拍卖年金

7.1完全信息我们首先考虑养老金和福利的不对称信息，以及它们在储蓄五分位数之间的变化，以及竞争的强度（即潜在投标人的数量）。为了确定完全信息下的养老金，我们根据退休人员的储蓄五分位数和潜在投标人的继承人数量将退休人员分为1-5组。然后，对于一组中的每个退休人员，我们使用a properate WRS(·sq)来确定潜在费用r，并确定这些费用中的最低费用。获胜者将是成本最低的竞标者。然后，我们确定胜利者的盈亏平衡养老金。我们对每个退休人员重复这个步骤10,000次，并确定平均养老金。图8：养恤金估计分配数（以1000美国元计）0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40.5q1，Pb130.15 0.2 0.25 0.3 0.350.5q1,Pb140.15 0.2 0.25 0.30.5q1,PB15 EnglishDataFull Info.0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.5Q2,PB130.2 0.3 0.4 0.50.5Q2,PB140.2 0.3 0.4 0.50.5Q2,PB150.3 0.4 0.0.7 0.80.5Q3,PB130.3 0.4 0.5 0.6 0.0.70.5Q3,PB150.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40.5Q4,PB130.5 1 1.50.5Q4,PB140.4 0.6 0.8 1 1.2 1.1.40.5Q4,PB152 4 6 80.5Q5,PB142 4 60.5 Q5,PB142 4 6 8 10 120.5 Q5,PB142 4 6 8 10 120.5 Q5,PB142 4 6 8 10 120.5 Q5,PB15注curre nt系统（实心蓝色）、英文拍卖下（虚线蓝色）和完整信息下（虚线红色），由储蓄五分位数（行）和潜在投标人的数目（列）组成。在图8中，我们给出了选择的养老金和在完全成本信息下的养老金的分布。不出所料，养老金分布信息不完全，序列随机支配着养老金的分布。有趣的是，对于储蓄较高的人来说，这两个分布之间的差距是巨大的。在表10中，我们给出了每一组当前养老金的平均值和中位数占总信息养老金的百分比。我们发现，对于最低的三个储蓄五分之一，这个数字至少是85%，而对于前两个储蓄五分之一，这个数字明显更低。这些结果与Infigure8的成本分布形状是一致的。其次，我们还考虑了各组的货币价值比。与年金合同有关的贴现付款流的货币价值比率to 10：当前和英国拍卖下的养老金，相对t o完整信息。节省\\潜在投标人13 14 15q1(87%,87%）（88%,88%）（91%,91%）（89%,89%）（93%,93%）（89%,89%）Q2（89%,90%）（90%,90%）（94%,93%）（91%,91%）（97%,97%）（91%,91%）Q3（88%,90%）（87%,87%）（92%,93%）（88%,88%）（95%,96%）（88%,88%）Q4（54%,55%）（60%,60%）（60%,56%）（60%,56%）（60%,60%）（60%,60%）（56%,57%）（57%,57%）（59%,59%）注意：各e n TRY对应于现行制度下养老金的均值和媒体n以及英文以下的auc，表示为完全信息下养老金的百分比，用savingsquintile（行）和p势竞标者的数量（列）隔开。每个五分位数有两行：foungrst rowcorres用于当前系统，第二行对应于英国拍卖。因此，它是衡量年金合同“慷慨程度”的一个指标。如果这个比率大于/小于1，我们说一个退休人员期望挣得比她每年挣得多/少。在目前的制度下，i的货币价值比率是i选择的养老金领取时间与SI的r atio。在表11中，我们给出了群体特定的货币价值比率，它等于比率(PIPI×UNCi)/PISI，其中总和是各个群体中所有退休人员的总和。

