具有矩约束的分布鲁棒Newsvendor

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摘要翻译：
本文扩展了分布鲁棒newsvendor的工作，将矩约束引入其中。保留了Wasserstein距离作为模糊度度量的使用。构造了无穷维原问题；利用矩对偶问题导出了更简单的有限维对偶问题。一个重要的研究问题是：分配模糊性如何影响最优订货量和相应的利润/成本？为了对此进行研究，本文提出了一些理论，并以汽车销售为例进行了研究。最后，我们对进一步研究的方向提出了一些意见。
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英文标题：
《Distributionally Robust Newsvendor with Moment Constraints》
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作者：
Derek Singh, Shuzhong Zhang
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最新提交年份：
2020
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：Theoretical Economics        理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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英文摘要：
  This paper expands the work on distributionally robust newsvendor to incorporate moment constraints. The use of Wasserstein distance as the ambiguity measure is preserved. The infinite dimensional primal problem is formulated; problem of moments duality is invoked to derive the simpler finite dimensional dual problem. An important research question is: How does distributional ambiguity affect the optimal order quantity and the corresponding profits/costs? To investigate this, some theory is developed and a case study in auto sales is performed. We conclude with some comments on directions for further research.
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关键词：newsvendor VENDOR Svend NEW EWS

具有矩约束的分布鲁棒新闻供应商Derek Singha,Zhuzhong Minneapolis明尼苏达大学工业与系统工程系MN 55455A R.T.I.C.L.E.N.F关键字：鲁棒新闻供应商Moments Dualitydributabric Robustribute Robustribute Robustribute Robustribute Robustribute Robustribute Robustribute Robustribute Doualitydributabric Robustribute DoptimizationWasserstein distanceLagrangian dualityA B.S.给出了初始维数问题；利用矩对偶问题导出了更简单的维对偶问题。一个重要的研究问题是：分布模糊性如何确定最优订货量和相应的产品/成本？为了研究这一点，本文提出了一些理论，并以汽车销售为例进行了研究。