企业无条件政策效应的识别与估计 内源二元处理

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摘要翻译：
本文研究了当待遇为二元内生时，无条件政策效应的识别与估计。我们首先刻画了忽略内生性的无条件回归估计量的渐近偏差，并详细阐述了内生性导致无条件回归估计量不一致的途径。我们表明，即使治疗状态是外生的，当存在共同的协变量同时影响治疗状态和结果变量时，无条件回归估计量仍然可能不一致。基于政策目标的影响函数，我们引入了一类新的边际处理效应(MTE)。我们证明了无条件的策略效应可以表示为新定义的MTEs在无差异边际上的加权平均值。采用局部工具变量法进行点识别。此外，无条件政策效应还包括文献中作为特例的边际政策相关待遇效应。给出了无条件政策效应的估计和推断方法。在实证应用中，我们估计了由较高的学费补贴引起的高校招生状况的变化对工资分配分位数的影响。
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英文标题：
《Identification and Estimation of Unconditional Policy Effects of an
  Endogenous Binary Treatment》
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作者：
Juli\\\'an Mart\\\'inez-Iriarte and Yixiao Sun
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最新提交年份：
2021
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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英文摘要：
  This paper studies the identification and estimation of unconditional policy effects when the treatment is binary and endogenous. We first characterize the asymptotic bias of the unconditional regression estimator that ignores the endogeneity and elaborate on the channels that the endogeneity can render the unconditional regressor estimator inconsistent. We show that even if the treatment status is exogenous, the unconditional regression estimator can still be inconsistent when there are common covariates affecting both the treatment status and the outcome variable. We introduce a new class of marginal treatment effects (MTE) based on the influence function of the functional underlying the policy target. We show that an unconditional policy effect can be represented as a weighted average of the newly defined MTEs over the individuals at the margin of indifference. Point identification is achieved using the local instrumental variable approach. Furthermore, the unconditional policy effects