m(yτ,～w(α))zsupθ∈θfW(w；θ)θdw#<∞。所以eθhm(yτ,～w(α))zi在θ和θeθm(yτ,～w(α))zθ=θ=em(yτ,～w(α))zs(O)中是可微的。因此，与导数相关的t h e贡献是t2n(yτ,m,α)-t的函数。现在，对于(a.24)中的二阶导数，Newey(1994)中的定理7.2表明引理的假设意味着th e如下：1。存在一个函数γm(o)和一个测度Fm，使得e[γm(o)]=0,e[γm(o)]<∞,并且对于所有的m使得k m-mk∞足够小，e m(yτ,P(Z,X,α),X)z-m(yτ,P(Z,X,α),X)Z=γm(o)d fm(o)。

下面的近似成立了γm(o)d fm(o)=nn∑i=1γm(o)+op(n-1/2)。可以证明γm(·)在引理（C.F.,Newey(1994)的命题5）中等于ψm(·)。对于一个参数子模型fθ,当θ足够接近θ时，我们有:θ-θe mθ(yτ,P(Z,X,α),X)z-m(yτ,P(Z,X,α),X)Z=θ-θγm(o)d[fθ(o)-fθ(o)]，其中我们使用了）dfθ(o)=0。在条件(A.IV)下，对于θ∈θ,γm(o)dfθ(o)<∞。然后，利用引理7.2inIbragimov和Hasminskii(1981)给出了(A.24)e×ist和s阿季斯函数θe mθ(yτ,P(Z,x,α),x)Zθ=θ=θγm(o)dfθ(o)θ=θ=e[γm(o)s(o)]中的二阶导数，表明γm(o)是eh m(yτ,P(Z,x,α),x)zi的函数。即E m(yτ),P（Z,X,α)，X)z-e m(yτ,P(Z,X,α),X)Z=nn∑i=1γm(Oi)+op(n-1/2),这与s tochastic等度连续性结合，意味着2n(yτ,m,α)-T2n(yτ,m,α)=nn∑i=1γm(Oi)+op(n-1/2)。现在，Cond的支配条件(d)保证了(a.24)中的三阶导数存在，即θe m(yτ,θ,～w(α))Zθ=θ=e m(yτ,～w(α))yτZ存在给定近似Yτ-Yτ=Pn'Aq(Yτ)+op(n-1/2),从Lemma4中，我们有Yτ，θθθ=θ=eh'Aq(yτ)s(O)I.因此，θe m(yτ,θ,～w(α))Zθ=θ=em(yτ,～w(α))yτZ eh'Aq(yτ)s(O)I.这给出了yτ估计的贡献。或者，本文给出了e m(yτ,～w(α))z-e m(yτ,～w(α))z-e m(yτ,～w(α))z-e m(yτ,～w(α))z=e m(yτ,～w(α))yτz(yτ-yτ)+op(n-1/2)的函数，我们得到了2n(yτ,m,α)-T2n(yτ,m,α)=e m(yτ,～w(α))yτz(yτ-yτ)+op(n-1/2)=e“fy～w(α)(yτ～w(α))z#pn∑q(yτ)+op(n-1/2)=pn～ρq(yτ)+op(n-1/2)。综上所述，我们拥有2n(yτ,m,α)-T=[T2n(yτ,m,α)-T]+[T2n(yτ,m,α)-T2n(yτ,m,α)-T2n(yτ,m,α)-T2n(yτ,m,）]+[T2n(yτ,m,α)-T2n(yτ,m,α)]+op(n-1/2)=Pn∑m+Pn∑m+Pn～ρq(yτ)+op(n-1/2)。考虑以下差分πτ，z-πτ，z=fY(yτ)T2n(yτ,m,α)T1n(yτ,m,α)fY(yτ)t-fy(yτ)T1n(α)T fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)T[T2n(yτ,m,(yτ)T=fY(yτ)T fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)T[T2n(yτ,m,α)-T]-T1n(α)T fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)i-tfy(yτ)fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)T[T1n(α)-T]。