社会贴现与长期利率

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摘要翻译：
著名的Dybvig，Ingersoll和Ross定理表明，长期的零票面利率永远不会下降。这一结果虽然无疑是正确的，但被许多人认为是令人惊讶的，它源于长期贴现函数具有指数尾巴的隐含假设。我们在现代利率理论的背景下重新审视这个问题，并表明如果长期的“简单”利率（或Libor利率）是有限的，那么这个利率（不像零息利率）作为一个状态变量是可行的，它的值可以随其他经济指标随机波动。在此假设及其某些推广下，构造了新的利率模型，明确地说明了由此产生的贴现债券系统的良好渐近行为。这种“双曲线”和“广义双曲线”长期利率存在的必要条件是所谓的社会贴现，这种贴现允许长期现金流与短期或中期现金流一样“重要”。因此，我们能够为长期社会项目（如与可持续能源、资源保护和气候变化有关的项目）的成本效益分析和风险管理提供一个一致的无套利估值框架。
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英文标题：
《Social Discounting and the Long Rate of Interest》
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作者：
Dorje C. Brody and Lane P. Hughston
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最新提交年份：
2015
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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英文摘要：
  The well-known theorem of Dybvig, Ingersoll and Ross shows that the long zero-coupon rate can never fall. This result, which, although undoubtedly correct, has been regarded by many as surprising, stems from the implicit assumption that the long-term discount function has an exponential tail. We revisit the problem in the setting of modern interest rate theory, and show that if the long \"simple\" interest rate (or Libor rate) is finite, then this rate (unlike the zero-coupon rate) acts viably as a state variable, the value of which can fluctuate randomly in line with other economic indicators. New interest rate models are constructed, under this hypothesis and certain generalizations thereof, that illustrate explicitly the good asymptotic behaviour of the resulting discount bond systems. The conditions necessary for the existence of such \"hyperbolic\" and \"generalized hyperbolic\" long rates are those of so-called social discounting, which allow for long-term cash flows to be treated as broadly \"just as important\" as those of the short or medium term. As a consequence, we are able to provide a consistent arbitrage-free valuation framework for the cost-benefit analysis and risk management of long-term social projects, such as those associated with sustainable energy, resource conservation, and climate change.
