具有违约和死亡风险的动态期限结构模型 关于存在性和单调性的结果

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摘要翻译：
本文考虑了一般的期限结构模型，如投资组合、信用风险模型和人寿保险模型中出现的期限结构模型。从无穷多个布朗运动和整数随机测度驱动的远期利率族出发，推广了文献中已有的方法，给出了一个一般模型。在此基础上，我们导出了在所考虑的市场上不存在渐近免费午餐的漂移条件。给出了存在性结果。在实践中，具有一定单调性的模型是有利的，我们研究了保证这一点的一般条件。通过一些实例说明了该设置。
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英文标题：
《Dynamic Term Structure Modelling with Default and Mortality Risk: New
  Results on Existence and Monotonicity》
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作者：
Stefan Tappe, and Thorsten Schmidt
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最新提交年份：
2013
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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英文摘要：
  This paper considers general term structure models like the ones appearing in portfolio credit risk modelling or life insurance. We give a general model starting from families of forward rates driven by infinitely many Brownian motions and an integer-valued random measure, generalizing existing approaches in the literature. Then we derive drift conditions which are equivalent to no asymptotic free lunch on the considered market. Existence results are also given. In practice, models possessing a certain monotonicity are favorable and we study general conditions which guarantee this. The setup is illustrated with some examples.
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关键词：结构模型 期限结构 存在性 单调性 Generalizing

具有违约和死亡风险的动态期限结构模型：关于存在性和单调性的新结果--Thorsten SCHMIDT和STEFAN TappeAbstract。本文考虑了一般的期限结构模型，如投资组合、信用风险模型和人寿保险模型。我们给出了一个一般的模型，它是由一个整数值随机测度和一个完全由多个布朗运动驱动的远期汇率族出发的，推广了文献中已有的方法。在此基础上，我们导出了在所考虑的市场上不存在渐近免费午餐的漂移条件。同时给出了存在值。在实践中，具有一定单调性的模型是有利的，我们研究了保证这一点的一般条件。通过实例说明了这一设置。关键字。大的债券市场，没有渐近的免费午餐，违约风险，人寿保险，有限维模型，远期利差的期限结构，标记点过程，单调性，随机部分间接等式1。引言在不存在信用风险的情况下，文献研究中有许多文献，如Bj-ork、Di Masi、Kabanov和Runggaldier(1997)、Filipovi\'c(2001)、-ozkan和Schmidt(2005)、Ekeland和Ta Douin(2005)、Schmidt(2006)、Carmona和Tehranchi(2006)、Jakubowski和Zabczyk(2007)、Barski、Jakubowski和Zabczyk(2011)和Barski和Zabczyk(2012)等。本文研究了这类市场的一般描述：我们考虑了formP(t，t，η)的债券价格，其中Otes成熟度和η∈I表示质量指数。