具有违约和死亡风险的动态期限结构模型 关于存在性和单调性的结果

而且，定理3.2证明映射H7→exp(h)是局部Lipschitz,因此，针对(33)，对于所有h存在一个常数L≥0，即Kexp(h)-exp(h)Kβ≤Lkh-HKβ,因此，通过估计（30）和（33）,（34）,对于所有的h,h∈hβ我们得到Kα(h)-α(h)Kβ≤ZgKγ(h，x))-exp(-Iγ(h，x))-exp(-Iγ(h，x))Kβ～f(dx)+ZgK(γ(h，x))Kβ～f(dx)≤ZgKγ(h，x)-Iγ(h，x)Kβ～f(dx)KβLKIγ(h，x)-Iγ(h，x)Kβ～f(dx)+ZgMKH-HKβC(1+KIγ(h，x)Kβ～f(dx))P(CKIγ(h，x)Kβ)～F(dx)≤MLKIK+MC(1+kIkM)exp(CkIkM)～F(G)KH-HKβ，表明α是Lipschitz连续的。为了处理映射α，我们准备了一个单独的辅助结果。对于(ω,t)∈Ω×R+和任意有界可测映射:I→hβ我们得到α(ω,t)(h)(ζ,η):=f(ω,t)(η)z(x)(ζ,η)xH(0,ω(t)+x)dx，对于h∈hβ和(ζ,η)∈R+×[0,1]。引理3.5。（1）对于所有(ω，t)∈Ω×R+和任意有界可测映射:I→hβ,我们有α(ω，t)(hβ))hβ。（2）存在一个常数N>0,使得对于所有(ω，t)∈Ω×R+和任意有界可测映射:I→hβ,我们有Kα(ω，t)(h)Kβ≤nk K∞Khkβ,h∈hβ。（40）18 THORSTEN SCHMIDT和STEFAN Tapperpropy。我们x(ω,t)∈Ω×R+和一个有界可测映射:I→hβ。此外，设h∈hβ是任意的。让我们来确定α(ω，t)(h)的偏导数。偏导数ζ由ζα(ω，t)(h)给出，η)=f(ω，t)(η)zζ(x)(ζ,η)XH(0,ω(t)+x)dx,偏导数η由ηα(ω，t)(h)给出，η)=(f(ω，t)(η))(ζ,η)XH(0,ω(t)+f(ω，t)(η))+f(ω，t)(η)zη(x)(ζ,η)XH(0,ω(t)+x)dx,二阶导数ζ由ζηα(ω，t)(h)(ζ,η)=ζ(f(ω，t)(η))(ζ,η)XH(0,ω(t)+f(ω，t)(η))+f(ω，t)(η)zζη(x)(ζ,η)XH(0,ω(t)+x)dx。特别是，我们有ζα(ω，t)(h)(ζ,通过定理3.2的估计(29)，我们得到了(f(ω，t)(η))(0,η)XH(0,ω(t)+f(ω,t)(η))dη≤SUPX∈IK(x)(0,·)KL∞([0,1])ZηH(0,ω(t)+f(ω,t)(η))dη≤csupx∈ik(x)kβzηh(0,η)dη≤ck k∞khkβ,我们得到Z F(ω，t)(η)Zη(x)(0,η)XH(0,ω(t)+x)dx dη≤z1-ω(t)zη(x)(0,η)XH(0,ω(t)+x)dxdη=1-ω(t)z xh(0,ω(t)+x)zη(x)(0,η)dηdx≤1-ω(t)z xh(0,ω(t)+x)k(x)kβdx≤kk∞zηh(0,η)Dη≤KK∞KHKβ。对于每一个偶合η∈[0]的存在性和单调性19，1]我们有ζ(f(ω，t)(η))(ζ,η)=ζ(f(ω，t)(η))(ζ,0)+ηzζη(f(ω，t)(η))(ζ,(η)dη，它意味着∞zζ(f(ω，t)(η))(ζ,η)Eβζdζ≤2∞Zζ(f(ω，t)(η))(ζ,0)Eβζdζ+2∞ZηZζη(f(ω，t)(η))(ζ,η)dηeβζdζ≤2k(f(ω，t)(η))kβ+2∞zzζη(f(ω，t)(η))(ζ,η)dηeβζdζ≤4k(f(ω，t)(η))kβ≤4kk∞。