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关键词：Quantitative Applications Differential Conservation QUANTITATIV

社会贴现与InterestDorje C.Brody1,2和Lane P.Hughston1,2,3数学系Brunel University,Uxbridge UB8 3ph,UKSt Petersburg National Research University of Information Technologies,Mechanics and Optics,49 Kronverksky Avenue,Stt Petersburg 197101,Russian Department of Mathical,University College London,London WC1E 6BT,UK（日期：2018年8月24日）gersoll and Ross中著名的Dybvig定理表明这一结论虽然无疑是正确的，但被许多人认为是令人惊讶的，它源于一个隐含的假设，即长期贴现函数有一个指数尾巴。我们重新审视了现代利率理论中的这一问题，指出如果长期的“简单”利率（或Libor利率）是有限的，那么这个利率（不像零息利率）就可以作为一个状态变量，它的值可以随其他经济指标的变化而随机增加。在此假设下构造了新的利率模型，并对其作了一定的推广，这些模型清楚地说明了由此产生的贴现债券系统的渐近性态。这种“双曲线”和“广义双曲线”长期利率存在的必要条件是所谓的社会贴现，这种贴现允许将长期现金短缺与短期或中期现金短缺“同等重要”。因此，我们致力于为可持续能源、资源保护和气候变化等长期社会项目的成本分析和风险管理提供一个一致的无套利估值框架。关键词：利率模型、Dybvig-Ingersoll-Ross定理、长期利率、社会贴现、定价核、双曲贴现函数、递减贴现率。引言本文的目的是提出一种适用于解决与长期社会项目估价和评估有关的利率风险var方面的模型。这类项目的规划对我们理解利率理论提出了重大挑战。问题是：我们应该如何对一组现金流进行贴现，以使所得的现值能够合理地用于决定是否为一个产生这些现金流的长期社会项目提供资金？如果使用指数贴现系数，那么在遥远的未来发生的一个很大的现金流可能会因此被分配给一些人可能认为不公平的低现值，以证明资助该项目所涉及的成本是合理的。或者，如果项目旨在防止在遥远的未来出现相当于一个大的负现金流的情况，那么，与预防成本相比，通过指数贴现，人们打算避免的损失的现值可能看起来小得不成比例。这是一个社会政治性质的问题，不容易解决。当一个人在考虑未来几代人的收益的现值时，他不能把这个问题看作是对自己将获得的延迟收益的现值进行计算的问题。贴现必须像一个人是未来的受托人一样进行。但是，要求一个人应该完全为子孙后代而活，为遥远的未来而工作，同时过着紧缩的生活，这是太过分了，所以必须达成妥协。折中的办法是“社会折扣”。在实际中，这意味着使用一个贴现函数{P0t}t>0，它对于大t不像对于某些“指数”比率r>0的p0t_(e)-rt，而是更温和地像对于某些指数λ>0和某些“广义双曲”比率L>0的p0t_(1+λ-1lt)-λ。

在这种情况下，我们说{P0t}t>0是一个社会贴现函数，并且是渐近的广义hyperbol i c型或tail-Pareto型。但是对于具有这种性质的利率，有可能建立一致的数学模型吗？在价值的主要决定因素之一是贴现因子的情况下，是否有可能为项目的估价建立一个动态框架？我们能否考虑到这样一个事实，即折扣系数可能随着社会态度的变化或新信息的到来而适时增加，这些信息可能会损害当前和未来资源分配的平衡？我们的目标是为这些问题的正面回答提供基础。本文的结构如下。在第二节中，我们讨论了指数贴现的利弊，并提出了一些社会贴现的a r纪念碑。指数系统是有利的，因为它的简单性和事实，它是时间一致的。我们观察到，如果一个无套利的贴现函数系统是时间一致的，那么它是指数的，具有常数的速率。