固定交易费用的渐近性

It O的公式产率为-βθv(xθ,yθ)=v(x,y)+Zθ-E-βS(βV(Xs，Ys)-L V(Xs，(Ys))ds+zθe-βtdyv（Xs,Ys)>σdws+xt≤θ(v(Zt),ζt)-v(Zt-,第2步：我们证明了存在一个su-ciently大的C>0和一个su-ciently小的δ>0,对于所有≤δ，Xt≤θ(V(Zt),ζt)-v(Zt-,ζt-))≥0。展开一个典型的和，其中z≥δ和ζ的G(z),我们认为:v(z-，0)-v(z，ζ）=v(z-)-v(z)-(u(z-)-u(z))-(1+C)(w(z-，0)-w(z，ζ))=-Vz(z)-Vzz(～z)+u(z)+u(～z)+Vz(z)+Cvz(z)≥Cvz(z)-Vzz(～z)+u(z)+u(z)+u(～z)≥Cvz(z)-Vzz(～z)+Cvz(z)-K(z-1/2-γ+～z-1-γ-～z-3/2-γ)>0(z-z)>0(z-z)>0(z-z)如果选择足够大的C,则su_ciently small>0,一致在z≥δ。（这里，点~z，~z∈[z-，z]分别来自v和u的泰勒余项。）步骤3：接下来，建立，对于一个合适的k^>0，对于所有<δ和所有z≥δ我们有βv(z,ζ）-L v(z,ζ）≤u(cmz)(1+k^)。推广应用于V的椭圆算子，我们得到了βv(z,ζ）-L v(z,ζ）≤-σ>ζvzz(z)+U(cmz)-au(z)+ru(z,ζ）+(1+c)tr[α(z)α(z)>wζ(z,ζ）]+rw(z,ζ）≤(1+k*)U(cmz),其中k*对γ<1是正的，γ>1是负的，这要归功于馀项的逐点估计（参见注A.2)和U(cmz)与z1-γ成正比的事实。对数效用的参数类似。因此，对于所有su和ciently都很小，并且对于所有z≥δ，不等式都成立。步骤4：我们现在选择一个适当的控件在时间θ之后使用。对setn={（x,y)∈K:δ-2≤x+y·1d≤δ+}和，对于每个点(x，y)∈N，选择（c,τ,m)='A(x,y)∈θ(x,y)这样j(v(x,y)):=ez∞e-βsu(ct)dt≥v(x,y)-。我们还发现，对于每个(x,y)∈n，setR(x,y)={(~x,~y)∈n:~x>x，~y>y，使得v(~x,~y)<v(x,y)+}。通过构造，我们有[(x,y)∈n R(x,y)ntyen{(~x,~y)∈k:δ-≤～x+～y·1d≤δ}并且通过紧致性，存在一个对于某些ζ,(R(ζn))nn=1。..,ζN∈N。现在，构造一个映射I:N→{1,.....,N}，它在它所属的子覆盖中为每个点分配一个邻域:I(x，y):=min{N:(x，y)∈R(ζN）}，并且集合ζ(x，y):=ζI(x，y)。通过值函数的单调性，V(ζ）≤V(x，y)，π(x，y)∈R(ζ）。（4.22）同样，由于V是光滑的，所以每个R(ζ）是开的。最后，对以下控件进行修改，y):t:=t，如果t∈[0，θ],§nt+θ,如果t>θ，用N=I((X),步骤5：将上述估算拼凑起来，和定理4.6的证明一样，去掉局部鞅项，我们得到V(x，y)≤ee-βθv(xθ,yθ)+zθe-βs(βv(Xs，Ys)-lv(Xs，Ys))ds≤ee-βθv(ζ(x，y)θ))+zθe-βs(1+k^)U(cmz s)ds+≤ee-βθj(vi(x，y)θ)U(cmz s)ds+m+2≤j,δ(x，y)+m+k^v(z)+2，其中我们在最后一步中使用了k^U为正的表达式γ6=1,其中:=supδ-≤x+y≤δ(x，y)∈nt v(x，y)-v(x，y)。定理2.3的收敛结果表明m/→0为→0。在cej,δ≥v(x，y)-m-(2+k*v(z))=v(x，y)-o()的情况下，所提出的策略在前序下确实是最优的。对于对数效用(γ=1)，类似地，还利用了估计（4.5）。附录逐点估计命题A.1。存在K=K(β,μ,r,σ,γ)>0,因此，对于K=0,1,2和j=0,1,2,我们得到Kζjzw(z,ζ）≤kz-j-3k/4-γ,对于所有(z,ζ）<->(x,y)∈nt。注记A.2。命题a.1得到了展开式(βw(z,ζ）-L w(z,ζ）=-tr[α(z)α(z)>wζζ(z,ζ）]+rw(z,ζ）,其中余项满足边界w(z,ζ）≤K(z1/4-γ+z-γ+z-1/4-γ+z-γ+z-1/4-γ+z-1/4-γ+z-1/2-γ)≤K(z1/2-γ+z-1/4-γ+z-1/2-γ)=(a(z)-cmzu(z))+ru(z,ζ）,余项有以下界:ru(z,ζ）≤K(z1/4-γ+z-γ)。

