协整函数时间的函数主成分分析

，hX k，t，^w k i）的zа，twillbehave作为单位根过程，而剩余的子向量将作为平稳过程。仅当φ=φ，{z~n，t}t时≥1将表现为一个平稳的过程。基于这一思想，我们构造了teststatistic来检验{z~n，t}t的平稳性≥1如下所示，bQ（K，~n）=TTXt=1tXs=1z~n，s！LRV（z k，t）-1tXs=1z~n，s！，（4.6）式中lrv（z k，t）=TTXt=1z k，tz k，t+TT-1Xs=1k嘘TXt=s+1nzа，tzа，t-s+z~n，t-sz~n，到。（4.7）测试统计量的构造类似于为多变量集成系统开发的其他KPSS类型统计量；参见Shin（1994）、Choi and Ahn（1995）和Harris（1997）。一旦从修正的价值问题（4.3）中产生预测的时间序列{z~n，t}Tt=1，我们的测试统计的计算就很容易了。如果K=а+1，则试验统计（4.6）与（4.4）相同。我们在下文中让B和W表示独立的φ-维和（K）-η）-分别为二维标准布朗运动。我们的检验统计量的渐近性质由这些独立的布朗运动描述如下。定理4.1。假设假设M、W和K成立。在H，Q（K，~n）下→dZV（r）V（r），其中V（r）=W（r）-RdW（s）B（s）（RB（s）B（s））-1RrB（s），如果φ=0，则第二项视为零。在H，Q（K，~n）下→P∞.至少在某种程度上，我们的测试可以被视为哈里斯（1997）提出的基于主成分分析的测试的扩展，该测试扩展了单变量/多变量协整时间序列的KPSS测试。在这种有限维欧氏空间设置中，测试统计（4.6）可以通过第3.3节中描述的PCA输出进行重建，K可以设置为dim（H）；这使得我们的测试与哈里斯（1997）给出的测试完全相同。在实践中选择K时，应该注意，除了K>~n外，我们的测试没有其他限制，但渐近零分布取决于K。

这是一个新的方面，因为拟议的测试检查了潜在的有限维时间序列{b∏SX，t}t的平稳性≥1通过将其投影到K维子空间，如Horváth等人（2014年）所述。因此，测试统计量的临界值取决于K和φ；然而，对于任何固定的K和φ，都可以用标准方法轻松模拟，因为检验统计量的极限分布仅由两个独立的标准布朗运动的函数给出。可以参考Harris（1997）的表1，该表报告了几个不同选择的Kan~n的临界值，但需要注意的是，该表报告的临界值取决于时间序列的维度以及对应于K和K的协整秩- 分别在本文中给出。备注4.1。为了确定~n，我们可以应用我们的测试，以确定~n=0，1，2。按顺序。^^k表示在固定显著水平α下首次未被拒绝的H项下的值。然后，我们从定理4.1推导出这个问题。{^φ = φ} → 1.- α和Prob。{^φ < φ} → 0.应注意的是，即使顺序程序需要多次应用建议的测试，在没有任何进一步调整的情况下，可以保证正确的渐近大小α；这一特性仅在欧几里德/希尔伯特空间环境中开发的现有顺序程序中共享（见Johansen，1995，Nyblom and Harvey，2000，Chang et al.，2016，Nielsen et al.，2019）。如果选择显著水平，则α→ 0作为T→ ∞ 那么Prob。{^φ = φ} → 1.备注4.2。在Chang等人（2016年）和Nielsen等人（2019年）中，通过测试以下假设来确定φ：对于预先指定的正整数φmax和φ=φmax，φmax- 1.1，H:dim（HN）=相对于H:dim（HN）<~n，依次进行，直到他的第一次未被拒绝。