然而，在实际应用中，我们需要允许系统具有随机动力学，并允许输入一个本质上是仲裁的初始折扣函数。要求贴现函数的长端为尾帕累托型是否一致？社会贴现的论据分为两类。首先，我们有规范性论证。这些都是道德、伦理和政治性质的。这些论点很有说服力，但没有得到普遍的支持，而且很难用科学的语言来表述。然而，巨大的纪念碑确实为在一个严格的框架内发展社会折扣理论提供了一个任务，以使其原则能够在需要的情况下得到一致的应用。其次，有一种观点认为，社会贴现是由于社会的集合作用而产生的。事实是否如此值得商榷；但是，如果一个社会所组成的大多数个人都是短缺者，那么就应该应用社会贴现这一论据而言，总结性的观点是很重要的。我们给出了一个简单而有用的aggr egation的例子，它也自然地引出一类重要的社会贴现函数，即那些渐近行为是上面提到的tail-Pareto型的社会贴现函数。另一方面，如果一个人在一定时间内聚集了一定数量的个人的偏好，每个人都是指数贴现者，那么聚集的贴现函数本身是渐近指数的，所得的渐近率等于各个个人应用的最低贴现率。Weitzman(1998)提出的这一观点被用来证明，人们可以在应用中使用指数贴现，并且适当的渐近速率应该是原则上可以达到的最低的amo ng。魏茨曼的论点，乍一看，对那些希望利用低指数贴现率来评估社会项目估值的人来说，似乎是一种安慰，一旦有人要求没有套利，就会成为一种耻辱。特别是，在确定性利率模型中，没有套利意味着长期指数利率必须是常数。在考虑指数折扣数的集合的情况下，这个常数确实是集合的各种比率中的最低比率；但这一结果一般是正确的，并且不依赖于聚集的e-效应。总之，长指数速率没有动态性。在一般的套利树随机利率模型中，长指数利率的行为也是有约束的。

一个是所谓的DIR定理(Dybvig，Ingersoll&Ross，1996):长指数率永远不会下降。长期指数率的退化行为使长期项目估价中指数折现的使用变得复杂，因为它意味着人们不能使用长期指数率作为状态变量。这似乎与直觉背道而驰，因为我们愿意认为，长鼠e应该利用，应该适应变化的环境，应该重新创造新信息的接收。特别是，如果长期利率下降，我们现在无法计划未来会如何反应，也无法对冲这种可能性。在本文中，我们展示了如何通过使用社会贴现来解决这个问题。我们将争辩说，长期指数率不是一个人应该在适当的地方考虑的率--长期指数率应该被理解为取值为零，而注意力应该集中在更适合构建社会折扣动态模型的长期兴趣上。考虑到这个方案，在第三节中，我们考虑长期投资项目的估值。我们采用了一种定价核方法，在定义1中给出的最小a ssumptionslaid下，研究了设想一个项目在某个遥远的时间T产生一个随机实际现金的理想化情况。现金表表示项目产生的收益。在任何较早的时间t≥0（其中t=0是现在）的pr oject的价值由定价公式（8）给出，在单位现金的情况下，我们得到单位折扣债券tha t在t到期时的价格PTTT。在第四节中，我们对与折扣债券系统相关的各种利率进行了分析，并讨论了它们之间的关系。这些特别包括指数（或连续复合）利率RTT，以及Libor（或简单）利率LTT。值得注意的是，在我们的一般分析中，我们没有必要假设短期利率或瞬时远期利率系统的存在。在结论2中，我们引入了一族“尾帕累托”率，以L(λ)tT为标号，以参数λ∈(0，∞)为索引。尾帕累托率在社会折扣模型的发展中起着关键的作用。在第五节中，我们介绍了相关的渐近率，并发展了一些在一般情况下一致处理长率所必需的血液工具。渐近率是根据Golda mmer&Schmock(2012)提出的长指数ial率的处理方法，通过使用上界来定义的。对于指数利率，我们写出RT∞；对于长Libor利率，我们写出LT∞；对于指数为λ的长尾Pareto利率，我们写出L(λ)T∞。在命题1中，我们证明了长指数ra t e是非负的。这个结果是在第1(c)部分中引入的“横截性”条件的一般形式的结果。在命题2中，我们观察到如果rt∞>0,则lt∞=∞；如果lt∞<∞,则rt∞=0；在Pro位置3和4中，我们给出了tail-Pareto率的类似关系。这些结果表明，根据贴现债券系统的渐近性质，利率模型存在一个新的层次。在第六节，建议5中，我们证明了DIR定理的一个较一般的版本，扩展了Hubalek等人的结果。(2002)，其框架使得在极小假设下，比较长指数利率与长Libor和长尾帕累托利率的性质成为可能。在第六章第一节中，我们表明，与受高度约束的lo ngexp onential利率相比，LON Libor和tail-Pareto利率是动态的。

