固定交易费用的渐近性

最小化该表达式将导致宽度为λ1/3阶的无交易区域和相应的福利损失为λ2/3阶。相比之下，各种规模的交易都受到相同的费用惩罚。当到达无贸易区域边界时，大宗贸易达到最优无摩擦位置，交易成本为λ。在离开狭小的无交易区域前的短时间间隔上，任何一个DI都类似于一个领先顺序的布朗运动。因此，退出时间可以用区间[-x,x]中的一个布朗运动来近似，该区间与x成比例。在随后跳到该交易区域的中点后，重复这个过程，这样交易数量大约按1/x比例增长。因此，对于某个常数C>0，由于小成本造成的总福利损失λ与Cx+λ/x成正比。在x中最小化这个表达式，得到一个λ1/4阶的最优无交易区域和相应的λ1/2.3.4阶的福利损失。基于上述考虑，我们期望由于小交易成本λ引起的前序效用损失为λ1/2阶，而最优策略与无摩擦策略的偏差应为λ1/4阶。这就引出了交易费用价值函数的渐近展开式:vλ(x，y)=v(z)-λ1/2u(z)-λw(z,ζ）+o(λ3/4)。（3.8）这里，v是3.1节中的无摩擦值函数，函数u和w是要计算的，我们将变量从安全和危险位置x,y改为总wealthz:=x+y·1d，以及危险位置与它们的无摩擦目标的偏差ζ:=(y-θ(x+y))/λ1/4，归一化为O(1)级为λ↓0。由于函数λw对y-变量的二阶导数为λ1/2级，所以它只在高阶λ处作出贡献。为了确定u和w，将假定展开式（3.8）插入动态程序设计（3.7）中。在无交易区域，我们给出了单个风险资产(d=1)情况下的计算，并在最后给出了多维结果。在无交易区域，我们必须将椭圆算子从（3.7）展开为λ的幂。为此，(3.3)，andeu=-(U)-1得到deu(vλx(x,y))=eu(vz(z))+λ1/2κ(z)uz(z)+o(λ3/4)。在无交易区域内，计算结果是相同的，并且考虑到y=θ(z)+λ1/4ζ,对于di算子Lfrom(3.2)，βVλ(x，y)-Eu(vλx(x，y))-Lvλ(x，y)=βV(z)-Eu(vz(z))-Lv(z)-λ1/4ζμvz(z)+σθ(z)vzz(z)+σζvzz(z)-σθ(z)(1-θz(z))Wζ(z,ζ）+o(λ1/2)）。该表达式中的O(λ1/4)-项因无摩擦最优权值（3.4）而消失；对于无摩擦动态规划方程（3.1）的O(1)项也是如此。因此，在大宗交易之间满足方程（3.7）的椭圆部分--在前序O(λ1/2)下--等于0=βu(z)-Lu(z)+κ(z)uz(z)+σζvzz(z)-σθ(z)(1-θz(z))wζ(z,ζ）。（3.9）贸易区域现在，转到摩擦动态规划方程（3.7）的第二部分，当大宗贸易在非贸易区域之外成为最优时，该方程应该消失。假定(x，y)∈Kλ和Vλ(x，y)=MVλ(x，y)。那么，插入vλ的展开式，产生了v(z)-λ1/2u(z)-λw(z),ζ=v(z-λ)-λ1/2u(z-λ)-λ·infζw(z-λ,ζ）,其中，in大于从当前位置（z,Taylor展开的结果是:0=λvz(z)-w(z,ζ）+infζw(z-λ,ζ）+o(λ)。如果w(z,ζ）=w(z-λ,ζ）+o(λ),其中o(λ)只依赖于z，则此简化为0=λvz(z)-w(z,ζ）+infζw(z,ζ）+o(λ)。在ansatz(3.8)中，函数w乘以一个高阶λ项。

因此，在主导阶λ1/2处，其在关节面点的值是不相关的，我们可以假定w(z,0)=0。因此，我们期望infζw(z,ζ）=w(z,0)=0，因为离无摩擦位置的零偏差ζ=0应该导致最小的效用损失。因此，非交易区域外的前序动态编程读数为0=vz(z)-w(z,ζ）。（3.10）请注意，这个推导对几种风险资产仍然有效。这将证明与我们下面的计算结果一致；参见第3.5和3.6节。修正公式（3.9）,（3.10）表明-在前导阶λ1/2处-动态规划方程（3.7）可以写成:0=max a u(z)+σζvzz(z)-σθ(z)(1-θz(z))wζζ(z,ζ）,w(z,ζ）-vz(z)，(3.11)，其中我们设置u(z):=βu(z)-Lu(z)+κ(z)uz(z)。（3.12）为了求解(3.11)，我们把z-变量看作常数，而求解（3.11）仅仅是ζ的函数:0=maxσζvzz(z)-σθ(z)(1-θz(z))wζζ(z,ζ）+a(z)，w(z,ζ）-vz(z)，对于某些只依赖于z而不依赖于ζ的a(z)。然后，以a(z)为给定，求解z的函数u：a u(z)=a(z)。如果这两个“校正方程”都成立，(3.11)显然也成立。对于几种风险资产，相应的类似物如下：识别3.1（校正方程）。对于给定的z>0，本文给出了未知对（a(z),w(z，·))∈R+×C(R+)Ismaxn-σ>ζ(-vzz(z))-trhα(z)α(z)>wζi+a(z),第二个修正方程使用了第一个修正方程中的函数a(z)，是函数u:r+→r:au(z)=a(z),±z∈r+,(3.14)的一个简单的线性方程，其中a-定义在（3.12）和（3.2）中-是无摩擦问题的最优财富过程的最小生成元。