正如我们从第1栏中看到的那样，在当前系统下，那些拥有AFP（每五分位数中的第1行）的频道比其他两个频道获得更高的货币价值比率。我们还看到，那些高储蓄的人比低储蓄的人获得的收入略好。比较表11中的数据和最后几列，我们可以看到，与前面一样，对于高储户来说，现行制度与完整信息之间的差距最大，这与图E8.7.2中的英国拍卖成本一致。增加养老金的一个方法是使制度更具竞争力。为此，wecan用标准的英国拍卖取代了目前的系统，并通过选择获胜者来“关闭”供应方的风险评级。简化过程应该会改善对那些选择的人来说。同样，关闭风险评级应该有助于更积极地投标；低储户的收益应该比高储户更可观。前者对r isk评级有更强的偏好，这意味着没有风险评级，如果退休人员储蓄较低，这应该会让ggressiver感到困惑。然而，因为这11：货币价值比率，由储蓄五分之一和渠道储蓄五分之一渠道当前英语完整信息。Q1 AFP 0.99018 0.93229 1.04419销售代理0.95663 0.93128 1.04327顾问0.95969 0.93019 1.04237 Q2 AFP 1.02480 0.95833 1.04920销售代理0.99588 0.95728 1.04828 1.04748 Q3 AFP 1.04418 0.96340 1.08998销售代理1.02315 0.96216 1.08906顾问1.01623 0.96067 1.08796 Q4 AFP 1.06109 1.13492 1.86 677销售代理1.04144 1.13166 1.86129顾问1.03278 1.12759 1.85429 Q5 AFP 1.09793 1.12368 1.87748销售代理1.07350 1.12027 1.87109顾问1.06609 1.11688 1.86514注：每一行表示一个独立组，每一分录为货币价值比率(PIPI×UNCi)/PISI，其中的总和包括该组中的所有退休人员。基于5个储蓄五分位数和3个渠道有15个组。每一栏都对应于一个独立的定价机制，其中英语是英语拍卖。选择养老金和全额信息养老金对那些储蓄较高的人来说是最大的，他们可能会在新机制中获得最大的收益。我们通过将潜在投标人视为实际投标人来实施标准的英语拍卖。我们的结果是英国养老金拍卖的一个上界。我们遵循与完全infor m t ion反事实相同的步骤，不同的是，在英国拍卖下，赢得养老金是最大的养老金和第二低的成本，在零利润下。我们给出了在英国拍卖下赢得养老金分布的核密度估计，如图8所示。尽管英国拍卖导致了更高的养老金，但大多数福利都是由前两个储蓄五分之一的人获得的。我们也可以在表10的第二行中看到这一点，每五分之一，我们在英国养老金的平均数和中位数表示为完整信息下养老金的百分比。如果考虑货币价值比，也会有类似的结果；参见表11中的两栏。我们也有兴趣确定在r Etirees的事后实用程序上使用英语拍卖的e-ect。我们不知道外部期权的效用，但我们可以确定事后总期望贴现效用，它等于βi×zj+ρij+θibij。对于每个退休人员和每个使用“获胜”养老金的机制，我们确定遗赠（如果有），然后计算事后期望贴现效用。为了说明退休人员公用事业风险等级的关闭问题，我们通过设置βi=0，计算了每种机制的两个属性：一个有βi×zj，一个没有zj，一个有βi=0。