这个性质在无套利确定性模型中很明显：命题6、7和8,我们证明了在确定性模型（无论初始期限结构如何）中，长指数利率是常数，而长Libor和长尾利率是可变的，并且由特定的初始期限结构决定。然后，我们考虑了如何确定定价核所必须满足的渐近条件，以确保所得到的折扣函数系统是sociallye-cient的问题。本文针对贴现债券系统是渐近的Libor或尾帕累托型的情形，提出了一个解决这个问题的方法，并在定义3中引入了尾帕累托型定价核的思想，从而得到了命题9和命题10。由此，我们得出结论：为了在短期设定中发展社会贴现理论，将长指数利率设定为零，就必须要求定价核具有确保利率系统是渐近的尾帕累托型的性质。在这一原则的基础上，我们在第八节中构建了一些明确的社会利率模型的例子，这些模型是动态的和套利的。特别地，在命题11中，我们给出了一个由正鞅驱动的单因素有理模型的例子。该模型包含两个确定性函数，它们可以以确保社会贴现性质的方式进行选择。Libor长期利率可以显式地计算出来，我们证明它可以作为一个状态变量f或模型。在命题12中，构造了一族允许任一sp ECI指数的长t ail-Pareto率作为状态变量的interestrate模型。最后，在命题13中，我们构造了一个显式的社会贴现双因素模型，其中短期利率和长期利率都作为状态变量。相当惊人的是，由此产生的债券价格在短期内变成线性，而在长期利率中变成反线性。因此，双因素模型具有很高的可处理性，因此可以作为实际实现、模拟研究和情景分析的可能起点。社会折扣方面不久前，在英国《金融时报》(Warrel 2013）的一篇文章中，据说安德鲁·霍尔丹，然后是英格兰银行的金融稳定主任，在一次关于高等教育在促进经济中的作用的会议上，他告诉代表们如下：我们知道，金融市场对在遥远的未来产生回报的长期项目的折扣太大，以至于其中一些项目可能不会在金融市场启动。霍尔丹的言论表明了悬而未决的问题的重要性，以及关于折扣函数形式的争论，该函数应该用于对长期项目的成本/收益分析或社会收益。其核心是当未来消费收益与当前消费收益不相同时，作为理性决策基础的标准贴现消费效用模型的不足。为此目的使用指数贴现函数，加上贴现率，是有问题的，因为即使贴现率的值很小，连续复合也会使在遥远的未来获得的收益的表现价值几乎为零。因此，对于如何实施长期风险管理贴现，人们提出了各种不同的建议并付诸实施。

似乎，或者说，人们认为，出于社会目的，需要“双曲线”形式的贴现，在这种情况下，贴现的r值是适用利率的时间间隔的递减函数，其结果是增加未来收益的重要性。suchan方法的真正意义是什么，它在科学上有意义吗？许多作者对这一讨论的各个方面做出了贡献，包括例如Arrow(1995)，Arow et al。(1996)，Azfar(1999)，Chichilnisky(1996)，Farmer&Geanakoplos(2009)，Gollier(2002a，b)，G.r.oomet a l.(2005)、哈维(1994)、亨德森和贝特曼(1995)、朱尼等人。(2010)、Laibson(1997)、Lengwiler(2005)、Lind(1997)、Loewenstein&Prelec(1992)、Nocetti等人例如，(2008)、Reinschmidt(2002)、Schelling(1995)和Weitzman(1998，2001)。关于长期贴现函数选择的争论可以用不同的方法来解决。人们可以简单地假设贴现函数是指数函数，而问题是利率的确定。然后，贴现率的选择就成了政治上有争议的意见被引导的一根杆子。指数折扣函数具有“时间一致”的首选状态。设时间0表示现在，对发生在timeT>t的单位现金的值a t时间t≥0写PTTT。让初始折扣函数已知。假定(a){P0T}T>0是T的连续f项，(b)lim infT→∞P0T=0,这使得初始折扣函数具有良好的渐近性态，而不必要求它在大T时收敛。当ptt=P0,t-t=T>T≥0时，我们可以说一个折扣函数系统是时间一致的。那么，在没有rbitrage的情况下，一个折扣函数系统是时间一致的当且仅当ptt=e-r(t-t)对于某个常数r>0。对于满足f(0)=1和lim infx→∞f(x)=0的连续函数f:r+→[0,∞)，ptt=P0,t-t，因而ptt=f(T)，f(T)/f(T)不存在套利意味着ptt=p0t/p0t，因此f(t-t)=f(T)/f(T)。设x=t-t，得到柯西函数方程f(T+x)=f(T)f(x)。我们可以证明，对于任意有理的K，t，泛函方程意味着对于某种实的r，f(K)=exp(-rk)。