固定交易费用的渐近性

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摘要翻译：
一个具有恒定相对风险厌恶的投资者交易一个安全的和几个具有恒定投资机会的风险资产。对于一个固定的小交易费用，无论交易规模大小，我们明确地确定了无摩擦价值函数和最优策略的前序修正。
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英文标题：
《Asymptotics for Fixed Transaction Costs》
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作者：
Albert Altarovici, Johannes Muhle-Karbe, H. Mete Soner
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最新提交年份：
2013
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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英文摘要：
  An investor with constant relative risk aversion trades a safe and several risky assets with constant investment opportunities. For a small fixed transaction cost, levied on each trade regardless of its size, we explicitly determine the leading-order corrections to the frictionless value function and optimal policy.
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PDF下载：
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关键词：交易费用 交易费 Optimization Quantitative Transaction

固定交易费用的渐近性*Albert AltaroviciéJohannes Muhle-Karbe。具有持续相对风险厌恶的投资者在持续的投资机会下交易一种安全的和几种风险的资产。对于一个小的交易成本，对其规模的每一个无交易者征收，我们明确地确定对无摩擦价值函数和最优策略的前序修正。数学学科类别:(2010)91G10，91G80，91B28，35K55，60H30。Jel类别:G11。关键词：交易成本，最优投资和消费，均质化，粘性解，渐近扩张。1介绍市场摩擦在投资组合选择中发挥着关键作用，“大幅降低了交易的频率和容量”[9]。这些缺陷以各种形式表现出来。与交易量成比例的交易成本以买卖价差的形式存在于所有投资者之间。此外，对每项交易征收的附加成本，无论其规模大小，对小投资者也起着关键作用。比例交易成本在文献中得到了大部分关注。一方面，这是由于它们对各种规模的投资者至关重要。另一方面，这源于它们相对的分析灵活性：根据它们的认识，比例成本是“规模不变的”，因为它们的ECT与交易的股票数量成比例。对于恒定的相对或绝对风险厌恶和恒定的投资机会集，这导致在无摩擦目标位置附近宽度恒定的无交易区域[31,9,11,12,41]。投资者在其持有的资产位于该地区时保持不活跃，一旦突破这些界限，他们将进行最小数量的交易，以返回其边界。通过求解自由边界问题，可以用数值方法确定贸易边界[11]。在小成本限制下，可以在前序显式地确定无贸易区域和相应的效用损失。Shreve和*作者感谢Bruno Bouchard、Jan Kallsen、Ludovic Moreau、Mathieu Rosenbaum和Peter Tankov进行了富有成效的讨论，并感谢Martin Forde对早期版本的中肯评论。此外，他们还感谢两位匿名裁判提出的许多建设性意见。