因此，我们得到了∞zzζ(f(ω，t)(η))(ζ,η)XH(0,ω(t)+f(ω,t)(η))dηeβζdζ≤zxh(0,ω(t)+f(ω，t)(η))∞zζ(f(ω，t)(η))(ζ,η)eβζdζdη≤4k k∞zηh(0,η)dη≤4k k∞khkβ。此外，我们得到了∞zz f(ω,t)(η)zζη(x)(ζ,η)xh(0,ω(t)+x)dx dηeβζdζ≤∞zz 1-ω(t)zζη(x)(ζ,η)xh(0,ω(t)+x)dxdηeβζdζ≤1-ω(t)zxh(0,ω(t)+x)zxh(0,ω(t)+x)zzζηzzζη=1-ω(t)zxh(0,ω(t)+x)zx(0，ω(t)+x)zzζ）zxh(0,ω(t)+x)k(x)kβdx≤kk∞zηh(0,η)dη≤kk∞khkβ。考虑到范数k·kβ的定义(28)，本文给出了证明。现在，我们将证明α是局部Lipschitz的，并满足了线性增长条件。命题3.6。（1）我们有α(Ω×R+×hβ)lhβ.20 THORSTEN SCHMIDT和STEFAN TAPPE(2)对于每个n∈n存在一个常数ln≥0,即对于所有(ω，t)∈Ω×R+和所有h，h∈hβ,Khkβ≤n,存在一个常数ln≥0,即Kα(ω，t，h)-α(ω，t，h)Kβ≤lnkh-hk。（3）对于所有(ω，t，h)∈Ω×R+×hβ存在一个常数K≥0,即Kα(ω，t，h)Kβ≤kkhkβ。我们将映射定义为(h，x):=δ(h，x)exp(-Iδ(h，x))，(h，x)∈hβ×I.正如引理3.4所证明的，我们证明了(h，β×I)hβ存在，且存在一个附加项m>0，使得对于所有x∈I，我们有k(h，x)Kβ≤m,h∈hβk(h，x)-(h，x)Kβ≤m kh-HKβ,h,h∈hβ。特别地，对于每个h∈hβ，映射(h，·):I→hβ是有界可测的。此外，对于所有(ω，t，h)∈Ω×R+×hβ，我们有α(ω，t)(h)=α(h，·)(ω，t)。设(ω，t)∈Ω×R+是任意的。

通过引理3.5我们有α(ω，t)(hβ)ghβ,foreach h∈hβ我们有kα(ω，t)(h)kβ=kα(h，·)(ω，t)(h)kβ≤nk(h，·)kHKβ，对于所有h，h∈hβ我们得到）Kβ≤nk(h,·)-(h,·)k∞KHKβ+nk(h,·)k∞KH-HKβ≤nmKH-HKβKHKβ+nmKH-HKβ。结合引理3.3和3.4给出了证明。现在，我们准备好提供定理3.3的证明。定理3.3的证明。根据定理3.2，存在另一个可分的Hilbert空间Hβ，一个C-群(Ut)t∈ron Hβ和连续线性算子`∈L(Hβ,Hβ)，π∈L(Hβ,Hβ)，πUt`=St对于所有的t∈R+。因此，通过virtueof条件（32）和命题3.6，从Tappe(2012b，定理4.5）得到了SPDE(38)的温和解的存在唯一性。4.债券价格P(t，t，η)相对于质量η的正单调性是一个值得注意的模型特征。我们将看到，它是由远期利率的正性所暗示的。我们继续在假设(A1\')下工作，使得损失过程L由（19）给出。此外，我们研究了SPDE在（27）中给出的远期汇率，并假定漂移条件是充分的，即（37）成立。期限结构模型（6）被称为单调模型，如果对所有0≤T≤T和0≤η≤η≤1我们有P(T,T,η)≤P(T,T,η)=1。由于我们研究了鞅测度Q下的远期利率动态，贴现债券价格是局部鞅。如果它们是偶数真鞅，那么单调性直接作为我们即将得到的结果的结果。