这是由繁琐但简单的计算得出的，因为所涉及的所有函数和域都是显式已知的（请比较[42，4.2节]以获得类似的计算）。命题A.3.设>0已知，并考虑S:=[Z-R,Z+r]×RD cunk，对于某个Z>r>0。然后，给出任一约束条件dζζ(z,·)有紧支集的π∈C(S),存在一个K>0,与之无关，从而得到KKC(S)≤K(a.1)和β(z,ζ）-L(z,ζ）≤K(1+ζ+ζ）,±(z,ζ）∈S(a.2)证明。这又是一个乏味但简单的计算。B定理2.1的证明在本节中，我们证明了对于每一个给定的λ，值函数Vλ是响应的动态规划方程（3.7）在域λ={(x，y)∈kλ:x+y·1d>2λ}上的粘性解。正如Bouchard和Touzi[8]所观察到的，动态规划原理的“弱版本”是通过标准参数导出粘性性质的（例如参见第7章，特别是[15]中的定理VII.7.1)。为了方便读者，我们不检查[8]中的抽象假设，而是使用[8]中的技巧，在我们的特定设置中直接证明弱动态规划原理。为此，fix(x，y)∈Oλ，δ>0，设bδ(x，y)δrd+1表示半径δ以(x，y)为中心的球，且setK(x，y；δ)λ:={(x，y):x+y·1d-δ-λ≤x+y·1d≤x+y·1d+δ}。取δ>0 su取小，使K(x，y；2δ)λprooλ。对于任何一个投资-消费政策，取θ作为相应状态过程(X，Y)从bδ/2(X，Y)退出的时间。（按照标准惯例，我们的符号并没有明确地显示θ对yen的依赖关系。）本文在[8]中给出了DPP的以下弱形式：设K（X,Y,2δ)λ上的光滑有界函数，满足0=(vλ-í)(X,Y)=maxn(vλ-í)(X,Y):(X,Y)∈K(X,Y,2δ)λo,则我们得到vλ(X,Y)≤supc∈θλ(X,Y)ezθe-βtu(ct)dt+e-βθ((X,Y)θ)。(b.1)对有界测试函数的限制是可能的，因为（4.13）,Vλ在K(x，y；2δ)λ上有界。反之，设μ是一个在K(x，y，2δ)λ上有界的光滑函数，满足0=(Vλ-Ω)(x，y)=minn(Vλ-Ω)(x，y):(x，y)∈K(x，y，2δ)λo。则我们有Vλ(x，y)≥sup'A'Aλ(x，y)ezθe-βtu(ct)dt+e-βθ(x，y)θ((x，y)θ)。(B.2)弱动态规划不等式(B.1)和(B.2)的证明。我们从(B.1)的证明开始。对于任意策略Ⅴ∈θλ(x,y）,设ρθ=(Cθ,τθ,Mθ)是其对（随机）区间[θ,∞)的限制。然后，§θ∈θλ((X，Y)θ),p-a.s。因此，E z∞E-βtu(Cθt)dt fθ≤Vλ((X，Y)θ)≤(X，Y)θ),p-a.s.通过对值函数的认知而成立，因为(X，Y)θ∈K(X，Y，δ)λ位于K(X，Y，2δ)λ中，其中通过认知而控制Vλ。结果，对于任一§=(c，τ,m)∈θλ(x,y）,e z∞e-βtu(ct)dt=e zθe-βtu(ct)dt+e-βθz∞θe-βtu(ct)dt+e-βθez∞e-βtu(cθt)dtfθ≤e zθe-βtu(ct)dt+e-βθθ((x,y)θ)。通过取所有策略的上确界，我们得到(b.1)。为了证明(b.2)，将V设为(b.2)的右手边，即:V:=sup'A∈θλ(x,y)θ),y）e zθe-βtu(ct)dt+e-βθ（（x,y）θ),对于任何η>0,我们可以选择满足V≤η+e zθe-βtu(cηt)dt+e-βθ（（x,y）θ)的Vη∈θλ(x,y）。(b.3)我们已经论证了(X，Y)θ∈K(X，Y，δ)λ。我们的下一步是构造K(x，y，δ)λ的可数开盖。对于每一点ζ=(~x,~y)∈K(x,y,2δ)λ,setR(ζ）：=Rη(~x,~y)={(x,y)∈K(x,y,2δ)λ:x>~x,y>~y,(x，y)<(~x,~y)+η},根据值函数的单调性,vλ(ζ）≤vλ(x,y）,π(x,y)∈R(ζ）。

