协整函数时间的函数主成分分析

和{^vj}j≥1从估计的特征向量集{^vj}j构成H的正交基≥1.我们构造了Pn和PSA的初步估计量，如下所示，bPN k=k Xj=1^vj ^vj，bPS~n=I-bPN~n，（3.2）分别是span{^vj}~nj=1及其正交补的正交投影。Hn和Hs的估计值由bhnа=ranbPNа和bhsа=ranbPSа给出。值得注意的是，bpnа和bpsа仅由一组估计的特征向量而非整个特征向量构成，因此在计算这些特征向量时没有理论困难。还应注意，作为（3.2）中的下标，φ表示用于构造bpn的特征向量的数量；即使保留这样一个下标可能会增加符号的复杂性，当我们需要考虑第4节中的假设值φ的bpn^vj}j=1上的投影时，最终也有助于避免潜在的混淆。为了研究初步估计量的渐近性质，我们可以建立任意一个ofbPN的极限行为- PNorbPS~n- PS（一个简单地由另一个的负数表示）。下面的定理处理前一种情况：我们在下文中写出（r）来表示[0，1]上定义的任何算子或向量值函数的RA（r）dr。定理3.1。假设假设M和W与φ保持一致≥ 1.ThenT（bPN）- （请注意）→LHF+F*,其中F=fddRWN（右） WN（右）+RdWS（r） WN（r）+ΓNS.定理3.1中给出的Bpn~n的渐近性质足以证明Bpn~n的一致性→LHPN。然而，定理3.1不利于直接渐近性差异，因为F取决于干扰参数。我们特别关注ΓNSandOhmNS；如定理3.1所示，ΓNS6=0构成极限随机算子F+F*不以零为中心，以及OhmNS6=0使Wn和Ws相互关联。

因此，基于bpnΓorbPSΓ的任何统计的渐近极限，如果存在，也取决于ΓNSandOhm康涅狄格州将军。正如本文所示，消除这种依赖性是我们改进的FPCA和基于它的统计测试最重要的性质。备注3.1。Chang等人（2016年，提案2.1）早些时候确定了kbPN~n- PNkLH=Op（T-1） 因此，我们已经知道，在LH的规范中，Pnа的一致性。应该注意的是，定理3.1通过提供所考虑的估计量的更详细的极限行为，扩展了他们的结果。更重要的是，下一节将说明，定理给出的收敛结果是修改后的FPCA方法的重要输入。3.2个修正的FPCA用于协整FTSN，我们提出了一个普通FPCA的修正，它不仅提供了PNOR PSS的渐近估计，而且为我们将在第4节中开发的统计试验奠定了基础。我们修改后的FPCA可能被视为对协整FTS的普通FPCA的调整，而不是替代方法；我们实际上充分利用了第3.1节中给出的初步估计的渐近性质。为了介绍我们的方法，我们首先定义了φ，t=bPNXt+bPS~nXt，t=1，T、 （3.3）其中，bpnа和bpsа是从第3节中的普通FPCA中获得的初步估算值。然后是Ohm （2.4）和（2.5）中的Γ由B定义Ohm~n=TTXt=1Z，tZ~n，t+TT-1Xs=1k嘘TXt=s+1{Z~n，tZ~n，t-s+Z~n，t-sZΓ，t}，（3.4）bΓ~n=TTXt=1ZΓ，tZ~n，t+TT-1Xs=1k嘘TXt=s+1Z~n，tZ~n，t-s、 （3.5）其中k（·）（resp.h）是满足以下条件的内核（resp.带宽），givenby Horváth等人（2013）：假设k。