are shown to include the marginal policy-relevant treatment effect in the literature as a special case. Methods of estimation and inference for the unconditional policy effects are provided. In the empirical application, we estimate the effect of changing college enrollment status, induced by higher tuition subsidy, on the quantiles of the wage distribution.
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关键词：econometrics distribution instrumental Indifference conditional

内生二元治疗的无条件政策效果的识别和估计：无条件的医疗方法*朱利安·马丁内斯-伊里亚特·圣克鲁斯经济部圣地亚哥经济部2022年2月1日本文研究了当治疗状态为二元和内生时无条件政策效果的识别和估计。基于政策目标下的f函数的In特性，我们引入了一类新的无条件边际处理效应(MTE)。我们表明，无条件政策效应可以被重新定义为新的无条件MT Es对那些对他们的待遇状况无动于衷的个体的We ights平均值。我们给出了无条件策略效应点识别的条件。当一个分位数是感兴趣的泛函时，我们刻画了忽略tr的内生性的无条件分位数回归(UQR)估计量的渐近偏差，并详细阐述了内生性导致UQR估计量不一致的途径。我们表明，即使治疗状态是外生的，当存在共同的协变量同时影响治疗状态和输出变量时，UQR估计量仍可能不一致。为了克服UQR估计量的不一致性，我们引入了无条件工具分位数估计量（U NIQUE）并建立了它的相合性和渐近分布。在实证应用中，我们估计了由更高的学费补贴引起的大学入学状况的变化对工资分配分位数的影响。关键词：边际收益效应、边际政策相关待遇效应、选择模式、工具变量、无条件政策效应、无条件分位数回归。JEL：C14,C31,C36.*感谢马欣伟、奥古斯托·涅托-巴塔布鲁、维托尔·波塞博姆、卡斯帕·乌特里希以及UCSD和Lacea的研讨会与会者。这项研究是在获得劳工统计局(BLS)数据的限制下进行的。这里表达的观点不一定会影响BLS的观点。电子邮件:jmart425@ucsc.edu.电子邮件:yisun@ucsd.edu.1导言无条件政策效应是指目标协变量的变化对利益结果变量的（不确定的）分布的影响。当目标协变量具有连续分布时，我们可能会改变它的位置，并评估这种变化对o utcome变量分布的影响。例如，我们可以考虑增加每个工人受教育的年数，以改善工资分配的中位数。当协变量分布的变化较小时，这种影响可称为边际无条件效应。本文考虑一个表示治疗状态的二元目标协变量。在这种情况下，位置转移是不可能的，改变其分布的唯一方法是改变tr吃的个体的比例。我们分析了这种边际变化对结果分布的泛函的影响。例如，当功能兴趣以结果为主题时，Th与Carneiro、Heckman和Vytlacil(2010，2011)的边际政策相关治疗效应(MPRTE)密切相关。对于分位数的情况，我们得到了一个u n con ditionalquanyle效应(UQE)。Firpo、Fortin和Lemieux(2009)曾提出用无条件分位数回归(UQR)来估计UQ，但我们在他们的IDENTI策略中发现th在一定条件下是可以分解的。