存在性与单调性21命题4.2。考虑0≤η≤η≤1和T≥0,并假定（DtP（T,T,ηi))0≤T≤tare鞅，对于i=1,2。然后，对于所有t∈[0,t]，我们得到P(t,t,η)≤P(t,t,η)=1。设t∈[0,t]是任意的。通过识别贴现过程D是正的。鞅性质和表示式（20）得到了p(t,t,ηi)=eq dtdt{lt≤ηi}ft,i=1,2。此外，对于所有y∈R我们有1{y≤η}≤1{y≤η}。因此，条件期望的单调性给出了结果。为了证明远期汇率的正性，我们引入了非负函数hβasp={h∈hβ:h(ζ,η)≥0对于所有(ζ,η)∈R+×[0,1]}的闭凸锥。如果对于所有h∈P，我们对于所有t≥0有veq(rt∈P)=1，其中(rt)t≥0表示具有r=h的SPDE(27)的温和解，则称为保正性。现在，我们将证明保正性蕴涵了该期限结构模型的单调性。命题4.4。如果期限结构模型族（27）是正性保持的，则对于每个h∈P，期限结构模型（6）是单调的。证明。设H∈P是任意的，用(rt)表示，t≥0表示具有r=h的SPDE(27)的温和解。利用正性保持性质，我们得到了(ζ,η)∈R+×[0,1]=1,且(t,η)∈R+×[0,1]是任意的。我们将证明贴现的(T，η)债券价格过程是一个真鞅：首先，(22)和（23）证明了命题3.1给出了过程(DtP(T，T，η))0≤T≤tis是一个局部鞅。此外，通过表示式(20)，我们得到了DtP(T，T，η)=e-rtru(0,1)du{lt≤η}e-rt-trt(u,η)du,T∈[0,T].因此，我们得到了0≤DtP(T,T,η)≤1{lt≤η}≤1,T∈[0,T]，从而(DtP(T,ζ,η))0≤T≤tis是一个真鞅。应用命题4.2对证明进行了修改。现在，我们将推导出SPDE(27)的特征COEσ、γ和δ三个条件下的正性保持性的条件。定理4.5。假定σ∈C(hβ；L(hβ))，且映射H7→XJ∈NdσJ(h)σJ(h)在hβ上是Lipschitz连续的。

再者，我们假定对于所有j∈N，我们有σj(h)(ζ,η)=0，对于所有h∈P和(ζ,η)∈R+×[0,1]用h(ζ,η)=0(41)并且对于~f-几乎所有x∈G和所有y∈I，我们有h+γ(h,x)+δ(h,y)∈P,对所有h∈P,(42)γ(h,x)(ζ,η)=0,对所有h∈P和(ζ,η)∈R+×[0,1],h(ζ,η)=0,(43)δ(h,y)(ζ,η)=0,对所有h∈P和(ζ,η)∈R+×[0,1],h(ζ,η)=0。（44）22 THORSTEN SCHMIDT和STEFAN TAPPEThen,证明了项结构模型族（27）是正性保持的。由于SPDE(27)的漂移项α:Ω×R+×hβ→hβ由（37）给出，条件(41)、(43)和（44）得到了对于所有(ω，t)∈Ω×R+我们有α(ω，t，h)(ζ,η)=0,对于所有h∈P和(ζ,η)∈R+×[0,1]，h(ζ,η)=0。因此，如Filipovi c,Tappe和Teichmann（2010,Section 4）一样，给出了期限结构模型族（27）的正性保持性。5.示例在本节中，我们将说明我们的一般方法的应用。我们讨论了在债务抵押债券模型中的应用，从而推广了Filipovi\'c、Overbeck和Schmidt(2011)和Schmidt和Zabczyk(2012)。此后，我们在自上而下的设置中考虑了较少特定的投资组合信用风险模型，并在特定维度的信用风险模型中考虑了相关的模型。最后，我们给出了遵循Tappe和Weber(2013)的随机死亡率模型。