“Emailaalbert@math.ethz.ch。Emailaalbert@math.ethz.ch。Emeth Zurich，Emailaurmatik Department Fur Mathematik,Ramistrasse 101,CH-8092,Zuriich,Swiss FinanceInstitute,email johannes.muhle-karbe@math.ethz.ch。部分由瑞士国家科学基金会(SNF)“金融估价和风险管理”国家竞争力研究中心（NCCR FINRISK)，项目D1（金融风险管理中的数学方法）支持。§ETH Z-Urich,Department F-ur Mathematik,Réamistrasse 101,CH-8092,Z-Urich,Swiss FinanceInstitute,email hmsoner@ethz.ch。Soner[41]，Whalley和Wilmott[43]，Janeécek和Shreve[22]，以及许多最近的研究[6,18,42,37,7]。Balduzzi，Lynch和Tan[29,3,30]对更一般的偏好和随机机会集的扩展进行了数值研究。Goodman和Ostrov[19]，Martin[32]，Kallsen和Muhle-Karbe[25，24]以及Soner和Touzi[42]确定了相应的形式渐近。最后一项研究[42]也包含了一般公用事业的严格收敛性证明，由Possamaé、Soner和Touzi[37]将其推广到几种风险资产。成比例的成本导致了许多小交易。相比之下，成本只允许在一定的时间间隔内进行一定数量的交易。然而，最优政策又对应于一个无贸易区域。

在这种情况下，所有规模的贸易都受到同等的惩罚，因此，在无贸易区域内，通过大宗贸易向最优无摩擦目标进行平衡[13]。从实际角度来看，这些“简单”的政策只涉及许多交易，很有吸引力。然而，对于相对或绝对风险厌恶不变的公用事业公司来说，合理的成本破坏了通常允许降低问题维数的有利的缩放特性。特别是，无贸易区域的边界不再是恒定的，即使在投资机会不变以及绝对或相对厌恶不变的情况下也是如此。因此，分析固定交易成本影响的文献比分析比例成本的文献要有限得多：一方面，有许多数值研究[40,27]，它们迭代求解动态规划方程。另一方面，Korn[26]以及Lo、Mamaysky和Wang[28]对绝对风险厌恶不变的投资者得到了形式渐近结果。对于较小的成本，这些作者发现，在领先的订单上，恒定的交易边界是最优的。因此，这些模型是容易处理的，但不允许我们研究交易成本的影响如何取决于所考虑的投资者的规模。这一定义适用于Morton和Pliska提出的“准”成本[33]，Atkinson和Wilmott[2]在the Mall-Cost Limited中对其进行了分析。在他们的模型中，每一笔交易--无论其规模大小--都产生了与投资者当前财富成正比的成本，这导致了一个规模不变的模型，在这个模型中，所有规模的投资者都在相同程度上被“准”成本所约束。类似地，Fukasawa[16,17]和Rosenbaumand Tankov[39]提出的渐近离散化规则也没有考虑到交易成本的E-cient依赖于所考虑的投资者的“规模”。本研究通过对具有恒定相对风险厌恶的投资者提供严格的渐近展开来克服这些限制。在具有恒定投资机会的标准In-tion-tional消费模型中，我们得到了小交易成本的领先序福利E-cient的显式公式和相应的几乎最优交易策略。一个普遍的主题是，对于比例交易成本[22,32,25,24]，最优无摩擦策略的关键统计量是它的“投资组合伽马”，它交易于策略和市场的局部变异性（参见（2.6））。后者在离散化交易策略的渐近分析中也是至关重要的[44,5,21,16,17,39]。因此，它似乎是交易策略对小摩擦敏感性的一个有吸引力的稳健代理。与比例tra的相应结果基本不同