这可以指期限结构模型的信用质量，因为它是所谓的评级方法（见Jarrow,Lando,and Turnbull(1997)、Bielecki andRutkowski(2000)和Eberlein and-ozkan(2003))。或者，它可以在信贷组合模型和抵押债务义务的背景下扮演已经发生的损失数量的角色（参见Filipovi\'c、Overbeck、Schmidt(2011)和其中的参考资料）。在人寿保险领域，η表示被保险人的年龄，并如Tappe和Weber(2013)所述，建立了年龄越大生存概率越高的模型。市场或清算影响的模型也有类似的结构，比较Jarrow和Roch（2013）最近的方法。本质上，我们只假设债券价格是非负的，并且在T和η中具有弱正则性。这使得我们可以在musielaparametization中考虑远期利率模型，即p(t，t，η)=I(t)expt-tzr(t，u，η)du；这里I是当债券价格为零时的一个指标为零。这是将r建模为希尔伯特空间值随机过程的起点。日期：2013年6月25日。2 THORSTEN SCHMIDT和STEFAN通过一个随机偏微分方程（SPDEs）得到。债券价格市场无疑是一个巨大的市场，它允许我们利用Klein(2000)中引入的无渐近免费午餐(NAFL)的众所周知的概念。在这方面，市场满足了一个适当的NAFL公式当且仅当存在一个等价的局部鞅测度(ELMM)。使一个测度为ELMM的条件遵循Heath，Jarrow和Morton(1992)的方法，并根据波动性给出漂移，这就是为什么它们被称为漂移条件。在我们的案例中，我们发现需要两个条件，一个是经典漂移条件的推广到我们更普遍的设置，第二个是将债券的瞬时收益率与瞬时风险和无风险收益率联系起来。事实证明，这第二个条件使得获得显式模型变得非常困难。在这方面，我们考虑了一个特殊的设置，在这个设置中，我们可以获得existenceresults。我们分两步进行：利用inJacod(1975)对标记点过程鞅问题的结果，得到一个行驶质量指数过程的存在性。

然后，我们利用Tappe(2012b)的技术，得到了当漂移条件满足时，保证r存在唯一的theSPDE温和解的条件。从实际的观点来看，质量较低的键应该比质量较高的键便宜是很自然的。正如我们所讨论的，这通常不是由于没有套利而暗示的。然而，如果利率是非负的，或者更一般地，债券价格是鞅的，那么债券的Payo s在信用质量方面是单调的，这一事实立即就给出了单调性，因为预期是单调算子。更一般地说，我们证明了如果模型保持等正性，那么单调性就随之而来。最后，我们给出了产生保正期限结构的条件。相关结果出现在Barski(2013)中。本文的组织结构如下：在介绍了第二节的结构后，我们详细讨论了本文所考虑的无套利的概念。特别地，我们导出了上述漂移条件。第3节涉及存在性，第4节涉及实证性和单调性。在第5节中，我们给出了一些例子来说明这些结果。无套利期限结构移动：考虑一个给定的概率空间(Ω，F，(Ft)t≥0，P)，其中给定的概率空间(Ft)t≥0满足通常的条件，即它是右连续的，并且包含F的所有空集。我们考虑一个债券交易的市场。T-债券是一种或有债权，它承诺在到期日T时支付一单位货币的利息。我们用P(T，T)表示时间T≤T时T键的价格。这种债券被称为无风险ifP(P(T，T)=1)=1。随机过程(P(t，t)0≤t≤t)描述了t-债券随时间的演化。与无风险债券相比，我们考虑了一个更一般的框架，其中债券带有额外的质量指标η。在这方面，我们考虑一族期限结构模型(P(t,t,η))0≤t≤t:t≥0,η∈I具有一定的区间或可数集I purr。为了我们的目的，典型的选择是I=[0,1]。指数η称为键的质量。期限为T，质量为η的债券称为(T，η)-债券。除了参考信用风险外，qualityindex还可以参考债券的流动性或个人在人寿保险领域的年龄，见第5节的示例。正如我们在第5.1节中所解释的那样，这种期限结构在为债务抵押债券市场建模多个收益率曲线或期限结构方面起着核心作用。存在性和单调性3事实证明，更多涉及模型的一个基本工具是考虑Payo为零或我们在此处理的债券。债券市场没有套利。考虑的(T，η)-债券市场是一个包含一定数量交易资产的市场。我们以大市场的精神来看待这种设置，并在我们的设置中引入了正确的无套利概念，即不是渐近免费午餐(NAFL)。这一概念在Klein、Schmidt、Teichmann(2013)中已经应用于债券市场，我们将他们的工作推广到我们的背景下，债券价格也由信用质量指数化。用D=(Dt)0≤T≤T*表示无风险的银行账户，它是非负的适应过程，且D(0)=1。我们将需要以下假设：债券价格在T和η中的连续性，债券价格的一致局部有界性和贴现因子的局部有界性。假设2.1。当P(N)=0时，有N∈F，使得Nàn-wren:=[T∈[0,T:/],η∈Iω:T→P(T,T,η)(ω)不是绝对连续的，而N:=[T∈[0,T:/],T≤T≤T:/ω:η→P(T,T,η)(ω)不是右连续的。注意，在经典的HJM-模型中，成熟度上的绝对连续性总是成立的，使得P(N)=0。