(i)Letm是一个整数，nd集t=1/m，x=1-1/m。然后f(1)=f(1/m)f(1-1/m)，并且通过迭代f(1)=f(1/m)m，或者等效地f(1/m)=f(1)1/m。(ii)下，设n为整数，设T=n/m,a nd T=1/m。观察f(n/m)=f(n/m-1/m)f(1/m)，然后通过迭代f(n/m)=f(1/m)n。最后，结合(i)和(ii)，我们得到f(n/m)=f(1)n/m，现求出r=-ln f(1)。那么f(n/m)=exp(-rn/m)，因此对于所有的有理K>0来说f(K)=exp(-rk)。对于所有的实x≥0，通过连续性得到f(x)=exp(-rx)。因此ptt=e-r(t-t)，并且为了保证lim infx→∞f(x)=0，我们要求r>0。事实上，Cauchy函数方程可以在可测性下单独求解，而没有连续性(ACZ′EL 1966,Letac 1978）。因此，如果初始贴现函数是可测量的，那么套利和时间一致性的缺乏意味着贴现系数是指数的。然而，长期的指数贴现是有问题的：如果在特定时期就指数贴现系数的选择达成一致，那么在较长时期内以同样的速度产生的贴现可能过于严重，导致这样一种情况，即一个项目在200年后为社会带来好处，而另一个项目在300年后为社会带来同样好处，而另一个项目却被拒绝。

为什么生活在200年后的人比生活在300年后的人更好？有一个思想流派可以追溯到拉姆齐(1928)，最近在斯特恩（2007）中得到代表，它坚持认为在代际分配问题中应该很少或不应用“纯时间折扣”--并且认为在决策过程中纳入纯时间折扣的唯一正当理由是考虑到灾难将阻止实现proj ect fr om的好处的可能性。如果人们认为这样的灾难是不可预测的--战争、自然灾害、或中止项目的政治决定--那么使用一个具有恒定贴现率的指数贴现率来考虑这种可能性可能是合理的。灾害风险产生的长期贴现类似于信用风险产生的短期贴现，与时间偏好产生的短期贴现是分开的，应该纳入描述利率的随机变量中。或者，如果考虑到金融市场的主导因素，我们可以完全拒绝贴现函数必须是时间一致的。对于每一个金融市场以外的到期日，贴现函数是由社会对自身长期和短期收益的权重决定的，这是有争议的。一个负责任的社会将在这样的权重中分配一个合理的平衡，允许未来没有投票权，现在必须以公平的方式行事，无论是代表未来还是为了未来。关于代际分配问题的这一观点似乎得到了她的广泛支持（例如，见箭头1 995）。除了这些规范性考虑之外，也有人提出了这样一种观点，即社会贴现可能起源于聚合的副产品。为了了解这是如何工作的，我们构建了下面的模型，尽管它很简单，但它有一些令人惊讶的特性。设R是取值于R+的随机变量，并考虑随机折扣函数{e-rt}t>0。我们将R a s解释为异质总体中与个体随机选择相关的贴现率，人们可以认为p0t=z∞e-rtμ(dr)(1)是该总体的“聚合”贴现率函数。这里μ(dr)=P(R∈dr)是R+与R相关联的概率测度。因此，R代表了s对贴现率应该是多少的不同观点，而aggr egate贴现率函数是通过对群体中不同成员的观点进行平均得到的。例如，如果μ(dr)=PIPIδRI(dr)，其中δRI(dr)是以rifor i=1,2为中心的狄拉克测度。.，n，其中p，p，···，pna是满足pipi=1的非负数，t hen p0t=pipie-rit,下面是L\'H Opital的r ule thatr∞:=-limt→∞tln p0t=miniri。（2）我们看到任何指数折扣的集合都是渐近的，并且渐近率是在一定条件下各个体的最小率。Weitzman(1998)在此基础上提出，遥远的未来应该以尽可能低的速度贴现。另一方面，如果我们对某个平均利率L>0的R设μ(dr)=1{R≥0}l-1e-r/ldr,我们发现p0t=1+lt。（3）换句话说，用指数分布扩展贴现率的e-ect是总的贴现率函数是所谓的双曲型。等价地，如果我们知道总体由指数折扣组成，但如果我们只知道他们的观点是他们的平均折扣率是L，t，从信息理论的角度来看，折扣函数的最小偏差模型由（3）给出。