例如，对于典型的市场参数（参见图1)，如果投资者的财富为5000美元，则每笔交易的交易成本为1美元，则交易边界为45%和59%，约为52%的无摩擦默顿比例。然而，如果财富增加到10万美元，交易边界分别缩小到49%和55%。我们的结果还表明，对于小成本，在非贸易区域的条件和相应的福利损失下，交易成本与适当的“等价比例成本”是渐近等价的。由于投资组合成本随投资者财富的不同而变化，因此，这种等价比例成本不是恒定的，而是随投资者财富水平的不同而递减。例如，对于典型的市场参数（参见图1)，如果投资者的财富为5000美元，1美元的成本对应于2.3%的比例成本，但如果财富为100000美元，则只对应于0.24%。本着类似的精神，我们的结果也正式地与Atkinson和Wilmott[2]的结果联系起来：他们的交易成本被认为是投资者当前财富的一个不小的部分，就像把与当前财富成比例的随机组合成本代入我们的公式一样，正式地导致相同的结果。第二个新奇之处是，我们的结果很容易扩展到具有几种风险资产的多元环境。这与具有比例交易费用的模型形成鲜明对比，在比例交易费用模型中，几种风险资产的最优非交易价格只能通过求解一个多维非线性自由边界问题来数值确定，即使在小费用的极限[37]下也是如此。在小成本的情况下，具有几种风险资产的最优无交易区域是一个以无摩擦目标为中心的椭球，其精确形状即使在高维下也很容易通过矩阵值代数Riccati方程的求解来确定。这再次与Atkinson和Wilmott[2]研究的准费用一致，直到用当前财富重新标度交易费用。在质量上，我们的椭球的形状类似于Muthuraman和Kumar[34]以及Possama--、Soner和Touzi[37]为比例交易费用用数值计算的平行四边形区域的形状。最后，本文给出了小代价渐近性的严格证明，补充了先前的部分启发式结果[26,28,1]、最优离散化相关问题的严格分析[16,17,39]和比例代价渐近性的严格证明（参见[41,22,6,18,42,37,7])。至于比例成本[42]，我们的方法是基于粘度溶液和均匀化的理论，特别是Barles和Perthame[4]以及Evans[14]的弱极限技术。然而，由于i）值函数不是凹的，ii)通常的降维技术即使在最简单的模型中也失败了，iii)控件集不是标度不变的，以及iv）动态规划方程在这里涉及一个非局部算子，因此必须克服大量新的缺陷。为了不在进一步的技术问题上淹没这些新的特征，我们留待将来的研究，如[42,25,24]中对比例成本的扩展到更普遍的偏好以及资产价格和成本动态，以及对比例成本和组合成本的联合影响的分析。文章的其余部分组织如下：模型、主要结果和它们的要点在第2节中介绍。随后，我们以非正式的方式导出了结果，并对此做了一些详细的说明，以解释可能适用于许多相关问题的一般程序。

特别地，我们解释了如何用[22,38]中的启发式论证得到λ1/4幂的标度，并讨论了如何使用均匀化技术导出描述精确解的几阶近似的校正方程。第四节通过提供收敛性证明使这些形式论证更加严格。有关的估计数推迟到附录a。最后，附录B提出了一个自我包含的CF。[26,1]的形式渐近性。弱动态规划原理的证明，以Bouchard和Touzi[8]的精神，由此导出了所讨论问题的值函数的粘性解性质。通篇，x>表示向量或矩阵x,1d:=(1,...,1)>∈Rd的转置，并为Rd上的单位矩阵写了Id.对于向量x∈Rd，diag[x]表示具有对角元素x,的对角矩阵。..,XD.2模型和主要结果2.1市场、交易策略和财富动态：考虑一个金融市场，它由一个安全资产组成，其收益为恒定利率r>0，而风险资产的预期超额收益为μI-R>0，且在小协方差矩阵σσ>:dst=Strdt,dst=stμdt+stσdwt中，对于一个d维标准布朗运动(Wt)t≥0，在一个给定的概率空间(Ω,F,(Ft)t≥0,P）上。每笔交易的交易成本λ>0，无论其规模或涉及的资产数量如何。因此，投资组合只能被重新平衡许多次，交易策略可以用对(τ，m)来描述，其中交易时间τ=(τ，τ，..)是一个向内增加的停止时间序列，并且在m=(m，m，....)中收集的fτi-可测量的，RD值随机变量描述每个交易时间的转移。另外，MJI表示在τi时间内从外汇管理局转移到第j个风险资产的货币金额。假定每笔交易都是自投资的，并且从safeasset账户中扣除所投资的成本。因此，安全和危险的位置演变为(x，y)=(x，y，.，yd)7→x-dxj=1mji-λ，y+mi，...,每个交易市场时间τi的yd+mdi。