社会贴现与长期利率

（22）在实践中，我们发现，即使在不收敛的情况下，证明1的条件也只是为了保证其收敛率具有良好的渐近性。为了在这里进行，我们需要发展一些数学工具，使我们能够在参数空间为r+的情况下，对这些运算应用于随机va r iables的参数族时，提供适当的上极限和下极限的一般证明。例如，我们考虑了一族指数ialrate{Rt,T+x}x∈r+x+mFt的情况，其中x=t-t是Musiela参数。通常的sup、inf、lim sup和lim inf运算在随机变量的可数集上逐点作用，并将这些可数集映射到随机变量上。在不可数的随机变量集的参数是R+而不是N的情况下，标准的定义需要适当地调整。为此，我们回顾一下Brie Comey关于随机变量集的所谓本质上确界的一些事实（Karatzas&Shreve 1998,Jeanblanc et al2009,Lamberton 2009,F-Ollmer&Schied 2011）。让R表示扩展实数。我们构造了一个概率空间(Ω,F,P）,对于某些指数集λ，我们设λ={ζ,λ∈λ}是由λ的元素标号的r-va随机变量的集合。可以证明（直到零集）存在一个惟一的r-va lued随机变量ζ,称为μ的本质上确，并表示为Essup或ess supλ,{ζ},其性质是f或任一r-va lued随机变量Z,它对于所有λ∈λ都认为Z≥ζ当且仅当Z≥ζ。这就是说，我们要求(a)对于所有λ∈λ都是ζ≥ζ,(b)如果Z是满足Z≥ζ的任意随机变量，则Z≥ζ。可以证明，存在一个可数子集{ζλn}n∈n多解，使得ess sup=SUPnζλn，其中上确界是在Ω上逐点取的。由settingess inf=ess infλ∈λ{ζλ}=-ess supλ∈λ{-ζλ}来修正参数的本质。具体地说，它证明了：(a)对于所有λ∈λ，ess inf≤ζ；(b)如果Z是任意r值随机变量，对于所有λ∈λ，Z≤ζ满足，则Z≤ess inf.当不存在混淆的危险时，我们可以用ess SUPλ∈λ{ζλ}的ess SUPλζ和ess INFλ∈λ{ζ}的ess INFλζ来缩写该表达式。我们说，如果对任意两个元素ζα，ζβ∑，都有一个满足ζγ≥max(ζα，ζβ)的元素ζγ∈，则一组随机变量ζ是有向的。可以证明，如果存在一个非递减序列{ζλn}n∈nin，则存在一个非递减序列，即ess supλ∈λ{ζλ}=SUPnζλn=limn→∞ζλn。例如，当λ=r+和态态是线性化的，即对于x≤y，ζx≤y，其中x，y∈r+时，就会出现这种情况。比较检验会产生有用的不等式。设A={Aλ}λ∈λ和B={Bλ}λ∈λ是由同一参数空间λ参数化的随机变量的包围。那么，如果对于所有λ∈λAλ≥Bλ，我们可以证明ess sup A≥ess sup B，因为对于所有λ∈λ，我们有ess sup A≥Aλ≥Bλ。通过对Essup的认识，如果Z≥Bλ，对于所有λ∈λ，我们有Z≥Esssup B。那么我们设Z=Esssup A,结果如下。同样地，我们有ess inf A≥ess inf B。显然，对于所有λ∈λ，我们有ess inf B≤Bλ≤Aλ。通过对ess inf的认识，如果Z≤Aλ对于所有λ∈λ，我们有Z≤ess inf A,那么我们设Z=ess inf B,结果如下。现在假定我们专门化到λ=R+的情形，并对para米空间的典型点写出x，y∈R+。然后，我们将Supx→∞ax=ess infx∈R+ess supy≥xay,(23)作为可数集经典定理lim supnan=infnsupm≥nama的推广。对于lim的本质扩张infnan=supninfm≥namwe definnelim infx→∞ax=ess supx∈R+ess infy≥xay。（24）如果本质上极限和本质下极限ar e相等，则得到的本质极限表示为limx→∞ax。

为了使表示法稍微不那么麻烦，当从上下文中可以清楚地看出需要操作的基本版本时，我们在lim sup、lim inf和lim前面取消了“ESS”。现在假设tha t A={Ax}x∈R+和B={Bx}x∈R+是由R+参数化的随机变量集。如果ax≥bx，对于所有x∈R+，则。lim sup A≥lim sup B和lim inf A≥lim inf B,其中lim sup和lim inf都被理解为上述的“ess”意义。ess sup和ess inf的定义取决于σ-代数的选择。这种选择并不总是被陈述出来，但通常会在上下文中显而易见。例如，在方程组(20)、(21)、(22)中，相关的σ-代数是Ft，因此渐近速率rt∞,lt∞,L(λ)t∞通过构造是Ft可测的。有了这些约定，我们就有了关于长指数率、长Libor率和长尾Pareto率的渐近运算的精确陈述。