关于篮子的概率密度函数

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摘要翻译：
一个篮子的状态价格密度，即使在不相关的布莱克-斯科尔斯动力学下，也不允许封闭的密度。（这句话可以被改写为对数和的陈述，尤其令人讨厌，因为这句话在金融和精算数学中使用得最频繁。）在这篇文章中，我们分别讨论了短时间和小波动率的扩展。该方法适用于具有相关性的一般多因素模型，并导致对一个普通（哈密顿）微分方程组的分析。也许令人惊讶的是，即使在两个资产布莱克-斯科尔斯的情况下（以其平坦的几何形状），扩张可以在一个关键的（篮筐）打击水平上退化；一种在迄今为止的文献中似乎没有被注意到的现象。显式的计算将这与从一个唯一的路径到一个以上的“最可能的”路径的相变联系起来（沿着这条路径，如果适当地加以条件，扩散集中在上述制度中）。这也提供了一个（可量化的）理解，一个目前没有钱的篮子选择如何准确地最终仍然是在钱里。
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英文标题：
《On the probability density function of baskets》
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作者：
Christian Bayer, Peter Friz, Peter Laurence
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最新提交年份：
2016
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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英文摘要：
  The state price density of a basket, even under uncorrelated Black-Scholes dynamics, does not allow for a closed from density. (This may be rephrased as statement on the sum of lognormals and is especially annoying for such are used most frequently in Financial and Actuarial Mathematics.) In this note we discuss short time and small volatility expansions, respectively. The method works for general multi-factor models with correlations and leads to the analysis of a system of ordinary (Hamiltonian) differential equations. Surprisingly perhaps, even in two asset Black-Scholes situation (with its flat geometry), the expansion can degenerate at a critical (basket) strike level; a phenomena which seems to have gone unnoticed in the literature to date. Explicit computations relate this to a phase transition from a unique to more than one \"most-likely\" paths (along which the diffusion, if suitably conditioned, concentrates in the afore-mentioned regimes). This also provides a (quantifiable) understanding of how precisely a presently out-of-money basket option may still end up in-the-money.
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关键词：概率密度函数 密度函数 概率密度 Differential computations