请注意，我们需要有关这类程序的上限的先验信息，即|max。然而，在有限维设置中，没有dim（HN）的自然上限。另一方面，我们在备注4.1中描述的顺序程序不需要此类事先信息；在没有任何关于φ的先验信息的情况下，该程序首先检查零假设H:dim（HN）=0，0是dim（HN）的最小可能值。备注4.3。如果≥ 1是预先已知的，在Li等人（2020a）的假设下，也可以通过特征值比标准来估计。该估计器最初用于估计非平稳分数积分函数时间序列{Xt}t的优势子空间的维数≥1.如果论文中的最高分数阶等于1，则支配子空间等于HN。使用确定性TelmiWe现在分别考虑由（3.14）和（3.15）给出的模型D1和模型D2，并保持使用在第3.4节中引入的符号。对于任何假设值，我们同样从（3.16）和（3.17）中构造PNа和PSа。定义Z~n，t，Ohm模型D1中的Γ、Γ、Υ、UΓ、t和CΓ，以及Ohm如第3.4节所示，D2型的Γ、eΓ、eΥ、eUΓ、t、andeCΓ。Wethen考虑下面的修正的特征值问题，C~n- Υφ- Υ*φwj=ujwj，j=1,2，(4.8)欧共体-eΥΥ-eΥ*φewj=eujewj，j=1,2。（4.9）与（4.5）类似，我们定义了以下内容：对于K>а，zа，t=（hUа，t，wа+1i，…，hUа，t，wKi），ezа，t=（heUа，t，ewа+1;。

，heU~n，t，ewKi）。我们对D1型和D2型的统计数据如下所示，Q（K，~n）=TTXt=1tXs=1z~n，t！LRV（z k，t）-1tXs=1z~n，t！，等式（K，~n）=TTXt=1tXs=1ez~n，t！LRV（ez~n，t）-1tXs=1ez~n，t！。为了描述Q（K，~n）和Q（K，~n）的渐近性质，我们假设B（r）=B（r）-RB（s），eB（r）=B（r）+（6r）-4） RB（s）+（6）-12r）RsB（s），W（r）=W（r）-rW（1）和fw（r）=W（r）+（2r）-3r）W（1）+（6r-6r）RW（s），其中B和W是为无确定性项的情况定义的独立布朗运动。统计量的渐近性质如下：定理4.2。假设假设M、W和K成立。在H，Q（K，~n）下→dZV（r）V（r）如果模型D1为真，则等式（K，~n）→dZeV（r）eV（r）如果模型D2为真，其中V（r）=W（r）-RdW（s）B（s）RB（s）B（s）-1RrB（s），eV（r）=fW（r）-RdW（s）eB（s）新界北(s)新界北(s)-1RreB（s），并且如果φ=0，则V和V的每个表达式中的第二项视为零。在每种模型下，相关统计数据不可能完全一致。Harris（1997）的表2和表3报告了一些K和а选择的临界值。4.2应用：关于协整假设的测试在实践中，我们可能有兴趣测试关于HNor或HS的各种假设。特别地，我们在本节中考虑以下假设：对于一个特殊子空间m，h：m HN，或相当于M⊥ 他说的不是真的 HN，或相当于M⊥ 他说的不是真的。（4.11）我们在下文中让PMdenote投影到M上。如将详细讨论的，如果已知φ，可以通过检查与残差{（I）相关的吸引子空间的维数来检验上述假设-PM）Xt}t≥1使用第4.1节中提出的测试。因此，我们假设整个本节中都知道φ；在实践中，我们可以将基于FPCA的顺序程序应用于Chang等人（2016）和Nielsen等人提出的程序。

（2019）提前确定；此外，Li等人（2020a）提出的估计器也可以在以下情况下使用：≥ 1.提前知道。当不存在确定性项时，吸引子子空间的推断考虑（4.10）的检验；作为一个简单的例子，我们可能对测试HN中是否包含特定元素xis感兴趣。注意，如果M HN，然后是与{（I）相关的吸引子空间-PM）Xt}t≥1is（~n）-昏暗（米）-维度的。LetbQ（K）表示我们基于FPCA的测试统计（4.6），由{（I）计算得出-PM）Xt}Tt=1，用于-暗度（M）和K>~n。那么，可以从定理4.1中推导出以下结果。推论4.1。假设假设M、W和K成立。根据Hof（4.10），bQ（K）→dZV（r）V（r），其中V（r）=W（r）-RdW（s）B（s）（RB（s）B（s））-1RrB（s）和独立于频带的器件- 尺寸（M））-尺寸和（K）- ν+dim（M））-分别为维标准布朗运动。Vis表达式中的第二项，如果φ=0，则视为零。根据Hof（4.10），bQ（K）→P∞利用定理3.3中给出的结果，推论4.1可以很容易地扩展，以允许模型具有（3.14）中给出的非零截距或（3.15）中给出的线性趋势。在吸引子超空间的推论中，我们现在考虑（4.11）当没有确定性项时。如果我 那么{（I）-PM）Xt}t≥1必须保持静止。LetbQ（K）是我们基于FPCA的检验统计量（4.6），由{（I）计算得出-PM）Xt}Tt=1，用于φ=0和K>0。然后从定理3.1，我们可以推导出Bq（K）的下列渐近性质。推论4.2。假设假设M、W和K成立。根据Hof（4.11），bQ（K）→dZW（r）W（r），其中是K维标准布朗运动。根据Hof（4.11），bQ（K）→P∞.因为我们要研究的是{（I）的平稳性- PM）Xt}t≥1.我们可以使用其他现有的平稳性测试，如Horváth等人的测试。