为了从风险评级中计算效用，我们使用模拟数据，假设βii是一个正态随机变量，具有估计的组间均值和方差。我们在表12和表13中给出了不同组间的平均效用。在表12中，我们按退休人员的储蓄五分位数和潜在投标人的数量进行分组，在表13中，我们按退休人员的储蓄五分位数和他们的渠道进行分组。在每个表和foreach机制中，我们分别有两列，一列有β和一列没有（星号）β。注意表12中的每个五分位数，通过比较行，我们可以看到公用事业随着投标人数量的增加而增加，因为当有更多的资金时，养老金会增加。然而，尽管现行制度下的养老金或英国拍卖下的养老金与完全信息下的养老金之间存在很大差距（图8)，但我们的估计表明，公用事业方面的差距几乎可以忽略不计。在表13中，我们可以看到，即使我们将退休人员按储蓄五分位数和渠道分组，也可以得到类似的结果。尽管如此，这里的新情况是，那些有销售a gents（每个储蓄五分位数的第二行）的人比其他渠道的效用更高，差距随着储蓄而缩小。表12：按储蓄五分位数和潜在投标人分列的平均总效用。当前*英语*完整信息*13 8.8176 8.8180 8.8191-0.0054-0.0049-0.00396.9852 6.9851 6.9866-0.0073-0.0073-0.005811.920 4 11.9 200 11.9215-0.0073-0.0073-0.006113 3.5616 3.5618 3.5622-0.0027-0.0026-0.0026-0.002 114 3.5055 3.5054 3.5061-0.0038-0.0040-0.003 315 4.2757 4.2753 4.2760-0.0042-0.0046-0.0040-0.003 913 2.5903 2.5903 2.5907-0.0015-0.0014-0.0014-0.001 114 2.6788 2.6787 2.6791-0.0018-0.0020-0.001 515 2.8087 2.8084 2.8084-0.0081-0.0021-0.0024-0.001 813 2.4089 2.4091 2.4095-0.0007-0.0005-0.000 214 2.4462 2.4464 2.4468-0.0009-0.0007-0.000 315 2.4724 2.4726 2.4731-0.0010-0.0008-0.000 313 2.3357 2.3358 2.3359-0.0003-0.0002-0.000 114 2.2684 2.2684 2.2684-2.2686-0.0004-0.0003-0.000 115 2.3018 2.3019 2.3021-0.0004-0.0004-0.000 1注：该表显示了在curr ent、English auction和完全信息定价机制下，按储蓄五分位数和潜在投标人划分的组的平均值的总效用（3）。五分位数由水平线分隔，在每个五分位数中，行是潜在投标人的数量{13,14,15}。第4列使用估计β（图5）表示公用事业，后4列（带星号）在（3）中设置β=0。添加最佳保留价格在支出上有一个标记。表13：平均总公用事业，按储蓄五分位数和ChannelChannel当前英文完整信息。当前*英语*完整信息*AFP 9.2078 9.2073 9.2087-0.0066-0.00 71-0.0057销售代理11.7779 11.7778 11.7794-0.00 75-0.0075-0.006顾问9.239 9.2388 9.2402-0.0068-0.0069-0.0055 AFP 3.7995 3.799 3.799 3.799-0.0038-0.0043-0.0036销售代理4.4095 4.4092 4.4099-0.0041-0.0043-0.0036顾问3.585 3.5848 3.5854-0.0038-0.004-0.0033 AFP 2.6741 2.6738 2.6743-0.0019-0.00 22-0.0017销售代理2.9609 2.960 7 2.9611-0.002-0.0022-0.0017顾问2.5351 2.535 2.5354-0.0019-0.0021-0.00 16AFP 2.4637 2.4639 2.4644-0.0009-0.0008-0.0003销售代理2.5845 2.5847 2.5852-0.001-0.0008-0.0003顾问2.2824 2.2826 2.283-0.0009-0.0007-0.0003 AFP 2.3075 2.3076 2.3078-0.0004-0.0003-0.0001销售代理2.3537 2.3537 2.354-0.0004-0.0004-0.0001顾问2.2215 2.2216 2.2218-0.0004-0.0003-0.0001注：表中显示了按储蓄五分位数和渠道(AFP、销售代理和顾问）划分的群体的平均总效用（3）。