投资者还从安全账户中以某种费率(ct)t≥0消费。因此，从一个初始位置(x0-，y0-)=(x，y)∈R×rd开始，一个消费-投资策略v=(c，τ，m)对应的财富动力由xt=x+zt(Rxs-cs)ds-∞xk=1λ+dxj=1mjk{τk≤t}，yit=yi+ztyisdsissis+∞xk=1mik{τk≤t}给出。偿付能力区域kλ:=(x，y)∈rd+1:max x+y·1d-λ,mini=1,...,d{x，yi}≥0.是清算价值为非负的头寸集合。从初始位置(x，y)开始的策略v=(c，τ，m)被称为可容许的，如果它始终保持溶剂:(Xt，Yt)'A，x，y∈Kλ，对于所有t≥0,p-a.s。所有可容许策略的集合用θλ(x)表示，2.2优先于上述市场，并有持续的投资机会(r，μ，σ)和规定的交易费用λ,相对风险厌恶度γ>0不变，即效用函数uγ:(0,∞)→r，或为对数型或幂型，uγ(c)=(C1-γ/(1-γ),0<γ6=1,log c,γ=1,不耐烦率β>0的投资者，从保险箱的初始禀赋x0-=x和特定资产的初始禀赋y0-=y开始交易，以最大化预期消费效用，分别为:vλ(x,y)=sup(c,τ,m)∈θλ(x,y)ez∞e-βtuγ(ct)dt。（2.1）定理2.1。具有费用λ>0的问题的值函数Vλ是动态规划方程（3.7）在Oλ={(x，y)∈kλ:x+y·1d>2λ}域内的（可能）间断粘性解，对于我们的渐近结果，我们可以在Oλ而不是在全解域Kλ上得到这个结果。

这是因为当x+y·1d>0时，任何初始分配(x，y)∈RD+1，x+y·1d>0将满足(x，y)∈Oλ.对于不连续粘性解，我们请读者参考[10，15，23，36].Ksendal和Sulem[36]在附加假设β>(1-γ)μ下研究了风险厌恶γ∈(0，1)的一个风险资产和幂效用的存在唯一性，这是无摩擦值函数的唯一性的一个条件。附录Bby中给出了定理2.1的证明，根据Bouchard和Touzi[8]的精神建立了一个弱动态规划原理。我们认为，与比例成本的相应结果[41]类似，当转换成本值函数Vλ为零时，上述定理以及一个比较结果在所有效用函数的整个偿付能力区域中都成立。然而，这里不需要这种扩展。2.3主要结果我们从问题的无摩擦版本中收集必要的输入（例如，[15]):用πm=(σσ>)-1(μ-r1d)/γ表示风险资产中的最优无摩擦目标权重，即默顿比例。对于无摩擦最优消费率，Writecm(γ)=γβ+1-γR+(μ-r1d)>(σσ>)-1(μ-r1d)2γ和乐视(z)=(z1-γ1-γc-γm,γ6=1,βlog(βz)+βR+(μ-r1d)>(σσ>)-1(μ-r1d)-β),γ=1,(2.2)按照惯例，如果积分的负部分为负，则该积分的值设为负。对于初始财富z=x+y·1d的无摩擦对应物(2.1)的值函数。如果cm>0，我们始终假定这一点，则该latter是foungnite。此外，我们还假定矩阵α=(id-πm>d)Diag[πm]σ(2.3)是可逆的。假定（2.3）是可逆的，保证了定理2.4中的渐近最优无交易项是非退化的。我们的主要结果是对小交易费用λ的前序修正；下面的2.4节讨论了它们的解释以及与文献的联系。定理2.3（值函数的展开）。对于所有溶剂初始禀赋(x，y)∈Rd+1，z=x+y·1d>0,我们得到vλ(x，y)=v(z)-λ1/2u(z)+o(λ1/2),即uλ(x，y):=v(z)-vλ(x，y)λ1/2→u(x+y),局部一致为λ→0。这里，u(z)=uz1/2-γ，对于由第3.1条中的校正方程确定的常数u>0。对于单个风险资产(d=1):u=σγπm(1-πm)1/2cm(γ)-γcm(2γ)；多变量情况见3.6节。这就决定了前序相对确定价损失，即投资者在没有交易费用的情况下交易该资产时所放弃的初始资产的份额，如下:Vλ(x，y)=VZ1-UCM(γ)γλ1/2Z1/2！！+o(λ1/2)。（2.4）定理2.3的前序最优性能是由以下“几乎最优策略”实现的：定理2.4（几乎最优策略）。固定一个有偿付能力的初始投资组合分配。对于第3.6节中的椭球J={ρ∈Rd:ρ>Mρ<1},定义了notrade区域ntλ=((x，y)∈Rd+1:yx+y·1d∈πm+λ1/4(x+y·1d)1/4J)。