注3.2。对于比例费用[42,注3.3]，修正方程是遍历控制问题的动态规划方程。的确，对于给定的z和对于停止时间τ=(τk)k∈N和脉冲m=(mk)k∈N∈Rd的递增序列，我们得到了成本泛函byJ(z,m,τ):=vz(z)lim supT→∞te“zt(-vzz(z)))2vz(z)σ>ζsds+∞xk=1{τk≤t}#,其中状态过程ζ由ζit=ζi+dxj=1αi,j(z)bjt+∞xk=1mk{τk≤t},t≥0,i=1。d,具有d维标准布朗运动B。上述问题的结构意味着最优策略是通过包围原点的一个区域来确定的。最优的停止次数是ζ到达C边界的次数，当ζ到达C时，将其移动到原点是最优的。因此，最优的停止次数(τk)是C的边界和mk=-ζτ-k的碰撞次数，使得对于每一个k=1,2,ζk=0。...假定不存在，区域C提供了无贸易区域的渐近形状。在幂和对数效用情况下，它是一个椭球，如图2所示，函数a是最优值a(z):=inf(τ,m)J(z,m,τ)。然后，线性方程a u=a对u的Feynman-Kac公式蕴涵u(z)=e z∞e-βta(Zm,zt)dt，其中Zm,z是初值无摩擦Merton问题的最优财富过程Zm,z=z.3.5解，如果只有单个风险资产(d=1),渐近最优无交易区域为区间{z:ζ≤ζ(z)}。通过在边界上进行平滑粘贴，可以很容易地显式地求解修正方程，类似于比例交易费用[42]。在交易边界±ζ(z)上匹配值和导数，除了在该交易区域内部的实际最优性方程之外，还可以得到对称函数w(z,·)的两个条件。因此，ζ中能够满足这些要求的最低次多项式是四次多项式。

由于我们施加了w(z,0)=0，这就产生了这样一个命题Zw(z,ζ）=(A(z)ζ-B(z)ζ,ζ≤ζ(z),vz(z),ζ≥ζ(z)。在无交易区域内，将这个命题插入到第一个校正方程（3.13）中，得到0=A(z)+σζvzz(z)-α(z)A(z)+6α(z)B(z)ζ,其中α(z):=σθ(z)(1-θz(z))如上文第3.1条所示。由于该等式应适用于ζ的任何值，因此比较Coe-cients的结果为:b(z)=σ-vzz(z)α(z),A(z)=A(z)α(z)。（3.15）其次，在交易边界ζ=ζ(z)处的光滑粘贴条件0=2a(z)ζ(z)-4b(z)ζ(z)意味着ζ(z)=a(z)2b(z)。（3.16）最后给出了在ζ=ζ(z)givevz(z)=A(z)4B(z)=-3A(z)α(z)σvzz(z)和turna(z)=vz(z)α(z)σs-vzz(z)3vz(z)时的值匹配条件vz(z)=A(z)ζ(z)-B(z)ζ(z)。（3.17）鉴于（3.16）和（3.15）,因此最优交易边界被确定为ζ(z)=-vzz(z)/vz(z)θ(z)(1-θz(z))1/4。（3.18）对于恒定相对风险厌恶γ>0的公用事业，最佳无摩擦危险位置为θ(z)=πmz,使得相应的交易边界设为ζ(z)=γπm(1-πm)z1/4。对于风险权重与无摩擦目标的最大偏差，这就得到了定理2.4的公式:π(z)=λ1/4ζ(z)z=γπm(1-πm)λz1/4。在相对风险厌恶不变的情况下，值函数（2.2）和（3.17）的同质性意味着第二个校正方程Au(z)=A(z)简化为βu(z)-rzuz-(μ-r)γσzuz(z)-(μ-r)2γσzuzz(z)+cmzuz=rγc-γmσπm(1-πm)z1/2-γ，用u=σγπm(1-πm)1/2cm(2γ)解byu(z)=uz1/2-γ。这是定理2.3.3.6高维解的公式。现在我们转到多重风险资产校正方程的解。为了简化已经很重的符号，我们在这里将自己限制在相对风险厌恶γ>0的效用uγ中。然后，我们可以撤销校正方程，得到一个与财富变量z无关的版本。的确，设ρ=z-3/4ζ,使设v=c-γm时，对于某个常数a>0和一个待定函数W(ρ)，我们得到W(z,ζ）=vz(z)W(z-3/4ζ）=vz-γW(ρ),a(z)=az1/2-γ>0。我们还引入了矩阵:=z-2α(z)α(z)>,∑:=σσ>,然后直接计算出σ>ζvzz(z)=(-∑ρ·ρ)vz1/2-γγ,trhα(z)α(z)>wζ(z,ζ）i=tr[a wρρ(ρ)](Vz1/2-γ)。我们用符号a:B:=tr[AB]重写校正方程。由此得到的重定义是对(W(·),a）,自变量ρ∈Rd:max-∑ρ·ρ-[a:Wρρ(ρ)]+a；-1+W(ρ)=0,（3.19）和归一化W(0)=0。在Atkinson和Wilmott[2]的基础上，我们假定了计算对称矩阵M的形式wπ(ρ)=1-(Mρ·ρ-1)的解。然后，w:/ρρ(ρ)=-4(Mρ·ρ-1)M-8MρMρ，因此:-[A:W:ρρ(ρ)]=2(Mρ·ρ-1)[A:M]+4mamρ·ρ=(2M[A:M]+4mam)ρ·ρ-A:M=∑ρ·ρ-A，前提是A=A:M和M解代数李嘉图方程4M[A:M]+8mam=∑.