我们还需要在结构模型的质量η上有右连续性。假设2.2。对任意(T，η)存在>0的停止时间τn→∞和κn∈[0，∞)的递增序列，使得p(T，U，ζ）τn≤κn，对所有U∈[T，T+),ζ[η，η+)TMi和所有T≤T，(ii)（D(T))0≤T≤T*是局部有界的。固定一个序列(Ti)i∈nin[0,t*]和一个集合(ηi)i∈n，i。则+1维随机过程(Sn)=(S,S,....,Snn)如下:sijt=D(t)P(tàTi,Ti,ηj),0≤t≤t*，(1)对于i,j=1,。.，n和st1。大型市场由经典市场序列（Sn）组成。注意，当期限结构模型族在(T，η)中局部有界且不递减时，这个假设就完全成立了，这是我们在第4节中推导出的条件。在大型市场中，每个市场都考虑了套利的不存在和适当的限制。通过这种方式，我们能够避免使用度量值策略，例如在De Donno和Pratelli(2005)中使用的策略。设H是可证的Sn-可积过程，用(H·Sn)TH关于Sn直到T的随机积分表示。当H=0且存在一个>0且(H·Sn)t≥-a,0≤t≤t*时，过程H称为允许交易策略。定义以下锥:(2)KN={(H·Sn)T*:H可容许}和CN=(KN-L+)TML∞。KN包含市场n中所有可复制的索赔，CNN包含L∞中所有可超复制的索赔。THORSTEN SCHMIDT和STEFAN TAPPEmeasures对市场n的等价分离集Mnef等价分离4为{Q:/pt*:Snis局部Q-鞅}（3）如果Snis有界，那么所有等价概率测度的mnec都是（真）鞅。我们假定对于每个市场n，没有套利成立，即(4)mne6=，对于所有n∈n。然而，通过在市场模型序列上进行交易，仍然有可能逼近套利，我们得到以下公式。一个给定的大型市场满足NAFL的条件是:∞[n=1cn*l∞+={0}。当存在一个稠密序列(Ti)I∈nin[0,∞)和(ηI)I∈nini时，期限结构模型族{(P(t,t,η))0≤t≤t:t≥0,η∈I}满足NAFL,使得知识的大市场2.3满足该知识的NAFL。检验Klein、Schmidt和Teichmann（2013）中定理5.2的证明，表明以下结果在我们的情形中成立：定理2.1。假设假设2.1、2.2和（4）成立。条件结构模型族{(P(t,t,η))0≤t≤t:0≤t≤t*,η∈I}满足NAFL,if,仅当存在一个测度Q＇＇pt=使得(t，η)∈[0,t＇]×I的(t，η))0≤t≤t≤t=局部q＇-鞅。（5）这样的测度Q＇=称为等价局部鞅测度(ELMM)。在下面的一节中，我们根据经典的Heath-JarrowMorton漂移条件的精神导出了漂移条件，对于任意t*.2.2给出了（5）。所考虑的期限结构模型。按照结构重构术语的惯例，我们直接考虑定义的概率空间(Ω，F,(Ft)t≥0，Q）使用Q≈P。以下各节的目的是在Q下给出考虑的期限结构模型的精确设置，然后推导出与NAFL等价的条件。与信用风险模型一致，我们将一个停止时间τη与每一个质量水平η联系起来，并且我们假定只有当τη>T时(T，η)-键的支付才发生。用远期利率来表示模型将是方便的，因此我们提出了一个弱假设，即(T，η)-键可以用p(T，T，η)=1{τη>T}exp-tztf(T，u，η)du来表示；(6)f(T，T，η)在时间T时被称为(T，η)-远期利率。我们的目的是考虑f的一般的、有限维的模型。

在比约克的精神中，迪玛斯，卡巴诺夫，Runggaldier(1997)和Carmona and Tehranchi(2004)我们假设(T，η)-正向速率服从一个半马式df(t,t,η)=α(t,t,η)dt+σ(t,t,η)dWt(7)+zeγ(t,t,η,x)(μ(dt,dx)-Ft(dx)dt),0≤t≤t；这里W是一个可分Hilbert空间U上的Q-Wiener过程，带有一个迹类算子Q∈L(U)（参见Da Prato和Zabczyk(1992)),而μ是R+×E上的一个整数随机测度，具有绝对连续的补偿器dt Ft(dx)存在性和单调性5，E是标记空间。mark空间是一个可测空间(E，E)，我们假定它是Blackwell空间（参见Dellacherie和Meyer(1982))，我们指出每一个具有Borelσ-foundeld的波兰空间都是Blackwell空间。我们假定停止时间τη在随机测度μ中有以下表示。我们用P来表示Ω×R+上的可预测σ-代数。(A1)存在一个r值，P B(I)e可测过程β，使得{τη>t}=1+tzze{τη≥s}β(s,η,x)μ(ds,dx）。（8）注2.6。集合yt:=1{τη>T}。然后表示(8)readsyt=1+tzzeys-β(s，η，x)μ(ds，dx)。在5.3节中，我们展示了如何在有限维键市场中获得这样的表示。回想一下，可分离的Hilbert空间U表示Wienerprocess W的状态空间。