在接下来的工作中，我们需要以下有用的引理，它们是关于可数序列的众所周知的经典定理的基本扩展。在Lamberton(2009)中可以找到引理1在稍微更一般的条件下保持不变的一个版本。Doob(2001)附录IV，在一定程度上假设下，出现了一个变体ofLemma 2。给出相关陈述的条件版本将便于应用。我们构造了一个概率空间(Ω，F，P)，设G为子σ-代数。引理1。设{φx}x∈R+是一组非负可积随机变量，其性质为φx≥φy，如果x≥y，且E[ess SUPXφx]<∞。然后它持有supxeφxg=e ess supxφxg。（25）证明。由于集合{φx}x∈R+是有向的，所以存在一个序列{φxn}n∈N，且supxφx=supnφxn。利用单调收敛定理，我们得到supxφxg=e，supnφxn，g=supnehφxn，gi。（26）我们将证明(a)对于所有x≥0,supne[φxng]≥e[φxg]；(b)如果对于所有x≥0,Z≥e[φxg],则Z≥supne[φxng]。对于所有x≥0，我们有ess supxφx≥φx，因此supnφxn≥φx，因此E[supnφxng]≥E[φxg]，因此利用单调收敛定理supnE[φxng]≥E[φxg]，给出(a)。现在假设对于所有x≥0的情况，z≥e[φxg]。显然，对于所有n∈n，Z≥E[φxng]。通过对上确界的认识，我们有Z≥SUPNE[φxng]，这就给出了(b)。下面是supne[φxng]=ess supxe[φxg]，利用（26）我们得到（25）。引理2。设{ρx}x∈R+是一组非负可积随机变量，其性质为[lim infx→∞ρx]<∞。然后证明了lim infx→∞eπφxg≥Ehlim infx→∞φxgi。（27）证明。对于x≥0的每一个va lue，对于所有y≥x，我们有φy≥ess infy≥xφy(28)。对于所有的y≥x，取关于每边G的条件期望，我们Obtain[ψyg]≥e ess infy≥xψyg(29)。因此，通过对ess inf的认识，它认为ess infy≥XE[ψYG]≥E ess infy≥XψYG。（30）这是一个形式为Ax≥Bx的n不等式，其中{Ax}x∈R+和{Bx}x∈R+是Mg中的曲线。因此，我们得到了ess SUPxAx≥ess supxBx,fr om如下：ess supxess infy≥XE[ψyg]≥ess supxess infy≥Xψyg。（31）但是{ess infy≥xψy}x∈R+是一个向上向的非负随机变量集，所以byLemma 1我们有ess infy≥xψy g=e ess supxess infy≥xψy g,（32）由（31）给出ess inpxess infy≥xe[ψyg]≥e ess supxess infy≥xψy g,（33）即（27）,并由此得到证明。在我们所作的假设下，我们现在能够建立一套由各种长期利率所构成的一般关系。我们从以下命题开始：命题1。长指数率是无法证明的。我们希望证明Rt∞≥0。通过文献1的(c)部分和引理2,我们得到了0=lim infT→∞e[πt]=lim infT→∞e[et[πt]]=Ehlim infT→∞et[πt]i,（34）,由此我们推导出lim infT→∞et[πt]=0,从而lim infT→∞ptt=0,或者等价地利用Musiela参数lim infx→∞pt,t+x=0。

（35）另一方面，通过对方程（20）中给出的RT∞的认识，我们得到了Havert∞=-lim infx→∞x-1ln Pt,t+x。（36）现在很清楚Pt,t+x≥x-1 ln Pt,t+x=x≥1。因此，我们在MFTT中有一对曲线，由ax=Pt,t+x和bx=x-1ln Pt,t+x给出，使得x≥1时ax≥bx，由此我们得出lim infxax≥lim infxbx，从而得出lim infxPt,t+x≥lim infxx-1ln Pt,t+x。由（35）和（36）可知rt∞≥0。作为命题1和不等式（16）的结果，所有渐近的rat es都是正的，并且对于α>β我们有0≤rt∞≤L(α)t∞≤L(β)t∞。（37）长期指数利率和长期Libor利率之间的关系可以用以下方式更加明确地表述：命题2。若rt∞>0,则lt∞=∞；若lt∞<∞,则rt∞=0。证明。首先，我们观察到对于z∈(-1,∞)\\0}由φ(z)=Zln(1+z)(38)和对于z=0由φ(0)=1所定义的函数φ(z)是严格递减的。这可以通过使用inequalityln(1+z)>z/(1+z)来检查，它适用于所有z>-1。