第4栏使用估计的β（图5）和第4栏（带星号）在（3）中设置β=0。8结论在本文中，我们建立了一个研究不完全竞争年金市场的经验框架。

我们使用了来自智利年金市场的丰富的管理数据集来估计我们的模型。在市场上，风险规避者采用两阶段多属性拍卖的方法对年金合约和年金进行选择。人寿保险公司有关于他们的年度费用的私人信息，对于每次退休拍卖，他们决定是否参加和竞争，向更多的人提供养老金。这些数据给了我们一个独特的机会来检验关于成本、退休人员偏好和市场结构的私人信息对年金市场结果的作用。我们的主要贡献是通过估计年金的需求和供给，并评估一种可能改善该系统的更简单的机制来研究当前的市场体系。虽然在当前制度下观察到的养老金和在完全信息下的养老金之间存在差距，但对于那些储蓄较高的人来说，差距明显更大。我们还确定了用一个更简单的单因素系统取代当前系统的方法，在这个方法中，获胜的人在养老金中获得了最高的养老金，并获得了折扣公用事业。我们发现，虽然新机制增加了几乎每个退休人员的养老金，但在前两个储蓄项目中养老金增加最多，尽管效用增加最小。未来研究的一个可能途径是包括PW和Annuities之间的选择，并考虑一个双边信息不对称的不完全竞争市场。在需求方面，退休人员可能有关于他们的死亡力量和他们的遗赠偏好的私人信息。在供应方面，就像我们的情况一样，firemrs拥有关于其年化成本的私人信息。这样一个模型将揭示竞争和逆向选择的相互作用，从而比我们目前的框架对年金市场提供更丰富的洞察力。2008年。评分拍卖的性质〉，《兰德经济学杂志》39(1):69-85.伯纳，塔拉·西格尔。2 016。“连数学老师都不懂年金”，《纽约时报》。布朗，杰克瑞·R，阿里·卡普滕，埃尔佐·F·P·卢特默，奥利维亚·S·米切尔。2017年。年金估值的认知限制〉，《欧洲经济协会学报》15(2):429-462。布朗，杰克瑞·R，奥利维亚·S·米切尔，贾梅斯·波特·埃尔巴，沃肖斯基。2001年。年金市场在为退休筹资方面的作用。麻省理工学院出版社，布洛，杰里米和保罗·克伦佩雷尔。1996年。拍卖与内阁制〉，《美国经济评论》第86（1）：180-194页。2005年。年金与个人福利〉，《美国经济评论》第95（5）页：1573-1590页。2010年。最优授权与非对称信息的福利成本：来自英国的证据市场〉《经济计量学》78(3):1031-1092.2018年。“非财政捐助计划下的防贫计划：智利新团结支柱的案例”，载于《非财政捐助计划：经济和社会中边缘化和两极分化的挑战》。Fajnzylber,Eduardo和Manuel Willington。2019年。智利年金市场中的逆向选择〉，Mimeo，Feldstein,Martin。2005年。重新思考社会保险〉，《美国经济评论》第95（1）：1-24页。2002年。英国个人年金市场的选择E规则〉，《经济杂志》11 2（476）：28-50.GAO。2016年。CMS的第二轮耐用医疗设备和全国邮购DiabetesTesting供应竞争性招标计划。Jacob K.a.nd Theo O.The And Erman,美国高.Goeree代表。2002年。“私权拍卖和共同价值拍卖中的电子交易：一项实验研究”，《美国经济评论》第92（3）：625-643页。黑斯廷斯，贾斯汀，阿里·霍尔·塔·阿·基社盟，查德·西弗森。2 017。