则存在一个正交基(ej)j∈nof U和一个序列(λj)j∈n_(0,∞),其中pj∈nλj<∞,使得对于所有U∈UQu=xj∈nλjhu,ejiuej；λja是Q的特征值，每个eju是与λj相对应的特征向量。具有内积thu,viu:=hq-1/2U,q-1/2viu的空间U:=q1/2(U)是另一个可分的Hilbert空间，(pλjej)j∈nis是正交基。根据Da Prato和Zabczyk(1992，prop.4.1),随机过程(Wj)j∈nde(Wj:=√λjhw,eji）是一个实值独立的布朗运动序列，我们得到了W=xj∈npλjwjej的展开式。给定另一个可分的Hilbert空间H,我们用L(H):=L(U,H）表示Hilbert-Schmidt算子的空间，它被赋予Hilbert-Schmidt范数kΦkl(H):=Sxj∈nλjkΦejk，ΦL(H)本身是一个可分的Hilbert空间。注意L(H)=`(H),因为Φ7→(Φj)j∈N与Φj:=PλjΦEJ,j∈N是等距同构。根据Da Pratoand Zabczyk(1992,Thm.4.3）,对于满足p tzkσskl(H)ds<∞=1的所有t≥0且σjt:=pλjσtej，我们有恒等式tzσsdws=xj∈ntzσjsdwjs,t≥0.6 THORSTEN SCHMIDT和STEFAN TAPPEIn。特别地，(7)中的di项可以写成σ(t,t,η)dwt=xj∈nσj(t,t,η)dWjt,其中σj(t,t,η)=pλjσ(t,t,η)ej。基于强度的缺省模型与关于债券价格的绝对连续性（隐含在（6）中）将使我们得到定理2.7中的漂移条件。集合λ(t，η):=-zeβ(t，η，x)Ft(dx)。过程(1{τη>·}）是递减的，因此Doob-Meyer分解给出了局部鞅和绝对连续过程的唯一表示。我们把这个绝对连续的过程称为Byrtλ(s，η)ds，即裂变强度。THENMηT:=1{τη>T}+TZ{τη≥s}λ(s,η)ds(9)是Doob-Meyer分解中的（局部）鞅。非负过程(λ(t，η))t≥0称为τη.2.3的（局部）强度。Musiela参数化。考虑可供选择的参数rt(ζ,η):=f(t,t+ζ,η)会更方便，这可以追溯到Musiela(1993)。则r是一个单随机过程，取值于函数空间H中，曲线H:r+×I→r将在后面具体说明。假定r在ζ中连续，并用(St)t≥0表示H上的移位半群，即。Sth(ζ,η)=h(ζ+t,η)。则方程（7）可以写成常数的变分公式(ζ,η)=Str(ζ,η)+tzst-sα(s,s+ζ,η)ds+tzst-sσ(s,s+ζ,η)dws+tzest-sγ(s,s+ζ,η,x)(μ(dt,dx)-fs(dx)ds)；（10）这里r∈H表示r和st的初值，运算于函数ζ7→α(s,s+ζ,η)，ζ7→σ(s,s+ζ,η)和ζ7→γ(s,s+ζ,η,x)。

在下面，我们将抑制对(ζ,η)的依赖。我们得到（10）可以等价地写为drt=ddζrt+αt dt+σtdwt+zeγt(x)(μ(ds,dx)-Fs(dx)ds)的温和解。（11）在下面我们用μ(ds,dx):=μ(ds,dx)-Fs(dx)ds表示补偿的随机测量。我们做了以下技术假设：用O和P分别表示Ω×r+上的可选和可预测的σ-代数。集合T:=R+×I(A2)初始曲线RISB(R+)B(I)-可测，且局部可积:ζZr(u，η)du<∞对所有(ζ,η)∈T，Q-几乎完全一致。7(A3)漂移αt(ζ）的存在性和单调性，η)是r值，O B(R+)B(I)-可测，局部可积:ζzζzαt(u,η)du dt<∞对所有(ζ,η)∈T，几乎可以肯定。(A4)波动率σt(ζ,η)是L(R)值的,O B(R+)B(I)-可测的,局部平方可积:EζzζzkσT(u,η)kL(R)dudt<∞对于所有(ζ,η)∈T,(A5)跳跃项γT(x)(ζ,η)是R值的,P E B(R+)B(I)-可测的,局部平方可积:EζzζzzeγT(x)(u,η)Ft(dx)dudt<∞对于所有(ζ,η)∈T,条件(A2)-(A5)断言无风险短期利率rt=rt(0,1）具有累进形式,并给出了结论Esrtrtdt<∞对于所有T，参见Filipovi\'c(2001)。在我们的设置中，贴现过程是按DT=E-RTRSDS,t≥0.2.4给出的。漂移条件。本节将导出漂移条件，这些条件保证所考虑的概率测度Q是等价的局部鞅测度(ELMM)。然后NAFL由定理2.1成立。首先，我们引入了一些符号。设A(t，t，η):=rt-tα(t，s，η)ds,∑j(t，t，η):=rt-tσj(t，s，η)ds,且对所有j∈N,和γ(t，t，η，x):=rt-tγ(t，s，η，x)ds。定理2.7。假设(A1)-(A5)成立。