因此，对于所有x，y，L∈R，即y≥x>0且L>-y-1,我们有yln(1+yL)≤xln(1+xL)。（39）现在，通过方程(12)，对于x>0，我们得到t+x=xln(1+xLt,t+x)(40)，并且我们知道Lt，t+x>-x-1。对y≥x>0我们haveRt,t+y=yln(1+yLt,t+y)≤xln(1+xLt,t+y)。（41）对于已知x>0，我们在MFTT中有一对曲线，由AY=Y-1 ln(1+yLt,t+y)和by=X-1 ln(1+xLt,t+y)给出，对于所有y≥x,f rom,t等于AY≤by，因此supy≥xRt,t+y=ess supy≥xyln(1+yLt,t+y)≤ess supy≥xxln(1+xLt,t+y).我们得出结论：supy≤ess supy≥xyln(1+xLt,t+y)。（42）利用对数的单调性，我们可以将右项重排到supy≥xRt,t+y≤xln(1+xess supy≥xLt,t+y)。（43）同样，在MFT中，我们有一个涉及一对曲线的不等式系统。因此，(43)的每边都可以得到rt∞=lim supx→∞rt,t+x=ess infxessupy≥xRt,t+y≤ess infxxln(1+xess supy≥xLt,t+y)。（44）让我们在（44）的右边为t he t erm写J。通过对本质的认识，我们知道当x>0时，xln(1+xess supy≥xLt,t+y)≥J(45)。supy≥xLt,t+y≥x[exp(xJ)-1]。（46）现在假定J>0。如果将ess INFXS应用于上述不等式的每一边，则得到ess infxess supy≥xLt,T+Y=lim SUPX→∞LT,T+X=LT∞=∞。（47）因此，我们得出结论：如果lt∞<∞，则J≤0，因此rt∞≤0。但我们通过命题1知道rt∞≥0。因此，如果lt∞<∞我们有rt∞=0，如果rt∞>0，我们有lt∞=∞。我们留给读者去验证，从（14）开始，并使用一个类似于证明命题2时所用的论证，我们得到了与长尾函数和长尾函数有关的下列不等式。命题3。对于所有λ>0，它认为如果Rt∞>0，则L(λ)T∞=∞；而如果L(λ)T∞<∞，则Rt∞=0。那么在一般的尾帕累托率对的情况下，我们有：命题4。对于所有α，β∈(0，∞)使得α>β的情况，本文认为如果L(α)T∞>0，则L(β)T∞=∞；如果L(β)T∞<∞，则L(α)T∞=0。由（15）我们得到(α)t,t+x=αx-11+β-1×L(β)t,t+xβ/α-1。（48）现在，我们可以检查一下，对于p<1，对于x>0用μp(x)=x[(1+x)p-1](49)换出的函数μp(x)是严格递减的。因此，如果α>β，则对于y≥x，我们有αy-11+β-1y L(β)t,t+yβ/α-1≤αx-11+β-1xl(β)t,t+yβ/α-1。（50）对于x>0，我们在mFt中得到了一个包含一对曲线的不等式系统，由此我们得出sessupy≥xLαt,t+y=essupy≥xαy-1 1+β-1 y L(β)t,t+yβ/α-1(51)≤essupy≥xαx-1 1+β-1 x L(β)t,t+yβ/α-1,(52),因此由函数(1+x)的单调性得到supy≥xLαt,t+y≤αx-1“1+β-1 x essupy≥xL(β)t,t+yβ/α-1,t+yβ/α-1,t+yβ/α-1）在mFt中，我们又有一个涉及一对曲线的不等式系统。

因此，对（53）的每边应用infx，我们得到L(α)t∞=ess infxess supy≥xLαt,t+y≤ess infxαx-1″1+β-1×ess supy≥xL(β)t,t+yβ/α-1#！。（54）让我们为（54）的右侧写K。通过对本质的理解，我们得到αx-1″1+β-1×ess supy≥xL(β)t,t+yβ/α-1#≥K(55),对所有x>0的都有αx-1″1+β-1×ess supy≥xL(β)t,t+yβ/α-1#≥K(55)。supy≥xL(β)t,t+y≥βx-1H1+α-1xKα/β-1i。（56）现在假定K>0。由于α/β>1，如果我们对不等式（5-6）的每边应用ess infx，我们将得到ess infxess supy≥xL(β)t,t+y=lim supx→∞L(β)t,t+x=L(β)t∞=∞。（57）可以看出，如果L(β)T∞<∞则K≤0，因而L(α)T∞≤0。但是我们知道L(α)T∞≥0。因此，如果L(β)T∞<∞,我们有L(α)T∞=0,如果L(α)T∞>0,我们有L(β)T∞=∞。我们得出结论，期限结构模型可以根据其渐近结构进行分类，长指数率非消失的模型与长尾帕累托率非消失的模型是不同的。这导致我们重新考虑Dybvig等人的著名定理的地位。