CDO期限结构建模。在本节中，(T，η)-债券信用风险市场的一般模型应用于信用风险工具的组合。这个市场上典型的衍生品是债务抵押债券（CDO）和单批CDO。我们展示了CDO市场的自上而下的方法是如何嵌入到这里考虑的更普遍的环境中的。从数学上讲，CDO是N个信用风险工具组合的衍生品。每一种工具都有一个相关联的名义，我们可以肯定总的名义是一个。用L=(Lt)t≥0表示一段时间内累积损失的过程。这是一个纯粹的跳跃过程，在池中的默认情况下，通过发生的损失向上跳跃。当总标称为1，则对于所有t≥0的lt∈[0,1]。通过I:=[0,1]，我们表示可达到的损失分数的集合，在I为整数的情况下可以类似地考虑。为了便于CDO市场的数学分析，我们引入了(T，η)债券。A（T,η)-债券在到期日T支付1{LT≤η}。因此，在我们的设置中{τη>t}={LT≤η}。对于η=1，我们得到P(t,t,1)=:P(t,t）,它等于无风险债券。证券化机制将CDO池分成几个部分，这些部分具有一定的风险，并作为在CDOPOOL上进行交易的工具。单档CDO(STCDO)由下列条件规定：若干未来交易日期t<t<···<Tn，o上下分离点x,x指定档位(x，x]ni，o规定掉期利率κ.Seth(x):=(x-x)+-(x-x)+=z(x，x]{x≤y}dy。则STCDO的支付方案可描述为：投资者在此STCDO中获得κH(LTi)在Ti,I=1,。..,n,o在任何时间t∈(t,Tn]时支付H(lt-)-H(Lt),当lt6=0（即。当adefault发生时）。它已经在Filipovi\'c中显示，奥弗贝克，和施密特（2011年，引理4.1)STCDO的bya Fubini型参数价格可以直接表示为（T,存在性和单调性23.关于没有套利，我们假定L satis fireslt=tzze{ls-+\'s(x)≤1}\'s(x)μ(ds,dx)，(45),其中`是一个非负的可预测过程，使得对于所有t≥0它保持rt{ls-+\'s(x)≤1}\'s(x)Fs(dx)ds<∞（活动性）.则L是一个非递减的纯跳过程，其值为i。此外，指示过程（1{lt≤η}）t≥0是c`adl`ag,具有强度(46)λ(t,η):=Ft({x∈E:lt-+`t(x)>η}）即(47)MT:=1{LT≤η}+TZ{LS≤η}λ(s,η)dsis是鞅。另外，当λ(t，1)=0时，λ(t，η)在η中呈递减趋势。

当τη:=inf{t≥0:lt>η}时，我们得到了(20):p(t,t,η)=1{lt≤η}exp-tztf(t,u,η)du中的（t,η)-键的解析链接。作为推论，我们得到了漂移条件对本文所考虑的有限维结构的推广。这个结果直接来自命题3.1和推论5.1。假设(A2)-(A5)和（45）成立。则Q是ELMM，当且仅当α(t，t，η)=xj∈nσj(t，t，η)∑j(t，t，η)-zeγ(t，t，η，x)e-à(t，t，η，x){LT-+`t(x)≤η}-1ft(dx)(48)rt(0，η)=rt+λ(t，η)，(49)其中（48）和（49）在{LT≤η}上成立，Q dt-a.s。接下来，我们将讨论该模型正性的条件，并由此讨论单调性。如果对于所有j∈N我们有σj(h)(ζ,η)=0,对于所有h∈P和(ζ,η)∈R+×[0,1],而对于所有x∈E我们有h+γ(h,x)∈P,对于所有h∈P,γ(h,x)(ζ,η)=0,对于所有h∈P和(ζ,η)∈R+×[0,1],那么正性保持性是有的，这是由定理4.5.5.2得到的。信贷投资组合的自上而下模型。