关于BASKETSCHRISTIAN BAYER，PETER K.FRIZ和PETER LaurenceAbstract的概率密度函数。一个篮子的状态价格密度，即使在不相关的布莱克-斯科尔斯动力学下，也不能代表一个封闭的形式密度。（这句话可以被改写为对数和的陈述，尤其令人讨厌，因为这句话在金融和精算数学中使用得最频繁。）在这篇文章中，我们分别讨论了短时间和小波动性的扩展。该方法适用于具有关联的一般多因子模型，并导出了一个普通（哈密顿）二元方程组的分析。也许令人惊讶的是，即使在两个资产布莱克-斯科尔斯的情况下（以其克雷特几何），扩张可以在一个关键的（篮筐）打击水平上退化；一种在迄今为止的文献中似乎没有被注意到的现象。显式的计算将这与从一个唯一的路径到一个以上的“最可能的”路径的相变联系起来（如果条件适当的话，在这条路径上，直角锥集中在前面提到的制度中）。这也提供了一个（完全可以理解的）理解，一个目前没有钱的篮子期权最终可能会有多少钱。引言众所周知，独立对数正态变量的和不具有封闭形式的密度。然而，在金融和精算数学中有无数的应用，在这些应用中，这种和起着至关重要的作用，例如考虑在T时刻的Black-Scholes篮子B的定律，即d几何布朗运动的加权函数。因此，人们对近似和展开有自然的兴趣，参见例如[14]及其推论。本文详细研究了小波动性和短时状态下的尾渐近性。a.Gulisashvili和P.Tankov[23]即将完成的工作涉及尾渐近性。我们的方法并不局限于几何布朗运动的情形：原则上，在一个随机波动模型（如Stein-Stein模型[38]）中，每个Black-Scholes分量都可以被资产价格所取代，所有资产与其挥发物之间完全相关。结果表明，显式解仅依赖于一个普通直列方程组的解析可处理性。如果不给出这样的可处理性，onecan仍然继续进行数值ODE求解。事实上，我们在这里的目的不是推动我们的方法工作的一般性：人们可以而且应该期望在复杂的模型中得到涉及的答案。相反，我们的主要--也有点令人惊讶--洞察是，在最简单的可能环境中已经出现了意想不到的现象：为此，我们的重点将放在d=2独立的Black-Scholes资产的情况下，没有漂移和相关性，有单位现货和单位波动）。更具体地说，如果cbb表示篮子B在K点击出的（无钱）看涨期权的公允价值，那么对于一个小的到期日T，kcb(K,T)'A(const)exp^a(K)T！√T。然而，虽然对于大多数击出都是正确的，但对于K=K*却失败了；事实上，(kcb(K，T))K=K*'A(const)exp-λ(K*)T！t3/4。就我们所知，尽管这种情况看起来很琐碎（两个独立的布莱克-斯科尔斯资产！），但“特殊”打击水平K*的存在，在这个水平K*上，篮子期权的价值（这里是关键词和短语。对数和，焦点，黄油酱的定价在篮子上扩散。2克里斯蒂安·拜耳，彼得·K·弗里兹和彼得·劳伦塞黄油酱扩散）随着成熟度接近0，有一个“特殊”的衰减行为，这似乎是新的。这一事实有确凿的证据；最基本的论证--基于卷积积分的分析--在第2节中给出。然而，这种方法虽然告诉我们发生了什么，但并没有告诉我们它是如何发生的。这篇笔记的主要贡献恰恰是对后者的很好理解。事实上，K*有一个清晰的图像。

对于K<K*，并且以货币期权到期为条件，有一个唯一的“最有可能”路径，当到期接近0时，基础资产价格过程将集中在该路径附近。然而，对于K>K*，这就不再是真的了：将会有两条不同的（在这里是同样可能的）路径发生集中。这种解释的基础是，大偏差理论不仅描述了不太可能发生的事件的概率（例如，当到期时间为零时，如果当前资金不足，则立即到期），而且还描述了这些事件发生的机制。从[1,2]开始，这种理解在以前关于篮子的工作中已经是至关重要的，这些工作旨在对篮子相对于其组件的偏斜进行量化（隐含卷）。顺便说一句，这些论文中的分析依赖于这样一个陈述，即“一般而言，在（篮击）到达流形上存在一个唯一的到达点[唯一的能量最小化路径]”。然而，在布莱克-斯科尔斯模型中，情况更复杂。事实上，我们将建立一个临界罢工*的存在，在这个临界罢工*处，人们看到从一个到两个能量最小化的阶段转变，“最有可能”路径。这个信息对交易者有意义（只要他们相信一个随着到期日接近0的di withed usion模型，这可能是一个好主意，也可能不是。..）因为它告诉他们货币篮子外期权可能仍然到期的可能情况。让我们用几个技术笔记来结束这个介绍。我们将篮子价格的演化--即使在Black-Scholes模型中--视为随机波动演化模型；由此我们得到了Bt/Bt=σ(t,ω)dWt（与σ=σ(t,Bt）的局部vol演化相反）。这应该解释为什么在[10，11]第一部分中发展的用于分析随机波动模型的方法（然后在第二部分，[11]中用于解决相关Stein-Stein模型的具体微笑问题（翅膀的形状））也适合于分析篮子。在某种意义上，本说明很可能被视为这一系列论文的第三部分。致谢：马丁·福尔德好心地告诉我们以前版本中的一些误导性提法。