（1996）。DIR定理表明，长指数速率的动力学是严格约束的。但是，长尾帕累托利率中的一个是什么呢？是否受到类似的约束？这是我们着手研究的，因为一个nswer与社会折扣模型的构建有关。指数速率的渐近性我们将给出一个相当一般的形式Dybvig-Ingersoll-Ross定理的证明。本文的框架将与我们进行兴趣渐近分析的框架相同，如果我们从我们所做的假设的简要概要开始，将会很有帮助。我们(Ω，F，P)，其中P是真实世界的度量，加上一个市场值{Ft}t≥0。等式和不等式最肯定地支持P-a。我们得到了一个数值型核和一个相关定价核，满足(a)πt>0,(b)E[πt]<∞,(c)lim inft→∞E[πt]=0,符合定义1。在到期日交付一单位枚举值的贴现债券在时间t的价格由（9）给出。指数RATIs被（10）所取代，指数RT∞被（20）所取代。为了方便起见，我们设置xtt=exp(-rtt)，并写xt∞=exp(-rt∞)。在这些假设下，我们知道命题1对所有t≥0的rt∞≥0，因此xt∞是可积的。当t≥s≥0时，Rt∞≥rs∞当且仅为ife~(xt∞-xs∞)+=0。（58）在下面的论证中，我们将要求条件H-older不等式。设G是F在(Ω，F，P)上的子σ-代数。设A和B为随机变量，使得E[Ap]<∞和E[Bq]<∞,其中p,q满足1≤p<∞,1≤q<∞,p-1+q-1=1。然后我们就有了ab g≤e ap g.1/p.e bq g.1/q。（59）有了这些预备条件，我们就可以建立以下命题5。当t≥s≥0时，Rt∞≥Rs∞。证明。在所述假设下，我们希望t o证明（58）成立。根据（20）给出的frt∞的定义，我们得到了ext∞=lim infT→∞(PtT)t-t，(60)和[xt∞1(xt∞≥xs∞)]=Eshlim infT→∞(PtT)t-t1(xt∞≥xs∞)i=Eshlim infT→∞(πtpt)t-t1(xt∞≥xs∞)i=Eshlim infT→∞(πttpt)t-t1(xt∞≥xs∞)i，(61)。（62）利用引理2，我们得到[xt∞1(xt∞≥xs∞)]≤lim infT→∞esh(πtptt)t-t1(xt∞≥xs∞)i。（63）现在，通过条件H-older不等式，我们得到了(πTPTT)t-t1(xt∞≥xs∞)i≤es[πTPTT]t-tes[1(xt∞≥xs∞)]inter1-t-t=πt-ts(XsT)t-st-tes[1(xt∞≥xs∞)]inter1-t-t，(64)，其中在第二步中，我们使用πTPTT上的鞅le条件，以及pst=(XsT)t-s的事实。（65）此外，我们观察到t hatlim infT→∞πt-ts(XsT)t-st-tes[1(xt∞≥xs∞)](1-t-t=xs∞es[1(xt∞≥xs∞)]。（66）这可以通过取出现在（66）的每一侧的项的对数，并使用该对数是单调的f动作来交换左侧的lim inf和theln操作的or der来检查。

由此得到了(63)satis fieslim infT→∞esh(πtptt)t-t1(xt∞≥xs∞)i≤es[xs∞1(xt∞≥xs∞)]，(67)右侧的表达式，其中在(67)右侧我们使用了xs∞∈MFS的事实。我们由此建立了[(xt∞-xs∞)1(xt∞≥xs∞)]≤0,(68),由此if得到(58)ho lds,从而得到t≥s≥0的rt∞≥rs∞。DIR定理既适用于利率，也适用于名义利率，许多作者（Biagini&H-Artel 2012；Cairns 2004a,b；Deelstra 2000；El Karoui et al.19 98；Goldammer&Schmock 2012；Hubalek et al.2002；Ingersoll 2010；McCulloch 20 00；Kardaras&Platen 2012；Schulze 2 009；Yao 1999）讨论过，并提出了各种替代证明和g能量化。上面提出的定理的相当一般的版本在各个方面建立在Hubalek等人的论文上。(2002)，并通过(i)纳入Hubalek等人的“技术引理”的简短证明的要素来改进该工作的论点。（2002）由于Rogers和Tehranchi(2010)，(ii)遵循Goldammer和Schmock(2012)的建议，在指数长期利率的确定中使用了上限值，以及(iii)引入定价内核作为不存在套利的基础，这使得我们可以在P下框架论证，从而消除Hubalek等人使用的度量的各种变化。（2002）,Goldammer&Schmock（2012）等。除了第四节中介绍的指数利率和Libor利率之外，经常使用的另一种利率体系是所谓的零息利率体系。