（i） k（0）=1，k（u）=0，如果u>κ，其中一些κ>0，k在[0，κ]上是连续的，并且（ii）h→ ∞ 和h/T→ 0作为T→ ∞.从恒等式I=bPN~n+bPS~n，我们可以OhmΓ和bΓΓΓOhm~n=bOhmNN~n+bOhmNSИ+bOhmSN~n+bOhmSSΓ，bΓΓ=bΓNNΓ+bΓNSΓ+bΓSNΓ+bΓSSΓ。（3.6）然后，我们定义了一个修正变量Xа，tas如下，Xа，t=Xt-BOhmSN~nBOhmNN|+bPN~nXt，t=1，T.（3.7）φ-正则化逆EBOhm（3.7）中的NN| |+k可以很容易地从B的本征分解计算出来Ohm一旦我们知道了。设bC~n为{X k，t}Tt=1的样本协方差算子，即bC k=TTXt=1X k，t 粗略地说，在特征值问题（3.1）中，用bc~n替换gbc具有将Ws（出现在定理3.1中F的表达式中）转化为另一个独立于WN的布朗运动的效果；然而，这并不能解决限制运算符的中心依赖于干扰参数的问题。因此，我们需要进一步调整，这是通过考虑以下修改的特征值问题来实现的，卑诗省-bΥ~n^wj=^uj^wj，j=1,2，（3.9）或卑诗省-bΥ~n-bΥ*φ^wj=^uj^wj，j=1,2，（3.10）其中-bΓNNΓBOhmNN|+BOhm纳什。（3.11）我们的渐近分析不依赖于在（3.9）和（3.10）之间选择哪个特征值问题。但在实践中，强烈建议使用（3.10），因为它不会产生复杂的IGENV值，这是因为BCV的自伴性-bΥ~n-bΥ*φ. 出于这个原因，我们以后只关注后一个特征值问题。从估计的特征向量集{^wj}j≥1.我们构造了我们提出的NAND PSA估计量，如下所示：b∏N=Xj=1^wj ^wj，b∏S~n=I-b∏N~n。（3.12）请注意，B∏Nа和B∏Sа只是通过用^wjin（3.2）替换^vjj获得的。下面的定理描述了b∏Nаorb∏Sа的渐近性质。定理3.2。假设假设M、W和K的假设均成立≥ 1.

ThenT（b∏N- （请注意）→LHG+G*,其中G=fddRWN（右）WN（右）+RdWS。N（r）WN（右）, WS。N=WS-Ohm锡(OhmNN）+WN和ws。Nis独立于WN。与基于普通FPCA的初步估计相比，所提出的估计B∏N~n的渐近极限的形式更为方便。首先请注意，限制运算符org+G*现在以零为中心，而F+F*在定理3.1中，由于ΓNS的存在，一般情况下并非如此。此外，G的特征是两个独立的布朗运动，而F一般不是这样，因为Ohm纳什。B∏Nа的这些性质不仅有助于我们发展统计测试，以检验第4节中关于协整的各种假设，而且在某种意义上，B∏Nа渐进地比BPnа更有效，见备注3.2。备注3.2。对于任意k，x=（x，…，xk）∈ hk和y=（y，…，yk）∈ Hk，letbP（k，x，y）=（hT-PNbPSаx，yi，…，hT-PNbPSаxk，yki）和b∏（k，x，y）=（hT-PNb∏Sаx，yi，…，hT-PNb∏Sаxk，yki）。根据Saikkonen（1991）的定理3.1和Harris（1997）的第2节，可以得出以下结论：对于k、x、y和Θ的任意选择 它是凸的，并且围绕原点limT对称→∞问题。nb∏（k，x，y）∈ Θo≥ 极限→∞问题。nbP（k，x，y）∈ Θo，除非OhmNS=ΓNS=0，等式一般不成立；参见附录B.1.2和Harris（1997）第2节。这意味着，对于任意选择的k、x和y，B∏（k、x、y）的渐近分布在零处比B∏（k、x、y）的渐近分布更集中。对于PSb∏Nа和PSbPNа，可以给出类似的结果。在这个意义上，我们称B n是一个特殊的情形：3.3，一个特殊情况：Harris（1997）的协整时间序列的PCA（这里）考虑了一个特殊情况：DIM（H）<∞ 和E[Et]的最小特征值 Et]呈绝对阳性。