本文的主要贡献是引入了一类新的无条件边际处理效应，并证明了相应的无条件政策效应可以用这些无条件边际处理效应的加权平均值来表示。新的MTEs是基于我们所关心的结果分布的函数中的显着性函数。权重取决于th e亚群对治疗的接受程度漠不关心的人的心理特征。例如，UQE是在qu Antiles函数中建立的无条件MTE的加权平均值。这表明MPRTE和UQE属于同一参数族。据我们所知，这在以前关于MTEs的文献或关于无条件政策效应的文献中都没有被认识到。为了说明这种通用方法的有用性，我们对无条件分位数效应进行了广泛的分析。这在经验上是重要的，因为Firpo，Fortin和Lemieux(2009)提出的UQR估计量只有在一定的不变性存在的情况下才适用于UQE。在治疗状态是内生性的情况下，这种假设不太可能成立。我们注意到治疗内生性是经济应用中的规则而不是例外。本文的第二个贡献是给出了渐近的封闭表达式，在这个框架中有几组变量。目标协变量是政策制定者要改变的变量。我们经常把目标协变量称为治疗或治疗变量。结果变量是策略制定r最终关心的变量。政策制定者希望改变目标协变量，以达到预期的结果变量分配效果。有时，一个po licy mak er不能直接改变治疗变量，必须通过其他协变量来改变它，这些协变量可以称为政策协变量。Mukhin(2019)g将Firpo、Fortin和Lemieux(2009)进行了Eneralization，以允许连续协变量的非边际变化。在连续协变量情况下的进一步工作包括Sasaki、Ura和Zhang(2020)允许高维设置，Inoue、Li和Xu(2021)解决了两样本问题，Martinez-Iriar te、Montes-Rojas和Sun(2022)分析了lo阳离子尺度和补偿位移。渐近偏差可以追溯到两个来源。首先，处于淡漠边缘的个体的亚种群比整个种群具有不同的特征。我们把t h是偏置的来源称为边缘非均匀性偏置。其次，边缘个体的治疗效果可能不同于治疗组与对照组的治疗效果。对UQE做出贡献的是边缘亚种群，而不是who le种群或任何其他亚种群。对于二元处理的情形，UQR ofFirpo,Fortin和Lemieux(2009)从协变量和处理效果的角度解释了边缘亚群和全种群之间的内生性和差异。因此，它可能会受到来自双方的偏见的困扰。我们证明，在某些情况下，即使tre atme N-T状态是外生的，其他协变量的p r esence也会使UQR估计量不一致。例如，这可能发生在治疗状态部分受影响结果变量的协变量影响的情况下，也就是说，当选择方程和结果等式有共同的协变量时。

在这种不存在内生性的情况下，不存在边际选择偏差，但UQR估计量仍然会遭受严重的边际异质性偏差。这一有趣的结果提醒人们不要在没有仔细考虑的情况下使用UQR。人们可能会问，是否可以像在线性模型中一样，基于相关系数来识别UQR估计量的渐近偏差。这个问题的答案是否定的。原因是渐近偏差在分位数上是不均匀的。我们可以对10分位数有一个p Osisive偏差，而对11分位数有一个neg偏差。本文的第三个结论是表明，如果对干预下的政策变量施加影响工具有效性的假设，那么采用inCarneiro和Lee(2009)的局部工具变量方法，可以得到一个点。在此基础上，我们引入了无条件工具分位数估计，并在二值处理是内齐的情况下，发展了基于惟一性的统计推断方法。我们采用非参数方法，但允许倾向函数是参数的或非参数的。我们建立了U.NIQUE的asy mp totic dist r ibution。这是一项艰巨的任务，因为唯一的是一个四步估计器，我们必须从每一步确定估计误差。本文是有关边际治疗效果的文献。由Bjorklund和Moffirett(1987)引入，MTEs可以作为许多不同因果参数的构建块，如Heckman和Vytlacil(2001a)所示。要想获得一篇优秀的评论，读者可以参考r ed toMogstad和Torgovitsky(2018)。作为这一文献的一个主要偏离，本文引入了uncon条件MTEs，旨在研究无条件政策效应。如上所述，如果我们把注意力集中在我和，我们所研究的无条件边际政策效应对应于Carneiro,Heckman和Vytlacil(2010)的MPRTE。在这种情况下，unconditionalMTE与通常的MTE相同。对于分位数，Firpo、Fortin和Lemieux(2009)研究了无条件边际策略effe ct，但在不允许en dogeneity的情况下，UQR没有明确地解释附加协变量的prese nce。参见工作文件版本Firpo,Fortin and Lemieux(2009)第3节的最后一段或推论3。对于连续内生协变量的情况，Ro the(2010)表明，在这种情况下，以及在具有更一般非线性泛函的情况下，控制函数方法是新颖的。在我们允许一些协变量同时进入结果方程和选择方程的情况下，仅以倾向scor e为条件是不够的，但我们表明，倾向得分在平均无条件的MTEs以获得无条件的政策效果方面起着关键作用。