则Q是一个ELMM,当且仅当α(t，t，η)=xj∈nσj(t，t，η)∑j(t，t，η)(12)-zeγ(t，t，η，x)e-'A(t，t，η，x)(1+β(t，η，x))-1ft(dx)rt(0，η)=rt+λ(t，η)，(13)其中（12）和（13）在{τη>t}上成立，Q dt-a.s.在一个辅助引理中导出了违约前债券价格的动力学，并给出了定理的证明。Letp(t,t,η):=exp-t-tzrt(x,η)dx引理2.8。在(A2)-(A5)下，对于所有0≤t≤t和η∈I，我们有dp(t,t,η)=p(t-,t,η)mtdt+dMT,ηt，其中mtequalsrt(0,η)-A(t,t,η)+xj∈n∑j(t,t,x)+ze e-'A(t,t,η,x)-1+à(t,t,η,x)ft(dx)和MT,η是（14）.8 THORSTEN SCHMIDT和STEFAN Tapperpropy的局部鞅。这一证明遵循了Filipovi\'c(2001)中的论点。对于h∈h defunneit:=rth(s)ds。我们将xη∈I并写出it-trt:=it-trt(·,η)=t-tzrt(x,η)dx。通过常数公式（10）的变化，我们得到atit-trt=it-t(Str)+tzit-t(st-uαu)du+tzit-t(st-uσu)dwu+tzit-t(st-uγu(x))μ(du,dx)，其中。注意，it-t(st-uh)=it-uh-it-uh。我们将其应用于所有项，并得到它-trt=i-iwithi=itr+tzit-uαudu+tzit-uσudwu+tzit-uγu(x)μ(du,dx)，i=itr+tzit-uαudu+tzit-uσudwu+tzit-uγu(x)μ(du,dx)。我们根据以下参数用随机Fubini定理重新排列所有项:tzit-uσudwu=tzt-uzσu(v)dv dwu=tztzuσu(v)dv dwu=tztzuσu(v-u)dv dwu=tzvzσu(v-u)dvη)+vz sv-uαu(0,η)du+sv-uσu(0,η)dwu+zesv-uγu(0,η,x)μ(du,dx)dv=tzrv(0,η)dv存在性与单调性9因此，当-IT(r)=ln p(0,T,η)时，我们得到q-a.s。对于所有0≤t≤t，T,η)=-IT-TRT=I-I=ln p(0,T,η)+TZRV(0,η)dv-tz IT-vαvdv+IT-vσvdwv+zeit-vγv(x)？（dv,应用它的O公式求出DSP(t，T,η)=p(0,T,η)+XJ∈NTZP（V-,T,η)It-VσJV'Adv+TZP(V-,T,η)(rv(0,η)-It-VσVDWV-Zeit-VγV(x)(R)(dv,dx)+ZEP(V-,T,η)E-It-VγV(x)(R)(dv,dx)=p(0,T,η)+TZP(V-,T,η)XJ∈N It-VσJV[+rv(0,η)-It-VαV+Ze-It-VγV(x)(R)1+It-VγV(x)FT（dv,dx）x)dv+MT，ηT，其中MT，η是局部鞅Zp(v-,T,η)-it-vσvdwv-ze(E-it-vγv(x)-1)μ(dv，dx)。（14）插入A、∑、yen的定义，我们得出结论。定理2.7的证明。

用鞅Mηfrom（9）,d Dtp(t,t,η)=d(Dtp(t,t,η))·1{τη≥t}(15)=Dtp(t-,t,η)dmηt-dtp(t-,t,η)λ(t,η)1{τη≥t}dt+1{τη≥t}d(Dtp(t,t,η))+d[dp(·,t,η)，1{τη≥·}]t(16)在下面，我们分别计算所有项。首先，由于D是有限变分，给出了乘积规则和引理2.8(Dtp(t,t,η))=Dtp(t-,t,η)rt(0,η)-rt-a(t,t,η)+xj∈N∑j(t,t,η)+ze e-'A(t,t,η,x)-1+à(t,t,η,x)ft(dx)dt+D～mt(17)，其中~m是局部鞅。其次，我们从引理2.8中回忆到，(Dtp(t，t，η))=dtp(t，t，η)=Dtp(t-，t，η)ze e-yen(t，t，η，x)-1μ(dt，dx).10 THORSTEN SCHMIDT和STEFAN Tappeption假设(A1)立即给出了(1{τη>t})=ze{τη≥t}β(t，η，x)μ(dt，dx).我们得到了贴现(t，η)-债券价格的二次协变和默认指示过程d[dp(·,t,η)，1{τη>·}]t=Dtp(t-，t，η)1{τη≥t}已计算了E-'A(t，t，η，x)-1β(t，η，x)μ(dt，dx)(18)和（16）中的所有项。注意p(t-，T，η)1{τη≥T}=p(t-，T，η)。最后，Q∈Q当且仅当DP是局部鞅。通过DP是局部鞅当且仅当它的漂移消失的事实，得到了漂移条件。在{τη≤t}上，DP为零，不适用漂移条件。否则，在{τη>t}上，我们有DP=DP。