P.K.F。根据欧洲联盟第七框架计划(FP7/2007-2013)/ERC赠款协议NR获得了欧洲研究理事会的部分资助。258237.2。基于标准D维Wiener过程的鞍点法的计算。..,wd,bt=dxi=1siexpμit+σiwit。写出bt的概率密度函数f=fT(K)；即对于p[bt∈[K,K+dK]]/dK。当然，它是由一些(d-1)维卷积积分给出的，显式渐近展开式在鞍点法中是不可能的。对于我们的目的来说，在前面提到的最简单的可能设置中说明这些就足够了:d=2,s=s=1,μ=μ=0,σ=σ=1。扩展扩展和香草选项是可能的，将在其他地方讨论。可以表明，在接近到达流形的地方，实际上存在唯一的能量最小化路径。然后对[1,2]的（近钱）分析进行了修正。关于篮子3的概率密度函数，即bt=exp wt+exp wt。对于某些常数c=c(K)>0f(K)=exp^a(K)T！√T(c+O(T)),当K,K*,(1a)exp^a(K*)T！t3/4(c+O(T)),当K=K*,(1b)withk*=2e≈5.43656,λ(K)=inf{hK(x)x∈[0,K]}with(2)hK(x):=logx~+log(k-x).注意，对于K≤K*,我们可以显式地解决这个极小化问题，得到λ(K)=log(K/2),并得到相应的极小化子x*=K/2，对应于hK的单个局部极值。对于K>K，我们有两个全局极小值，这两个极小值不能用封闭的形式给出，因此λ(K)只能用数值来计算。0.0 0.5 1.0 1.5 2.00 2 4 6 8 10(a)HK，对于K<K，0 1 2 3 4 50 2 4 6 8 10(b)HK，对于K=K，0 2 4 6 8 100 2 4 6 8 10(c)HK，对于K>K，图1。

对于K的任意选择，(A)对于K<K*,在x=K/2上有一个唯一的全局极小值，它在h(x*)>0的意义下是不退化的；(B)对于K=K*,在x=K/2上有一个唯一的全局极小值，它在h(x*)=0的意义上是退化的；(C)对于K>K*,x=K/2给出一个局部极大值。有两个对称的GlobalMinimizer,股票价格呈对数正态分布，其参数为μi=0和ζi=σi√t=√t，其中，对数正态分布的密度由(3)fμ，ζ(x)=√2πζxexp-log x-yen2ζ给出。显然，这两个独立的对数正态随机变量之和的密度为(4)f(K)=zkfμ，ζ(k-x)fμ，ζ(x)dx.4 CHRISTIAN BAYER,PETER K.FRIZ和PETER Laurence，使用我们的特殊参数，被积函数的形式为fμ，ζ(k-x)fμ，ζ(x)=2πtx(k-x)exp-hk(x)2t！。为了将拉普拉斯近似应用到（4）中，我们计算了hK的最小值，该最小值是由规则级条件(5)hK(x)=0log xx-log(k-x)k-x=0找到的。显然，这个方程是通过选择x~=K/2--来求解的，它是唯一的全局最小值IK≤2e，否则是局部最大值，在这种情况下，我们有两个全局最小值x~<K/2<x*。当K≤2e时，我们可以直接通过计算ghk(x~*)=hK(K/2)=161-log(K/2)K和(6)hK(x~*)=0K=2e来检验最小值的退化性。再做更多的工作可以看出，在K>2e的情况下，全局最小值x~*，x~*也是非退化的。因此，当K，2e时，标准的拉普拉斯方法导致展开式(1a)。在本节的剩余部分，我们考虑退化情形并建立(1b),选择K=2e,相应地x~=e,我们得到了泰勒展开式hK(x)=hK(x~)+h(4)K(x~)(x~x~)+O((x~x~)),其中hK(x~)=2,h(4)K(x~)=20e~4,我们得到了拉普拉斯近似F(K)=ZK2πT(K~x)xexp-HK(x)2T！dx=2πT ezkexp-t！exp-5e-4(x~K/2)12T！dx(1+O(T))=1/4'A(1/4)1/4√2πeexp-t！t3/3 4(1+O(T)),其中我们使用z∞-∞exp(-αx)dx='A(1/4)2α1/4,α>0,从而得到(1b)。大偏差接近我们这里的主要工具是新的边缘密度展开在小噪声区[10]。这是用来计算相关Stein-Stein模型中隐含波动率的大冲击行为的；[38,22]。事实上，[10]的技术假设在Stein-Stein模型的分析中得到了验证，而在两个IID Black-Scholes资产的（看似）微不足道的情况下，对于一个临界冲击K=K*确实违反了[10]的技术假设。如前一节所见，(kcb(K，T))K=K*/(const)exp^a(K*)T！t1/2这样一个事实就突出了这个条件的必要性。K*的计算既可以通过从依赖于Weingarten映射的黎曼年度量学中借用的几何构造来实现，也可以通过对一个哈密顿方程系统的某种（相当）初等分析来实现。事实上，当最近在赫斯顿模型中进行了一次介绍性的研究时，哈密顿的观点自然地扩展了；[26,21]及相关文献。关于篮子5相关、局部乃至随机波动的概率密度函数。明确的答案则取决于这些（边值）ODE问题的分析能力。（当然，这类问题的数值解是众所周知的。）在下面，我们回顾[10]。考虑一个由随机方程(7)dxεt=bε,xεt+εσxεt+dwt给出的d维函数xεt≥0,其中xε=xε∈Rd,其中W=(W,...,Wm）是m维布朗运动。除非另有说明，否则我们认为:[0,1)×Rd→Rd,σ=(σ,...,σm):Rd→LIN RM,Rd和X·:[0,1)→Rd是光滑的，有界于所有阶的有界导数。