即使在这种情况下，我们修改的FPCA可以在不进行任何调整的情况下应用，我们这里也提供了一种方法来获得一个估值器，其渐近性质等于定理3.2中给出的b∏N~n。定义–X~n，t=Xt-BOhmSN~nBOhmNN|+bPN~nXt-bΓSNΓbC-1英寸，ZZ英寸。t、 t=1，T、 式中bc~n，Z=T-1PTt=1Zа，t Z k，t.设k为{X k，t}Tt=1的样本协方差算子，并考虑以下特征值问题，¨C k¨wj=¨uj¨wj，j=1，2，昏暗（H）。（3.13）然后我们定义¨∏N k=P k j=1¨wj ¨wjand¨∏S k=I-二∏N。事实上，（3.13）是Harris（1997）提出的多元协整系统的奇异值问题的简单改编。根据Harris（1997）给出的症状结果，可以显示以下内容。提议3.1。假设假设M、W和K的假设均成立≥ 1.dim（H）<∞, 和E[Et]的最小本征值 Et]绝对是积极的。然后（¨∏N~n）- （请注意）→LHG+G*,其中G在定理3.2中给出。然而，命题3.1中给出的渐近结果本质上需要bc-1~n，Zto收敛到E[Et]的逆概率 （参见哈里斯1997年定理2的证明）。在有限维环境中，E[Et Et]不允许其逆作为LHand的元素，而且，bC-1~n，Zdoes不收敛于任何有界线性算子，因为最小特征值的倒数总是发散到单位。这就是为什么命题3.1不同于定理3.2，不适用于更一般的情况，允许在有限维H.3.4中包含确定性术语。我们现在调整讨论，允许可能包含在感兴趣的时间序列中的确定性术语。特别地，我们考虑以下未观测的分量模型：模型D1：XC，标准杆数＝+XT，（3.14）模型D2：X’，T＝+ + T +XT，（3.15）其中Xtis在前一节中考虑的协整时间序列。我们定义了D1型的功能要求Ut（分别为eUt）。

模型D2）如下：对于t=1，T，Ut=Xc，T-TTXt=1Xc，teUt=X`，t-TTXt=1X`，t-T-T+1PTt=1T-T+1X`，tPTt=1T-T+1;见Kokoszka和Young（2016）。{Ut}Tt=1和{eUt}Tt=1的样本协方差算子由C=TPTt=1Ut给出 UTADEC=TPTt=1输出分别为eUt。考虑由c vj＝sj jvj，j＝1, 2…给出的特征值问题，（3.16）eCevj=eλjevj，j=1,2。（3.17）我们同样从（3.16）（和（3.17））中获得我们的初步估算值PN~n（和ePN~n），如（3.2）所示，并让PS~n=I- PN k andePSа=I-ePN~n。如定理3.3所示，这些初步估计的渐近极限取决于Ohm恩桑德斯。定义t=1，T，Zа，T=PNаUt+PSаUt，eZа，t=ePNаeUt+ePS~neUt。{Z~n，t}Tt=1的样本长期协方差（分别为单侧长期协方差）与（3.4）（分别为（3.5））中的定义相似，并表示为OhmΓ（分别为ΓΓ）。这类运算符也被定义为{eZ~n，t}Tt=1，并表示为byeOhm分别为Γ和ΓΓ。在（2.2）和（3.6）中，我们考虑以下算子分解：I∈ {N，S}和j∈ {N，S}，Ohmij~n=πOhmΓPjΓ，ΓijΓ=PiΓΓPjΓ，eOhmij k=ePi k eOhm~nePjΓ，eΓijΓ=ePiΓeΓΓePjΓ。对于t=1，T，defineu~n，T=Ut- OhmSN~nOhmNN|+PN~nUt，eU~n，t=eUt-EOhmSN~nEOhmNN|+ePN~neUt。如（3.8）和（3.11）中所述，我们将c~n=T-1TXt=1U~n，t UΥ，t，ΥΥΧ=ΓNSΧ- ΓNNΓ(OhmNN|+OhmNS~n，eC~n=T-1TXt=1eU~n，teUΥ，t，eΥΥΧΧΧ=eΓNSΧ-eΓNNΓ（e）OhmNN|+|eOhm标准杆数，并考虑与（3.10）平行的下列修正特征值问题，C~n- Υφ- Υ*φwj=ujwj，j=1,2，欧共体-eΥΥ-eΥ*φewj=eujewj，j=1,2。然后，我们构造∏Nа、∏Sа、e∏Nа和∏Sа，如（3.12）所示。为了描述PN~n、πN k、ePN k和∏N k的渐近性质，我们下面让WN（r）=WN（r）-RWN（s）和FWN（r）=WN（r）+（6r）- 4） RWN（s）+（6）- 12r)南九龙(s)。