从（16）开始，（17）和（18）我们因此得到以下漂移条件（作为Dtp(t-)，T，η)>0):0=rt(0，η)-rt-λ(T，η)-A(T，T，η)+xj∈N∑j(T，T，η)+ze e-àà(T，T，η，x)-1+'A(T，T，η，x)Ft(dx)=rt(0，η)-rt-λ(T，η)-A(T，T，η)+xj∈N∑j(T，T，η)+ze T，η，x)Ft(dx)。首先，设T=T，得到（13）。将剩余项与T相关联给出（12）。相反，我们需要证明漂移条件意味着所有折扣数字期权都是局部鞅。对于已知的η，这些条件意味着在{LT≤η}上折扣价是局部鞅。另一方面，在{LT>η}上，价格是零，因此是鞅。结论如下。3.存在性在第2节的一般模型中存在性是要获得的。结果表明，在许多应用程序中，on可以集中在以下特殊情况下，有关适当的示例，请参见第5节。考虑一个纯跳过程L，其值在I中，可以解释为所考虑市场的质量指数。为了简单起见，我们考虑I=[0,1]。对于任意粒度，即考虑所有τη:=inf{t≥0:lt>η}，η∈I。假定E=G×I，G是齐次泊松随机测度~μ的标记空间，参见Jacod和Shiryaev(2002,def.II.1.20)。对于存在来说，～μ的同质性是不相关的，但是在下面的部分中，正性和单调性的研究是简单的。存在性和单调性11由与L的跳跃相关的Poisson随机测度表示，(19)设τη:=inf{t≥0:lt>η}我们建立到(t，η)-键的链接，这样:p(t,t,η)=1{lt≤η}exp-tztf(t,u,η)du。（20）我们设置μ=μL～，并假定r是drt=ddζrt+αt dt+σtdwt+zgγt(x)～μ(dt,dx)+ziδt(x)μl(dt,dx)的温和解。（21）注意，与（11）相反，r不是用补偿测度给出的。结果是，这将导致漂移条件的简化，这将在下面的命题中提出。这种设置概括了Filipovi\'c、Overbeck和Schmidt(2011)的方法，它将由丢失过程引起的跳跃合并到r besidesjumps中。Schmidt和Zabczyk(2012)研究了~μ是L′evy-过程的情形，我们将假设(A1)和(A5)适用于此设置。(A1′)LT=ps≤tlsis a c`adl`ag，非递减的自适应纯跳过程，其值在I中，允许绝对连续补偿器vl(t,dx)dt满足对所有t≥0的vl(t,I)<∞。

~μ是R+×G上的一个齐次泊松随机测度，具有补偿器dt～f(dx)和～f(G)<∞。此外，~μ和μL是独立的。(A5\')γT(x)(ζ,η)是r值P B(G)B(R+)B(I)-可测的，局部平方可积:eζzζzzgγT(x)(u,η)~f(dx)dudt<∞对于所有(ζ,η)∈T。δT(x)(ζ,η)是r值P B(I)B(R+)B(I)-可测的，局部平方可积:eζzζzziδT(x)(u,η)'Al(η,dx)dudt<∞对于所有(ζ,η)∈T。我们得到了无套利的结论，或者更精确地说，我们得到了无套利的结论。NAFL,在这种情况下，通过定理2.7的直接应用。根据这个定理，我们得到σj(t,t,η)=pλjσ(t,t,η)ejand∑j(t,t,η)=rttσj(t,s,η)ds。Set(t，t，η，x):=rt-tδ(t，s，η，x)DS.命题3.1。在(A1′)、(A2)-(A4)和(A5′)下，当r如（11）所示时，我们得到Q是ELMM，当且仅当α(t，t，η)=xj∈nσj(t，t，η)∑j(t，t，η)(22)-zeγ(t，t，η，x)e-'A(t，t，η，x)～f(dx)-ziδ(t，t，η，x)1{lt-+x≤η}e-(t，t，η，x)lt(dx)，rt(0，η)=rt+λ(t，η)，(23)12 THORSTEN SCHMIDT和STEFAN Tappem，其中（22）和（23）守住{LT≤η}，Q DT-A.S.证明。我们的目的是应用定理2.7。我们写x=(x，x)∈I×G,x∈I，x∈I，(19)则给出lt=tzze`s(x)μ(ds，dx),y`t(x):=xasμ=μL~μ.请注意，通过确认L取其在I中的值，接下来，我们需要用L得到τη的表示。请注意1{τη>T}={LT≤η}。因此，通过Doob-Meyer分解的唯一性，我们得到这两个过程的补偿器必须重合，即-zeβ(t，η，x)Ft(dx)=Ft({x∈E:lt-+`t(x)>η}）=ze{lt-+`t(x)>η}Ft(dx)。这可以通过选择β(t，η，x):=-1{lt-+`t(x)>η}而得到，即1+β(t，η，x):=-1{lt-+`t(x)≤η}。（24）下一步是根据（11）导出（21）中给出的r的动力学。在这方面，我们有drt=ddζrt+αt+zgγt(x)～f(dx)+ziδt(x)'Al(dt,dx)-～f(dx)dt+zgγt(x)(~μ(dt,dx)-ut(dx)+ziδt(x)(μl(dt,dx)-vlt(dx)dt)。