最后，我们对进一步研究的方向提出了一些意见。导言和概述1.1.Newsvendor模型Newsvendor模型是库存控制中的一个经典问题，在各种环境下得到了广泛的研究。它是一个决策问题，决策者希望确定最优的订单数量，以平衡超龄和未成年成本，从而在下一个销售期间，在订单之间最小化损失（或最大化利润）。超额成本是由于订购toomuch产品，超过实际需求，导致Towaste。未成年成本是由于订货太少，缺乏实现的需求，导致销售损失。经典的设定是一个单一的决策周期，对于一个不可腐烂的产品，其中的需求分布是已知的。Scarf[13]解决了原始的分布鲁棒性公式，该公式假定知道第一和第二动量。在本文中，我们扩展了这一工作，以允许更精确的关于底层分布的信息，用Wasserstein距离度量。这使得我们可以调整模糊度，研究其最优订货量和相应的利润/损失。这是通过分布之间的WasserSteinDisprance框架和矩对偶结果问题来完成的。首先，我们提出了分布式鲁棒性的newsvendor决策问题来解释分布式中的模糊性。其次，我们提出并解决了更简单的维度对偶问题。然后，我们利用工业数据对实际的歧义现象进行了研究。第1节对本文的初步材料进行了概述，并对文献进行了综述。第二节发展了描述具有矩约束的分布鲁棒newsvendor模型的主要理论结果。第3节使用TeslaAutomobiles每月销售额的一个年度历史数据集进行案例研究。第4节讨论结论和对进一步研究的建议。所有详细证明推迟到附录中。相应的authorEmail地址:singh644@umn.edu（D.Singh）；zhangs@umn.edu（S.Zhang)1.2.正如前面提到的，这个问题领域的原始工作是由Scarf发起的[13]。从那时起，关于分布鲁棒性的研究得到了进一步的发展。Gallego和Moon的一篇论文[7]对参数的选择进行了改进，并给出了围巾排序规则的一个交替性证明。作者认为，这种参数的选择和证明方法更简单，解释性更强。基于矩的模糊集的分布鲁棒优化的发展依赖于考虑多项、风险厌恶和额外的分布特性如非对称性和多模态的扩展[9,12]。最近的和替代的工作集中在通过分布之间的统计距离来度量分布模糊性的思想上。

在这个领域中，使用Wasserstein距离框架的一些开创性论文是由Gao和Kleywegt[8]、Esfahani和Kuhn[6]、Blanchet和Karthyek[3]撰写的。一个相关的例子是Lee等人的工作。[11]研究了Wasserstein模糊下的数据驱动的分布鲁棒风险代理供应商模型。作者提出了省略两个时刻约束的理由（在估计中的困难，在实际环境中获得此信息的挑战），并分析了在有/无风险厌恶和Wasserstein距离=1和>1.1.3的环境中的结果解决方案。初步材料1.3.1.经验测度被定义为==1，表示需求的实现，是aDirac测度。概率测度的模糊集()={（,）≤}，其中Wasserstein与相关距离函数（,）的差。（,co)=inf{[（,）],f}。这里（,）是随机变量与下列分布和后面分布之间的距离，以及Singh等人。7DRNVTHE inf的第1页接管了所有带有边缘和格的联合分布。为了简化分析，这项工作使用了（平方）欧几里得距离(，)=-==1(-)[15].1.3.2。在第二节中，我们给出了具有矩约束的分布鲁棒新闻供应商的原始决策问题。矩对偶问题的结果将被用来表述更简单但等价的对偶问题。在这种情况下，为了指定第一个矩约束()=[]=和第二个矩约束()=[]=(+)，我们求助于线性半线性规划的强对偶性。对偶问题似乎比原始问题更容易处理，因为它只是把（维度）经验测度作为对一个连续的概率测度的反对。这使我们能够解决由所选数据集所组成的数据驱动的嵌套优化问题。对偶结果的简短重述可以在[14]中找到。更多细节见[2]附录B和[1]命题2或原著[10]。理论：DRNV本节阐述了分布式稳健新闻供应商(DRNV)的主要问题和双重问题。提出了一种多项式时间算法，利用方向下降法(DD)来计算对偶问题的解。2.1。等价目标函数本工作将使用该供应商决策问题的成本最小化形式。在本小节中，我们展示了成本最小化和产品最大化形式之间的等价性。成本（目标）函数是()=(-)++(-)+，其中表示未成年和超龄成本，X表示随机需求，Q表示订货量（决策变量）。