协整函数时间的函数主成分分析

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Functional Principal Component Analysis of Cointegrated Functional Time
  Series》
---
作者：
Won-Ki Seo
---
最新提交年份：
2021
---
分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
--
一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
--
一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
--

---
英文摘要：
  Functional principal component analysis (FPCA) has played an important role in the development of functional time series analysis. This paper investigates how FPCA can be used to analyze cointegrated functional time series and proposes a modification of FPCA as a novel statistical tool. Our modified FPCA not only provides an asymptotically more efficient estimator of the cointegrating vectors, but also leads to novel FPCA-based tests for examining some essential properties of cointegrated functional time series. As an empirical illustration, our methodology is applied to two empirical examples: age-specific employment rates and earning densities.
---
PDF下载：
--> Functional_Principal_Component_Analysis_of_Cointegrated_Functional_Time_Series.pdf (1.56 MB)

2022-4-24 15:37:30 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：主成分分析 主成分 econometrics cointegrated Multivariate

协整函数时间序列的函数主成分分析*功能性主成分分析（FPCA）在功能时间序列分析的发展中起着重要的作用。本文研究了FPCA如何用于分析协整函数时间序列，并提出了FPCA作为一种新的统计工具的改进。我们改进的FPCA不仅为协整向量提供了一种更有效的渐近估计，而且还引入了新的基于FPCA的测试，用于检验协整函数时间序列的一些基本属性。作为实证说明，我们的方法应用于两个实证例子：美国特定年龄段的就业率和收入密度。1简介数据收集技术的进步增加了时间序列分析的必要性。例如，我们有时会处理函数观测，如随时间变化的曲线、概率密度函数和图像。在最近的文献中，称为函数时间序列（FTS）分析，提供了理论和统计处理，将函数观测视为随机元素，在潜在的有限维Hilbert空间或Banach空间中取值。Bosq（2000）对线性过程进行了严格的理论处理，Horváth和Kokoszka（2012年，第13-16章）讨论了平稳FTS的统计方面。最近，Chang等人（2016年）、Beare等人（2017年）、Seo和Beare（2019年）、Beare和Seo（2020年）以及Franchi和Paruolo（2020年）提出了协整函数过程，以模拟经济或统计时间序列，这些序列往往是非平稳的。功能主成分分析（FPCA）一直是功能观察分析的核心工具。

与多元数据分析的PCA类似，FPCA基于样本协方差算子的一个独立成分，并以一种有效的方式对大多数情况下高维的功能观察结果进行降维。因此，FPCA已广泛应用于各种环境中，包括函数自回归（AR）模型的推理（Bosq，2000），测试结构突变（Berkes等人，2009；Horváth等人，2010；*我感谢布伦丹·贝尔和莫顿·尼尔森对本文初稿的有益评论。作者的网站上提供了复制模拟和实证结果的数据和R代码。Zhang等人，2011年）、FTS回归（Park和Qian，2012年）、预测/预测（Hyndman andUllah，2007年；Aue等人，2015年）和长记忆FTS（Li等人，2020b）等等。Shang（2014）和H"ormann及Kokoszka（2012）很好地说明并总结了FPCA在分析中的应用。Chang等人（2016）最近的一篇文章是利用FPCA分析FTS的另一个例子；然而，与前述文章不同的是，FPCA适用于允许协整（又称协整FTS）的非静态FTS，以刻画此类时间序列的一些基本特性。假设许多经济和统计时间序列是非平稳的，但允许长期稳定的关系，它们的分析为许多潜在的应用铺平了道路；例如，参见Chang等人（2020年）。此外，Li等人（2020a）最近对非平稳分数积分FTS采用并扩展了他们的方法。本文的目的是进一步研究FPCA如何用于协整FTS{Xt}t的统计分析≥1在希尔伯特空间H中求取值。