（3.20）值得注意的是，这正好是Atkinson和Wilmott[2]在对Morton和Pliska模型[33]进行渐近分析时得到的方程（3.7）。Atkinson和Wilmott[2]争辩说，通过转换到一个坐标系，其中第二个序运算符是拉普拉斯运算符，人们可以认为A是恒等式而不损失任何一般性。为了方便读者，我们在这里提供了这样的变换：由于A是对称正解（2.3）,存在酉矩阵O∈Rd×Dforwhichoao>=diag[ζi]，其中ζ,ζ,。...,ζd表示A的特征值。设置～m:=diag[ζ1/2i]Omo>diag[ζ1/2i]，～∑:=diag[ζ1/2i]o∑o>diag[ζ1/2i]，方程(3.20)变为～MTR[～m]+8～m=～∑.(3.21)Atkinson和Wilmott（参见[2]中的(3.8-3.11))利用～M和～σ具有相同的本征向量，获得了关于～M的本征值的简单代数方程组，从而确定了直至上述坐标变换的M。总之，给定A，∑，存在一个（3.20）的正解。

然后，下面的函数解出校正方程(3.13):w(ρ):=1-(ρ>mρ-1)，对于ρ∈J，1，对于ρ/∈J，其中J是围绕零的以下椭球:J:={ρ∈RD:ρ>Mρ<1}。根据定理2.4，说明渐近最优无交易区域应由ntλ=((x，y)∈rd+1:yx+y·1d∈πm+λ1/4(x+y·1d)1/4J)给出。对于每个z>0,defunneg(z):=nζ∈rd:ζ∈Z3/4jo,使得给定(z，ζ)=x+y·1d,y-πm(x+y·1d)<->(x，y)∈Kλ，有(x，y)∈ntλ，当且仅当ζ∈G(z)。4证明在这个续篇中，我们利用Barles和Perthame[4]和Evans[14]在粘性解的背景下发展的一般方法，将上述启发式转化为我们的主要结果定理2.3和2.4的严格证明，其中定理2.3和2.4是由Barles和Perthame[4]和Evans[14]提出的。为了通过避免小数幂来简化表示法，我们写了λ=，并且稍微滥用了表示法，使用子或上标来引用与转换成本问题有关的对象。例如，V指vλ，K到kλ，等等。为了建立定理2.3中所断言的值函数的展开式，我们需要证明tu(x，y)=v(z)-v(x，y)从上到下是局部一致有界的。为此，定义了松弛半极限SU*(x，y)=lim inf(，x，y)→(0，x，y)(x，y)∈K u(x，y)，u*(x，y)=lim sup(，x，y)→(0，x，y)(x，y)∈K u(x，y)。（4.1）它们的存在性由定理4.1提供的直截了当的下界u≥0和局部一致的上界保证。建立后者涉及一个特定的交易策略的明确构建，并将被解决。然后，我们在4.2和4.3节中表明，松弛的半极限u*和u*分别是上述修正方程（3.14）的粘度次解和超解。结合4.4节中提供的第二校正器方程的比较定理4.12，这又得到了u*≤u*。由于对立面不等式是由认知来满足的，因此u=u*=u*是第二校正器方程（3.14）的唯一解。结果u→u局部一致，验证了值函数的渐近展开性。有了后者，我们又可以证明定理2.4的策略对于小代价确实几乎是最优的（参见4.5节）。4.1放松半极限的存在性U的局部一致上界在这一节中我们证明了U(x，y)=-2(v(z)-v(x，y))从上到下是局部一致有界的：定理4.1。给定任意x，y，且x+y·1d>0，存在>0且r=r(x，y)>0，即{u(x，y):(x，y)∈Br(x，y)，∈(0，]}<∞。（4.2）定理4.1是下面定理4.6的直接推论。为了证明后者，我们构造了一个投资-消费政策，并给出了一个合适的上界。这一结构需要一些技术估计。读者可以简单地阅读策略的定义，并直接进入定理4.6的证明，以便查看论点的主线。策略直到停止时间θ给定初始投资组合分配(x-，y-)∈K，使用定理2.4中的交易策略，对应于无交易区域NT，从时间0开始，停止时间θ将在下面定义。更具体地说，设(τ,τ,...；m,m,...）,其中τ是投资组合过程到达无交易区域边界nt的第三次时间。相应的重新分配m，m，..在考虑交易费用后，使投资组合过程处于无摩擦Merton比例:yτixτi+yτi·1d=πm。在θ之前，投资者消耗其当前财富的最优无摩擦比例，Ct=cmz t,±t≤θ,使其财富过程服从以下随机微分方程，直到时间θ:xt=x-+zt(Rxs-cs)ds-∞xk=1+dxj=1mjk{τk≤t}，yt=y-+zty sdsssss+∞xk=1mk{τk≤t}。（4.3）停止时间θ的选择必须使投资者的头寸在任何时候都保持偿付能力，(x t,y t)∈K，Δt≤θ,p-几乎肯定。