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此外，我们使用多项式logit回归模型来验证退休人员之间的差异是否能解释他们之间的差异；更多的形式是，我们用多项式logit回归模型来验证退休人员之间的差异是否能解释他们之间的差异；见表1。我们看到s ome特征和信道是相关的。例如，那些储蓄较低的人、退休的人、男性或未婚的人比AFF更愿意使用销售代理。如果mwr=1，那么退休人员期望每一年获得1美元（以目前的贴现价值计算）。表A.1:中间渠道-多项式逻辑回归子的估计\\渠道保险公司销售-代理顾问储蓄（百万美元）0.629***-0.857***-0.130***(0.128)(0.0436)(0.0447)年龄0.0131-0.0408***-0.0816***(0.00857)(0.00189)(0.00218)女性546）（0.01 20）（0.0140）已婚0.0245 0.0620***0.0874***(0.0491)(0.007)(0.0127)常数-5.029***2.333***4.3 26***(0.560)(0.123)(0.142)n238，548 238，548 238，548 238，548注。信道的多项式logit回归估计，其中基线选择是AFP。Sta在括号内，***、**、*分别表示p值小于0.01、0.05和0.1。本文将中间通道视为外生通道。至少有三个原因让我们相信，在我们的背景下，这不是一个像它可能出现的那样强有力的假设。首先，一些间接的证据表明，当谈到一个渠道时，大多数人依赖于口头交流，这表明观察到的渠道与退休人员的“匹配”在某种程度上是外生的。第三，由于一个渠道，特别是一个代理，应该帮助退休人员“处理信息”，以捕捉这种依赖性，在实证应用中，我们允许信息成本和r isk评级的优先级依赖于渠道，方法是对每一组分别估计这些参数，其中agroup是年龄、性别、储蓄和渠道的组合。特别地，我们假定通道a能在a c中查询有关风险等级的imp值的信息。对于INTATH，我们允许那些销售代理的退休人员表现得“好像”他们在获取风险评级和养老金之间的贸易信息方面有更高的成本。我们假设在第一阶段，退休人员在理性上不注意他们对风险的偏好，但在第二阶段，他们知道他们的偏好。b附加图B.1:退休人员证书的例子注：这是一个即时年金证书的例子--如果即时年金是退休人员申请的年金合同类型之一，这是一份由公司发给退休人员的文件。该文档以ta ble的形式呈现，这里的figurrst列是o-he er代码；第二列是按O----规定的人寿保险公司的名称，第三列显示每月的p----以智利会计单位Unidad de Fomento(UF)表示，第二列表示智利比索(CLP$)；最后一栏显示了退休人员如果选择该公司，一年内不会收到的养老金与最高养老金相比的金额。例如，如果退休人员选择第三个（4个生命赛格），她每年将因第三个（Bice Vida）而损失7032美元。对于不同类型的年金，有类似但独立的表。见https://www.dropbox.com/s/vrfch6pcd91u604/longercertofquotes.pdf？dl=0以获得包括几种具有GP和DP的产品的O型ERS证书的翻译示例。

请注意，在上面的表格中，一个逗号分开的dec小数和一个期间sepa率千。图B.2:养老金率和UNCi，通过坚定的说明：这些是每月养老金ra tes的直方图和散点图，即每月养老金与储蓄的比率，以及退休人员的联合国公民身份。有2个0号，所以每个有20套四个子号。顺时针方向，foungrst子图是U NCi的直方图，a ndse cond子图是养老金率（在x-ax is上）和U N Ci（在y轴上）的散点图。第三个子图是养老金率的直方图，最后一个子图是在x轴上的sca曲线和养老金率。因此，seco nd和第四个子项显示了完全相同的信息，但其坐标轴是vuriipp Ed.c当前预期Utili It.在本文中，我们解释了在假定退休人员每月消耗全部养老金的情况下，如何从带有养老金和beques t(Pij，Bij)的年金合同中确定当前预期效用（或净当前期望值NPEV)，即U(Pij，Bij；θi）。