仔细应用定理2.7和（24）给出了α(t,t,η)+zgγt(t,η,x)～f(dx)+ziδt(t,η,x)lt(dx)=xj∈nσj(t,t,η)∑j(t,t,η)∑j(t,t,η)∑j(t,t,-zeγt(t，η，x)e-à(t，t，η，x)-1~f(dx)-ziδt(t，η，x)e-(t，t，η，x){lt-+x≤η}-1lt(dx)得到（22）的结果。3.1.鞅问题。在我们的环境中存在是Filipovi\'c、Overbeck和Schmidt(2011)定理5.1的直接扩展。然而，构造对于下面的结果是很重要的，在本节中，我们在我们的设置中陈述了这一点。我们假定随机基满足:(A6)Ω=Ω×Ω，F=G H,Q(dω)=Q(dω)Q(ω),其中(1)(Ω，G，(Gt)，Q)是携带市场信息的概率空间，特别是布朗运动Wj(ω)=Wj(ω)，j∈N和泊松随机测度～μ(ω)=～μ(ω),存在性和单调性13(2)(Ω，H)是具有最小值(Ht)的i值递增标记点过程的路的规范空间：一般的ω∈Ω是一个从r+到i的递增分段常数函数。lt(ω)=ω(t)是坐标过程。因此，(Ht)是Ht=σ(Lss≤t),H=H∞,(3)q是从(Ω，G)到H的概率核，将在下面确定。在假定(A6)下，A3)和(A5\')中的波动率σt(ω)=σt(ω，ω，ω)和跳跃项γt(ω；x)=γt(ω，ω；x）和δt(ω；x)=δt(ω，ω；x）实际上是损失路径ω的函数。因此，演化方程（21）可以在随机基础(Ω，G，(Gt)，Q)上沿着任何真正的损耗路径ω∈Ω求解。关于条件(23)，在(a1′)下，强度λ(t，η)通过(25)'Al(t，(0，η])=λ(t，Lt)-λ(t，Lt+η)，η∈I，其中对于x≥1，我们表示λ(t，x)=0。然后，条件（23）等价于(26)'Al(ω；t,dx)=-rt(ω；0,ω(t)+dx),（对于η≥1),集合rt(0,η)rt)。因此，除非δ为零，(22)中的αt(ζ,η)=αt(ζ,η,rt)通过（26）成为流行扩展曲线（短端）的显式线性泛函。

事实上，通过（22）中的σ和γ，可能会导致对整个流行的扩展曲线RTT的隐式非线性光滑依赖。但是，由于这种依赖于rtis光滑，对于任何给定的损耗路径ω∈Ω，方程（21）一般是唯一可解的。因此，仍然需要寻找一个概率核Q，使（26）中的ρ变成L的压缩器。这是一个标记点过程的鞅问题，该问题已经由Jacod(1975)完全解决。证明了Q存在且唯一。定理3.1。假设(A6)成立。设r、σt、γt(x)和δt(x)分别满足(A2)、(A4)和(A5′)。对于所有(t，t，x),definitneⅤl(t，dx)by(26)和αtby(22)。假设对于任何损失路径ω∈Ω，存在一个解rt(ζ,η)，使得rt(0，η)是累进递减的，且c`adl`ag在η∈I中。则(1)(A3)存在唯一的概率核Q，使得Lt(ω)=ω(t)满足(a1′)和无套利条件（5）成立。该证明类似于Filipovi\'C，Overbeck和Schmidt(2011)中的定理5.1。SPDE方法。下一步将陈述保证SPDE解存在的条件，如（21）所示。更准确地说，我们在由函数h:R+×[0,1]→R组成的适当的Hilbert空间hβ上，考虑了SPDE drt=ddζrt+α(rt)→dt+σ(rt)Dwt+Rgγ(Rt-,x)~μ(dt,dx)+Riδ(Rt-,x)μL(dt,dx)R=h(27)具有可测映射σ:hβ→L(hβ)，γ:hβ×G→hβ和δ:hβ×I→hβ。设β>0为任意常数。14 THORSTEN SCHMIDT和STEFAN Tappede知识3.2。设hβ是由所有函数h组成的线性空间：R+×[0,1]→R，满足以下条件:o对于每一个ζ∈R+映射h(ζ,·),ζh(ζ,·)是绝对连续的，并且对于每一个η∈[0,1],映射h(·,η),ηh(·,η)是绝对连续的（因此，几乎处处都是可实现的）.o我们几乎处处都有ζηh=ηζh.o我们有(28)KHKβ:=h(0,0)+∞zζh(ζ,0)eβζdζ+zηh(0,η)dη+∞zzζηh(ζ,η)dηeβζdζ1/2<∞。与无缺省项结构模型相比，SPDE(27)描述了二维表面的动力学而不是曲线的动力学，这是由于附加参数η描述了键的质量.在default-freeterm结构建模的背景下，Filipovi\'c(2001)引入了类似的由曲线组成的空间。我们来收集空间Hβ的一些相关性质。可以使用与Filipovi\'C(2001,Section 5)、Tappe(2010,Section 4)、Filipovi\'C、Tappe和Teichmann(2010,附录）和(Tappe2012a,附录A）类似的技术来证明下面的结果，因此省略它。设β>0是任意的。（1）线性空间(Hβ，k·kβ)是一个可分的Hilbert空间。（2）给定的移位半群(St)t≥0：Hβ→Hβ，某事，η)=h(ζ+t,η)是Hβ上的一个C-半群，其生成元为d/dζ。（3）存在另一个可分的Hilbert空间Hβ,C-群(Ut)t∈ron Hβ与连续线性算子`∈L(Hβ,Hβ)，π∈L(Hβ，Hβ)使得πuT`=St对于所有t∈R+。