因此，我们使用投资者的财富低于某个阈值的时间，该阈值必须足够大，以允许执行一次公开的大宗交易。在时间θ和超过阈值θ=θη，作为投资组合过程从setkη退出的时间:={（z,ζ）∈r+×rd:z>(η+1)和ζ,Rdor z∈(η,(η+1)]和ζG(z)}。在kη内，使用上述策略，投资组合过程遵循（4.3）。在θ时刻，投资者清算所有风险资产，使安全头寸最小(η-1)。之后，她以一半的利率消费，从而永远保持偿付能力。得到的投资组合过程满足以下具有随机初始数据的确定性积分方程:xθ+t=xθ+ztrxθ+sdt,yθ+t=0,t≥0。（4.4）设(X，Y)η，t，t≥0，是在θ时刻，由受控随机过程（4.3）和确定性过程（4.4）串联而成的投资组合过程。注4.2。对于任何η>1，最优值V(η，ζ）必须大于或等于立即清算所有风险资产，然后执行确定性政策所获得的效用（4.4）。由于后者可以显式地计算，这就给出了v(η，ζ）的一个粗下限，为此，假设投资者在交易结束后的财富在θ时刻为xθ≥(η-1)。则xθ+t≥(η-1)ERT。对于幂效用(0<γ6=1),这就得到了下界V(η,ζ）≥Z∞e-βt(η-1)1-γ4-4γer(1-γ)t1-γdt=(η-1)1-γ(1-γ)(β-R(1-γ))4-4γ。对数效用(γ=1)的相应结果是V(η,ζ）≥Z∞e-βtlog[(η-1)ert/2]dt=log[(η-1)]β+R2β。（4.5）对给定的δ，C>0构造一个候选下界，求出函数v,δC(z,ζ）=v(z)-cu(z)-(1+δ)w(z,ζ）。这些将用于定理4.6的证明，以验证在非贸易区域中，对于参数C和δ的适当选择，-v，δCi是由值函数v所支配的。引理4.3。设η>1。存在Cη>0，不依赖于，使得对于所有的εz∈[η,(η+1)]，我们有V(_(z,ζ）≥v，δCη(_(z,ζ）,对于所有的ζ。证明。我们只考虑幂效用(γ6=1)；对数效用的情况可以类似地处理。首先，请注意，由于项-(1+δ)w(_z,ζ）总是负数，因此可以忽略它。对于某个λ∈[0,1],可以写出_z=(η+_λ)。使用注释4.2中的估计值，我们的目标是将cη变大，以便(η-1+λ)1-γ(1-γ)(β-R(1-γ))4-4γ≥v([z)-Cηu([z))=(η+λ)1-γV1-γ-Cη(η+λ)-1/2U4-4γ，对于所有λ∈[0,1]。由此我们可以观察到，对于一个足够大的正常数，它只依赖于模型和偏好参数(μ，r，σ，γ，β)，但与η无关，我们可以假定η:=常数×η，(4.6)。引理4.4。存在δ>0，使得对于所有ηsu大，存在=(η,γ)>0，使得v,δCη(z-,0)-v,δCη(z,ζ）≥0,π∈(0,],z≥η,∑∈G(z)。回想一下，根据我们的认识，修正子w满足w(·,0)=0以及w(z,(ζ）=vz(z)对于δ∈G(z)。首先考虑幂效用的情况。Taylor展开和计算在z=ηyeldsv,δCη(Z-，0)-v,δCη(z,ζ）=v(Z-)-v(z)-Cη(u(z)-u(z))+(1+δ)vz(z)=δvz(z)+Cηu(z)-VZZ(～z)+Cηu(～z)=4-4γvδη-γ+γ～η-1-γ+Cηu(1/2-γ)η-1/2-γ+(1/2+γ)～η-3/2-γ，(4.7),其中点～z,～z∈[Z-,z]分别由v和u的泰勒余项决定，且~η，~η∈[η-1，η]满足~zi=~ηi。将表达式（4.7）看作η的函数，其优势项为O(η-γ)级。由于Cη=Cηη，其中C只依赖于模型参数(μ，r，σ，γ，β)，所以项Cηη-1/2-γ也在O(η-γ)阶上起作用。因此，选择δ>Cu1/2-γV，(4.8)确保了前导阶Coe_cient为正，与η无关。

对于SU-ciently largeη，断言跟随。在对数效用(γ=1)的情况下，参数是相同的，因为所涉及的表达式都是幂型函数。同样的选择(4.8)δ也起作用。引理4.5。对于su大η存在=(η,γ)>0,使得βv,δCη(z,ζ）-L v,δCη(z,ζ）≤U(cmz),π∈(0,],z≥η,ζG(z),其中δ由（4.8）给出。我们只考虑幂效用的情况，因为参数也比照对数效用工作。为了方便记号，我们用V代替v，δCη。在整个证明中，(x，y)∈K满足z=x+y·1d=η。分解βv(x，y）-L V（x,y)=(βv(z)-L v(z)){z}=:I(z)-Cη(βu(z)-L u(z)){z}=:I(z)-(1+δ)(βw(z),我们分析了I，I，I和I中每一项在η中的渐近性质:I(z)=-σ>ζvzz(z)+～U(vz(z))=-σ>ζvzz(z)+U(cmz)-cmzvz(z)≤-σ>ζvzz(z)+U(cmz)-cηcmzz(z)≤4-4γO(η1/2-γ)+U(cmz)-cηcmzz(z)。注a.2中的估计，以及Cη为O(ηη)级的事实（参见方程(4.6))giveI(z)+Cηcmzuz(z)=Cηau(z)-ζ·(μ-r1d)uz(z)-σ>ζ-σ>ζ·σ>πmzuzz(z)≥Cηaz1/2-γ-K(z1/4-γ+z-γ)=4-4γO(η1-γ)，其中a=a(z)/z1/2-γ。因此，这个项对于su_ciently大η是正的。最后，通过注释2，我们得到了(z)≤(1+δ)K(z1/2-γ+z1/4-γ+z-γ+z-1/4-γ+z-1/2-γ)=4-4γO(η1/2-γ)。