在下一个示例中，我们指定模型的aclass，其中我们考虑有序的默认时间。这通常被称为自上而下的方法，并简化了模型的分析。在这方面，考虑一个由N个信用风险工具组成的投资组合。我们用σ，表示它们的默认时间。...,σn。本文研究了关联计数过程bylt:=nnxi=1{σI≤t}.24 THORSTEN SCHMIDT和STEFAN TAPPELetting I={0,n-1,...,1},得到了Lwith势垒η∈I,τη:=inf{t≥0:lt≥η}的关联命中次数等于序缺省次数σ(1)，..，σ(N)（如果没有联合默认值发生）。因此，整个投资组合及其损失过程可以通过考虑(T，η)-债券的期限结构和有序违约时间{τη:η∈I}.分析存在信用风险的维度市场。在这一节中，我们介绍了一个承担信用风险的大型金融市场的一般模型。我们基本构造了一个基于内密度的模型。基于强度的模型在文献中进行了深入的研究，详见Bielecki和Rutkowski(2002)或Filipovi\'c(2009)。考虑一个具有可计数的多个公司的市场，并设置I=n，每个公司η∈I都有违约风险，我们用τη表示其违约时间。假定每个τη是一个（Ft）停止时间。我们假定对于每一个η存在一个负的可选过程(λ(t,η))t≥0,这样，tmη(t):=1{τη>t}+tz{τη≥s}λ(s,η)dsis是一个鞅。过程(λ(t,η))称为公司缺省强度η。我们将随机测度μ*与缺省时间联系起来如下：标记空间F={0,1}∞由单位向量e,e,跨越。..和μ*(A×B):=xη∈I:eη∈Bδτη(A)，A∈B(R+)，B=F，其中δt表示时间t的狄拉克测度。我们推导出fut(B):=xη∈I:Eη∈Bλ(t,η),得到了μut(dt,dx)-futut(dx)dt是补偿泊松随机测度。假定E=F×G，其中G是齐次泊松随机测度～μ的标记空间。我们设置μ=μ*~μ，并获得一个由默认值驱动的模型，该模型可能会从~μR进一步跳变。请注意(A1)是给定的：{τη>t}=1-1{τη≤t}=1-μ*([0,t]×{eη}）=1-tz{τη≥s}ZE{F×{eη}}(x)μ(ds,dx),选择β(s,η,x)=-1{F×{eη}}(x)得到所需的表示（8）。市场为每个价格用P（t,t,η)表示的公司交易债券，我们假定它们遵循（6）中给出的远期利率的HJM表示。这个模型包含在我们的设置中，这样我们所有的结果都可以应用。特别是，单个公司的违约强度可以依赖于过去市场上违约的次数，因此可以包括自我激励等特征（见Giesecke、Spiliopoulos和Sowers(2013)关于具有这一特征的有限维市场的说明）。随机死亡率模型。在这一节中，我们将在随机死亡率模型的背景下，说明从第4节中发展起来的关于正性和单调性的方法。

在续篇中，我们遵循Tappe和Weber(2013)的框架，我们参考了进一步的细节。对于一些更大的σ-代数G F来说，在-η∈R≤0=I出生的个体的死亡由G-可测的时间τη:Ω→(-η，∞)表示。t≥0的背景信息包含了所有的可能性信息，但没有关于死亡事件的确切时间的信息。我们定义生存过程G(t，t，η):=P(τη>t Ft)，对于t≤t，我们定义前向生存过程G(t，t，η):=P(τη>t Ft)=E[G(t，t，η)Ft]是在日期t对出生在日期-η的个体中存活到未来日期t的部分的最佳预测。然后向前生存过程变成了Martingales，这允许我们将这种方法与我们的设置联系起来，在这里NAFL等效于考虑等效的局部鞅测度。