这些利率起源于这个行业，在那里它们被证明在掉期市场上很有用。零息票利率取决于一个实际的para meterκ>0，它具有反向时间的维度，并决定了一个“复合频率”。如果我们让t ime的单位是一年，那么κ=1代表年度复合，κ=2代表半年复合，以此类推。对于复合频率κ，零票面利率Z(κ)TT由关系式PTT=1+κZ(κ)TT-κ(T-T)确定。（69）对于任何一种债券，每年以相同的频率进行复合。在应用中，因子t-t有时被函数τ(T，T)代替，以处理日数约定（参见，例如，Brig o&Mercurio2007)，但这里不需要考虑这一点。对于已知的κ，r ates上的零政变和指数率之间的r elat，由RTT=κLN1+κZ(κ)TT，(70)给出，我们看到指数率和零政变率之间有一个一对一的r elat，它不依赖于基调。特别地，长指数率和长零息票大鼠e的值是一个对应关系，如果我们设Z(κ)T∞=lim supT→∞κp-1/κ(T-T)TT-1,(71),则得出RT∞=κLn1+κZ(κ)T∞。（72）从数学的角度来看，指数系统在某种程度上更容易使用，这可能是为什么后来的作者更愿意用Dybvig等人的r值来替换的原因。（1 996）在这个系统中。因为Dybvig等人。（1996）研究零票面利率（单位复合），而不是指数利率，我们发展了这两个系统之间的关系，以使关于指数利率的陈述可以由其翻译成关于零票面利率的陈述。由于对应关系是一对一的，即使在成熟的时候，也必须使用一个系统而不是另一个系统。通过等式（72）和命题5，我们特别看到长期零息票利率永远不会下降。人们应该顺便注意到，虽然这里的t在复合频率κ、以（69）为参数的零息票利率和尾帕累托r以指数λ、以（13）为参数的零息票利率之间具有超级相似性，但这些系统是不同的，它们的症状行为是独立的。

实际上，如果零息票系统中的复合频率通过将κTT=λ/(t-t)设置为tenordinated的形式，那么我们就得到了ta il-Pareto系统。TAIL-PARETO RATESTo的渐近性更好地揭示了Dire定理所隐含的利率的渐近性，对于研究确定性利率模型的情形是很有帮助的。其中一个发现，arbitrag e-free条件导致对长指数过程的强约束。我们有以下几点：命题6。在确定性利率模型中，长指数ra te是常数。证明。通过对指数率的认识，我们得到了对于0≤T<T的ptt=exp[-(t-t)rtt]和对于T≥0的p0t=exp[-tr0t]。在确定性利率系统的情况下，不存在ar位r年龄意味着PTT=P0T/P0T。下面是rtt=t r0t-tr0tt-t。（73）写R0∞=Limsupt→∞R0T,我们看到对于所有t≥0的情况，RT∞=R0∞。另一方面，在确定性社会贴现函数的情况下，相关的长期利率行为是完全不成立的。我们有：命题7。在确定性i-最大利率模型中，如果Libor长期利率是i-最大利率，则Libor长期利率是i-最大利率，且LT∞=P0TL0∞给出。证明了Libor长期利率是i-最大利率。根据Libor系统的规定，我们有PTT=1/[1+(t-t)LTT]。在不存在套利的情况下，我们有PTT=P0T/P0T，并且ForelTT=1+TL0T T L0T-tL0tT-T。（74）如果初始长率L0∞=lim supT→∞L0t=1/(lim infT→∞t P0T)是有限的，则对于所有t≥0的情况，Lt∞=lim supT→∞LTt=L0∞/(1+tL0t)是有限的。人们可以看到，如果长期Libor利率是固定的且不消失的，那么它就包含了初始期限结构的全部信息。更一般地说，我们有：命题8。在确定性利率模型中，如果ind exλ的长尾帕累托利率初始为零，则它在所有时间都为零，且给定b y L(λ)t∞=p1/λ0tl(λ)0∞。证明。通过对tail-Pareto系统的认识，我们得到了ptt=[1+λ-1(t-t)L(λ)tt]-λ。在确定性情况下，计算表明t hatL(λ)tt=1+λ-1 tL(λ)0t“t L(λ)0t-tl(λ)0tt-t#。（75）如果初始速率L(λ)0∞=lim supT→∞L(λ)0t=1/(lim infT→∞tλp0t)是给定的，则L(λ)t∞=lim supT→∞L(λ)Tt=L0∞/(1+λ-1TL(λ)0t)在所有t≥0时是给定的。考虑到这些事实，我们得到了一个广义半马丁格尔模型的定价核的条件，即当相关的贴现债券是指数λ∈(0，∞)的渐近尾帕累托时，保证所得到的利率系统是“社会的”。这一概念可以用以下方法精确地形式化：定义3。如果一个定价核{πT}t≥0,则称其为指数为λ的渐近尾帕累托核，如果它成立(A)Liminft→∞TλπT>0,(b)Liminft→∞E[TλπT]<∞,则得到如下结论：命题9。