本文考虑的协整FTS是一个部分非平稳过程，可以通过正交投影Pnps=I进行分解-PNXt转化为有限维单位根过程{PNXt}t≥1和潜在的有限维平稳线性过程{PSXt}t≥1.当给出这样一个时间序列时，重要的是根据观测值估计PNor Ps，因为其中任何一个都表征了时间序列的协整行为；注意，这是一个线性变换，它消除了{Xt}t的单位根分量≥1只留下它的平稳分量，这是多元协整系统中的协整向量。事实上，如果H是传统的欧氏空间，则Pnorp的估计就简化为协整向量的估计。样本协方差算子的特征元素及其渐近性质在FTS的统计推断中起到了重要作用，这在该问题中也是如此。在本论文之前，Chang等人（2016）展示了如何使用这些特征元素来构造Pn的一致估计，并提供了一些相关的渐近结果；更具体地说，他们表明，Pn可以通过投影到前导的特征向量（即对应于前导的特征值的特征向量）的跨度来一致地估计，其中是单位根分量的尺寸，可以通过其顺序测试程序来估计。在本文中，我们首先添加了一些新的渐近结果，包括从FPCA获得的PN（或等效PS）的现有估计的收敛速度和渐近极限。基于这些结果，我们提出了一种改进的FPCA方法，该方法可以保证（i）Pn的估计更为渐近有效，以及（ii）更为方便的渐近极限，从而产生新的统计学家来检验关于协整的假设。

为了更详细地阐述后一点，我们首先开发了基于FPCA的单位根分量尺寸测试，与Chang等人（2016年）和Nielsen等人（2019年）为相同目的开发的现有测试不同。然后，该检验被用于检验关于协整的各种假设。我们对普通FPCA的修改是由Phillips和Hansen（1990）、Park（1992）和Harris（1997）提出的，他们提出了半参数修改，以获得多元协整系统协整向量的渐近有效性。如第3.3节所述，我们改进的FPCA可以理解为Harris（1997）开发的PCA方法的扩展，即（i）如果H是有限维欧氏空间，我们对PNI的估计渐近等价于Harris（1997）提出的估计，并且（ii）我们的方法可以应用于涉及有限维H的更一般环境中跟随。第2节提供了我们关于协整FTS的符号、标准术语和主要假设。在第3节中，我们讨论了普通FPCA和我们提议的将其作为统计工具来估计PNor PS的修正，并提供了相关的渐近理论。根据我们修改后的FPCA，第4节给出了检验协整各种假设的统计测试，并报告了测试的有限样本性质的蒙特卡罗结果。我们在第5节用实证例子说明了我们的方法。所有证据都在附录中给出。希尔伯特空间中的2个协整FTS 2。1.表示内积为H·，·i且范数为k·k=H·，·i1/2的实可分希尔伯特空间。Welet LH表示H上有界线性算子的空间，配备了常用的算子normkklh=supkxk≤1kAxk。

对于操作员A∈ LH，我们让一个*∈ lh表示A的伴随，rana（resp.ker A）表示A的范围（resp.kernel），分别由an A={Ax:x定义∈ H} ，kera={x∈ H:Ax=0}。如果A=A*, 然后A被称为自伴。接线员∈ LHIS正半席≥ 0代表任何x∈ H和正De nnITE如果HAX，席6＝0对于任何非零x∈ H.在本文中，x y代表x，y∈ H表示运算符z 7→ hx，一级的齐伊。操作员A∈ 如果存在两个正交基{uj}j，则称LHis为紧的≥1和{vj}j≥1和实值序列{aj}j≥1变为零，这样A=P∞j=1ajujvj；我们可以假设uj=vjand a≥ A.≥ . . . ≥ 如果A也是自伴和正半限定，则为0（Bosq，2000，第35页）。对于任何一个∈ LH在封闭范围内，我们让a+∈ lh表示摩尔-彭罗斯逆；见Engl和Nashed（1981）。对于任何自伴、正半限定和紧算子∈ LHA=P∞j=1ajuj uja≥ A.≥ . . . ≥ 当am>0时，我们在此假设A |+m=Pmj=1a-1juj ujand可以称为A.A |+的m正则化逆，错误设置为0∈ LHifm=0。m-正则化逆A |+错误地理解为A在受限域跨度（{uj}mj=1）上的部分逆。如果排名A=m，则A |+m=A+。随机元素取附录A.1中介绍的H和LHare-brie fly值。我们这里只回顾一些基本的符号。lh表示H值随机变量x满足EX=0和EkXk<∞. 对于任何X∈ LH，其协方差算子由cx=E[X]定义十] 。LH值的随机元素称为随机有界线性算子。对于这类算子A和B，我们说它们具有相同的有限维分布，并写出A=fddB，如果hAx，yi，hAxk，yki）=d（hBx，yi，…，hBxk，yki）对于每个k和x，xk，y，yk∈ H