(A.25)我们可以将(A.25)重新排列为πτ,Z-πτ,Z=T fY(Yτ)fY(Yτ)TH fY(Yτ)-fY(Yτ)I+T fY(Yτ)T1n(α)T[T1n(α)-T]-fY(Yτ)T1n(α)[T2N(Yτ,M,α)-T]。(A.26)通过适当地修改余项，我们可以将(A.26)表示为πτ,Z-πτ,Z=tfy(yτ)th fY(yτ)-fY(yτ)i+tfy(yτ)T[t1n(α)-T]-fY(yτ)T[t2n(yτ,m,α)-T]+R+R+R(a.27)。现在我们准备好分离est模拟的e ach阶段的贡献。我们将使用方程(25)，(27)和(31)。πτ，z-πτ，Z=TFY(Yτ)th fY(Yτ)-fY(Yτ)i+TFY(Yτ)T[fY(Yτ)-fY(Yτ)]+TFY(Yτ)T[T1n(α)-T]+TFY(Yτ)T[T2n(Yτ,m,α)-T2n(Yτ,m,α)-T2n(Yτ,m,α)-T2n(Yτ,m,α)]-fY(Yτ)T[T2n(Yτ,m,α)-T2n(Yτ,m,α)]-fY(Yτ)T[T2n(Yτ,m n(yτ,m,α)]+r+r+r+tfy(yτ)trfy+op(n-1/2)。(A.28)最后，我们建立了余数R，Rand Rin(A.27)的速率。我们分别处理馀数的每个分量。T h e余数ISR=T fY(yτ)fY(yτ)TH fY(yτ)-fY(yτ)I-TFY(yτ)TH fY(yτ)-fY(yτ)I=TFY(y)TH fY(yτ)-fY(yτ)I“fY(yτ)-fY(yτ)#=-TFY(y)T fY(yτ)-fY(yτ)I=OP fY(yτ)-fY(yτ)I=OP fY(yτ)-fY(yτ)。(A.29)第二余项ISR=T fY(Yτ)T1n(α)T[T1n(α)-T]-TFY(Yτ)T[T1n(α)-T]=TT[T1n(α)-T]“fY(yτ)-fY(yτ))fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)T#=opt1n(α)-T[+opt1n(α)-T fY(yτ)-fY(yτ)=opn-1+opn-1/2fY(yτ)-fY(yτ)。

(A.30)第三个余数是R=fY(yτ)T[T2n(yτ,m,α)-T]-fY(yτ)T1n(α)[T2n(yτ,m,α)-TT1n(α)-T)+Op T2n(yτ,m,α)-T fY(yτ)-fY(yτ)=Op n-1+Op n-1/2fY(yτ)-fY(yτ)(a.31)，因为它具有与Rin(a.30)相同的分母。最后，我们计算了fy(yτ)-fy(yτ)的速率。为此，我们使用LEMMA5中的结果。Equ(25)告诉我们fY(Yτ)-fY(Yτ)=fY(Yτ)-fY(Yτ)+fY(Yτ)-fY(Yτ)+fY(Yτ)-fY(Yτ)+RfY=Op(N-1/2H-1/2)+Op(h)+Op(N-1/2H-1/2)+Op(RfY)=Op(N-1/2H-1/2)+Op(h)。(A.32)余项Rπ=R+R+R+TFY(Yτ)TrFY+op(N-1/2)+op(h)。因此，Rπ=op fY(Yτ)-fY(Yτ)+op N-1+op N-1/2 fY(Yτ)-fY(Yτ)+op RFY[+op(N-1/2)+op N-1H-1+N-1H-1/2+op N-1/2H-1/2+h=op N-1/2H-1/2，(A.33)，其中我们使用了在A sumption7.b渐近中保持的速率条件具有外生处理的UQR估计的TIC偏差考虑模(0)=q(X)+U,Y(1)=q(X)+β+U,D=1{V≤μ(Z,X）},其中(Z,X)∈Ris与(U,U,V）无关。为了简单起见，我们假定μ(Z,X)=Z+X，并考虑Zδ=Z+s(δ)。新的或反事实的政策制度下的选择方程为dδ=1{V≤Z+s(δ)+X}，其中s(δ)满足e[dδ]=p+δ。设W=(Z,X）和W=(Z,X）。我们遵循推论4到o bt ainπτ。