总而言之:βV(x，y)-L V(x，y)=I(z)-I(z)-I(z)≤U(cmz)+4-4γ(O(η1/2-γ)-O(η1-γ))≤U(cmz)，对于su大η。等价地，存在一个η>1，使得对于所有z≥η和ζ,G(z):βv(z,ζ）-lv(z,ζ）≤U(cmz)，π∈(0,],这就完成了证明。我们现在有了证明这一节主要结果的所有成分，这又产生了定理4.1和定理4.6。存在常数C，δ，>0，使得对于所有的∈(0,]:v(z)-cu(z)-(1+δ)w(z,ζ）≤v(z,ζ）,π(z,ζ）∈K。（4.9）特别地，给出了u(z,ζ）≤Cu(z)+o(),π(z,ζ）∈K,（4.10）,从而证明了（4.2）。设(x，y)∈K，且η>1足够大，使得前面所有的引文都适用。在不丧失一般性的情况下，我们可以假定x+y>η，因为我们证明的是无渐近结果。步骤1：设(Xt，Yt):=(Xx，η，t，Yy，η，t)是带有动力学(4.3)，(4.4)的受控投资组合过程，它从初始分配(x，y)开始，并转换到确定性消费，而此时利率θ:=θη，总财富Zt:=Xt+Yt下降到水平z=η.和前面一样，writeV(z,ζ）:=v,δηCη(z,ζ）。回想一下，Cη和δη分别由（4.6）和（4.8）给出。It O的公式产量:βθv(xθ,yθ)=v(x，y)-zθe-βs(βv(Xs,Ys)-L v(Xs,Ys))ds+zθe-βtdyv(Xs,Ys)>σdws+xt≤θ(v(Zt,ζt)-v(zt-,ζt))。注意到求和至多是可数的，并且根据引理4.4，每个总和都是v(Zt,ζt)-v(zt-,ζt)≥0。连同引理4.5，这个产量:βθv(xθ,yθ)≥v(x，y)-Zθe-βSU(cmZs)ds+Zθe-βTdYV(Xs,Ys)>σDWS。（4.11）第2步：对于任意(x，y)∈K，且0<x+y·1d≤η，设§(x，y)∈θ(x，y)是（4.4）的策略，即清算所有风险资产，然后以风险自由额的一半进行确定性消费。根据注记4.2和引理4.3的证明，在{θ<∞}上，v(xθ,yθ)≥J(v(xθ,yθ))≥v(xθ,yθ)，其中对于任意v=(c,τ,m）,J(Ⅴ):=ez∞e-βtu(ct)dt。设{τn}n≥0是（4.11）中局部鞅项停止时间的局部化序列，且设θn:=θττn。假定族{e-βθnv((X，Y)θn)}n≥0是均匀可积的，因此它期望收敛到它的点态极限。然后，利用支配收敛定理对（4.11）中dt项的积分进行了同样的应用。

取预期值sin(4.11)，发送n→∞，并将这些观测结果与引理4.3和4.5一起使用，表明Sv(x，y)≤ezθe-βsu(cmZs)ds+e-βθv((x，y)θ)≤ezθe-βsu(cmZs)ds+e-βθz∞e-βtu(zθert/2)dt≤v(x，y)，±(0，].当x，y是任意的时，得到断言（4.9）。步骤3：只需证明{e-βθnv((x，y)θn)}n≥0是一致可积的。由于函数和域是显式的，因此可以证明存在一个常数M>0，与n无关，即:βθnv(xθn,yθn)≤me-βθnv(zθn)，从而证明{e-βθnv(zθn)}n≥0是一致可积的。例如，如果对于某些q>0，它一致有界于L1+q(Ω)。有趣的情况是0<γ≤1；否则v(z)在所考虑的区域上有界，因为财富过程是从零开始有界的，并且Merton值函数是负的。我们只是展示电力公司的案例；asimilar参数适用于对数效用。让～zt:=～zx，y，η，t，表示相同的受控财富过程，但不扣除交易成本或消费。对于任一停止时间τ，z1-γτ≤～z1-γτ几乎是肯定的，而且对于任一a，b>0,我们得到[e-aβθn(～zθn)b]=e-aβθn～zbθn(-aβ+b(r+πt·(μ-r1d)+b-1σ>πt))dt+bπt·σdwt，其中πt:=yt/zt。当a=1,b=1-γ时，漂移项在Merton比例πtπm处达到最大值，并且根据无摩擦值函数的唯一性判据:-β+(1-γ)r+πm·(μ-r1d)-σ>πm<0。对于su l ciently q>0,取b=(1-γ)(1+q)和a=(1+q),漂移项在向量πa处达到最大值，且接近πm,其中:=-aβ+br+πa,b·(μ-r1d)-σ>πa,b<0。(4.12)结果是:d[e-aβθn(～zθn)b]≤e-aβθn～zbθn(-aβ+b(r+πa,b·(μ-r1d)+b-1σ>πa,b))dt+bπt·σdwt。取期望值，通过局部鞅项的局部停止时间序列的极限，应用Fatou引理，我们得到-βθn(～zθn)1-γk1+q(Ω)=e[e-aβθn(～zθn)b]≤zb[exp(aθn)]≤zb,±n∈n，因此族在L1中一致有界+q(Ω)，因此如所要求的一致可积。我们通过建立松弛的半极限U*,U*只依赖于总财富，并且可以通过限制在Merton线上的极限来实现这一节的结论。引理4.7。