设σ=b(0,·),并假定对于每一个多指标α,漂移向量b(ε,·)在(8)αxB(ε,·)→αxB(0,·)=αxσ(·)的意义下一致收敛于σ，在ε↓0的紧实上(9)εb(ε,·)→εb(0,·)一致收敛于ε↓0的紧实上(10)xε=x+εx+o(ε)。定理1。（小噪声）设(xε)为dxεT=bε,xεt-dt+εσxεt-dwt的解过程，其中xε=xε∈rd。假定b(ε,·)→σ(·)在(8)，(9)意义下，xεxε→xasε→0在(10)意义下，σ.在空间中处处严格为正的意义下，σ.为非退化。fixy∈Rl,ny:=y,·.设Kybe是所有h∈h的空间，是L([0,T],Rm)中具有导数的绝对连续路的Cameron-Martin空间。解todφht=σφht dt+mxi=1σiφht dhit,φh=x∈rdsatis,φht∈ny。在y的一个邻域内，假定λy=inf(khkh:h∈Ky)是光滑的，还假定(i)只有多少个极小化子，即kminy<∞,其中kminy:=(h∈Ky:khkh=λy)；(ii)对于N，[10]意义下x是非焦的。（我们将在下面回顾如何检查这一点。）则存在C=Cx,y,t\\>0,即yεt=πlxεt=xε,1t,。..,xε,lt,1≤l≤d,允许密度扩展为fεy,t"e=e^a(y)εemax{λ(y)·yt(h):h∈Kminy}εε-l(C+O(ε))为ε↓0,其中λ表示λ的梯度。如果（7）用Stratonovich的意义来理解，使dW替换为dW,则漂移向量b(ε,·)改为~b(ε,·)=b(ε,·)-ε/2 PMI=1σi·σi。特别地，σ也是(8)意义下~b(ε,·)的极限，这可以放宽到一个弱Hoermander条件，并有一个显式的能控性条件。如果#kminy=1，则可以表示能量的光滑性，而不需要假设；[10]。还要注意，在我们对尾渐近的应用中，对于θ-标度，θ∈{1,2}，能量必须是线性的。6 CHRISTIAN BAYER,PETER K.FRIZ和PETER Laurencehere y=y(h)=y，...,yl是下列（普通）二等式xt=xb0,φHT(x)+xσ(φHT(x))^h(t)xtdt+εb0,φHT(x)dt,(11)x=x的解的投影，y=πlx。注2（局部化）。定理1（光滑的，有界的，所有阶的导数都有界）中关于Coe的b,σ的假设在这种情况下是典型的（例如，参见Ben Arous[5,6])，但在实际例子中却是罕见的。可以通过适当的本地化来解决这个问题。例如，如文[10]所详述的，形式(12)limr→∞lim supε→0εlog p[τr≤T]=-∞的一个估计，其中τr:=infnt∈[0,T]:sups∈[0,T]xεs≥Ro将允许绕过有界性假设。短时渐近。用布朗标度将短时扩展简化为小噪声扩展是经典的。在目前的情况下，我们有以下陈述，摘自[10，sec.2.1]。推论3。（短时间）考虑dxt=b(Xt)dt+σ(Xt)dW，从x=x∈Rd开始，具有C∞有界的向量序列，在σ.σ是空间各处严格正序列的意义下，这些向量序列是非退化的。固定y∈Rl,ny:=y,·&并假定(i)，(ii)如定理1所示。设f(t,·)=f t,y为yt=xt的密度。...,XLT。thenf t,yléé（const)tl/2 exp-d x,y 2 t！作为t↓0，其中d x,y是从点x到a nesubspace ny.3.2的亚黎曼距离，以(σ，..,σm）为基础。计算方面。在这里，我们根据庞特里亚金最大值原理（例如[37])的精神，提出了实际计算的机制。关于细节，我们参考[10].o哈密顿量。以SDE(7)为基础，采用双矢量σ，.我们定义了Hamiltonianh x,p b p,σ(x)+mxi=1p,σi(x)=p,σ(x)+dp,σσt(x)pe。..,Wmwere被认为是独立的。许多随机模型都是用相关布朗运动来描述的，即非平凡相关矩阵Ω=ωi,j:1≤i,j≤m,其中dDWi,wjet=ωi,jdt。