此外，welet F、eF G和G是满足thatF=fdd的随机有界线性算子ZWN（r） WN（右）+ZdWS（r） WN（r）+ΓNS,eF=fddZfWN（r）fWN（右）+ZdWS（r）fWN（r）+ΓNS,G=fddZWN（r） WN（右）+ZdWS。N（r） WN（右）,eG=fddZfWN（r）fWN（右）+ZdWS。N（r）fWN（右）,式中，如定理3.2所示，WS。N=WS- Ohm锡(OhmNN）+Wn和WS。Nis独立于WN。估计量的渐近性质如下所示。定理3.3。假设假设M、W和K的假设均成立≥ 1.T（PN~n）- （请注意）→LHF+F*和T（N∏）- （请注意）→LHG+G*如果模型D1为真，则T（ePN）- （请注意）→LHeF+eF*和T（e∏N- （请注意）→LHeG+eG*如果D2模型为真。与注释3.2中相同的意义上，可以类似地表明∏Nа（分别为e∏Nа）比PNа（分别为ePNа）的渐近效率更高；另见第2.2节。4基于修正后的FPCA的统计测试我们开发统计测试，以检验关于HNor Hs的各种假设。基于第3.2.4.1节基于FPCA的HN维度测试中给出的渐近性结果，在前面的章节中，我们需要预先了解k=dim（HN）。我们在这里提供了一种基于NovelPCA的测试，可以按顺序应用该测试来确定φ；如图所示，本节开发的测试类似于著名的KPSS类型测试，用于在有限维欧几里德空间环境中检查平稳性或协整。考虑下面的空的和可替代的假设，H:DIM（HN）＝反对h：DIM（HN）＞，（4.1）≥ 0.（4.1）中的无效假设可以是预先指定的感兴趣的假设，也可以通过一个顺序程序（从φ=0开始）来实现，以估计真实尺寸。值得一提的是，{Xt}t的平稳性≥1，即φ=0，可通过待开发的测试进行检查。这意味着我们的测试可以作为现有FTS平稳性测试的替代品，该测试由Horváth等人提出。

（2014年）、科科什卡和杨（2016年）、奥伊和范德尔夫特（2020年）。还应注意，我们在（4.1）中选择的假设与Chang et al.（2016）和Nielsen et al.（2019）提出的现有测试中使用的假设相反，因为这些测试中的替代假设设置为H:dim（HN）<~n。由于这一差异，我们的测试有其自身的优势，尤其是当它被依次应用于估算时；基于任何现有测试的顺序程序需要事先知道φ的上限，而我们的程序不需要；见后面的备注4.2。我们首先考虑不确定项的情况，然后将讨论适应于具有确定性分量的允许时间序列，如（3.14）和（3.15）。由于没有确定的参数，我们从特征值问题（3.1）中构造出（3.2）中的BPNа和BPSа；如果φ=0，则bPNφ设置为零。给定Pn k和Bps k，定义Z k，t，bOhm第3节中所述的Γ、bΓ、bΥ、XΓ、t和bcΓ；见（3.3）-（3.8）和（3.11）。我们从定理3.1中期望{bPS~nXt}t≥1如果φ=φ（自kbPS以来），将作为一个静止过程- PSkLH=Op（T-1） ）和特征向量{^vj}~nj=~n+1渐近地包含在nif~n<~n中。在后一种情况下，（hXt，^v k+1i，…，hXt，^v k i）预期表现为一个单位根进程，因此{bPS k Xt}t≥1不会静止不动。基于这一想法，我们可以通过检查{bPS k Xt}t的平稳性来区分正确假设和不正确假设≥1.为了便于说明，我们将重点放在时间序列{hXt，^v~n+1i}t上≥1，它在H下是一个单位根过程。