这个公关活动需要三个步骤。首先，确定退休人员的生存概率。其次，根据契约，我们确定（时变）beque ST。我们用平均收益率作为贴现因子，计算了期望的当前磁盘收益效用。C.1基本理想intuitio n,只考虑退休后的第1个月，设Qi∈[0,1]为退休后1个月我还活着的概率。然后，所导出的当前贴现效用将是beU(Pij，Bij；θi)=u(Pij)×qi+θi×v(Bij)×(1-qi)，其中u(Pij)是来自Pij的布诺效用，v(Bij)是来自离开be quest Bij=Bij(Pij)的效用。现在，让我们考虑退休后的两个月。我们必须调整退休人员在退休时活着的生存期的概率，并考虑到死亡时留下的遗产也会改变，这反过来取决于所考虑的年金产品是否包括一个保证期。一旦我们有了生存概率，预期的贴现公用事业就变成了u(Pij)和贴现的生存月数的乘积，即xpects。当有遗赠时，U(Pij，Bij(Pij)；θi)具有直观结构。它是两个期限的总和，一个期限是u（Pij）和我预计活的不合格月数的乘积，另一个期限是v（Bij）乘以我的福利金预计收到Bij的折扣月数的乘积。在法律上，我的配偶有权在有保证的养老金期间获得我的60%养老金和100%养老金；数额可能会随着时间的推移而变化。因此，我们可以写出U(Pij，Bij(Pij)；θi)a sU(Pij，Bij(Pij)；θi):=U(Pij)×dri+θi v(0.6×Pij)×dsi+v(Pij)×DS，Gpiρi(Pij)+θi×bi(Pij)，(c.1)其中Dris是退休人员的预期寿命折现（以月为单位，从年工资开始算起），DS，GPiis是配偶（或其他福利）因保证期而将获得全额养老金的折现月数。此外，DSII是配偶将获得退休人员养老金60%的贴现月数。然而，如果年金有一个递延期，在实践中，我们不观察我的寿命。因此，为了确定退休时的预期寿命，我们估计了一个连续时间的Gompertz生存函数（如果他已婚）作为她的人口和社会经济特征的函数。我们将在下一小节中解释估计方法。我们将在本节后面讨论估计。这些“折扣预期寿命”也可以用年化成本来解释。

假设ms使用与我们相同的死亡过程，并以等于贴现率的利率投资退休人员的储蓄，那么在退休人员死亡之前，将向其提供一美元养老金所需的资本DRiis。在退休人员退休后，直到保证期限届满之前，筹集一美元钢笔用于福利的必要资本。最后，DSiis是为退休人员死亡或瓜尔人死亡前的养老金结束（在年金支付要求INS之前，退休人员获得两倍于他的养老金）之间的福利筹集养老金的必要资本。所以ρi(Pij)=u(Pij)×dri+u(2Pij)×DR，dpi，其中DR，dpi是在延迟d期内的预期寿命。现在假设年金包括保证期，我们考虑超过两个月。当年金包括一个保证期（G个月），并且年金人在G之前去世，比如在G′<G个月，她的配偶将在接下来的G′′)个月继续获得同样的笔，在那之后，他将获得原来养老金的60%。如果死亡时没有幸存配偶，无论是因为单身还是丧偶，指定的福利金领取100%的养恤金。我们假设ThereTire以同样的方式评价她的配偶或其他福利，使用效用v（位）。使用这些规则(c.1)成为su(Pij，Bij(Pij)；θi)=u(P)×DRI+θi×Gxt=0(1-qit)(1+δt)t×v(0.6×P)！=u(P)×DRI+θi×v(P)Gxt=0(1-qit)(1+δt)t+v(0.6×P)Txt=G+1(1-qit)×Qut(1+δt)T！=u(P)×DRI+θi×v(P)×DSI+v(0.6×P)×DS,GPI,(c.2)在t.c.2计算目前的预期使用额时，如果q*是配偶活着的概率，那么接下来，我们将解释如何确定由等式(c.1)给出的年金的NPEV。为了提供直觉，同时保持符号的可管理性，我们只解释一个简单的情况，即死亡原因是已知的，在所有个体中都是常见的。