考虑在无摩擦Merton率下消费的策略，当当前位置位于无摩擦Merton率区域时不进行交易，当其边界到达时跳到无摩擦Merton率。那么，对于任何δ>0，遵循该策略直到财富下降到δ水平，然后切换到（2.1）的领先阶最优策略所获得的效用在领先阶λ1/2(CF。对于单个风险资产，上述无交易区域简化为无摩擦默顿比例附近的以下区间:ntλ=((x，y)∈R:yx+y-πm≤γπm(1-πm)λx+y1/4)。（2.5）注2.5。与比例交易成本不同，对于给定的组合成本λ>0,只在离开上述渐近无交易区域后进行交易是不允许的。

这是因为财富可能会低于进行一次交易清算所需的水平λ。因此，上述区域只是“局部”最优的，因为当财富低于给定阈值时，人们需要切换到未知的最优策略。2.4解释和含义在本节中，我们讨论了我们主要结果的一些解释和含义。在讨论几种相关的证券之前，我们将重点放在一种安全资产和一种风险资产的最简单情况上。小摩擦和组合对策从根本上讨论了比例成本和组合成本的最优策略的交易。就成比例的成本而言，“本地时间类型”的小交易数量有限，而成本有限导致了大量的大宗交易。然而，标志着交易开始的各个无交易区域实际上是由总结ARKET和偏好参数的统计数据确定的。实际上，正如比例交易费用[22]一样，(2.5)中的最优无交易区域的宽度是由投资者的风险容忍度1/γ重新标定的πm(1-πm)的幂确定的。这个术语是指当前风险权重对风险资产价格变化的敏感度。[22，评论4]。与[22]中相应的比例交易费用公式相比，它是通过四次根而不是立方根进入的，并乘以一个di-everent常数。然而，大多数定性特征仍然是相同的：如果一个完全安全或风险的投资在无交易条件下(πm=0或πm=1)是最优的，则无交易区域消失，而在有杠杆作用(πm>1,比较[18])时，最优策略的e-ect显著增加。正如[32,25,24]对于比例成本，无交易区域也可以用无摩擦优化器和市场的活动来解释如下。设=πMZT/Stbe当前财富Zt的无摩擦最优策略，用风险资产中的sharesheld的数量表示。然后，无摩擦财富动力学DZT=ZTπMDST/ST-CTDT和It O\'s公式收益率DDH、MITDT=πm(1-πm)σZTST。因此，与无摩擦目标的最大偏差（2.5）可以用风险股票的数量改写为±γDH、MITDHSITλZT1/4。我们在第3.5节中的形式结果表明，类似的结果对于更普遍的偏好也是有效的。那么，无摩擦的目标=m(t)=θ(Zt)/st（参见第3.1节）并不长0.400.450.500.550.600.650.000.010.020.030.040.0050.060.007图1：交易边界（左面板）和相当于1美元交易成本的比例成本（右面板），作为投资者财富的函数。参数为γ=6,Ω-r=8%,σ=16%,因此默顿比例为πm=52%常数，且It O公式产生SDH？mitdt=σθ(Zt)(1-θz(Zt))St,因此与无摩擦目标m(t)的最大偏差（3.18）可写成按风险股数计算的±Vzz(z)/Vz(z)dh|mitdhsitλ1/4,（2.6）。在改变幂和常数的情况下，这是关于比例交易费用的公式[25,32,24]:无贸易区域的宽度由交易费用决定，乘以（平方）投资组合γDHMIT/DHSIT，乘以无摩擦问题的间接效用函数的风险容忍度。投资组合Gamma也是分析离散化交易策略的关键驱动因素[44,5,21,16,17,39]。因此，它似乎是衡量交易策略对小摩擦敏感度的一个很有吸引力的稳健度量。财富依赖和等效比例成本与比例交易成本的相应结果基本不同的是，组合成本的影响取决于投资者的财富。