哈密顿量则变成(13)H×，pó=p，σ(x)+dp，σΩσt(x)pe.下面的一个普通的直接方程组(14)πx(t)πp(t)！=ph x(t),p(t).-xh x(t),p(t).！，得到了一个解，用htè0表示，因此篮子7的概率密度函数的tè0 x,p是上述有初始数据x,p.的ODE的唯一解。我们的正则性假设足以保证唯一性和局部ODE的存在性。如[8，p.37]所示，向量fieldpH，-xh是完全的，即一个具有全局存在性。使用time-T终端数据向后启动Tunow是有用的，如XT，PT；然后，我们对给定的时间-t终端数据的（14）的唯一解写出了htètxt，pt。当然，htèthtè0x,ptheresheter=htè0x,p·.以边值问题的形式求解哈密顿问题。在给定目标流形DNA=(a,·)的情况下，文[10]的分析要求解具有混合初、终、横三个条件的哈密顿方程(14)，x()=x∈Rd，x(T)=y,·\\\\\\rlrd-l,(15)p(T)=(·,0)∈rlrd-l。注意，这是一个2d维普通二次方程组，服从d+l+(d-l)=2d条件。一般说来，这类问题的边界问题可能有一个以上的解，确切地有一个或无解。在当前的设置中，总是会有一个或多个onesolution。毕竟，我们通过[10]知道至少存在一个可以通过哈密顿方程的解重构的极小化控制手，如下步骤所述。o求极小化控制。哈密顿问题作为边值问题，有选择性地获得了序条件（极小性），从而产生了由(16)πh=σ(x(·)),p(·)给出的极小控制h=h(·)的候选项。σm(x(·))，p(·).在H∈Kabut可能不是极小化的意义下，每一个这样的候选项都是可容许的。我们由此计算每个候选项的能量KHKH=H(x，p)，并识别出那些具有最小能量的候选项（“H∈KMINA”）。通过哈密顿量输出的过程也得到一个唯一的p=p(h)。如果σ=0-像我们的情况一样-能量等于H(x，p)，否则公式稍微复杂一些。o检查非焦点性。根据[10]的认识，x=y是非焦的，当N=y时，x=y是非焦的，当xt,pt：=HT：0 x,p(h)：特特：=HT：0 x,p(h)：特特：（z,q)(z,q)=(0,0)πh0：txt+z！,pt+(q,0)！是非退化的（作为d×d矩阵；这里我们考虑(z,q)∈rd-l×rl rd，并回想一下π表示t~rd-rd的投影；在坐标πx,p=x中）。注意，在point-pointsetting中，xt=y是有限的，并且只有到达“速度”pt的扰动-没有限制，即。不考虑横截性条件。结果映射的非简并性应该称为非共轭性（两点之间；这里是xTand x）。在没有漂移向量σ时，这与非共轭的通常含义是一致的；在确定了QQ=0πH0和余切空间后，精确地得到了指数映射的二阶函数。o显式的边缘密度展开式。然后我们将εy,tó=e-c/εeC/εε-L(C+O(ε))分别为ε↓0.8CHRISTIAN BAYER,PETER K.FRIZ,PETER Laurence，c=λy。二阶指数常数cthen需要解一个(#kmina<∞)辅助函数Cf。定理1.4。对一般多维Black-Scholes模型的Black-Scholes篮的分析，我们得到了HamiltonianH(x，p)=dp,(σ(x)Ωσ(x)T)pE,其中σ(x)=(σx,..,σmxm)。虽然相应的哈密顿方程可以用封闭形式求解，但边界条件导致了非线性方程组，我们再也不能显式求解了。虽然数值解当然是可能的，但为了保持最大的可追踪性，我们将自己限制在第2节的极其简化的部分，因此我们有哈密顿量H(x，p)=(σxp)+(σxp)。

从（x,p）开始的哈密顿阳极的解满足(17)htè0(x,p）=xeσxptxeσxptpe-σxptpe-σxptpe-σxptpe。从观察到H沿哈密顿阳极的解是常数以及（x,p）和（x,p）之间的对称性可以很容易地看出这一点。这就意味着逆的curinow是由(18)H0èt(xt,pt)=xte-σxtptxte-σxtptpteσxtptpteσxtptpte给出的。现在我们引入边界条件。注意，与定理1相反，我们现在投射到线性子空间{x:x+x=K}。因此，x上的终端条件转化为xt+xt=k-我们需要在目标流形上结束-，而横截性条件转化为pt，与目标流形正交。在T=1下计算这些条件，我们得到x=s=1,x=s=1,x+x=K,p-p=0。检查x=:x和xx=k-x的求解结果是否正好是第2节中遇到的规则条件（5）是一个愉快的练习。对于相同的参数，假设从这里开始K≤2e（并且不考虑K>2e的情况，其中闭式计算是不可用的），我们发现最优控制必须满足x*=(K/2,K/2)。将该值插入到（17）的两个组件中，我们得到了等式k=Eσpi\\pi=log k/σ，i=1,2。这意味着p\\=σklog(k/2),σklog(k/2)。而且，我们看到，关于篮子9的概率密度函数的最小化控制(19)πH(t)=σx(t)p(t)σx(t)p(t)！