（4）线性空间Hβ=nh∈Hβ:Limζ→∞H(ζ,0)=0和Limζ→∞ηh(ζ,η)=0对于所有η∈[0,1]是hβ的闭子空间。（5）每个函数h∈hβ是连续有界的。（6）对于所有(ζ,η)∈R+×[0,1]点评价H7→h(ζ,η):Hβ→R是连续线性泛函。（7）存在常数C>0，(29)(8)对于所有的h∈hβ，我们有exp(h)∈hβ，存在常数C，C>0，仅依赖于β，使得对于所有的h∈hβ，我们有kexp(h)Kβ≤C(1+KHKβ)exp(CKHKβ)，(30)，映射H7→exp(h)在hβ上是局部Lipschitz连续的。（9）对于所有的h，g∈hβ，我们有hg∈hβ，乘法映射m:hβ×hβ→hβ定义为m(h，g):=hg是连续的双线性算子。（10）设β>β是任意的。

然后我们得到了hβ和估计KHKβ≤KHKβ,h∈hβ。存在性和单调性15此外，对于每一个h∈hβ我们得到了Ih∈hβ,其中h(ζ,η):=ζzh(ζ,η)dζ,(ζ,η)∈R+×[0,1],积分算子I:hβ→hβ是一个连续线性算子。特别地，我们看到hβ是一个可分的Hilbert空间，Shift半群(St)t≥0是hβ上的C-半群，其生成元为d/dζ。为了给出我们的存在唯一性结果，我们给出了以下条件(A7):设β>β是另一个常数。我们假定:σ(Hβ)→L(Hβ)和γ(Hβ×G),δ(hβ×I)lishβ.o存在一个序列(cj)j∈N，pJ∈N(cj)<∞使得对于所有j∈nWehavekσj(h)Kβ≤cj,h∈hβ,(31)KσJ(h)-σJ(h)Kβ≤CJKH-HKβ,h,(32)o存在一个常数M>0，使得对于所有x∈G，我们有kγ(h，x)Kβ≤M,h∈hβ,(33)Kγ(h，x)-γ(h，x)Kβ≤MKH-HKβ,h,h∈hβ，(34)和对所有x∈I我们有δ(h，(36)从命题3.1出发，我们假定SPDE(27)中的漂移项α:Ω×R+×hβ→hβ由(37)α(ω,t,h)(ζ,η)=xj∈nσj(h)(ζ,η)∑j(h)(ζ,η)∑j(h)(ζ,η)e-Ω(h,x)(ζ,η)~f(dx)-zi{ω(t-)+x≤η}δ(h,x)(ζ,η)e-δ(h，x)(ζ,η)e-δ(h，x)(ζ,η)e-δ(h，x)e-δ(h，x)(ζ,我们将证明以下存在唯一性结果：定理3.3。对于每一个H∈Hβ和每一个ω∈Ω存在一个唯一的mildsolution r=r(·,ω):Ω×R+→Hβ至SPDE drt=ddζrt+α(ω,t,rt)^dt+σ(rt)dwt+rgγ(Rt-,x)～μ(dt，dx)+RIδ(Rt-,x)μω(dt，dx)R=h(38)在给定的概率空间(Ω，G,(Gt)t≥0，Q）.为了准备定理3.3的证明，注意漂移项（37）可以表示为α(ω),t,（39）16 THORSTEN SCHMIDT和STEFAN Tappep，其中我们有α(h):=xj∈Nσj(h)Iσj(h),α(h):=-zeγ(h，x)exp(-Iγ(h，(x))~f(dx),α(ω，t)(h),η):=-f(ω,t)(η)zδ(h,x)(ζ,η)exp(-iδ(h,x)(ζ,η))xh(0,ω(t)+x)dx,其中对于每个(ω,t)∈Ω×r+分段线性函数f(ω,t):r+→[0,1]为f(ω,t)(η):=0,如果η-ω(t-)≤0,η-ω(t-),如果0≤η-ω(t-)≤1-ω(t),1-ω(t),如果η-ω(t-)≥1-ω(t)，1-ω(t)。现在，我们的目标是证明α是局部Lipschit，如果η-ω(t-)≥1-ω(t)Z和satis对线性增长条件进行了修改。为此，我们准备了几个辅助结果。引理3.3。证明了以下结论:(1)α(Hβ)lishβ。（2）映射α:Hβ→Hβ是Lipschitz连续的。根据定理3.2,乘法m:hβ×hβ→hβ是连续双线性算子,积分算子I:hβ→hβ是连续线性算子,对于所有h∈hβ,我们有hβgoHβ且Khkβ≤Khkβ。因此，由（31）得到，对于所有h∈hβ，我们有kα(h)kβ=xj∈nσj(h)iσj(h)β≤xj∈nkσj(h)iσj(h)kβ≤kmkkikxj∈nkσj(h)kβ≤kmkkkkxj∈n(cj)<∞,表明α(hβ)bishβ。另外，通过(31)，(32)，对所有h,h∈hβ我们得到了XJ∈N(cj)KH-HKβ，表明α是Lipschitz连续的。引理3.4。证明了:(1)α(Hβ)-Hβ是真的。(2)α:Hβ→Hβ是Lipschitz连续的，存在性和单调性均为17证明。根据定理3.2,乘法m:hβ×hβ→hβ是连续双线性算子,积分算子I:hβ→hβ是连续线性算子,对于所有h∈hβ,我们有hβgoHβ且Khkβ≤Khkβ。因此，通过估计（30）和（33）,对于所有h∈hβ，我们有(dx)≤kmkCM(1+kIkM)exp(CkIkM)～f(G)<∞,表明α(hβ)=hβ。