Profigurit(objective)函数是()=(-)min(，)-(-)，其中>>>0表示销售价格、单位成本和salvagevalue。让我们使用关系式min(，）=-（-）+=-（-）+最大值，）=+(-)+=+(-)+代替，最小(，），在profireft函数中get()=(-)(-(-)+)-(-)=(-)(-)++(-)=(-)(-)++(-)(+(-)+-(-)+(-)(-(-)+)-(-)(-)+。请注意，对于=->0和=->，最大化（）等同于最小化（）0.2.2.原始问题让我们通过集合={+()=,()=(+),（）}来刻画约束。其中+表示对非负实现需求的限制。然后，原始问题可以写成f≥0sup(-)++(-)+(P)，其中订货量是，需求是，并且是以.2.3为中心的Wasserstein球分布的theradius。

对偶问题遵循文[14]中的方法，让=(，，),definne={≥0,，}，并应用矩Duality，写出对偶问题ASINF≥0INF(，)=++(+)+=1(，)(D)，其中(，)=-+sup≥0(，，)对于(，，)=(-)++(-)+-+2，=+，=2。约束>0确保(，)具有figurnite值。注意，(D)是联合凸的(，)。我们求解(D)的方法有两个步骤：(i)以封闭形式求解内部问题，并发展多项式时间算法来计算其解；(ii)使用双分裂方法来计算外部问题的解。总的来说，该算法在多项式时间内进行了改进。命题2.1。设>0,≥0,则≥0（,,）=0,如果（,）0,1,如果（,）1,2,如果（,）2,其中1=(2-)(2)，2=(2+)(2)，=+，函数由0=，1=(-1)-1+21，2=(2-)-2+2给出，区域映射到最优解由表1给出，根据截取物=、=-、=(-2)2-2、=-2的相对位置，对四种情况下的区域进行了划分。≥[,]。0=1 2,1=,2=3 4,其中区域{≥0,}由1={2≤0},2={2≥0-2≥0},3={1≤0-2≤0},4={1≥0}给出。7DRNVTABLE第2页1区域到最优解的映射。区域最优解0 1 1 2 2情况2。<[,]。0=1 2,1=4,2=3 5,其中区域由1={2≤0},2={2≥0-2≥},3={1≤0-2≤},4={1≥0-2≥},5={-2≤}给出。<等于[,]。0=1,1=3,2=2 4,其中区域由1={2≤0},2={2≥01≤0},3={1≥0-2≥0},4={-2≤0}给出。≥[，].0=1,1=,2=2 3,其中区域由1={2≤0},2={1≤02≥0},3={1≥0}给出。证明解决了无约束问题，推导出约束问题最优解的可能值集为={0,1,2}。在此基础上，对这四种情况分别进行了分析，将(≥0)半平面转化为区域，构造区域与最优解之间的映射，并将适当的per区域代入给出了相应的结果。定理2.1的详细证明见附录。DD方法在多项式时间内求出(，)=min{≥0,}(，，，)对于=+>0。证明。注意：DD方法最多只能对（,）运算求值，因为它搜索划分{≥0,}半平面的线段和区域，而且它是一种只需遍历每个线段和/或区域一次的新方法。由于（,，，）.dd方法：方向下降法计算(，）对于(D1)输入：{，，{}，，，，，}输出：{，=(，）}1排序{}递减；2截取{}，如命题2.1；3构造行{=(≥0)}，其中()=2+；4计算{}，两条或多条直线相交或{(=0)}；5集=0和初始搜索点()=的顶点集合(，)，该顶点的最小值为；6而<do7搜索相邻区域的下降方向=()+，在那里我们向minvalue移动；/*这里定义的{}在整个（,）平面上具有与inregion相同的函数形式，其中由支持线定义。（）是of（）中的内部点到区域。观察区域的数量为:★()。