实际上，在渐近最优交易边界（2.5）和前序相对福利损失（2.4）中，通过投资者当前的财富来归一化组合成本λ，见图1的说明。这就准确地说明了对大型机构交易者来说，在多大程度上确实可以忽略交易成本，但对小型私人投资者来说，却扮演了一个关键角色：ceteris paribus，投资者财富翻倍可以减少交易成本的影响，其方式与成本减半完全相同。因此，一个不变的成本会导致一个非贸易区域，该区域会增加投资者的财富。相反，对于成比例的交易费用，只有当这些费用随机演化时才会发生这种情况。Kallsen和Muhle-Karbe[24]的形式结果更加阐明了这种联系。结果表明，对于当前总财富ZT，一个常数的固定成本λ在相关的非交易区域和相应的福利损失方面都等效于一个随机和时变的比例成本，即λequivt=1024γ3πm(1-πm)1/4λZt3/4。注意，这个公式与不耐烦参数β无关，只依赖于市场参数(μ，σ，r)，通过默顿比例πm=(μ-r)/γσ。这一关系清楚地表明，如果再平衡交易规模较小，则组合成本对应于较大的比例成本，因为i）投资者的财富规模较小，或者ii）非交易规模较窄，因为无摩擦最优头寸π接近于完全安全或风险头寸(πm=0或πm=1)。相比之下，对于大型投资者和远离完全风险或安全投资的无摩擦头寸，所需的成本变得可以忽略不计（参见图1）。对于较高的风险厌恶γ，当风险厌恶越高，交易规模越小时，当量的比例成本就越大，这与Liu[27]关于指数效用的数值计算结果一致。然而，在这里，人们可以额外地内生性地评估财富随时间变化的影响，而不是通过改变投资者的风险厌恶。我们关于组合成本的渐近公式还允许将这些费用与莫顿和普利斯卡模型中每笔交易收取的当前财富的组合部分联系起来[33]。它们的“准”成本是标度不变的，因为它们导致默顿比例πm附近的恒定交易边界，其渐近性已由Atkinson和Wilmott[2]导出。在形式上，如果它们的时变交易成本与我们的交易费用之比是由投资者当前的财富给定的，那么这些交易边界与我们的交易边界是一致的。多只股票对于多只股票，定理2.4表明，在无摩擦默顿位置πm附近保持投资组合权重为椭球是近似最优的。尽管非线性自由边界问题必须解决以确定比例费用的最优无交易区域，即使这些区域很小[37]，但具有固定费用的渐近最优无交易椭球是由Amatrix值代数Riccati方程确定的，即使在高维情况下也容易用数值计算（更多细节见3.6节）。

定性上，这再次类似于Atkinson和Wilmott[2]对Merton和Pliska模型[2]的渐近结果，但是--对于单个风险资产--交易边界随投资者财富的变化而变化。为了揭示解的数量特征，图2描述了两个相同的风险资产的非交易椭球，具有不同程度的相关性。在质量上，相关性改变了非交易区域的形状，类似于Muthuraman和Kumar[34，图6.8]对比例成本的影响：在风险资产权重的空间中，非交易区域在（1,1）方向上缩小，但在（1,-1）方向上扩大，因为投资者使用正相关资产作为一个或另一个资产的部分替代。然而，在数量层面上，相关性的影响被证明是相当明显的。这是因为无论何时发生任何交易，所有股票都可以在没有额外成本的情况下交易，削弱了使用替代品进行对冲的动机。还要注意，即使对于两个相同的不相关的股票，该交易区域也不是旋转对称的。这与指数效用的结果相反，在指数效用中，投资者的最大化问题分解成许多独立的子问题[27]。然而，请注意，随着风险厌恶的增加，不相关的相同股票的最优无交易区域迅速变得更加不对称，根据将电力公用事业与其指数联系起来的高风险厌恶渐近，为了看到这一点，在[24,4.1和4.2节]中正式地让时间范围趋于确定性，并插入最优消费率和风险权重的明确公式。这立即产生了领先订单的非交易者的重合；为了便于比较，我们使用了与Muthuraman和Kumar[34]相同的市场参数μ、σ、r和风险厌恶γ。选择已知成本和当前财富，使得eachasset的一维无交易区域对应于它们1%比例成本的区域。0.080.100.120.140.160.180.200.220.240.080.100.120.140.160.180.200.220.24图2：两个相同风险资产的无交易椭球，超额收益为5%，相关性为0（实心）。44%（虚线）和相应的挥发物40%。33%的选择，使默顿比例保持恒定在（5/32,5/32）。风险厌恶度为γ=2，财富为50000美元，成本为3.41.-0.050.05-0.050.05图3：两个相同的风险资产，超额收益为5%，相关性为0，挥发度为40%，风险厌恶度为2（实心）和6（虚线）时，与摩擦系数LessMerton比例的最大偏差（以风险资产所持财富的百分比计算）。财富是50000美元，而规定的成本是3.41美元。在图3.3中说明了解决方案的启发式推导。在本节中，我们解释了如何使用均匀化方法来确定非正式水平上的小成本渐近性。这些推导类似于比例成本[42]的推导，由于这在形式上几乎不需要额外的di-hilling cults，所以在本节中我们考虑在正半线上的一般实用程序。对于第4节的严格收敛性证明，为了不淹没论证技术，我们着重于相对风险厌恶不变的效用uγ。3.1无摩擦问题本渐近分析的出发点是手头问题的无摩擦版本的解。由于在这种情况下交易是无成本的，相应的价值函数不分别依赖于安全资产和风险资产的头寸x、y，而只依赖于财富总量z=x+y·1d。