这与Zhou和Xie(2019)形成鲜明对比，后者的边际处理效果参数是基于倾向评分的条件来定义的。Mogstad、Torgovitsky和Walters(2020)提供了广泛的MTE应用列表，这些应用原则上适用于本文所介绍的无条件MTE。我们使用泛函对问题的一般处理与ofRothe(2012)的th密切相关。Rothe(2012)分析了目标协变量分布的任意变化对结果变量分布的某些特征的影响，无论是连续的还是离散的。Rothe(2012)通过假设一种形式的条件独立性，对连续目标协变量的情况，推广了Firpo、Fortin和Lemieux(2009)的方法。

然而，对于adiscrete处理的情况，不是像我们在这里那样确定效果，而是通过假设排名最高或排名最低的个人在该政策下进入该计划来获得界限。我们不适合在内生性下考虑无条件分位数。Kasy(2016)侧重于对反事实政策的排名，对于离散回归子的情况，允许内生性。然而，与Our方法的一个关键区别是，Kasy(2016)中分析的反事实政策是随机分配的，条件是协变量向量。在我们的环境中，选择治疗遵循一个阈值交叉模型，其中我们使用仪器的外生变量来获得不同的反事实场景。Martinez-Iriarte(2020)引入分位数击穿前沿，以便对Firpo、Fortin和Lemieux(2009)使用的分布不变性的偏离进行敏感性分析。在Heckman、Urzua和Vyt lacil(2006)、Carn eiro和Lee(2009)、Carneiro、Heckman和Vytlacil(2010，2011)以及最近的Sasaki和Ura（2021）中讨论了MTE和从MTE曲线导出的参数的估计。所有这些研究都对潜在结果的条件均值做出了线性参数假设，从而得到了MTE曲线的一个易于处理的局部线性模型。这种策略在我们的情况下没有很大的帮助，因为新的条件可能涉及潜在条件的非线性函数。例如，对于分位数的情况，涉及到一个指示函数。使用我们对权重的Expresion，我们可以将UQE写成两个平均导数的商。然而，其中一种方法与Hahn和Ridder(2013)的假设一样，将估计的倾向得分作为一个回归子，我们给出了与inHahn和Ridder(2013)不同的条件，即无论参数或非参数估计倾向得分函数的误差都不影响唯一的渐近方差。这可能是独立的利益。大纲。第2节介绍了新的MTE曲线，并展示了它与无条件策略效应的关系。第三节提出了一个内生条件下的UQE模型。第4节认为干预是改变治疗状态的一个工具性变量，并建立了相应的U、QE指标。第5节介绍和研究了aand Newey(2009)下的唯一可用于实现IDENTI的参数化。第6节提供了模拟证据。在第7节中，我们回顾了Carneiro,Heckman和Vytlacil(2011)的实证应用，并重点讨论了无条件分位数效应。第8节结束。附录包含了正文中的所有证明以及一些附加的解释或某些结果的证明，并认为这是倾向记分的一个非参数规定。F或任意一般随机变量W,我们分别用FW(·)和FW(·)表示其CDF和pdf。我们把它的条件CDF和pdf表示为第二随机变量Wby FWW(··)和FWW(··)。2内生性下的无条件政策效应2.1政策相互作用和无条件政策效应我们采用潜在结果框架。对于每个个体，有两个潜在的结果:Y(0)和Y(1)，Y(0)是她没有接受治疗的结果，Y(1)是她接受治疗的结果。对于未知函数rand r的p空气，我们假定其潜在结果是Y(0)=r(X，U)和Y(1)=r(X，U)。向量X∈Rdx由obse rvables组成，(U，U)由不可观测项组成。根据个体对治疗的实际选择，我们可以观察到Y(0)或Y(1)，但我们永远不能同时观察到两者。