*/8如果()<(())then9如果=()+{}=then10(+1)=；11其他12{}=ut()+{}；13(+1)=arg min{}（）-；14=+1；15继续；16沿着相邻射线（从点（）发出的线段）搜索偏心方向()+，在那里我们移动到零方向导数的临界点，所以()=0；17如果{()=0}≠那么18(+1)=arg最小{}（）-；19=+1；20其他/*没有通过区域或射线的下降方向，所以我们处于最小值。*/21返回，=(())；注释1。方程=()是由对命题2.2中(，)的代数运算和代换导出的。D的解可以用非多项式时间计算。证明。对偶问题(D)在(，)中是联合凸的，因此(，)是联合凸的。对于已定义的(，)，(，)可以使用DD方法，在至多反（）操作中求出，以获取分段凸Singh等的（全局）最小值。(，)中的7drnv2次函数的第3页。因此，可以应用linesearch方法计算()=min>0(，)，并使用firefxed。约束>0保证了分段二次修形的局部极小值。最后，可以将双分裂方法应用于次梯度，求取min≥0()，从而计算(D)的解。注意，max(，)是次梯度的大小的上界；这建立了Lipschitz连续性，保证了双分裂法在多项式时间内完成。案例研究现在让我们使用[5]中的4年美国特斯拉汽车销售月度数据来研究本文所开发的理论和算法的实际应用。销售额以千元为单位，损失销售罚款20元，超期罚款10元（以千元为单位）。我们计算（最坏情况下）期望成本（以百万为单位）和最优订货量（以千为单位）作为模糊函数。图2显示了在12,930个订单数量中接近121mm美元的轨迹。因此，对于最多满足矩约束的Wasserstein距离的任何替代需求分布，都可以查找其最坏情况下的订货量。更进一步，可以使用度量浓度结果[4]将模糊程度映射到统计控制水平[0,1](Wasserstein球包含真实分布）。为了实现简单，与DD方法相反，使用网格搜索（,）来计算（,）。使用线搜索来计算()=min>0(，)，而使用二分法来计算min≥0()。算法采用Matlab语言编写，并利用了标准函数，如二分法和FMINBND法。不需要特别的Matlab工具箱（尽管并行计算通过parfor循环在（,）工具箱中进行网格搜索）。结论与进一步工作本文利用Wasserstein距离作为模糊度度量，分析了具有矩约束的分布鲁棒newsvendor模型。稳健的新闻供应商决策问题和必要的初步材料在第1节中涵盖。第二节给出了较简单的对偶问题的公式和求解方法。在此基础上，提出了一种多项式时间算法，并用DD法求解。在第三节中，我们提出了一个关于Teslaautomobile销售的案例研究。今后的研究方向之一是在多产品和/或多周期环境下，利用半动态规划(SDP)和多阶段优化的工具对RNV进行分析。未来研究的另一个方向是探索DRNV的风险规避制剂。

最后，未来研究的第三个方向可能是研究目标函数的替代形式。图1:DD方法:=1(a)线(b)曲面图的图2：成本和最优序数量0 5 10 15 20deltaqCostsingh等。7DRNVData和代码可用性声明的第4页复制本研究结果所需的原始和/或处理的数据和Matlab代码可以根据合理的要求从相应的作者[D.S.]那里获得。兴趣声明作者声明他们没有兴趣声明。资助声明作者没有收到这项工作的特定资助。参考文献[1]Blanchet,J.,Chen,L.,Zhou,X.Y.,2018。具有Wasserstein距离的分布稳健均值-方差投资组合选择。arXivpreprint arxiv:1802.04885。[2]布兰切特，J.，康，Y.，穆尔西，K.，2019。鲁棒的Wasserstein推理及其在机器学习中的应用。应用概率杂志56,830-857。[3]布兰切特，J.，Murthy，K.，2019。通过最优运输量化分配模型风险。运筹学的数学44,565-600.[4]卡尔松，J.G.,Behroozi,M.,Mihic,K.,2018.Wasserstein距离和分布鲁棒TSP。运筹学66,1603-1624.[5]CarSalesBase,2020.特斯拉汽车销售美国。//https://carsalesbase.com/us-tesla/。[6]伊斯法哈尼，下午，库恩，华盛顿，2018年。数据驱动的分布式鲁棒优化，使用Wasserstein度量：性能保证和可处理的重新定义。数学规划171,115-166.[7]Gallego,G.,Moon,I.,1993.免费分发报童问题：审查和扩展。《运筹学会学报》44，825-834。[8]高，R，Kleywegt，A，2016。具有Wasserstein距离的分布鲁棒随机优化。[9]Hanasusanto,G.A.,Kuhn,D.,Wallace,S.W.,Zymler,S.,2015.具有多模式需求分布的分布鲁棒多项新闻供应商问题。数学规划152,1-32.[10]国际数学研究所，K.，1962。关于Tchebyche阶不等式的尖锐性。