作为suchprobability加权贴现的另一个例子(Brody&Hughston2001，2002；Weitzman2001)，考虑了R具有g amma分布的情况，其形式为μ(dr)=1{R>0}à[λ]θλRλ-1e-θrdr，(4),其中θ,λ>0。计算表明，贴现函数为P0t=[θ/(θ+t)]λ,形状指数λ,尺度参数θ。如果我们设置θ=λ/L，我们得到关键表达式p0t=1+λ-1ltλ。（5）因此，我们得到了广义双曲型（Harvey 1986,1994；Loewenstein&Prelec 1992）的双参数贴现函数族，其特征是具有恒定年化利率L的Groat项结构，假设在债券的寿命内以fr等式λ复利(λ不必是整数）。例如，如果λ=2，那么对于到期日t，我们在一段时间内以年化利率L进行简单贴现，然后通过第二次应用相同的贴现因子将其复合，得到p0t。λ=1（双曲折现）的情况是简单基础上的波动率，而极限λ→∞给出了连续复数基础上的波动率。就固定λ而言，短期债券的年复利频率高于长期债券的年复利频率。对于给定的利率L,增加λ是为了深化贴现。贴现函数作为尾部分布的解释(Brody&Hughston2001，2002)可以放在一个更一般的背景下，包括上面举的特例。在概率空间(Ω，F，P)上，设随机变量R满足R>0，则存在一个随机时间τ，使得F或所有t≥0，我们有P(τ>t)=e-e-rt。（6）证明如下。设Z为标准指数分布随机变量，具有R和Z相互独立的性质，且设τ=Z/R。则我们有p(τ>t)=E[1{Z∈(tR，∞)}]=ez∞1{Z∈(tR，∞)}e-zdz=e-e-tr。（7）如果R允许指数矩，因此在其尾部分布中是“小的”，那么τ=z/R具有“重的”尾部分布(C\'Inlar2011，第2章，62-63)。这解释了当我们在指数范围内聚合时，如何产生有效的折现函数。折现可以采取重尾折现函数的形式。社会折扣是否可以完全建立在综合论证的基础上，这是一个悬而未决的问题；似乎最终必须发挥某种形式的规范作用--这最终是我们作为一个社会必须做出的积极决定，以将社会折扣化为行动。然而，聚合确实具有增强论据的作用，支持在为长期项目提供资金的决策过程中使用社会贴现。通过上述论证，对于总折扣的那个要素，对可能发生外部规模的不同观点的集合将产生一个社会折扣函数，而不是指数折扣函数。长期项目的估值为进一步研究问题，我们着手考虑项目估值和评估的原则，以考虑项目长期收益的情况。我们的目标是分离问题中那些与如何建立所感兴趣的长时间模型相关的方面。我们认为，长期项目投资的成本/收益分析和风险管理可以在该框架内制定，就像一般情况下的投资/收益分析和风险管理一样。这可能涉及为分析成熟市场而开发的各种概念；但是，任何处理长期投资的努力都将涉及一些这样的理想化--如果一个人假设是精确的而不是模糊的，这不应该被视为一种缺陷。我们对一个满足“通常条件”的投资{Ft}t≥0的概率空间(Ω，F，P)进行投资。这里P表示真实世界的度量。

随机变量之间的等式和不等式被理解为具有p-几乎肯定性。对于P下关于fts的条件期望，我们写ET[·]；对于ft-可测的r-va lued（扩展）随机变量空间，我们写mft.价格通常以实际价格表示。价格过程采用C`ADL`AG半鞅模型。为了保证不存在仲裁ge，我们假设存在一个既定的定价核（stocha stic贴现因子，状态-价格密度）。所谓定价核，是指一个{Ft}自适应的c`adl`a g半马项a l e{πt}t≥0满足(a)πt>0,(b)e[πt]<∞,(c)lim inft→∞e[πt]=0,即如果一个具有价值过程{St}t≥0的资产提供一个有界现金，则它在时间t≥0时的价值为byst=1{t<t}πtet[πtht]。（8）在一个长期的社会项目的情况下，上面概述的估值原则是否适用可能并不明显，因为所涉及的理想化在某些方面超出了目前所理解的资产定价理论的有效性。然而，我们知道，如果定价算子是线性的，并且满足一些简单的一致性条件(Rogers1998，Jobert&Rogers2006)，那么它一定是（8）的形式。如果一个项目规模很大，它的成功或对经济的影响很大（而不仅仅是扰动），那么人们可能会认为线性定价算子的使用是不合适的。例如，如果在全球范围内开展气候变化项目，就可能属于这一类别。我们把这些问题放在一边，本着这一精神来研究项目的长期价值评估问题，希望至少能得到一些启示。在一个长期项目中，这种现象已经很明显了，该项目在某个遥远的时间产生了一个单独的payo，HTat。现实项目中涉及的现金供应更加复杂，但主要的概念问题出现在这个问题的简单版本中。不言而喻，当一个人试图对与遥远未来的任何方面有关的概率分配进行建模时，就会出现不确定性。利率体系关于定价核心模型在利率理论中应用的概述，见Hunt&Kennedy(2004)。当所谓的贴现债券（或零息债券）t在t处生成一个单位的实际现金流时，根据（8）给出了t处的价格，对于t<t,Byptt=πtet[πt](9),对于t≥t,ptt=0,其中limt→tptt=1。