（2014年）和Aue和Van Delft（2020年）（根据这些论文中采用的相关假设）来检验兴趣假设。讨论可以毫无困难地扩展，以允许（3.14）和（3.15）中给出的模型使用定理3.3.4.3蒙特卡罗模拟中给出的结果。我们通过蒙特卡罗研究调查我们测试的有限样本性能。对于所有模拟实验，复制次数为4000次，标称大小为5%。模拟设置slet{fj}j≥1作为L[0,1]的傅里叶基函数，[0,1]上定义的平方可积函数的希尔伯特空间，配备内积hf，gi=Rf（u）g（u）du。固定值为(≤ 5，在我们的模拟实验中），我们让ENt和EST由以下平稳函数AR（1）模型生成：ENt=~nXj=1αjhgNj，Et-1igNj+PNεt，ESt=Xj=1βjhgSj，Et-1igSj+PSεt，（4.12）其中{gNj}j=1（resp.{gSj}j=1）是从{f，…，f}（resp.{f，…，f}）中随机抽取的，无需替换，ε如下所示：对于标准正态随机变量{θj，t}j≥1在j和t之间是独立的，εt=Pj=1θj，t（0.95）j-1fj。然后，我们从关系PN中构造XTXt=entan和PSXt=est表示t≥ 1.注意，Hn由{gNj}~nj=1的跨度给出，该跨度在DGP的不同实现中不固定；此外，HN的正交基{gNj}~nj=1仅从一组更平滑的傅里叶基函数{fj}j=1中选择。前者是为了避免Nielsen等人（2019年）中HNA的特定形状所造成的潜在影响，后者不是为了在小样本情况下对HNA进行估计，因为Nielsen等人（2019年）给出的结果表明，HNA维度测试的有限样本性能可能会变得更差，因为HNA包含的函数不太平滑。

我们也可以让{αj}~nj=1和{βj}j=1随机选择如下：对于某些βmin和βmax，αj~ U[-0.5,0.5]，βj~ U[βmin，βmax]。众所周知，平稳分量（{ESt}t）的持久性∈Zin（本文）对KPSS型式试验的有限样本特性有显著影响（见Kwiatkowski等人，1992年；Nyblomand Harvey，2000年）。因此，我们将在低持久性方案（βmin=0，βmax=0.5）和高持久性方案（βmin=0.5，βmax=0.7）下研究我们测试的有限样本特性。在实践中，考虑非零截距模型MODED1可能更为常见。因此，我们在DGP的每个实现中添加u（也是随机选择的）；具体而言，u=Pj=1＠θjpj/qPj=1＠θj，{＠θj}j=1是独立的标准正态随机变量，pjis（j- 1） -在[0,1]中定义的第四阶勒让德多项式（附录D的表9中报告了D2模型的一些模拟结果，以类似方式随机选择u）。最后，通过使用30个三次B样条基函数（基本函数的选择在我们的模拟设置中影响最小）对[0,1]的200个规则间隔点进行平滑处理，构建用于计算检验统计量的函数观测值。为了实现我们的测试，我们需要指定核函数k（·）、带宽h和一个正整数k satisfying k>~n。在我们的模拟实验中，将k（·）设置为Parzen核，并使用两个不同的h值，T1/3和T2/5，来观察带宽参数对我们测试的有限样本性能的影响。此外，我们在本节中报告的模拟结果是通过设置K=а+1获得的，这是K的最小可能选择。