观察结果由Y:Y=(1-D)Y(0)+DY(1)=(1-D)r(X，U)+Dr(X，U)表示。（1）继Gheckman和Vytlacil(1999，2001a，2005)之后，我们假定对治疗的选择是由一个阈值交叉equ ationD=1{V≤μ(W)}决定的，(2)其中W=(Z,X）和Z∈RDZ由不直接影响潜在结果的协变量组成。在上面，未知函数μ(W)可以看作th e benefinitt从tre atme n t，V作为tr吃的成本。当且仅当治疗费用超过其费用时，个人才决定接受治疗。或者，我们可以将μ(W)视为参与该计划的效用，V视为不效用。我们观察到（D,W,Y)，我们既不观察到U:=(U,U)\'也不观察到v。我们不限制U、W和v之间的依赖关系，因此它们可以相互依赖，D可以是结束源。为了改变n t的吸收率，我们操纵Z。更具体地，我们假设Z是连续随机变量的向量，并考虑对光滑函数G(·,·)∈RDZ的向量，通过策略干预改变Zδ=G(W,δ)。我们假设G(W，0)=Z，所以现状策略对应于δ=0。例如，我们可以取G(W,δ)=Z+δ。在这种情况下，我们将Z的t h e值改变δfo r种群中的每个人。当Z有两个分量时，比方说，Z=(Z,Z)\'，我们可以考虑只介入一个分量。例如，对于s()=0的函数s(δ)，G(W,δ)=(Z+s(δ),Z)\'。当dx=dz=1时，允许更一般的干预，如G(W,δ)=Z(1+δ),Z+δZ,Z+δzx。即使Z可以与其他变量相关联，无论观察与否，我们都假定Z不包含其他变量的因果因素，因此Z的诱导变化不会引起其他变量的变化。然而，我们并没有断定任何变量都可能导致Z或导致Z与其他变量之间存在一个公因子t h,从而导致Z与其他变量之间存在一个非零的对应关系，当我们诱导协变量Z改变时，该协变量的分布也会改变。然而，我们并没有先验地指定新的分布。在此基础上，我们给出了一个策略规则，该规则说明了在po过程中，每个个体的协变量的值将如何变化。我们的干预可以看作是一种价值干预。这与直接规定新协变量分配的分配干预形成鲜明对比。我们的政策规则的一个优点是，它在实践中可以直接实施，而假设的分配干预不是。另外一种干预可能还必须通过值干预来实现，这是我们的重点。随着Z的诱导变化，选择方程为dδ=1{V≤μ(Zδ，X)}=1{V≤μ(G(W，δ)，X)}。（3）结果方程现在是Yδ=(1-dδ)Y()+dδY()=(1-dδ)r(X，U)+dδr(X，U)。（4）这两个方程与现状方程相同；唯一的例外是zh被Zδ所代替。我们保持了结果方程和治疗方程的结构形式。重要的是，我们还保持了gu，W和V之间的随机d关系，这是在方程（3）和（4）中使用s ame符号U，W和V时所表现出来的，就像在方程（1）和（2）中一样。我们的政策干预在po水平上有一个ceteris paribus解释：我们对人口中的所有个体都采用相同的干预形式，但其他所有的干预形式，包括因果机制和现状变量之间的关系，都保持不变。注意，如果wesetδ=0，则（3）和（4）描述的模型与（1）和（2）给出的模型是一致的。为了方便记号，当δ=0时，我们去掉下标，我们分别在Y和D上写Y和D。可以再次说明，无论δ值如何，U、W、V之间的随机依赖模式是相同的。

特别地，给定W时(U，V)的条件分布对δ值不变。在现状政策制度下，普罗彭斯的得分为P(W):=Pr(D=1W=W)。在（2）中，我们可以表示为asP(w)=Pr(V≤μ(w)w=w)=FVW(μ(w)w)。如果Z m的诱导变化导致其他变量的变化，则需要一个模型来描述这种机制。如果有一个模型，我们的框架原则上可以适应这种情况。如果条件CDF FVW(·w)是对所有w∈w的严格增函数，我们得到=1{V≤μ(w)}=1 FVW(VW)≤FVW(μ(w)w)=1{ud≤P(w)}，其中ud:=FVW(VW)度量个体对治疗的相对抵抗。可以认为UDis在[0,1]上一致且与W无关，在反事实政策机制下，W=(Z,X)变为Wδ:=(Zδ,X),我们得到了δ=1{V≤μ(Wδ)}=1 FVW(VW)≤FVW(μ(Wδ)W)=1{UD≤pδ(W)}，(5),其中δ(W):=FVW(μ(Wδ)W)=FVW(μ(G(W,δ)，X)W)是W和δ的函数。注意，UDin(5)在被定义为FVW（VW）之前是s，因此它在反事实政策制度下不会改变。也就是说，相对于OTHERS，个体对治疗的抵抗在两个政策体系中保持不变。特别是，UDis在[0,1]上仍然一致，与w无关。N-EW政策制度的倾向得分等于topδ(w)=Pr(dδ=1w=w)=Pr[ud≤pδ(w)w=w]=Pr[ud≤pδ(w)]=pδ(w)。为了保持政策变化的一般性，我们暂时不指定政策函数G(·，δ)，但我们假设该政策将使参与率（在一定范围内）增加δ。