一旦我们理解了这个更简单的情况，允许个人特定的长寿前景是很简单的，但不是混乱的，为了简洁起见，我们在这里不描述这种情况。终止方程(c.1)的主要原因是，与固定的养老金不同，遗赠（她遗产的剩余财富）随着时间和时间的推移而变化。特别是，它取决于是否有合法福利、年金类型（在pa rticular中，年金是否有一个瓜尔提前期）和死亡时间（在保证期之前或之后）。智利法律规定，在退休人员死亡时，特定的个人可以获得生存保障。如第3节所述，我们重点关注没有合格子女（但有配偶或无配偶）的退休人员，这是我们样本中最常见的情况。配偶有资格获得相当于退休人员原养老金60%的无退休年金。死亡概率。首先，我们将死亡力模型化为一个连续的随机变量分布，即Gompertz分布。设Fm（tX）为特征为X的退休人员死亡时间的条件分布函数，设Fm（tX）为相应的条件密度。为了不简单起见，我们不考虑对x的依赖关系。在t时刻活着的概率，即在t之后死亡的概率，由幸存者函数Fm(t):=1-Fm(t)给出。我们假定FMM服从Gompertz，所以条件生存函数asFm(t t>t；λ,g)=e-λg(egt-egt)。由于分析是从退休人员的角度进行的，因此，所有相关的函数都是有条件的，直到配偶去世。退休人员和保险公司之间的贸易收益来自退休人员和人寿保险公司之间的风险态度的差异，以及退休人员的贴现率和保险公司的投资机会之间的潜在差异。为了简单起见，我们不考虑延迟期间的生存收益。

在充足的时间内，递延期至多为十年。因此，死亡的概率很低。为了使demog Raphics特征X对一个给定的ECT死亡率，我们用极大似然估计使λ=expxτ，andestimate参数（g,τ)；见第C.3.节即时年金。设t表示退休年龄，以月为单位，设δ∈(0,1）表示折扣系数。年金从退休人员去世前支付固定的福利P，因此NPEV在T时计算。我们从考虑没有配偶的即时年金开始。这种年金在死亡时不向福利金支付任何东西；因此，Bij=0。则立即年金的NPEV为ρ=z∞tu(P)Fm(tt>t)e-δ(t-t)dt。(C.3)如第C.3节所介绍的，我们假定Fmis为Gompertz分布，因此条件生存函数asFm(t t>t；λ,g)=e-λg(Egt-EGT)。在(c.3)中代入FM(t t>t；λ,g)=e-λg(egt-egt)给出ρ=u(P)×eδteλgegtz∞te-λgegte-δtdt=u(P)×DR,(c.4),其中用风险厌恶参数γ=3和贴现因子δ=ln(1+～rt)回忆u(P)=P(1-γ)1-γ,用～rtis表示在t.递延年金时的年市场收益率。如果年金合同包括d个月的延迟红色期条款，那么养老金从t+d开始。与此同时，退休人员获得一笔“临时支付”，几乎总是养老金的两倍。(c.4)中NPEV表达式的年金分量仍然是sa me,exce pt，下限是t+d和一个附加项来描述在此期间将收到的时间支付:ρ=u(2P)×(Eδteλgegtzt+dte-λgegte-δtdt)+u(P)×Eδteλgegtz∞t+de-λgegte-δtdt。(C.5)有保证期间的年金。除了延期，年金合同还可以有一个保证期条款，这意味着如果退休人员在支付开始（tor t=t+d)的一定期间内（表示为g个月）死亡，养老金总额(P)将支付给退休人员的配偶或合同中规定的其他福利，直到保证期结束。如果d=0，退休人员将获得的NPEVof福利与(c.4)和(c.5)相同，如果d>0。由于退休人员的福利金现在可以在保证期限内获得福利金，我们允许这些福利金收到的福利金，即遗赠的NPEV。假定有一个延迟期至t+d，保证期为g，则遗赠B与(c.3)相似，不同之处在于积分上限由保证期给出，瞬时概率函数对应于Fm（t t>t）,而B=B(1-γ)1-γ,其中风险厌恶参数γ=3；λ,g):B=v(P)×ZT+GTFM(tt>T；λ,g）E-δ(t-t)dt=v(P)×(ZT+D+GT+D(1-E-λg(Egt-EGT))E-δ(t-t)dt)。