我们发现一些模拟证据支持K的选择倾向于产生更好的有限样本特性；要了解这一点，可以比较表1和表8（附录D）中报告的结果。模拟结果我们调查了HN维度的拟议测试的有限样本性能。在我们的模拟实验中，有限样本功率是在以下情况下计算得出的：ψ=ν+1；随着魟距离魟越来越远，我们的测试往往会显示出预期的更好的有限样本功率（见附录D中的表7和表1）。表1总结了两种不同方案下的模拟结果。在较低持久性方案（βmin=0，βmax=0.5）下，对于所有考虑的μ和h值，试验具有良好的尺寸控制和合理的有限样本功率。另一方面，在更高的持久性方案下（βmin=0.5，βmax=0.7），它表现出过度排斥。我们的模拟结果明显表明：（i）随着T getslarger和/或h变得更大，这种过度抑制倾向于消失；（ii）使用固定T选择更大的带宽倾向于降低有限采样功率。总而言之，使用更大的带宽有助于我们避免潜在的过度发射，当{ESt}t∈他以牺牲权力为代价，坚持不懈。在其他KPSStype测试中，通常会观察到有限样本中正确尺寸和功率之间的这种权衡；例如，见Kwiatkowski等人（1992年）和Nyblom和Harvey（2000年）。我们还调查了测试的有限样本性质，以检验HNor或HS的假设。在许多潜在有趣的假设中，我们考虑如下：对于一个特殊的向量x∈ H和一个正交集{xj}~nj=1 H、 H:x∈ H反对H:x/∈ HN，（4.13）H:span（{xj}j=1）=HNagainst H:span（{xj}j=1）6=HN。（4.14）注意span（{gNj}~nj=1）=Hn和gS∈ HSin每次实现DGP（见（4.12））。

表1（4.1）试验的拒识频率（%），K=~n+1（a）βj~ U[0,0.5]，h=T1/3Tа=0 1 2 3 4尺寸（а=а）250 4.8 4.9 4.4 4 4.8 5.2500 4.9 5.0 4.4 4 4.9功率（а=а+1）250 97.0 88.3 81.6 75.1 69.3500 99.4 96.9 94.4 92.9 91.2（b）βj~ U[0,0.5]，h=T2/5T洎=0 1 2 3 4尺寸（洎=洎）250 4.4 4 4.6 4.3 4.4 4 4.3500 4.8 5.1 4.4 4 4.4功率（洎=洎+1）250 93.1 76.0 64.2 56.1 49.6500 97.7 90.2 83.4 78.0 75.8（c）βj~ U[0.5,0.7]，h=T1/3Tа=0 1 2 3 4尺寸（а=а）250 12.4 11.1 11.1 14.0 14.7500 8.6 8.7 9.0 9.4 11.1功率（а=а+1）250 96.9 88.3 81.6 75.4 69.6500 99.4 96.9 94.5 93.0 91.2（d）βj~ U[0.5,0.7]，h=T2/5T~n=0 1 2 3 4size（~n=~n）250 9.27.8 8 8.4 9.8 11.7500 6.9 7.0 6.6 6 6.9 7 7 7幂（~n=~n+1）250 93.1 76.1 64.4 56.5 50.1500 97.7 90.2 83.4 78.0 75.8我们的（4.13）有限样本大小和幂的模拟实验通过设置x=gN+γTgS，γ=0,20,40,60来计算。显然，x=gN∈ HNifγ=0。另一方面，当γ>0时，xD在Gs的方向上略微偏离Hn，但随着T的增加，这种偏差变得更小。在（4.14）的实验中，通过设置x=gN+γTgS，xj=gnjj=2，…，计算有限样本量和功率，φ, γ = 0, 20, 40, 60. （4.15）显然，γ=0意味着span（{xj}j=1）=HNin（4.15），而γ>0则使span（{xj}j=1）在gS方向上略微偏离HNin。表2和表3总结了我们对假设（4.13）和（4.14）进行测试的模拟结果，这些假设是针对几项不同的φ值。由于提议的测试基本上是我们对HN维度测试的简单修改，它们似乎具有与我们在表1中观察到的类似的有限样本性质。

我们还可以观察到，当{ESt}t∈Zi在表2和表3.5的实证说明5中均持续存在。1 Logit转换的特定年龄段就业率在本节中，我们回顾了尼尔森等人（2019年，第5.1节）给出的经验应用，并延长了时间跨度；具体来说，我们考虑了1986年1月至12月2019个月的工作年龄（15～64）人口的美国年龄特征就业率的时间序列。