（socially-e-cient贴现债券系统）如果一个定价核具有指数λ，则对于所有t≥0，相关的d i s计数债券系统满足0<lim infT→∞tλptt<∞。（76）证明。为了建立（76）左手边的不等式，我们注意到，由第3的条件(a)，lim infT→∞tλπt>0,因此对于t≥0我们有ET[lim infT→∞tλπt]>0,这通过引理2意味着lim infT→∞tλet[πt]>0,因此lim infT→∞tλptt>0。为了建立（76）右边的不等式，我们观察到当πT>0时，lim infT→∞Tλptt<∞i？lim infT→∞Tλet[πT]<∞。然后我们注意到:ehlim infT→∞tλet[πt]i≤lim infT→∞e[tλπt]<∞,(77)，其中（77）中的第一个不等式后面是引理2和塔性质，第二个不等式后面是条件3的n(b)。由此我们得到（76）。提案10。（长尾-Pareto r ates）如果一个定价kerne l是指数为λ的尾-Pareto,则当t≥0时，其尾-Pareto率为0<l(λ)t∞<∞(78),并取形式l(λ)t∞=λ(πt/θt)1/λ，(79),其中{θt}t≥0是严格正上鞅证明。

根据第2项，即lim infT→∞TλPTT=lim infT→∞T+λ-11-TT L(λ)TT-λ，(80)，因此，通过对数的单调性，我们得到了NLIM infT→∞TλPTT=lim infT→∞ln T+λ-11-TT L(λ)TT-λ=-λln lim supT→∞T+λ-11-TT L(λ)TT=-λlnλ-1 lim supT→∞L(λ)TT。（81）重排t erms，我们利用命题9推导出ATL(λ)t∞=λhlim infT→∞tλptti-1/λ，(82)，由此（78）立即得到。利用引理2我们还看到(79)成立，其中θt:=lim infT→∞et[tλπt]≥et[lim infT→∞tλπt]>0,（83）。我们注意到，上面的严格不等式是通过第3项条件(a)得到的。最后，再利用引理2和塔性质，我们得到[θt]=es[lim infT→∞et[tλπt]]≤lim infT→∞es[tλπt]=θs，(84)，这使得我们可以得出{θt}是严格正上鞅的结论。八。社会贴现的利率模型事实证明，人们可以构造一组相当明确的例子，说明动态间关系模型承认社会贴现。这些例子是在Flesaker-Hughston理论中出现的所谓“理性”模型的变体（Bj-ork 2009,Brody&Hughston 2004,Brody et al.2012；Cairns 200 4a,b；Flesaker&Hughston 1996,1 998；Goldberg 1998；Hug hston&Rafailidis 2005；Hunt&Kennedy 2004；Jin&Glasserman2001；Musiela&Rutkowski 2005；Rutkowski 1997）。为了简单起见，我们考虑了一个渐近的“双曲”长率结构，对应于λ=1的情况。我们将严格正函数f:R+→R+\\{0}的空间写成λ+，使得{ft}t≥0∈C(R+)和lim inft→∞ft=0。f的导数将表示为f\'。用{Ft}定义概率空间(Ω，F，P)，并设{Mt}为t=0的严格正鞅。设{at},{bt}是满足Liminft→∞tat=a,Liminft→∞tbt=b的能量元,对于a,b∈R+,使得a+b>0。设初始折扣函数p0t=at+btbe为t≥0作为模型的输入。（long Libor利率状态变量模型的存在性）定价核πt=at+btMt决定了一个无套利的单因素利率模型，对于该模型，可以选择相应的状态变量为ei ther short ra te,给定rt=-ant+bnt MTat+btMt,(85),或者选择lon g Libor利率，给定bylt∞=at+btMta+bmt。（86）证明。在上述假设下，我们发现贴现债券体系的形式为PTT=AT+BTMTAT+BTMT。（87）计算表明，由（85）给出了短率rt=-(UPTU)u=TIS，由（86）给出了lo ngrate lt∞=1/lim infT→∞t PtTis。由于RTAs和LT∞都是Mt的有理函数，我们可以将这些关系反演得到Mtas是rtor的一个函数，从而使我们可以将PTAs是rtor的一个有理函数表示为LT∞的一个有理函数。事实上，我们发现贴现债券价格，当表示为短期利率的函数时，取formptt=(atb-bta)+(atb-btat)rtatb-bta，(88)，当表示为长期利率的函数时，取formptt=(atb-bta)+(atbt-btat)l-1t∞(atb-bta)。（89）因此，我们看到在RTA中PtTis是线性的，在LT∞中是反线性的。整个期限结构由单一利率驱动似乎是不合适的，但这是one-fa cto r设置的伪影，是许多利率模型的特征。事实上，无论他的特定模型在应用中是否直接有用，它确实证实了这样一个事实，即o ne可以构造完全动态的期限结构模型，承认长期利率可变状态，而且承认这种可能性似乎是社会贴现理论的一个特征。注意，我们没有假定{at}、{bt}、{tat}和{tbt}函数对于larg e t是收敛的。