(C.6)容许有合资格配偶。当配偶在退休时结婚时，如果他或她超过退休人员的寿命，他或她有资格获得生存福利。这种福利直到死亡，如果没有符合条件的子女，相当于最初养恤金福利的60%。再一次，与退休人员将获得的福利(ρ)相联系的NPEV a公式并不因配偶的存在而得到（除了考虑到额外的合同权利，所获得的福利将较低）。因此，遗赠NPEV的公式必须包括一个额外的期限，以考虑在保证期限过去后配偶超过剩余期限时将支付的额外福利。假定这两个死亡过程是独立的，且遵循相同的Gompertz分布（sa meg参数，但配偶则为λspparameter）。

在这种情况下，Bequests的NPEV表达式为:B=ZT+D+GT+dV(P)×Fm(tt>T；λ,g)×e-δ(t-t)dt+z∞t+d+gv(0.6×P)×Fm(tt>t；λ,g)×FM(t-t->t-)；λsp,g)×e-δ(t-t)dt=v(P)zt+d+gt+d(1-e-λg(egt-egt))×e-δ(t-t)dt+v(0.6×P)×z∞t+d+g(1-e-λg(egt-egt))×(E-λsg(eg(t-))-eg(t-))×e-δ(t-t)dt，(c.7)其中，θ是退休人员和退休人员的配偶之间的年龄差。c.3年金供求的决定因素是退休人员的预期寿命或寿命。对于我们样本中的一名退休人员，我们观察她的退休年龄和如果她在2017年12月前去世的死亡年龄。为了预测退休时的预期死亡年龄，我们估计了一个比例风险模型，设hitbe为具有社会经济特征的re Ti在时间t∈R+的风险率，它包括i的ag e、性别、婚姻状况、储蓄和出生年份，即Hit=Limdt→0d Pr(Mi∈[t,dt)Xi,Mi≥t)dt=h(Xi)×ψ(t)，其中miis i的实现死亡日期，ψ(t)是Gompertz分布给出的基线风险率，使得i在时间t时死亡的概率为Fm（t）；λi，g)=1-exp(-λig(exp(gt)-1))，其中λi=exp(xiτ)。这种模型的定义在liter（Van Den B e rg,2001）中得到了很好的证实。对Gompertz的最大似然估计表明，较小的危险风险与年轻群体、较晚疲劳的个人、女性、已婚者和储蓄较高的人有关。ge nder和储蓄五分位数的隐含预期寿命中位数及其标准误差见表1。总体而言，50%的男性和女性预期活到86岁和95岁，相对来说，预期寿命随着储蓄而增加。D确定亚军我们将第一轮的亚军视为在第一轮中被选中的概率最高的选手。此外，在考虑roundFor的鲁棒性的情况下，我们考虑了一个包含befo re SCOMP(2004)中死亡率信息的新数据集。估计数在质量上是相同的。例如，男性和女性的死亡寿命预测中位数分别为85和96。表C.1:按储蓄计算的平均预期寿命（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄Gompertz死亡率分布的估计。标准错误在括号中报告。一个是第二轮最有竞争力的两个项目之一，我们可以确定第二轮的亚军。为了构造在第一轮中被选中的概率，我们估计了一个系列的条件logit模型。为了进行最一般的估计，我们根据退休年龄（以下，在和ab ove NRA）,ge nder,channel（回想一下，我们将ins Anurance companies和sales ag合并为一个渠道，因此有三个渠道）和Balance五分位数，将样本分为90个独立组。对于每一组，我们估计的模型中，个人的选择取决于投资者的特征：例如，储备与资产的比率，每个投资者雇用的卖方的比例，每个投资者的投诉和保费的比例，风险评级和最低工资率。下面的表达式给出了随机效用ass与j\'s O′er对应为iηij t=γj+γ×zjt+γ×mwrij+εij t,(d.1),其中γj是公司指定变量，γ是公司指定变量的coe-cient向量。然后，观察某一特定选择的概率由Pr(di=j)=exp(ηijt)pjj=1exp(ηij)给出。