=σpσp！=log(K/2)σlog(K/2)σ！（见(16),意味着最小能量由(20)λ(K)=khkh=log(K/2)σ=H(x，p)给出。关于焦点性，我们必须检查矩阵:(21)M(x，p):==0h0è1(x+(1，-1),p)ηη=0h0è1(x，p)+η(1,1))=0H0è1(x+(1，-1),p)ηη=0H0è1(x,p+η(1，1))在最优饱和度(x*,p*)下是非退化的。简单的计算表明atm(x，p)=e-σxp-xpσe-σxp-σ(x)e-σxp-e-σxp+xpσe-σxp-σ(x)e-σxp！，意味着atm(x*,p*)=K(1-log(K/2))-σkk(-1+log(K/2))-σK！，我们可以得出结论：det M(x*,p*)=2σlog(K/2)-1σ，当且仅当K=2e时为零。我们将计算结果总结为:o在一般情况K,2e中，定理1的非焦点条件成立，并（从推论3）得到以下（短时间）密度展开式bt=exp(σwt)+exp(σwt),展开式k7→exp-λ(K)T！√T(C+O(T))。当专门针对单位波动率时，我们精确地恢复(1a)。o对于K=2e,初始股价为最小值的焦点，因此定理1的非焦点条件失效。事实上，我们希望它失败，因为在这种情况下的实际展开，即(1b)，根本不是我们的定理所预言的一般形式。通过相应地对Black-Scholes动力学进行缩放，即用K/S代替K，可以立即使用这种分析来处理非单位（但相同）点=S，即非单位（但相同）点的情况。因此，在这种情况下，当对数k2s=1时，即当K=2se时，焦点就发生了。如果临界（“焦点”）情况K=2e，带有非典型代数因子t-3/4cf时，问题就出现了。(1b)，也可由一般定理恢复。[31]和[39]中的相关结果表明，情况可能确实如此，但需要大量的额外工作。扩展：相关，局部和随机第5.1卷。分析布莱克-斯科尔斯的篮筐，噪音小。在第4节中，我们分析了asimple Black-Scholes篮的密度，并用动态SDBT=STσDWT+STσDWT，正如第3节所解释的，分析实际上是基于DB T=S1,TσDWT+S2,TσDWT，运行时间T=1的小噪声（小体积）展开。现在考虑一个小利率的情况，也是有序的。即dSi,T=rSi,T DT+Si,TσDWI,然后B T=S1,T+S2,TAS。我们仍然假设Si=1。看看定理1（现在我们不能使用推论3）就会发现，整个前序计算保持不变（至少在单位时间10 CHRISTIAN BAYER,PETER K.

弗里斯和彼得·劳伦斯，还有一些微不足道的变化）。由此得到的（现在是小噪声）B tt=1的密度展开式涉及更多，其形式为(22)k7→exp-λ(K)！exp2r log(K/2)σlog(2)！(c+O())，这里λ(K)以闭合形式给出，参见。（20）,使得λ(K)=2log(K/2)σkis也是显式已知的。此外，在与前面类似的限制条件下，his（still）由（19）给出，从而φHT=(K/2)t(K/2)t！。因此，x（见定理1）的ODE给出了byd xtdt=log(K/2)xt+r(K/2)t(K/2)t！，x=x=0,其解xit=r1-t！ktlog2,暗示y=x+x=rk/log(2)。因此，第二个指数项具有上面给出的形式。局部、随机卷等情况下的篮子分析，人们可以根据附加因素，立即记下与两个或d>2个资产相关的哈密顿量，每一个资产都受局部卷动态或随机卷的控制。然而，一般情况下，人们会被哈密顿方程的结果边值问题的分析所困扰；数值（例如拍摄）方法将不得不被使用。在一些模型中，包括Stein-Stein模型，我们相信（由于在[11]中进行的分析），在特殊情况下，封闭形式的答案是可能的，但我们在此不作讨论。取而代之的是，wecontinue在Black-Scholes情况下对d Assets进行了更多的计算。多变量Black-Scholes模型。在具有相关矩阵(ρi j）的一般d维Black Scholes模型的多变量d>2情况下，其哈密顿量的形式为h(x,p)=dxi,j=1ρi jσipixiσjxjpj,因此，其哈密顿量的形式为πxl=σlxldxi=1ρliσipixi,i=1。..,D^PL=-σLPLDXI=1ρLIσIPIXI,i=1.因此，又很容易看出txl(t)pl(t)=0，意味着xl(t)pl(t)=xlpl。Hamiltonian Curnow的形式为(23)HT(R)0(x，p)=xlexphσl pdi=1ρLiσipixi ti dl=1plexph-σl pdi=1ρLiσipixi ti dl=1。