对于随机序列{Aj}j≥1在LH中，我们写Aj→拉卡- 阿克尔→p0。2.2模型我们让{εt}t∈Zbe是lhd中的一个iid序列，协方差为正且let{Φj}j≥0以令人满意的方式进行排序∞j=0jkΦjkLH<∞. 我们定义了{ζt}t∈Zand{ηt}t∈Zas如下，ζt=∞Xj=0Φjεt-j、 ηt=∞Xj=0eΦjεt-j、 t∈ Z、 式中Φj=-P∞k=j+1Φk.在{Φj}j的可和性条件下≥0，ζtandηtare收敛于LH，算子Φ（1）：=P∞j=0ΦjandeΦ（1）：=P∞j=0eΦjare收敛于LH。我们考虑序列{Xt}t≥0其中第一个差异Xt=Xt- Xt-1使方程满意Xt=ζt端口≥ 1.然后Xt允许Beverridge-Nelson分解：Xt=（X- η） +Φ（1）Pts=1εs+ηt，对于t≥ 1.参见Phillips and Solo（1992）、Chang等人（2016）和Beare等人（2017）。忽略在发展渐近理论中不重要的初始值X和η，我们得到xt=Φ（1）tXs=1εs+ηt，t≥ 1.（2.1）注意{Xt}t≥1是非平稳的，除非Φ（1）=0；然而，它可能有一个元素x，使得{hXt，xi}t≥它静止不动。这样的元素称为协整向量，用HS表示的点积分向量的集合称为协整空间（或平稳子空间）。吸引子空间（或非平稳子空间）由HN表示，由HS的正交补定义。借用欧几里德空间中关于协整时间序列的文献中的术语（参见Stock and Watson，1988；Johansen，1995），HNmay的一个元素被称为随机趋势。当满足度（2.1）时，HS（分别为HN）由[ranΦ（1）]⊥（分别为ranΦ（1）的闭合）；见Beare等人（2017）的提案3.3。显然，H=HN⊕HS和Hn上的理论正交投影是唯一定义的，用PN表示。那么PS=I- Pn是HS上的正交投影。

这些投影分解{Xt}t≥在{PNXt}t的意义上，进入单位根分量和固定分量≥1是一个单位根过程，不允许任何协整向量和{PSXt}t≥1在H中是一个平稳的过程。注意{Xt}t≥1的构造均值为零，但这在本文中并不是必需的。在我们的分析中，可以允许使用非零截距或线性趋势等确定性成分进行小的修改，这将在第3.4节中讨论。对于渐近分析，我们始终应用以下附加条件。假设M.（i）P∞j=0jkeΦjkLH<∞ 和（ii）ψ=秩Φ（1）∈ [0, ∞).假设M-（i）用于数学证明，这在实践中可能没有限制性。假设M-（ii）意味着dim（HN）<∞, 在最近的文献中，基于样本协方差算子特征分解的协整FTS统计分析中通常假设这一点，参见Chang等人（2016）和Nielsen等人（2019）。备注2.1。在许多实证例子中，φ的有限性似乎是合理的，包括我们在第5节中给出的例子，以及Chang等人（2016年）和Nielsen等人（2019年）给出的例子。此外，众所周知，具有单位根的函数自回归过程（包括Klepsch et al.，2017中考虑的函数自回归过程）和紧自回归算子总是低于有限维HN；参见Beare和Seo（2020）以及Franchi和Paruolo（2020）。在这类时间序列的统计分析中，假设自回归算子的紧性是很常见的，因此在这种情况下，我们使用假设M-（ii）不会失去任何通用性。