在这方面，我们可以这样做：在完成参数(t，t，η)7→(t，t-t，η+t)=:(t，x，ζ）的Musiela类型变换后，我们可以将其模型化为一个spdedμt=(x-ζ）μt+α(μt)^dt+σ(μt)dwt+zeδ(μt-,y)(μ(dt，dy)-(dy)dt)，其中状态空间H是一个由曲面H:→R组成的可分Hilbert空间，其区域为(du={(x，ζ)∈R+×R:-ζ≤x}。正向生存过程在以下形式中起着债券价格的作用:g(t,t,η)=F(η)exp-tzμs:/t(s,η)ds,0≤t≤t.由于生存过程的鞅性质，我们得到了一个类似于无违约债券市场的HJM漂移条件αt(x,ζ）=xk∈nσkt(x,ζ）xzσkt(u,ζ）du-zeδt(x,ζ,y）exp-xzδt(u,ζ,y）du-1'A(dy)的漂移条件。与第4节一样，我们可以对该SPDE的正性保持性给出适当的α、σ、δ条件。由这些死亡率计算的生存过程满足0≤G(t,t,η)≤1。因此，它们不仅是局部的，甚至是真实的，因此，根据命题4.2，死亡率模型是单调的。ReferencesBarski，M.(2013)。CDO期限结构模型的单调性。WorkingPaper.Barski，M.，J.Jakubowski和J.Zabczyk(2011)。关于债券市场的不完全性。数学。Finance 21（3）,541-556.Barski,M.和J.Zabczyk（2012）。带L\'Evy扰动的Heath-Jarrow-Morton-Musiela方程。J.双方程253（9）,2657-2697。Bielecki,T.和M.Rutkowski（2000）。默认termstructure的多重评等模型。数学金融10,125-139。Bielecki,T.和M.Rutkowski（2002）。信用风险：建模、估值和对冲。斯普林格·弗拉格。柏林海德堡纽约。Bj-ork，T.，G.B.Di Masi，Y.Kabanov和W.J.Runggaldier(1997)。债券市场通论。金融与随机1,141-174.26参考文献Carmona,R.和M.Tehranchi（2004）。利率未定权益套期保值投资组合的特征。应用概率年鉴14，126 7-1294。Carmona,R.A.和M.R.Tehranchi（2006）。利率模型：一个内在维度随机分析的观点。施普林格金融。柏林：Springerverlag.da Prato,G.和J.Zabczyk(1992)。n维随机方程组。剑桥大学出版社。De Donno,M.和M.Pratelli（2005）。债券市场的随机积分理论。应用概率年鉴15，2773-2791，Dellacherie,C.和P.A.Meyer(1982)。可能性和潜力。赫尔曼：Paris.Eberlein，E.and F.-ozkan(2003)。违约期限结构：利率和重组。数学金融13,277-300.Ekeland,I.和E.Ta Touin(2005)。债券投资组合理论。安。probab应用。15（2）,1260-1305.Filipovi C，D.(2001)。Heath-Jarrow-Morton模型的一致性问题，数学课堂讲稿第1760卷。斯普林格·弗拉格。柏林，海德堡，纽约。Filipovi,D.（2009）。期限结构模型：研究生课程。斯普林格·弗拉格。柏林海德堡纽约。Filipovi\'C，D，L.Overbeck和T.Schmidt(2011)。

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