再次利用pl(t)xl(t)=pl(0)xl(0)对于任意l,我们得到了逆哈密顿量curnow(24)h(xt，pt)=xltexph-σl pdi=1ρLiσipitxit ti dl=1ρliσipitxit ti dl=1pltexphσl pdi=1ρliσipitxit ti dl=1ρliσipitxit ti dl=1ρliσipitxit ti dl=1.关于篮子11的概率密度函数，边界条件-t=1-现在由x=S(25a)dxl=1xl(1)=K(25b)p(1)=p(1)=···=pd(1)给出。(25c)实际上，横截性条件(25c)说，动量p(1)与表面正交pdl=1yl=Ko，其切空间由向量e-el，l=2，....d，withe，....编辑RD的标准基础。方程组（25）当然不能用数值方法求解，但无论在一般情况下还是在d类不相关的情况下，都没有显式解。注6。该计算的要点是，虽然一般的Black-Scholes模型不再可能有显式解，但在所有的Black-Scholes模型中都可能出现（1）现象。此外，我们强调非焦点条件很容易用数值方法检验。注7。注意，离散监控的亚式期权可以被认为是相关资产上的篮子期权的一个特例。实际上，让我们考虑一个选项onnnxi=1sti，其中（为了简单起见）ti=it，i=1，...,N.对于每一个个体i∈{1,....,N}，对于规定的δt>0,我们得到了Lawsti=seσbit-σit-(σi)tforσib√iσ和witb bit/√i中的等式。在法律中，向量wt，。...,wnt对应于一个n维布朗运动在时间t的边际分布，其相关性ρi j=min(i，j)√i j,1≤i,j≤n。因此，亚式期权对应于一个篮子上的期权，上面有SiS,σias和一个相关矩阵ρi j，其成熟度是ρi j。此外，亚式期权价格的渐近展开式为Δt→0对应于篮子的短时渐近。注8。

用第3节的技巧（用弱H-ormander条件代替椭圆性条件）也可以得到RTSTDT连续亚式期权的小噪声渐近展开式，实质上相当于注7中的N→∞,但更直接。与二维情形一样，在完全对称情形下，当σlσ和sl1时，边界条件可以显式求解。对于合适的K,最优值为x~=(1,...,1)T,x~=(K/d,..,K/d)tp~=log(K/d)σ,。.，log(k/d)σ！t,p*=dσklog(k/d)，...,dσklog(k/d)！t.引入q=...，z=+···+d-...-d,我们得到（对于d个不相关资产的情况）M(x，p)B(z，q)(z，q)=0πh0è1(x+z，p+q)=ABA G！,12 CHRISTIAN BAYER,PETER K.FRIZ,PETER Laurence，其中a=(a，..,ad)t∈R(D-1)×1,B=B(1，.，1)∈R1×(D-1),G=diag(G，.，gd)∈R(D-1)×(D-1)withal=-(σl)(xl)E-(σl)plxl,l=1,。.d，b=H1-(σ)xpie-(σ)px，gl=-H1-(σl)xlplie-(σl)plxl，l=2，...D.在对称情况下，我们可以在最优饱和度下求出M，得到M(X*,P*)=-σkd=1-log(K/d)dk···uto1-log(K/d)dk-σkd-1-log(K/d)dk··0.0......................................................................................................................非焦点条件失败当且仅当K=de。此外，我们得到了能量λ(K)=H(x*,p*)=dlog(K/d)σ.6。聚焦的几何方法在这一节中，我们对3.2节中出现的非聚焦条件进行更几何的观察。考虑Black Scholes模型dsit=σisitdwit,DdWi,dwjet=ρi,jdt,我们改变参数S→y→x,byi:=log sisiσi,xi=Lipyp,i=1,。其中ρ表示W的相关矩阵，ρ=LLTits Cholesky因式分解。显然，si=sieσiyi。在x坐标下，我们有vexi=xi(F)=liplog sp/sp/σp,Si=Si(x)=sieσilipxp。使用x图的优点是对应的黎曼度量张量是通常的欧几里得度量张量。因此，我们简单地得出(S，S)=x-x，测地线是从x图中看到的直线。此外，请注意S=Sis转换为x=0。期权的Payo函数由pwisit-k+给出。我们将wi1和T1归一化。在S坐标下，作为超平面的子集的打击面F=ns∈rd+pdi=1si=Ko转化为在x坐标下更为复杂的子流形。在y坐标下重新表述pisi=K并求解ydgivesyd=log k-d-1xi=1sieσipdp=1lipxp/sd/σd，在(lij)=(Lij)-1的篮13的概率密度函数上，这意味着-利用L和L-1是下三角矩阵-lddxd=log k-d-1xi=1sieσipip=1lipxp/sd/σd-d-1x，即lddxd=log k-d-1xi=1sieσipip=1lipxp/sd/σd-d-1为了清楚起见，让我们引入符号q=(q，..