在实际例子中，我们通常假设收敛，但上面的结构说明了这样一个事实，即理论在没有这样一个假设的情况下顺利地进行。同样，我们没有假设{at}和{bt}是递减的，所以原则上短期利率可以时不时地假设负值，这在实际利率率理论中并不是没有根据的。对于到期日，Libor利率也可以假设为负值。特别地，我们haveltt=t-t(at-at)+(bt-bt)mtat+btmt。（90）显然，如果在<bT<bT，那么负ive L ibor率可以是一个r ise。另一方面，对于名义利率体系的应用，o ne可以等于{at}和{bt}应该是递减的，在这种情况下利率是正的。还应该顺便注意，我们可以放弃{at}和{bt}应该是可执行的条件。然后，我们得到了一个长期利率状态变量模型fo，(86)和（89）仍然成立，即使短期利率没有被定义，在一个具有一般指数λ∈(0，∞)的尾Pareto定价核的比率l模型的情况下，其设置与双曲情况相当相似。我们设定价核为πt=at+btmt，其中{at}和{bt}是满足lim inft→∞tλat=a和lim inft→∞tλbt=b的λ+元素，对于a,b∈r+,使得a+b>0。为了方便起见，我们设置了_a=aλ-λ和_b=bλ-λ。然后，定价核心满足了第3个条件，并借助命题10得出了以下结论：命题12。（长尾-Pareto利率状态变量模型的存在性）在具有尾-Pareto定价核的单因素模型中，长尾-Pareto利率取形式L(λ)t∞=at+btmt a+bmt 1/λ，(91)并作为相关贴现债券系统的状态变量，该系统被给定为byptt=(atb-bt a）+(atbt-btat）(L(λ)t∞)-λ(atb-bt a）。（92）我们并不特别认为，对于每一个到期日T,债券价格与时间T的尾帕累托利率的幂值成反比，其中幂值由指数λ给出。作为期限结构的一个更现实的动态模型，可以如下构造一个基于短期利率和长期利率的无套利双因素状态变量模型的显式示例。设{Mt}a nd{Nt}是在t=0时归一为单位的一对严格正态矩阵。设{at},{bt},{ct}为λ+的元素，对于a,b,c满足yinglim inft→∞tat=a,lim inft→∞tbt=b,lim inft→∞tct=c，使得a+b+c>0。当t≥0时，给出初始项结构p0t=at+bt+ctbe。然后我们有：命题13。（长利率/短利率双因子状态变量模型的存在性）定价kern elπt=at+btmt+ctNt确定了一个双因子利率模型，其中状态变量包括s hort利率（给定rt=-at+btmt+ctNt+ctNt，93)和长Libor利率（给定bylt∞=at+btmt+ctNta+bmt+cnt）。（94）证明。在所述假设下，我们发现贴现债券体系是BYPTT=AT+BTMT+CTNTAT+BTMT+CTNT。（95）一个计算建立了形式（93）的rtis，以及形式（94）的LT∞。由于Usert、Lt∞是MT、Nt的有理函数，我们可以将这些关系反演得到RT、Lt∞的MT、Ntin项，从而可以表示RT、Lt∞的PtTin项。事实上，我们发现，当贴现债券价格表示为长期利率和短期利率的函数时，其形式如下:PTT=FTT+GTTRT+HTTL-1T∞,（96）其中，上面出现的三个确定性coe cient由FTT=(b\'tct-c\'tbt)at+(C\'tat-A\'tct)bt+(A\'tbt-b\'tat)cT(btc-atc)bt+(atb-bta)c）A NOT+(CTA-ATC)B NOT+(ATB-BTA)C NOT。（99）有趣的是，贴现函数在短期利率中是线性的，在长期利率中是反线性的。