在这方面，在实践中，k的完整性似乎没有限制性。如果φ=0，{Xt}t≥1是静止的，HN={0}；对于我们的综合FTS研究来说，这是一个无趣的案例，除非我们在第4节中检验了φ=0的零假设。因此，我们的渐近理论（将在本节中发展）涉及以下情况：≥ 1.关于序列{Xt}t≥1为了满足假设M，可以方便地引入一些附加符号。请注意，标识I=PN+p包含以下运算符分解：对于任何∈ LH，A=ANN+ANS+ASN+ASS，Aij=PiAPj，i∈ {N，S}，j∈ {N，S}。（2.2）我们也需要PNζt，ESt=PSηt，Et=ENt+ESt。（2.3）然后我们让Ohm （resp.Γ）表示{Et}t的长期协方差（resp.单边长期协方差）算子∈Z、 定义如下：Ohm = E[Et [Et]+∞Xj=1{E[Et Et-j] +E[Et-J [Et]}，（2.4）Γ=E[Et [Et]+∞Xj=1E[Et Et-j] 。（2.5）在可求和条件下∞j=0jkΦjkLH<∞, Ohm 和Γ在LH中会聚（见Beare等人2017年第3.1节）。如（2.2）所示，我们也可以将这些操作符分解为Ohm = OhmNN+OhmNS+OhmSN+OhmSSandΓ=ΓNN+ΓNS+ΓSN+ΓSS。设W={W（r）}r∈[0,1]表示H中的布朗运动，其协方差算子由Ohm, 读者可以参考Kuelbs（1973）和Chen and White（1998）对H中的布朗运动进行更详细的讨论。然后让WN=PNW和WS=PSW。请注意，Wn和Ws是相关的，除非OhmNS=OhmSN=0。为了便于数学分析，我们采用了以下高级假设：对于x，xk∈ h，我们让Ek，t=（HET，席，HET，席，…，HET，XKI）和WK（S）=（HW（S），席，HW（S），席，…hW（s），xki）。假设W.对于任何k≥ 1和x。

，xk∈ H、 T-1/2PTt=1Pts=1Ek，sEk，t合并不分配工作组（s）dWk（s）+P∞j=0E[Ek，t-喷气式飞机]。上述收敛结果的适当条件可以在Hansen（1992）中找到；具体地说，从本文的定理4.1中，我们可以推断假设W满足（i）{T-1/2PbT sct=1Et}s∈[0,1]在Skorohod拓扑中弱收敛到Wk，（ii）supt≥1kEtka<∞,和（iii）{Et}t≥1是大小的强烈混合-ab（a）- b） 。在这些条件中，第一个事实上是假设M的结果（见引理B.1）。3协整FTS的FPCA和渐近结果3。1协整FTS的普通FPCA对于给定的函数观测{Xt}Tt=1，我们对协整的统计推断感兴趣，这归结为HNor HS的估计和假设检验。在这里，我们将重点放在估算方面，并研究如何使用和改进FPCA。在这一节中，我们假设已知φ=dim（HN）。当然，在大多数实际应用中，这不是一个现实的假设。然而，我们已经有了一些可用的方法，可以从功能观察中确定φ，例如Chang等人（2016年）、Nielsen等人（2019年）和Li等人（2020a）中的方法。除此之外，第4节还将说明，本节给出的渐近结果将导致一种基于FPCA的新测试程序，以确定φ。如Changet al.（2016）所示，FPCA是研究协整FTS的有用统计工具。我们在这里为普通FPCA提供了一些有用的渐近结果，这将是我们改进的FPCA发展的重要输入。{Xt}Tt=1的样本协方差算子bc是bc=T给出的随机算子-1PTt=1XtXt。广义地说，FPCA简化为解决以下与bC相关的特征值问题，bC^vj=^λj^vj，j=1，2，（3.1）式中^λ≥ . . .^λT≥ 0=λT+1=λT+2=。