，qd-1):=(x，..，xd-1)。撞击面F的参数化则由map=:uwellrd-1→rd，其中U:=q∈rd-1d-1 xi=1sieσipip=1lipqp<k，和iD(q):=q，LDD log k-d-1xi=1sieσipip=1lipqp/sd/σd-d-1xk=1ldkqk给出对于坐标，我们隐式地假设，对于所有i来说，si>0。此外，标准基础e(p)，....在p=（q）时，切空间TpF到F的ed-1(p)由q处求值的i=1的Jacobi矩阵列给出，更准确地说，对于i=1,我们有eei(p)=(δji)d-1j=1,-lddσdpd-1j=iσjljisjeσjpjr=1ljrqrk-pd-1j=1sjeσjpjr=1ljrqr+ldi。.、d-1和p=？(q)。

因此，法向量N到S在p=π(q)时的取值为N(p)=α(p)Lddσdpd-1j=iσjljisjeσjpjr=1ljrqrk-pd-1j=1sjeσjpjr=1ljrqr+ld-1i=1,1=N=π(q)，其中α是保证N(p)=1的归一化因子，即α(p)=1+d-1 xi=1(Ldd)σdpd-1 j=iσjljisjeσjpjr=1ljrqrk-pd-1 j=1 sjeσjpjr=1ljrqr+ldi-1/2。Weingarten映射或形状算符lp:TpF→TpF的定义为bylp d}}-1(p)(v)=-d(nto}）(Ω-1(p))·v,v∈rd-1=tí-1(p)U，参见[13]。换句话说，对于Ido(q)=p，我们将N解释为q中的一个映射，而-lpi是该映射的方向导数。我们研究Weingarten映射，因为它给出了曲面F的曲率。线性映射LP:TpF→TpF的Kd-1(p)称为F的主曲率，然后F在p处的焦点由{p+ki(p)N(p)1≤i≤d-1给出，即ki(p)，0}。为了计算形状算子的特征值，我们需要计算标准基（e(p),...,Ed-1(p))的表示。让我们用L(p)来表示这个矩阵，那么我们显然是haveL((q))i j=-h qj(ntuto)(q),ei((q))i,i,j=1。D-1主曲率k(p)，......Kd-1(p)分别为，因此，(d-1)维矩阵的特征值。14 CHRISTIAN BAYER,彼得·K·弗里兹，PETER LAURENCESince的计算在一般情况下变得太复杂了，我们现在再次集中讨论两种不相关的资产，即，d=2和ρ=L=I在这种情况下，我们有(p)=1，-σσseσqk-seσq,N(|(q))=q(σ)(S)e2σq+(σ)k-seσqσseσq,σk-seσq。因此，给出了Weingarten映射byLp(ve(p))=Vκ(p)e(p),其中对于q=(q)∈Rκ(Ω(q))=k(Ω(q))=k(σ)(σ)SEσq SEσQ-K(σ)(S)E2σq+(σ)SEσQ-K3/2是R中曲线F的曲率，我们可以看到κ=0当且仅当k=SEσq,即，在曲面F的边界处。否则，κ-为负数。这里，N(p)的两个分量对f都是正的。因此，对于任意p=π(q)∈S，精确地存在一个焦点f=f(p)∈R，由f=q+seσqh2(σ)k-((σ)+(σ))seσq-(σ)Kσ(σ)kk-seσq,f=σlog k-seσqs+2σ(σ)-σke-σq(σ)s-((σ)+(σ))seσq(σ)σK,表示p=(x),x）并重新引入简捷符号si=sieσixi,i=1,2,（注意+s=K)我们可以表示f asf=x+sh2(σ)k-((σ)+(σ))si-(σ)Kσ(σ)KS,f=x+sh2(σ)k-((σ)+(σ))si-(σ)K(σ)σKS。然后证明了定理1的非焦点条件，如果0不是一个焦点点，见[10，道具6]的证明中的讨论。注9。由于法向量N的两个分量在F上都是非负的，曲率κ是负的，只有F与正象限有一个非空交点时，0才可能是焦点。插入F的参数化，我们看到只有当K>s+s时才会出现这种情况。换句话说，如果期权在货币中，那么非焦点条件总是满足（在二维不相关的情况下）。让我们再次使用第2节的参数，即s=s=1,σ=σ=σ。然后我们考虑*=(k/2,k/2)，它转化为x*=log(k/2)σ,log(k/2)σ。插入到焦点点公式中，我们得到f(x~*)=f(x~*)=log k~1σ.在篮15so的概率密度函数上，0是最优解的焦点，当且仅当k=2e时，我们再一次恢复了2节和4节的结果，这些结果对应于0个inx坐标。-2-1 0 1 2-2-2-1 0 1 20fopt。路径(a)最优控制（不含货币制度）-2-1 0 1 2-2-1 0 1 2FFocal PointsOPT。config.(b)焦点图2。