对于任意x+y·1d>0,我们得到了u*(x,y)=lim inf（,x,y)→(0,x,y)(x,y)∈Ku(z-πm·1dz,πmz),u*(x,y)=lim sup（,x,y)→(0,x,y)(x,y)∈Ku(z-πm·1dz,πmz)。给定(x，y)∈K，其中z=x+y·1d>且不失一般性，我们观察到infx+y·1d=z+v(x，y)≥v(x，y)≥supx+y·1d=z-v(x，y)。（4.13）因此，v(z)–v(x，y)≤–2 v（z-）–SUPX+y·1D=z–v(x，y)！+VZ（z-）=INFX+y·1D=z–U(x，y)+VZ（z-）和INFX+y·1D=z–U(x，y)+VZ（z-）≥U(x，y)≥SUPX+y·1D=z+U(x，y)–VZ(z+)。（4.14）设(n，xn，yn)→(0，x，y)，我们有u，n(xn，yn)→u*(x，y)。设Zn=xn+yn·1d+并利用前人的观测结果，得到了tu n(xn，yn)≥un(zn-πm·1dzn,πmzn)-O(),以lim inf为n→∞,得到su*(x，y)=u*(z-πm·1dz,πmz),其中z=x+y·1d。对u*的证明是类似的。备注4.8。为了以后的使用，观察tu*(x，y)=lim inf(，x，y)→(0，x，y)(x，y)∈K u(x，y)，u*(x，y)=lim sup(，x，y)→(0，x，y)(x，y)∈K u(x，y)，其中u，u分别是u的下半连续包络和上半连续包络。此外，(4.14)推广到如下包络:u(x，y)≤infx+y·1d=z-u(x，y)+vz(z-),(4.15)u(x，y)≥supx+y·1d=z+u(x，y)-vz(z+)。函数u*是第二修正方程（3.14）的粘度子解。证明。设(z，\\)∈(0，∞)×C(r+)所以0=(u\\\\\\\\)(z)>(u\\\\\\\\\\\\)(z)，πz>0，Z6=z.为了证明这个断言，我们必须说明(z)≤a(z)。步骤1：根据定理4.6，存在r>0，取决于(x，y)，所以b\\:=sup(x，y)∈Br，∈(0，]u(x，y)<∞,Br:=Br(x，y)。（4.16）半径r可以取足够小，使Br(x，y)不与直线z=0相交。

根据引理4.7,u~(z)可以沿默顿线上的序列(z，0)实现，即z→z，且u(z，0)→u~(z)→0。观察`~*:=u(z)-π(z)→0和(x，y):=(z-πm·1dz,πmz)→(x，y):=(z-πm·1dz,πmz)。由于u~-θ在z处的严格极大值，每个z都可以看作u(·,0)-π(·)在[z-r,z+r]上的极大值。对于∈(0,]和δ>0集来说，δ(z,ζ）:=v(z)-(θ(z)+`*+C(z-z))-(1+δ)w(z,ζ）,后面选C>0。步骤2：现在，我们用函数ψ,δ在（x,y）附近从下面接触v。SETI,δ(z,ζ）:=(V-ψ,δ)(z,ζ）。考虑任意点(z,ζ）<->(x,y)∈BR。我们有-2 I(z,ζ）=-U(z,ζ）+通道(z)+`*+C(Z-Z)+(1+δ)w(z,ζ）=通道(Z-Z)+通道(z)+`*+C(Z-Z)。（4.17）因此，当r>z-z>r/2时，C>0可以选择大到足以保证（4.17）对于所有su为正。接下来，我们证明当z-z<r和ζ/∈G(z)时，i,δ(z,ζ）>0（回想注3.3中对G(z)的认识）。为此，通过泰勒展开式（4.15）和z的最大化特性，我们可以看到：对于所有su小于0的情况，我们有-2i,δ(z,ζ）=-u(z,ζ）+Ω(z)+`*+C(z-z)+(1+δ)vz(z)≥-u(z-,0)+Ω(z-)+(1+δ)vz(z)+O()≥δvz(z)+O()>0。利用I,δ(Z,0)=0,我们推导出I,δ在某个点(~Z,~ζ）达到局部极小值，且Z-~Z<r且~ζ∈G(~Z)对于所有>0的su.根据前面的论证，~ζ是一致有界的，因此存在一个收敛子序列(~z n,~ζn)→(z,ζ）,其中z>0且ζ∈R，则通过构造，0≥lim infn→∞-2ni n,δ(~z n,~ζn)=-lim supn→∞u(~z n,~ζn)+π(z)+C(z-z)。此外:-lim supn→∞u(～z n,～ζn)+Ω(z)+C(z-z)≥-u*(z)+Ω(z)+C(z-z)≥0。所以实际上，这些不等式都必须是等式。在zin圈上的严格极大性给出了z=ZandζG(z)。在选择了一个特定的子序列之后，我们可以在不损害一般性的情况下写出N。利用V是动态编程（3.7）的超解，一个得到0≤-2(βV-Lψ,δ-～U(ψ,δx))(～z，～ζ）≤-2(βψ,δ-Lψ,δ-U(ψ,δx))(～z，～ζ）=(βV-LV-～U(vx))(～z，～ζ）{z}=:i+～u(vx)-～u(ψ,δx){z}=:i-(β-L)(θ(～z)+`*+C(～z-z)){z}=:i-(β-L)(θ(～z)+`*+C(～z-z)){z}ζ）{z}=:I.As→0,我们有I→-σ>ζvzz(z),I→～u(vz(z))→z(z)=-cmz=z(z),I→a(z)-cmz=z(z),I→-(1+δ)trhα(z)α(z)>wζζ(z,ζ）。