然后，对于每个T≥0，对所有T≥0的priceprocess{PtT}进行修改。债券初始价格为P0T。当t接近t时，价格接近1,然后在t处突然下降到零，当1的本金以单一现金的形式出现时，债券ha s va lue为零。贴现债券系统的渐近性质最好通过考虑与之相关的各种利率系统来寻求。因此，如果我们回顾相关的规定，可能会有所帮助（例如，参见Brigo&Mercurio2007，Filipovi\'c2009)。所谓的连续复合（或指数）率RtTis在0≤t<t下由关系式ionptt=exp[-(t-t)rtt]计算。（10）接下来，我们将所谓的L ibor利率（或“简单”利率）LTT定义为0≤t<t旁路=1+(t-t)LTT。(11)LTTIS和RtTis之间的关系一般依赖于语旨。更详细地说，我们有VERTT=t-tln(1+(t-t)LtT)。（12）对数不等式ln x≥1-x-1对所有x>0都有效，如果x6=1，则为严格不等式，意味着ln ptt≥1-p-1 tt，因此-(t-t)-1 ln ptt≤(t-t)-1(p-1 tt-1)。因此，我们得到了RTT≤LtT，当两个速率都消失时，它使a s是一个严格的不等式例外。

也许很明显，连续复合利率应该低于Libor利率，但请记住，不等式RTT≤LtTremains即使在利率为负值时也是真实的。在接下来的工作中，引入一个利率的参数fa mily，在指数利率和Libor利率之间进行某种意义上的插值，这是有用的，这意味着tail-Pareto（或广义双曲）利率。Tail-Pareto利率在社会贴现的一般无套利利率模型的发展中具有重要意义。对于指数λ>0的每一种选择，0≤t<t的尾帕累托率L(λ)tTis用关系式ptt=“1+λ-1(t-t)L(λ)tt#λ。（13）注意，如果我们把t=0 a nd假定tail-Pareto率L(λ)0tis proat(constant）crossmaturity，则o ne被引回到广义双曲型贴现函数（5）。因此，尾部帕累托利率渐近良好的利率模型可能成为考虑社会贴现的动态模型的可行候选者。TheLibor系统由λ=1给出。对于0≤t<t的t、t，以及对于α，β>0，利率RtT、L(α)tT和L(β)tT中的任意两个可以表示为彼此的函数。特别地，我们有:tT=λt-tln1+λ-1(t-t)L(λ)tT(14)和L(α)tT=αt-t1+β-1(t-t)L(β)tTβ/α-1。（15）那么，检验如果α>β>0，我们Havertt≤L(α)Tt≤L(β)Tt是一个练习。（16）为了得到左边的不等式，在ln z≥1-z-1中插入z=p-1/αtt，经过一些重排后，结果如下。对于右不等式，设函数Φ(z，λ)=λ(z-1/λ-1)(17)为z>0和λ>0。通过对数不等式的计算表明，对于所有z>0和λ>0的情况，Φ(z,λ)λ=-z-1/λln z-1/λ-(1-1/z-1/λ)<0(18)。但是L(λ)tt=(t-t)-1Φ(PtT,λ)，(19)和从（18）可知，尾帕累托率随λ的增加而减小。利率的渐近性质有了这些事实，我们就可以研究利率的渐近性质了。使用定价核函数的一个优点是，人们能够避免在利率的渐近分析中使用度量变化函数可能出现的潜在陷阱(Delbaen1993,Karatzas&Shreve1998,section 1.7）。由于各种长期利率可以被定义，我们需要理解它们彼此之间的关系。例如，假设RTT在某种意义上收敛于一个长期指数利率RT∞,而LTT同样收敛于一个长期Libor利率LT∞。然后看一下（12）至少可以启发式地表明，如果lt∞是非负的，那么rt∞一定是负的，如果rt∞严格为正，那么lt∞一定是正的。我们的目标是理解这些陈述为真的意义，并研究其结果。然而，从观察中产生了一个微妙的现象，即尽管它通常在文学中被假定（例如在Hubalek等人中）。200 2）对于大成熟度的指数率RTT应该收敛，长指数率的t heory可以在一般情况下发展（Goldammer&Schmock 2012）,其中收敛性放宽，长指数率ra t e被Byrt∞=lim supT→∞-t-tln ptt定义为rt∞=lim supT→∞-t-tln ptt。（20）在f法案中，利率的一般理论在某些方面更加透明，没有指数利率收敛的假设。将这一原理贯彻到社会贴现的情况中，从而得出Libor的长利率BYLT∞=lim supT→∞T-T P-1 TT-1。（21）类似地，对于长尾Pareto率，我们写出(λ)t∞=lim supT→∞λt-tp-1/λt-1。