当干涉G(·,δ),Pδ(·)满足[Pδ(W)]=e[P(W)]+δ,且对于所有W∈W,对于δ=0,P(W)=P(W),则W的支持性设F*是Y R上的符号me的空间，对于Y∈Y,我们赋予F*通常的上确界n orm：对于两个与Y上相应符号测度的分布函数f,f,v,v相关的分布函数，我们得到ekf'A-f'Ak∞:=supy∈yf'A(Y)-f'A(Y).由于符号的滥用，将FYas表示为Y:FY(Y)=vy(-∞,Y]的分布，其中vyy是由Y的分布引起的测度。同样地，将FYδ定义为。显然，Fy、Fyδ都属于F*。我们考虑了一般泛函ρ:F*→R，并研究了一般无条件po licy e效应。一般无条件策略效应：当存在此极限时，泛函ρ的一般uncon条件策略效应被定义为πρ:=limδ→0ρ(FYδ)-ρ(FY)δ，上述结论与Rothe(2012)的边际部分分布策略效应的结论相同。ρ的E x分量是Carneiro、Heckman和Vytlacil(2010，2011)的边际政策相关处理效应的平均值，以及ofFirpo、Fo r tin和Lemieux(2009)的无条件分位数。为了保证πρ的存在性，我们首先考虑了ρ的光滑性和fyδ对fy的贴近性，然后考虑了一个Hadamard可微泛函ρ.对于完全ss，我们在下面给出了Hadamard可微性的定义。定义2。如果存在线性连续泛函ρρF:Fut→R,使得对于任意G∈F*和Gδ∈F*,当limδ→0kgδ-gk∞=0时，我们给出了δ→0ρ(F+δGδ)-ρ(F)δ=ρF(G),我们给出了ρ(FYδ)-ρ(F)δ=ρ(FY+δGδ)-ρ(FY)δ,forgδ=FYδ-FYδ的Hadamard可微性。（6）只要我们能证明Limδ→0kgδ-gk∞=0,那么我们就得到了πρ=ρfy(G),然后给出了Limδ→0kgδ-gk∞=0的具体条件。我们将作出一个支持假设。假设1。对于d=0,1,给定的（UD,W）,Y(d)的支持度Y(d)不依赖于（UD,W）,对于ε>0,d为nε:={δ:δ≤ε}。

对于每δ∈Nε和y∈y，我们有fYδ(y)=(p+δ)Pr(y()≤ydδ=1)+(1-p-δ)Pr(y(0)≤ydδ=0)=y(){～y≤y}(p+δ)fY(1)dδ(～y1)d～y+y(){～y≤y}(1-p-δ)fY(d)dδ(～y0)d～y，(7)，其中我们使用了支持度假设，使得给定dδ=d的y(d)的支持度仍然是y(d)，目标是在δ=0附近线性化(p+δ)fY(1)dδ(～y1)和(1-p-δ)fY(dδ(～y0)。为此，我们做了一些技术假设。假设2。正则性条件(a)d=0,1,随机变量(Y(d)，UD，W)是绝对连续的，联合密度由fY(d)，udwfw给出。(b)(i)对于d=0,1,u7→fY(d)UD,W(yu，W)对于所有Y∈Y(d)和所有W∈W是连续的。(ii)Ford=0,1,supy∈Y(d)supw∈wsupδ∈nεfY(d)UD,W(ypδ(W),W)<∞。(c)(i)p=e[p(W)]∈(0,1）。(ii)对于所有w∈w，映射δ7→Pδ(w)在Nε上连续可微。(iii)SUPW∈WSUPδ∈NεPδ(w)δ<∞。假设3。d=0,1,y(d)supδ∈nεfY(d)dδ(yd)dy<∞和y(d)supδ∈nεfY(d)dδ(yd)dy<∞的控制条件。在假设2中，“对于所有w∈w”可以替换为“对于几乎所有w∈w”，而上界元w∈w可以替换为w∈w上的本质上界。引理1。假设1和假设2成立。对于All～Y∈Y(1),映射δ7→(p+δ)fY(1)dδ(～y1)在Nε上连续可微,对于All～Y∈Y(0),映射δ7→(1-p-δ)fY(0)dδ(～y0)在Nε上连续可微。Le mma1的结果可以通过在δ=0附近展开来近似fYδ(Y)。引理2。假设1-3成立。thenfyδ(y)=FY(y)+δehnfy(1)UD,W(yP(W),W)-FY(0)UD,W(yP(W),W)Oπp(W)i+RF(δ；y）,其中RF(δ；y)→0一致上y∈y:=y(0)y(1)为δ→0,且p(W):=pδ(W)δδ=0。注1。Lemma2提供了FYδ的线性近似，即在Dδ下结果变量的CDF。本质上，它说在新的政策制度下结果低于y的个体比例，即FYδ(y)，将等于在现有的政策制度下结果低于y的个体比例，即FY(y)，加上边际收益的调整。以δ>0和Pδ(w)>P(w)为例。在这种情况下，由于政策干预，处于边际的个人，即UD=P(w)的个人，将把他们的待遇状态从0切换到1。