由于V与bo th Z和X无关，在新条件下的倾向得分为pδ(W)=Pr(Dδ=1W)=FVW(Z+s(δ)+X)=FV(Z+s(δ)+X)。N ow,p(W)=pδ(W)δ=0=FV(Z+X)s(δ)δ=0。由于E[Dδ]=p+δ，我们有E[Dδ]δ=0=s(δ)δ=0E[FV(Z+X)]=1，这意味着s(δ)δδ=0=1/E[FV(Z+X)]=1。Z+X)]。因此，πp(W)=fV(Z+X)/e[fV(Z+X)]。其次，E[{Y(0)≤Yτ}V=μ(w),W=W]=e[{q(x)+u≤yτ}V=μ(W),W=W]=e[{q(x)+u≤Yτ}V=μ(W)]=FUV(Yτ-q(x)μ(W))。类似地，e[{Y(1)≤Yτ}V=μ(W),W=W]=FUV(Yτ-Q(x)-βμ(W))。利用推论4和ass得出FUV=FUV,我们有πτ=fy(Yτ)w“Yτ-q(x)Yτ-q(x)-βfuv(uμ(w))du#^p(w)fW(w)D，从推论3得出表观效应为aτ=fy(Yτ)∞-∞e[{Y≤Yτ}D=0,W=W]fw(W)dw-fy(Yτ)∞-∞e[{Y≤Yτ}D=1,使用有效的ial结果的显式形式，我们得到[{Y≤Yτ}D=0,W=W]=e[{Y(0)≤Yτ}D=0,W=W]=e[{q(X)+u≤yτ}D=0,W=W]=e[{q(X)+u≤yτ}V>μ(W),W=W]=pr(u≤Yτ-q(x)V>μ(W))=∞μ(W)h′Yτ-q(x)-∞fuv(uv)duifV(V)dv1-fv(μ(W))ande[{Y≤Yτ}D=1,W=W]=e[{Y(1)≤Yτ}D=1,W=W]=e[{q(X)+β+u≤yτ}D=1,W=W]=e[{q(X)+β+u≤yτ}V≤μ(W),W=W]=pr(u≤yττ-q(x)-βv≤μ(W))=μ(W)-∞H′yττ-∞μ(W)H′yττ-∞FUV(uv)duifV(v)dv1–FV(μ(W))fW(W)dw-FY(τ)W′μ(x)W′μ(W)-∞H′yτ=FV(uv)duifV(v)dw-fy(yτ)W′μ(x)-β-∞FUV(uv)duifV(v)dw=fy(x)-duifV(v)dw=fy(x)-duifV(v)dw，现在，对于标度因子fY(·),我们得到了一个混合系数fY(yτ)=fY(1)D(yτ1)Pr(D=1)+fY(0)D(yτ0)Pr(D=0),混合权重分别为Pr(D=1)=Pr(V≤μ(W))和Pr(D=0)=Pr(V>μ(W))。为了获得密度，我们注意到fy(0)D(Yτ0)=Pr(Y(0)≤YτD=0)=Pr(Y(0)≤Yτ,D=0)Pr(D=0)=Pr(D=0)Pr(q(X)+u≤yτ,V>μ(W))=pr(D=0)wpr(q(x)+u≤yτ,V>μ(w))fW(w)DW=PR(D=0)w[FU(Yτ-Q(x))-FU,V(Yτ-Q(x),μ(w))]fw(w)dw因此，密度fY(0)D(yτ0)为fY(0)D(yτ0)=pr(D=0)w“fu(yτ-q(x))-μ(w)-∞fu,V(yτ-q(x),我们有fy(1)D(Yτ1)=Pr(Y(1)≤YτD=1)=Pr(Y(1)≤Yτ,D=1)Pr(D=1)=Pr(D=1)Pr(q(X)+β+u≤yτ,V≤μ(W))=pr(D=1)wpr(q(x)+β+u≤yτ,V≤μ(w))fW(w)dw=pr(D=1)wfu,V(yτ-q(x)-β,μ(w))fW(w)dw,和s o密度fY(1)D(yτ1)isfY(1)D(yτ1)=pr(D=1)w“μ(w)-∞fu,V(yτ-q(x)-β,éw)Déw#fW(w)dw.密度fY(yτ)为fY(yτ)=w”fu(yτ-q(x))-μ(w)-∞fu,V(yτ-q(x))-μ(w)-∞fu,V(yτ-q(x))-∑(w)-∞fu,V(yτ-q(x),éw)Déw#fW(w)+w“μ(w)-∞fu,τ和aτ，设β=1,q(X)=X,μ(Z,X)=Z+X,证明X和Z是独立的标准法线，(U,U,V)是均值为0的法线，方差∑=1ρ01ρρρ1,其中ρ是U和V之间的相关性，U和V之间的相关性。