步骤4：将上述极限与ζG(z)结合，得到不等式0≤-σ>ζvzz(z)-aà(z)+(1+δ)trhα(z)α(z)>wζζ(z,ζ）i=a(z)-aè(z)+δtrhα(z)α(z)>wζ(z)+δtrhα(z)α(z)>wζ(z)最后，设δ→0并利用Wζ的局部有界性（参照命题a.3)得到了所需的不等式:a(z)≤a(z).4.3粘性超解性质定理4.10。u*是第二修正方程（3.14）的粘度超解。证明。设(z，(a)∈(0，∞)×C(R)为:0=(u*-à)(z)<(u*-à)(z)，πz>0，z6=z.为了证明这个断言，我们必须说明a(z)≥a(z)。第一步：和前面一样，我们从构造测试函数开始。回想一下tu(z,ζ）=v(z)-v(z,ζ）,其中v表示交易费用价值函数v的上半连续包络。根据松弛半极限U*和引理4.7,在Mertonline上存在一个序列(z，0)，因此z→zand u(z，0)→u~(z)→u~(z)→0,集合``*:=u(z)-π(z)→0和(x，y):=(z-πm·1dz,πmz)→(x，y):=(z-πm·1dz,πmz),我们通过选择r>0使Br:=Br(x，y)不与直线z=0相交来进行局部化。definneψ,δ(z，∑)=v(z)-(Ω(z)+`-C(z-z))-(1-δ)w(z，ζ）,其中C>0选择得如此之大，δ(z,ζ）:=v(z,ζ）-ζ,δ(z,ζ）<0,其中z-z≥r/2,∈(0,]。那么，对于所有的∈(0,],我们得到z-z<r/2ζ,δ(z,ζ）<∞,(4.18),并且，通过构造，i,δ(z,0)=0。步骤2：先验地，没有理由（4.18）中的上确界应该在任何特定点上达到，更不用说当我们发送到零时，一个最大化序列应该收敛。

此外，我们对原始测试函数进行扰动以完成定位。为此，fix，δ和let（zn,ζ）是i，δ的一个极大序列。（请记住，这个序列依赖于，δ.)集合αn:=supz-z<r/2ζ∈rdi,δ(z,ζ）-i,δ(zn,ζn）andhn(ζ）=h(ζ,ζ）,其中h(ζ）=(exp1-1-ζ,如果ζ<1,如果ζ≥1,0。注意αn→0为→0。取改进的检验函数为φ,δ,n(z,ζ）=φ,δ(z,ζ）-αnhn(ζ）,因此，δ,n(z,ζ）:=(v,δ-ψ,δ,n)(z,ζ）=i,δ(z,ζ）+αnhn(ζ）,通过构造，每个i,δ,n都有一个极大值，即（z n,ζ）∈[z-r,z+r]×rd。观察到αn相对于。的衰减速率可以被认为是我们所希望的那样快，只要选择足够大的n。我们将发现取αn≤n exp(––1)是方便的，如果有必要，这总是可以通过重新标记来实现的。对于任何选择7→zn，结果表明，zi是(zn)的唯一子序列极限为→0。实际上，请注意，由于(zn)[z-r,z+r]，它包含一个收敛的子序列。如果z≤-2ki k,δ,nk（z knk,ζknk）,意味着0≤-u^(z)+^(z)-C(z-z)。通过u^-θ在z处的严格极小性，我们一定有z=z。步骤3：接下来，我们证明了满足αnk≤kexp(-1-k)的i k,δ,nk的任何极大值序列（z knk,ζknk）在k→0ask→∞中是渐近包含在无交易区域中的，即（v k-mv k)(z knk,ζknk)>0,对于a-nk≤kexp)(-1-k),（v k-mv k)(z knk,ζknk)所有的su？ciently大k。为了看到这一点，通过矛盾的方式假设，对于某个～ζkn，0≥v k(z kn,ζkn)-(mv)(z kn,ζkn)=v k(z kn,ζkn)-v k(z kn-,～ζkn)，(4.19)。这样一个点是由V的上半连续性和有界性而存在的。利用(zkn，ζkn)是vk-ψk,δ,nkon[z-r,z+r]×Rd的最大值这一事实，推导出:0≥ψk,δ,nk(zkn,ζkn)-ψk,δ,nk(zkn-,～ζkn)=kvz(zkn)+O(k)-k(1-δ)[w(zkn,ζkn)-w(zkn-k,～ζkn)]-kαnk[hnk(～ζkn)-hnk(ζkn)]≥δkv[zkn,ζkn)]=kvz(zkn)+O(k)-k(1-δ)]Z（Z kn)+O(k)-k kexp(--1 k)>0，因为δ>0。这与（4.19）相矛盾。通过V Kat(Z KNK,ζKNK)的子解性质，我们现在将其写成（Z K,ζK)，我们得到了双不等式0≥βV K-LψK,δ,nkx)(Z K,ζK)≥βψK,δ,NK-LψK,δ,nkx)(Z K,ζK).第四步：我们声称ζ一致有界于∈(0,]。将上述二阶不等式展开为kleads的幂为0≥-2kβψk,δ,nk-Lψk,δ,nk-～u(ψk,δ,nkx)(z k,ζk)=-σ>ζkvzz(z k)-αnk(βhnk(ζk)-L hnk(ζk))-(β(θz k)+`*k-c(z k-z k))-L(θ(z k)+`*k-c(z k-z k))-k(1-δ)(βw(z k,ζk))-n L w(z k,ζk))-～u(ψk,δ,nkx)-～u(vx)k。