这样一个开关对FYδ(y)的贡献是在某一子种群的W分布上的平均值t FY(1)UD,W(P(W),W)-FY(0)UD,W(P(W),W）。我们稍后会指出，在现行政策制度下，亚人口正是处于边缘的那一群人。对于fyδ的线性近似在Y上是一致的，当δ→0时。我们需要一致近似，因为我们考虑一般的Hadamard可微ρ.在ρ不依赖于整个分布的特殊情况下，在整个支座Y上近似的均匀性可能是必要的。在分位数情况下，由于我们考虑了（0,1）中的所有分位数，所以我们保持了均匀性，引理2保证了如果我们假定g(y)=EhnFY(1)UD,W(yP(W),W)-FY(0)UD,W(yP(W),W)oπp(W)i,(8)，那么对于（6）中的gδ我们有limδ→0kgδ-gk∞=0。因此，在Hadamard可微性o fρ下，我们o bt ainπρ=ρFY(G)=yρ(y,ρ，FY)dG(y)，(9)，其中，ρ(y,ρ，FY)是ρs在FY的对应函数。我们将其定义为φ(y,ρ，FY):=limπ→0+ρ(1-th)FY+y-ρ(FY)，其中，y是赋予单点{y}质量为1的概率测度t h。把（8）插入到（9）中就得到了下面的定理。定理1。假设1-3成立。进一步假定ρ:F*→R是Hadamard可微的。然后πρ=yψ（y,ρ，FY)EhnfY(1)UD,W(yP(W),W)-FY(0)UD,W(yP(W),W)oàp(W)yy。ρ(u，w):=E[ρ(Y(),ρ，FY)-ρ(Y(),ρ，FY)Ud=u,w=w]的无条件边际处理效应。

（10）基于上述认识，我们可以把πρ=wmteρ(P(w),w)^P(w)fW(w)d.一般uncon条件政策效应πρ，可以表示为mteρ(u,w）在边际子种群上的加权平均值：对于w=w的个体，只有Ud=P(w)的个体才会产生无条件效应。在W=W所定义的群体中，有一个个体亚群在参与和不参与之间是无关紧要的：whomud=P(W)的个体，即whomv satisofvw(vw)=P(W)的个体。一个小的激励只会引起这一亚群个体治疗状态的改变。这是由于它们的处理状态的变化，从而引起了所观察到的结果中Y(1)和Y(0)组合的变化，t h at改变了它的无条件特征，如数量。2.2p(w)定理1的作用表明dep的无条件效应也结束于p(w)。在假设2(c)下，对于任意δ∈Nε，w pδ(w)δfW(w)dw=δwpδ(w)fW(w)dw=δ(p+δ)=1,因此wπp(w)fW(w)dw=1。因此，πρ中的积分可以看作是p(w)所赋予的权重的平均值，需要注意的是，p(w)依赖于政策函数G(·,δ)的形式，它决定了我们如何改变倾向得分以及谁是边际进入者。对于t h的直觉，考虑whereδ>0和Pδ(w)≥P(w)的情形，则我们有P(w)=limδ→0Pr(Ud≤Pδ(w))-Pr(Ud≤P(w))δ=limδ→0Pr(P(w)<ud≤Pδ(w)w=w)δ。因此，P(w)度量了w=w的个体对参与率（即δ)整体提高的相对贡献。对于每一个W值，只有边缘个体（“边缘个体”）才会改变他们的治疗状态，并有助于参与率的整体提高。边缘的相对“厚度”依赖于w，并用p（w）来度量d。我们可以用图1来表达p（w）后面的直觉。该图说明了在现有和新的政策制度下的边缘个人。在现有的政策制度下，这些个人位于（P（w）,uD）平面的45度线上。F或易参考，我们定义了边缘曲线，它是o F点的集合{(P(w),uD):uD=P(w)}。在新的政策体制下，边际曲线为{(P(w),uD):uD=Pδ(w)}。我们不能把ud=Pδ(w)改写为ud=P(w)+[Pδ(w)-P(w)]。将原边际曲线上的每个点向上移动Pδ(w)-P(w)即可得到新的边际曲线。上移的幅度约为πp(w)δ，一般情况下，w的n t值不同，上移的幅度也不同。用W的边际密度fW(·)加权的两条边缘曲线之差（即灰度区面积）的积分为e q ua toδ。为了理解定理1中出现的权重fW(W)πp(W),设为一个小正数。然后，fW(w)_n度量了w在[wàl/2,w+l/2]中的个体的倾向，注意，对于w∈[wàl/2,w+l/2],在D和Dδ下的倾向得分近似于p(w)和pδ(w)。对W∈[W∑/2,W+1/2]和从0 t O1转换治疗状态的个体的比例为n等于fW(W)·[Pδ(W)-P(W)]·.。将t h乘以δ,即转换治疗状态的个体的总体推进力，我们得到fW(W)·[Pδ(W)-P(W)]/δ·.因此，在政策干预范围内，从0到1的治疗状态切换者的w密度函数为fW(w)·[Pδ(w)-P(w)]/δ。注意，两条边缘曲线在极限范围内重合为δ→0,在极限范围内，我们可以将边缘个体定义为UD=P(w)的个体。