统计数学研究所的Annalsof 14,185-197.[11]李顺，金惠，穆恩，2020.具有Wasserstein模糊集的数据驱动的分布式robustnewsvendor模型。《运筹学会学报》[12]Natarajan,K.,Sim,M.,Uichanco,J.,2018。newsvendor模型中的不对称性和模糊性。管理科学64,3146-3167.斯卡夫出版社，1958。一个库存问题的最小最大解。研究库存与生产的数学理论。[14]辛格，张雪，2020.一类数据驱动的分布鲁棒风险度量的紧界。arXiv预印本arXiv:2010.05398。[15]赵长，关云，2018.数据驱动的Wasserstein度量风险规避随机优化。运筹学快报46,262-267.a。命题2.1的证明让>0，≥0，则sup≥0(，，)=0,如果(，)0,1,如果(，)1,2,如果(，)2,表2区域到最优解的映射区域最优解0 1 1 2 2其中1=(2-)(2)，2=(2+)(2)，=+，函数由0=，1=(-1)-1+2 1给出，2=（2-）-2+2 2，区域到最优解的映射由表2给出，根据截取物=,=-,=（-2）2-2,=-2的相对位置，区域被划分为四种情况。≥[,]。0=1 2,1=,2=3 4,其中区域{≥0,}由1={2≤0},2={2≥0-2≥0},3={1≤0-2≤0},4={1≥0}给出。<[,]。0=1 2,1=4,2=3 5,其中区域由1={2≤0},2={2≥0-2≥},3={1≤0-2≤},4={1≥0-2≥},5={-2≤}给出。

<等于[,]。0=1,1=3,2=2 4,其中区域由1={2≤0},2={2≥01≤0},3={1≥0-2≥0},4={-2≤0}给出。≥[，].0=1,1=,2=2 3,Singh et al.第5页，其中区域分别为1={2≤0}，2={1≤02≥0}，3={1≥0}。证明。它对解决无约束的问题是有用的。首先，使用最大关系(-)+=(-)+(-)+(-)+(1)将函数(，，)表示为=(+)(-)++(-)-+2。（2）无约束条件下（左导数和右导数）的阶最优性条件是(+)(0,）(-)--2+2≥0,(3)(+)[0,）(-)--2+2≤0,(4),这导致临界点有三种情况。>>=2对于<2。情况2。<<=>1的1。情况3。=这种情况违反了顺序最优性条件，因此没有发生。因此，情况1有三种情况。≤1=2==(2-)+21-2-2+，情况2。≥2=1==1+.情况3。1,2-{1,2}=max,=,if 1<≤,if<<2。for的值(1+2)2是通过等于和的函数值导出的。因此，对于无约束问题，(≥0，)半平面被划分为截线==(1+2)2上和下两个区域。现在让我们考虑有约束问题SUP≥0。我们认为最优解是={0,1,2}。中值之一的半平面的哪些区域仍有待确定。结果表明，根据拦截{,,,}的位置，有四种情况。情况1。≥[,]。请参阅图3和表3进行分析。让我们用下面的形式来处理线的方程，带截取，把半平面切成区域:=2+。（5）表3interceptsintercept解释2=01=01=2 0=2 1 2 3 4图3：情况1：对(≥0,）半平面的切线1 2 3 4图4：情况2：对(≥0,）半平面的切线添加还定义集合={1,2}和={0,2}。对于1的唯一选择是0。因为>，所以上面的选择1 for不可用。此外，4中的选项是2。一些代数给出了thechoice for是0 for 2和2 for 3。将适当的per区域代入给出了结果。案例2。<[,]。有关分析，请参见图4和表3。类似于情况1。for 1的唯一选择是0。以前，2的选择是0,3的选择是2。有些代数给出4的选择是1,5的选择是2。与前面一样，替换per regioninto会得到result.case3。<yper[,]。有关分析，请参见图5和表3。for 1的唯一选择是0。<以来，辛格等人的选择。7 DRNV 1 2 3 4第6页图5：情况3：切线为(≥0，)半平面1 2 3图6：情况4：切线为(≥0，)半平面为2。和前面一样，任一方的选择是1代表3和2代表4。情况4。≥Is[,]。请参阅图6和表3进行分析。for 1的唯一选择是0。由于≥，和thery[，]，所以for 2的选择是2。收集所有情形的结果给出了命题的结果。Singh等人。第7页，共7页