这可以与单因素模型相比较，在单因素模型中，贴现函数可以表示为短期利率的线性函数，也可以表示为长期利率的反线性函数。的确令人吃惊的是，在一个双因素模型中，债券价格出现了这样一个简单的表达式，而且很明显，可以用同样的方法来发展该模型的n-fa模型。在一般情况下，债券价格可以表示为短期利率、长期利率和一个或多个中间利率的函数，而长期利率可以是ta il-Pareto型，这与命题12中所介绍的例子相同。为了保持一般性，我们没有在上面所考虑的任何例子中强加马尔可夫性质，事实上，整个框架是非马尔可夫的。然而，构造马尔可夫的显式例子是很简单的。例如，如果我们设命题1,1和12中的正鞅是几何布朗运动（具有确定性的随时间变化的挥发物），那么所得到的模型就是马尔可夫模型。特别地，可以证明长率状态变量遵循Brody&Hughston2004例4.2所讨论的特殊的“多项式”类型（具有二次波动性和三次漂移）的离散过程。同样，通过设命题13中的正鞅为几何布朗运动，我们可以构造一个短率和长率共同作用于离散过程的双因子马尔可夫模型。在这方面，我们赞同Dybvig等人的一个令人惊讶的结论。用他们的话说，(2006)是：构建期限结构模型的理论家应该把结果作为一个警告，在一个无套利的文本中，可以对利率做出什么假设。例如，假设长期零息票利率或远期利率遵循一个固定的过程必然意味着套利，利率可以作为多因素离散期限结构重塑中的一个因素。对此，我们可以补充一个进一步的警告，即理论家应该注意到任何可能建立在期限结构模型渐近行为中的隐含假设。应该强调，另一方面，DIR定理与允许Libor利率长尾和无套利模型的存在完全相容，因为在这种模型中，长期的零票面利率消失了。在英国财政部发布的《绿皮书：中央政府的评估和评价》，附件6（2 003版，2011年7月更新）中，可以找到一个相当明确的关于社会贴现的规定性使用的例子，该绿皮书提供了一个在英国社会项目提案评估中不同时期使用的相关STPRS（“社会时间优惠率”）表。规定的利率（通常按指数计算）范围从30年期的3.5%到31至75年期的3%，然后是76至125年期的2.5%，以此类推，301年期的1%再次保持不变。

根据Ramsey(1928)的一个众所周知的公式，在计算30年STPR时，采用了附件6所述的Brie Comey的计算方法：灾变率约为1%，纯时间偏好率约为0.5%，弹性调整增长率约为2%，合计3.5%；在第10项（“长期贴现率”标题下）中，有人说：如果对一项建议的评价在很大程度上取决于长期贴现率，这个例子说明，至少在目前，社会贴现模型的输入参数不能很容易地被液体市场上可用的价格所抵消，事实上，在构建任何长期利率模型时，确定如何进行校准和估计仍然是一个具有挑战性的问题。然而，鉴于发行的长期票据稳步增加，市场不变，人们不应过于气馁。新的市场需要时间来发展，人们也许应该记得，在20世纪80年代美元互换市场出现之前，名义利率的evensimple模型的系统市场校准范围相当有限。同时，我们有一个可以用于模拟研究、情景分析和价格报价的工具。最后值得一提的是，虽然我们所描述的理论主要是为了应用于非常长期的erm社会项目而构建的，由此产生的模型原则上也适用于涉及中长期财务合同的事项--例如，与养老基金估值和非寿险索赔储备相关的公关业务，在某种程度上，这些业务往往超出了流动性的范围，但肯定需要合理的监管和风险管理。在这种情况下，社会贴现的一个因素的应用往往会导致人们认识到需要更高水平的养老金缴款和保险费。这在国家资助的计划中尤其如此。承认作者感谢I.Buckley、M.G.r.asselli、t.Hurd、S.Jaimungal、a.Kirman、M.udkovski,E.Mackie,D.Madan,D.Meier,B.Meister,T.Pennanen,M.Pistorius,T.津本，H.图恩特，J.祖贝利，和英国Mat hematicalFinance研讨会的与会者，伦敦国王学院（2013年6月），商品、能源和环境融资重点方案，多伦多菲尔兹研究所（2013年8月）、伦敦布鲁内尔大学金融数学进展（2013年9月）、多伦多菲尔兹研究所新经济思维数学研讨会（2013年11月）、里约热内卢期权研究（2013年12月）、伦敦第三届WBS利率会议（2014年3月）、卡萨布兰卡证券交易所（2014年5月）、布鲁塞尔第八届巴切利耶金融学会世界大会（2014年6月）、巴黎伦敦-巴黎巴切利耶数学金融研讨会（2014年9月）和圣彼得堡ITMO大学（2014年11月），会上介绍了该工作的初步版本，以征求有益的意见。参考文献[1]Acz\'el,J.1 966函数方程及其应用讲座（纽约：学术出版社）[2]Arrow,K.J.1995年代际公平和长期社会投资中的折价问题。《当代经济问题：经济行为与设计》。Sertel（编辑）,4,89-102（纽约：Basingstoke和Macmillan）.[3]Arrow,K.J.,Cline,W.R.,Maler,K-G,Munasinghe,M.,Squitieri,R.&Stiglitz,J.