在我们的讨论中，“边际indi vi二元论”可以指具有ud=P(W)的个体群或具有ud=Pδ(W)的个体群。我们指的是哪一组，从本文中可以清楚地看到。P(W)UDD=Dδ=1D=Dδ=0Dδ=1D=0Dδ=0Dδ=0Dδ=1下的边缘个体D=1下的边缘个体D=1下的{ud≤Pδ(W)}图1：不同政策下的边缘个人。数学上，我们havePr(W∈[w-π/2,w+π/2]d=0,Dδ=1)^=pr(W∈[Wàl/2,W+l/2],D=0,Dδ=1)^·pr(D=0,Dδ=1)=pr(W∈[Wàl/2,W+l/2],ud∈[P(W),Pδ(W)])^·δ。取下限为π→0,我们得到lim^→0 pr(W∈[Wàl/2,W+l/2]D=0,Dδ=1)^=fW(W)Pδ(W)-P(W)δ.因此fW(W)[Pδ(W))-P(W)]/δ是那些积极赞成政策干预的人中W的密度，即那些人的W密度。D=0,Dδ=1。在图形上，fW(w)[Pδ(w)-P(w)]/δ是w的条件密度，条件是(P(w)，UD)在图1中的灰度区。设δ→0，我们得到limδ→0 fW(w)Pδ(w)-P(w)δ=fW(w)πP(w)，即fW(w)πP(w)是w在D=0,Dδ=1中的密度的极限。因此，我们可以把fW(w)\\p(w)称为w在由所有边缘个体组成的边缘子p种群上分布的密度。鉴于以上对fW(w)\\p(w)的解释，定理1表明，对于边缘个体，无条件效应等于in函数的变化，我们用W分布在这些边缘个体上的密度来衡量。注意到fW(W)是W分布在整个种群上的密度，我们可以把p(W)看作子种群分布相对于种群分布的Radon-Nikodym（以下简称RN）导数。即使对所有的w∈w来说，πP(w)不是正的，RN解释仍然有效。在th的情况下，关于Lebesgue测度的de n sity fW(w)^p(w)是一个有符号测度。2.3 p(w)和mprte定理1虽然覆盖了一般泛函，但它不覆盖平均泛函ρ(FY)=yydfy(y)，除非y是一个有界集。如果n Y是无界的，则平均泛函在(F*,K·K∞)上不连续，因此不是Hadamard可微的（例如，参见第20章Invan de r Vaart(2000)中的练习7）。在这种情况下，我们选择了一种直接的方法，证明了从Lemma2中得到的结论:δ→0δyydrf(δ；y)=0,（11）和利用平均泛函的线性得到πρ=yyehnfy(1)UD,W(yP(W),W)-fY(0)UD,W(yP(W),W)O^p(W)ydy。如果假设3的下面更强的版本成立，则（11）中的结果成立：假设4。d=0,1,y(d)supδ∈nεy·fY(d)dδ(yd)dy<∞,y(d)supδ∈nεy·fY(d)dδ(yd)δdy<∞的强控制条件。推论1。假设1、2和4成立。然后，对于平均泛函，我们有πρ=e e[y(1)-y()ud=P(W),W]πP(W)。(12)Heckman和Vytlacil(2001b，2005)反对与政策相关的治疗效果为Asprteδ=E(Yδ)-E(Y)E(Dδ)-E(D)=E(Yδ)-E(Y)δ。（13）取极限δ→0得到Carneiro,Heckman和Vytlacil(2010)的m边缘政策相关治疗效应(MPRTE):MPRTE=Limδ→0 PRTEδ。Carneiro、Heckman和Vytlacil(2010，2011)表明MPRTE的t h可以根据边际治疗效果曲线来表示。实际上，如果为了简单起见，wedrop X并假设Z与UD条件下的U无关，那么通常的MTEcurve是MTE(U):=e[y(1)-y(0)UD=U]。T h enMPRTE=-mte(u)fpδ(u)δδ=0du,（14）其中fpδ是随机变量pδ:=pδ(Z)的CDF。在附录中，我们证明方程（12）和（14）是等价的。文（12）中的表达式具有显式地刻画p(w)w h ich的优点，可以解释为w分布在边缘个体上的密度，这表明我们的结果包括了已有的关于MPRTE的结果作为特例。与平均泛函是线性的不同，分位数泛函不是线性的。