(b.4)此外，既然是顺的，每个R(ζ）是开的，且K(x，y，δ)λR[ζ∈K(x，y，2δ)λR(ζ）。因此，通过Lindel-覆盖引理，我们可以提取出一个可数子覆盖(x，y，δ)λR[N∈NR(ζN)。现在，构造一个映射I:K(x，y，δ)λ→N，该映射将它所属的子覆盖的邻域中的每一个点分配给它所属的子覆盖的邻域中的一个:I(x，y):=min{N:(x，y)∈R(ζN)}，并且集合ζ(x，y):=ζI(x，y):=ζI(x，y)。通过理解，这些构造意味着y=(x，y)≤μ(ζx,y)∈K(x,y,δ)λ。(B.5)作为一个步骤，对于每一个正整数n，我们选择一个控制vn∈θλ(ζn)，因此vλ(ζn)≤J('An)+η，其中对于任意控制v=(c，τ，m)J(Ⅴ):=ez∞e-βtu(ct)dt。(B.6)通过单调性，对于每(x，y)∈R(ζn),vn∈θλ(x，y)。我们现在构造一个复合策略，它遵循满足(b.3)的策略η，直到相应的状态过程(X，Y)在θ时刻离开bδ/2(X，Y)。然后，它切换到对应于索引n的策略vn，状态进程由映射I:v*t:=vηt分配，如果t∈[0,θ],vnt+θ,如果t>θ,n=I((X,Y)θ),这个构造保证了v*∈θλ(X,Y)。因此，从值泛函的定义以及Vπ、(b.6)和Vλ≥μ（对(X，Y)θ∈K(X，Y，2δ)λ成立）以及(b.5)和(b.3)得出Vλ(X，Y)≥J(Ⅴ)=ezθe-βtu(Cηt)dt+e-βθez∞e-βtu(cN，θt)dt+e-βθ[(ζ因为η是任意的，所以成立了(b.2)，从而完成了证明。参考文献[1]J.V.Alcala和A.Fahim。在交易策略中平衡小交易成本和比例交易成本。预印本，2013。[2]C.Atkinson和P.Wilmott。有交易费用的投资组合管理：Morton和Pliska模型的渐近分析。数学。Financial,5（4）：357-367,1995.P.Balduzzi和A.Lynch.交易成本和可预测性：一些公用事业成本计算。J.Financ。《经济学》,52（1）：47-78,1999.G.Barles和B.Perthame.确定性最优停止时间问题的间断解。数学。肛门。Num\'er.,21（4）：557-579,1987.D.Bertsimas,L.Kogan,A.W.Lo.时间什么时候是连续的？J.金融c。《经济学人》,55（2）：173-204,2000.具有交易费用的最优投资的渐近分析。暹罗。《金融数学》，3(1):433-458，2011。效用最大化交易两个有交易费用的期货。暹罗。《金融数学》，4(1):26-85，2013。B.Bouchard和N.Touzi。粘性解的弱动态规划原理。SIAM J.Control Optim,49（3）：948-962,2011.具有交易费用的资本市场均衡。J.波利特。[经济学],94（4）：842-862,198 6.[10]M.G.Crandall,H.Ishii,P.-L.狮子。二阶Partialdi方程粘性解的用户指南。公牛。阿默尔。数学。Soc.,27（1）：1-67,1992.[11]M.H.A.戴维斯和A.R.诺曼。有交易费用的投资组合选择。数学。欧珀。Res.15(4):676-713，1990。[12]B.Dumas和E.Luciano。交易费用下动态投资组合选择问题的精确解。J.F.Eastham和K.J.Hastings，46(2):577-595,1991。投资组合的最优脉冲控制。数学。欧珀。第13（4）：588-605,1988.非线性偏微分方程粘性解的摄动检验函数法。进程。Roy.Soc。爱丁堡教派。A,111（3-4）：359-375,1989.W.H.Fleming和H.M.Soner.受控马尔可夫过程和粘度解。斯普林格，纽约，第二版，2006年。渐近离散对冲。《随机分析与金融应用》第331-346页。Springer,2011.[17]M.Fukasawa.随机积分的离散化。Financial Stoch.,《出现》，2013年。[18]S.Gerhold,P.Guasoni,J.Muhle-Karbe和W.Schachermayer。交易成本、交易量和流动性溢价。Financial Stoch。，出版于2013年。[19]J.Goodman和D.N.Ostrov。