我们继续估计每个项。为此，设K=K(β,μ,σ,r,γ)>0表示一个大类属常数。通过命题A.3，我们有K(1-δ)(βw(Z K,ζK)-L w(Z K,ζK))=-(1-δ)TR[α(Z K)α(Z K)>wζ(Z K,ζK)]+(1-δ)RW(Z K,ζK)≤-(1-δ)TR[α(Z K)α(Z K)>wζ(Z K,ζK)]+K(1+KζK+KζK)和αNKβhnk(ζK)-LHNK(ζK)≤KKexp(--1 K)(ZK,ζK)(ZK,ζK))2-K+-1KζK+ζK)以及(β-L)(Ω(ZK)+`*K-C(ZK-Z))≤(1+KζK+KζK),最后，-2K～U(ζK,δ,nkx)-～U(vx)≤K,由此我们得出结论:0≥-σ>ζKVZZ(ZK)-K(1+KζK+KζK)0,则支配项-σ>ζkvzz(z k）是非负的，因此ζk在k中一定一致有界。因此，沿着某些子序列，我们有ζk→ζ和z k→z。发送K→0给出0≥-σ>ζvzz(z)-aí(z)+(1-δ)trhα(z)α(z)>wζζ(z,ζ）i=a(z)-aí(z)-δtrhα(z)α(z)>Wζζ(z,ζ）。最后，设δ→0。再加上w上的C-估计（参看命题A.3)，这一项就从不等式中消失了。这一结果使sa？(z)≥a(z)，从而完成了证明。4.对第二校正量等式的比较：直接计算表明，对于某个常数ρp∈R，azp=vpzp，如果Mertonvalue函数为nite，即cm>0，则很容易证明v1/2-γ>0。

此外，由于假定（2.3）中的矩阵α是可逆的，因此（3.19）中的矩阵A是正的，即A(z)=AZ1/2-γ=[A:M]Z1/2-γ>0。因此，u(z)z-1/2+γ=u=a'A1/2-γ>0。注4.11。类似地，如果δ1，thenA(zδu(z))>0,πz>0。这个观察结果被用于比较定理4.12的证明。根据定理4.6中U的显式局部一致上界(4.10)，弛豫半极限u*,u*满足增长限制0≤u*(z),u*(z)≤cz1/2-γ。（4.20）因此，我们证明了第二修正方程在满足此增长条件的非负函数类中存在一个比较定理：定理4.12。设v,v:(0,∞)→R为正且满足增长约束（4.20）。IFAV≤a≤Avis符合粘度意义，则v≤u≤v，其中u=UZ1/2-γ。我们只是证明了子解是由U支配的；断言的第二部分遵循相同的思路。设vbe为满足增长条件（4.20）的AV≤a的子解。我们需要区分两种情况：情况1：假设γ6=1/2。SetI(z):=v(z)-φη,δ(z),其中φδ,η(z):=δu(z)1+δ+(1+η)u(z)。那么，对于所有su小于δ，η>0，我们有I(z)≤0，对于所有z>0。要看到这一点，假设在某个点上，I>0。然后，由于v的增长限制，I在某些z∈R+andaφη,δ(z)≤a(z)处有一个全局极大值，但通过构造aφη,δ(z)>a(z),因此I≤0。对于δ,η→0,此条件为v(z)≤u(z),±z∈R+。情形2：现在假定γ=1/2。取而代之的是φδ，η(z):=δz-δ+(1+η)u(z)。4.5主要结果的证明我们现在通过证明本文的主要结果来结束。定理2.3的值泛函证明的展开。我们在定理4.1中证明了（4.1）的松弛半极限u*和u*存在，仅由引理4.7证明是财富函数，并由定理4.6证明满足增长条件0≤u*(z)，u*(z)≤cz1/2-γ。根据定理4.9和4.10,au*≤a≤au*在粘性意义上成立。因此，定理4.12给出了u*≤u*。相反的不等式显然是成立的，因此u*=u*=u。（4.21）定理2.3中所宣称的局部一致收敛性则直接从（4.21）和u*,u*的定义中得到。几乎最优策略通过定理2.3的渐近展开，我们现在可以证明定理2.4的策略在小成本下是几乎最优的。为此，定义一个初始分配(x，y)∈K ANDA阈值0<δ<x+y·1d。考虑定理2.4中的策略v=(c，τ，m)∈θ(x，y)。如果财富低于阈值，则采取另一种策略（见注释2.5）。更确切地说，我们选择控制项Ⅴ*=(C*,τ*,M*)∈θ(xθ,yθ)，使得i)'A[0,θ)+'A*[θ,0)∈θ(x，y)，其中θ是财富过程Z=x+y·1跌落到层δ以下的最短时间，并且ii)'A*对于(xθ,yθ)的每一个实现是[θ,∞)上的o()-最优值。主要的技术问题是这是否可以容易地做到，但这将产生于一个类似于弱动态规划原理(B.2)证明中所做的构造：设J,δ(x，y)是相应的期望消费贴现效用:J,δ(x，y):=J(Ⅴ)=e zθe-βsuγ(cmzs)ds+e-βθz∞e-βtuγ(c*s)ds，那么我们有：定理4.13。存在δ>0，使得对于所有0<≤δ:j，δ(x，y)≥v(z)-u(z)+o()，Δz=x+y·1d≥δ，即定理2.4的策略在前序处是最优的。步骤1:Setv(z,ζ）=v(z)-u(z)-(1+C)w(z,ζ）,对于稍后要选择的su大C>0。