检查{hXt，^v~n+1i}t的平稳性≥1，我们考虑下面的检验统计量，TTXT＝1TXS＝1HXS，V V +1I/LRV（HXT，V V +1I），（4.2）其中LRV（Hxt，v v +1i）＝TPT。-1s=-T+1k（|s|/h）PTt=|s|+1hXt，^v|+1hXt-|s|、^v+1i和k（·）以及hs满足假设k。注意，对于每个T，检验统计量由单变量时间序列的平方部分和之和（{hXt，^v+1i}Tt=1）与其样本长期方差（LRV（hXt，^v+1i））的比率给出。这类似于著名的KPSS测试，用于检验平稳性的零假设；然而，应注意的是，（4.2）与最初的KPSS测试统计数据并不相同，除非{hXt，^v~n+1i}Tt=1被降级（见Kwiatkowski等人，1992年的附录）。如果OhmNS=ΓNS=0，则（4.2）的渐近零分布不依赖于任何干扰参数，仅由两个独立标准布朗运动的泛函给出。因此，我们可以渐近地评估（4.1）中的零假设相对于极限分布的交替分位数的合理性，该分位数可以很容易地用标准方法模拟。一般情况下OhmNS=ΓNS=0并不总是令人满意的，检验统计量（4.2）的极限分布取决于两者OhmNSandΓNS，这在实践中是未知的（见定理4.1及其在附录B.1中给出的证明）。正如定理3.1所预期的那样，这个问题与BPS~n的渐近极限取决于Ohm恩桑德斯。假设OhmNS=ΓNS=0在对协整FTS进行建模时限制太大，hencea在实践中天真地使用（4.2）来检验（4.1）应该局限于非常特殊的情况。然而，使用第3节中我们修改的FPCA的渐近结果，可以修改teststatistic（4.2），使其具有在一般情况下无干扰参数的渐近零分布。

考虑给定的Muffi特征值问题卑诗省-bΥ~n-bΥ*φ^wj=^uj^wj，j=1,2。（4.3）然后，我们将XT和^v k+1in（4.2）分别替换为X k和^w k+1，并获得以下统计数据：TTXt=1tXs=1hX k，s，^w k+1i/LRV（hX k，t，^wа+1i）。（4.4）这种简单的替换有很大的好处：与（4.2）不同，（4.4）的渐近零分布不依赖于任何干扰参数，由两个独立的标准布朗运动的泛函给出，无需OhmNS=ΓNS=0；当然，这与定理3.2给出的渐近结果密切相关。因此，我们可以以一种明显的方式渐进地评估相对于替代方案的无效假设的合理性；正如将要更详细地讨论的，基于（4.4）的渐近测试实际上对应于我们将要开发的基于FPCA的测试的一个特例。我们现在正式介绍我们提议的测试的通用版本。设b∏K为任意有限整数K满足K>的{wj}Kj=1跨度的投影；也就是说，b∏K~n=PKj=1^wj ^wj。definez~n，t=（hX k，t，^w k+1i，…，hX k，t，bwKi）。（4.5）一旦给出{^wj}Kj=1，就可以很容易地计算出z^，tca。注意，zа，t可以是尺寸K的有限维元素b∏SаXа，tonspan（{^wj}Kj=1）的投影图像；这是z的K维时间序列，这是我们构造检验统计量所需要的全部。勾勒出序列{z~n，t}t≥1在确定测试统计数据之前，应掌握以下信息。从第3节中导出的渐近结果可以看出（引理B.3）：对于任何φ≤ ^，^wj→pwj∈ HN，j=1，^，^wj→pwj∈ HS，j=~n+1，K.根据上述结果，我们预计子向量（hX K，t，^w K+1i。