在非动态股票交易策略下，小交易成本与最优配置损失之间的平衡。暹罗·J·阿普尔。数学，70(6):1977-1998，2010。[20]P.Guasoni和J.Muhle-Karbe。长期，高风险厌恶和内生利差。Math.Finance,2013年出版。[21]T.Hayashi和P.A.Mykland。评估套期保值误差：一种渐近方法。数学。Financial,15(2):309-343，2005.[22]K.Janeécek和S.E.Shreve。具有交易费用的最优投资和消费的渐近分析。Financial Stoch,8（2）：181-206,2004.[23]Y.M.Kabanov和M.M.Safarian.有交易成本的市场。斯普林格，柏林，2009年。[24]J.Kallsen和J.Muhle-Karbe。交易费用小的最优投资和消费的一般结构。预印本，2013年。[25]J.Kallsen和J.Muhle-Karbe。交易费用小的期权定价与套期保值。Math.Finance,2013年出版。[26]R.Korn.具有严格正交易费用和脉冲控制的投资组合优化。FinanceStoch,2（2）：85-114,1998.[27]刘洪。具有交易费用和多重风险资产的最优消费和投资。金融学报，59（1）：289-338,2004.[28]罗华，马迈斯基，王杰。资产价格和交易成本项下的交易量。波利特。《经济学》，112(5):1054-1090，2004。[29]A.Lynch和P.Balduzzi。可预测性和交易成本：对重新平衡规则和行为的影响。J.金融，55(5):2285-2310，2000。[30]A.Lynch和S.Tan。解释流动性Premia的规模：回报可预测性、财富冲击和国家依赖的交易成本的作用。J.金融学，66(4):1329-1368，2011。M.Magill和G.Constantinides。有交易费用的投资组合选择。J.Econom。《理论》，13:245-263，1976。比例交易费用下的最优多因素交易。预印本，2012年。[33]A.R.莫顿和S.R.普利斯卡。具有交易费用的最优投资组合管理。Math.Finance,5（4）：337-356,1995.K.Muthuraman和S.Kumar.具有比例交易成本的多维投资组合优化。数学。金融，16(2):301-335,2006。电力效用最大化的风险厌恶渐近。普罗巴布。理论关系。Fields，第152（3-4）：703-749,2012.[36]B.Ksendal和A.Sulem.最优消费和投资组合，同时具有交易费用和比例交易费用。SIAM J.Control Optim.,40（6）：1765-1790,2002.D.Possama-,H.M.Soner,N.Touzi.小交易费用的同质化与渐近性：多维情形。预印本，2012年。[38]L.C.G.罗杰斯。为什么比例交易费用的E-ect是O(δ2/3)？第303-308页。阿默尔。数学。Soc.,Providence,RI,2004。[39]M.Rosenbaum和P.Tankov。带跳跃套期保值策略的渐近最优离散化。阿普尔。probab.，即将出版，2013年。[40]M.Schroder。具有交易费用的最优投资组合选择：数值解。预印本，1995年。[41]S.E.Shreve和H.M.Soner。具有交易费用的最优投资和消费。安。[应用],4（3）：609-692,1994.H.M.Soner,N.Touzi.小交易费用的同质化和渐近性。SIAM J.Control Optim.,51（3）：2893-2921,2013.[43]A.E.Whalley和P.Wilmott.具有交易费用的期权定价最优套期保值模型的渐近分析。数学。金融学，7(3):307-324，1997。[44]张爱玲。欧洲期权。博士论文，1999年，Ecole Nationale des Ponts Etchauss\'ees。