众所周知（参见[15，第十章])，无摩擦值函数求解动态规划方程0=EU(vz(z))-βV(z)+Lv(z)，(3.1)其中V(z)=vz(z)zr+vz(z)(μ-r1d)·θ(z)+vzz(z)σ>θ(z)，(3.2)和相应的最优消耗率和最优风险位置由κ(z)=(U)-1(vz(z))(3.3)和θ(z):=-vz(z)vzz(z)(σσ>)-1(μ-r1d)给出。（3.4）对于幂或对数效用uγ(z)具有恒定的相对风险厌恶-zuγ(z)/uγ(z)=γ，这导致了2.3节中的显式公式，因为在这种情况下，值函数是同源的:v(z)=z1-γv(1)(如果γ6=1)。v(z)=βlog(z)+v(1)（如果γ=1)。3.2摩擦动态规划方程为了便于读者阅读，我们现在回想一下如何启发式地推导出带有固定交易费用的动态规划方程。我们从ansatz出发，证明了模型参数不变时域问题的价值函数Vλ(x，y)只依赖于每个资产的位置。沿着任意容许策略（c,τ,m）对应的位置Xt,Yt求值，它的公式依次得到sdvλ(Xt,Yt)=vλx(Xt,Yt)(rxt-ct)+μ·dyvλ(Xt,Yt)+tr(σσ>dyyvλ(Xt,Yt))dt+dyvλ(Xt,Yt)>σdwt+xτi≤t vλ(xτi-mi·1d-λ,yτi+mi)-vλ(xτi，yτi)，(3.5)比较Nutz[35],以及Guasoni和Muhle-Karbe[20]比较具有一般无摩擦的模型比例交易费用。对于已知成本，一个类似的结果需要更多的考虑，因为在这种情况下，投资者的承诺并没有被排除在交易政策之外。wherediy=yi yi,dijyy=yiyj yi yj,i,j=1,。根据随机控制的鞅最优性原理，应用任意策略（c,τ,m）直到某个中间时间t,然后进行最优交易得到的效用Zteze-βSU(cs)ds+e-βtvλ(X(c,τ,m)t,Y(c,τ,m)t)总是导致一个上鞅，如果一直使用优化器，则总是导致一个鞅。在交易之间--在策略的“禁止交易区域”--这意味着绝对连续漂移应该是非正的，对于优化器来说应该为零。考虑(3.5)，采用分项积分，并取消公因子E-βT后，得到0=SUPC-βVλ(x，y)+U(c)-Vλx(x，y)c+Vλx(x，y)rx+μ·DYVλ(x，y)+TR(σσ>DY)Vλ(x，y).（3.6）只要在任何时间允许的大宗交易中，该值函数只能减小:0≥SUPMNVλ(x-m·1d-λ，y+m)-Vλ(x，y)o,一旦突破无交易区域的边界，该不等式就会成为最优交易的等式。将其与（3.6）结合并切换符号得到动态规划方程:0=minnβvλ-Eu(vλx)-Lvλ，vλ-mvλo,（3.7）其中Eu(y)=SUPX>0(U(x)-xy)是效用函数U的凸对偶，二元论算子L被定义为asL=rxx+μ·dy+tr(σσ>dyy),M表示非局部干预算子M'A(x，y)=SUPm∈rd'A(x，y):(x，y)=(x-m·1d-λ，y+M)∈Kλ。3.3识别正确的缩放下一步是以较小的交易费用λ启发式地确定无摩擦解周围的最优无交易区域和相应的效用损失应该如何缩放。这可以通过修改[22，38]中的启发式论证来实现。实际上，任何交易成本的福利都是由两部分组成的，即由于实际交易而产生的直接成本和由于不得不偏离无摩擦最优而产生的替代损失。由于无摩擦值函数在其最大值附近是局部二次的，泰勒定理表明，对于任何只引起小位移x的小代价，位移e_ect应该是x阶的。其中，各种成本结构都包含在实际交易的损失中。比例交易成本导致局部时间型交易，其规模与非贸易区域宽度成反比[22,第3节]。这导致总福利损失成正比TOCx+λ/x，对于某个常数C>0。