单调回归不连续设计中的推理

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英文标题：
《Inference in Regression Discontinuity Designs under Monotonicity》
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作者：
Koohyun Kwon, Soonwoo Kwon
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最新提交年份：
2020
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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英文摘要：
  We provide an inference procedure for the sharp regression discontinuity design (RDD) under monotonicity, with possibly multiple running variables. Specifically, we consider the case where the true regression function is monotone with respect to (all or some of) the running variables and assumed to lie in a Lipschitz smoothness class. Such a monotonicity condition is natural in many empirical contexts, and the Lipschitz constant has an intuitive interpretation. We propose a minimax two-sided confidence interval (CI) and an adaptive one-sided CI. For the two-sided CI, the researcher is required to choose a Lipschitz constant where she believes the true regression function to lie in. This is the only tuning parameter, and the resulting CI has uniform coverage and obtains the minimax optimal length. The one-sided CI can be constructed to maintain coverage over all monotone functions, providing maximum credibility in terms of the choice of the Lipschitz constant. Moreover, the monotonicity makes it possible for the (excess) length of the CI to adapt to the true Lipschitz constant of the unknown regression function. Overall, the proposed procedures make it easy to see under what conditions on the underlying regression function the given estimates are significant, which can add more transparency to research using RDD methods.
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PDF下载：
--> Inference_in_Regression_Discontinuity_Designs_under_Monotonicity.pdf (645.23 KB)

2022-4-24 17:15:17 上传

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关键词：econometrics epidemiology Transparency Applications Econometric

单调性下回归不连续设计的推理*Koohyun Kwon+Soonwoo Kwon2020年11月23日摘要我们提供了一个在单调性下，可能有多个运行变量的急剧回归不连续设计（RDD）的推理过程。特别地，我们考虑真实回归函数相对于所有（或全部）运行变量是单调的情况，假设它位于Aalpsiz光滑类中。这种单调性条件在许多经验环境中都是自然的，Lipschitz常数有一个直观的解释。我们提出了极大极小双边置信区间（CI）和自适应单边置信区间。对于双面CI，研究人员需要选择一个她认为真实回归函数所在的Lipschitz常数。这是唯一的调整参数，结果CI具有均匀的覆盖范围，并获得最小最大最佳长度。单边CI可以构造成覆盖所有单调函数，在Lipschitz常数的选择方面提供最大可信度。此外，单调性使得CI的（多余）长度能够适应未知回归函数的真实Lipschitz常数。总的来说，建议的程序很容易看出在什么条件下，给定的估计值对基础回归函数是重要的，这可以增加使用RDD方法进行研究的透明度。*我们感谢顾问唐纳德·安德鲁斯和蒂莫西·阿姆斯特朗的持续指导。

我们还感谢耶鲁计量经济学招股说明书午餐会的与会者进行了深入的讨论。+耶鲁大学经济系，koohyun。kwon@yale.edu——耶鲁大学经济系，soonwoo。kwon@yale.edu1引言最近，人们对回归不连续设计中的诚实和极小极大最优推理方法越来越感兴趣（阿姆斯特朗和科尔斯ar，2018a；阿姆斯特朗和科尔斯ar，2020b；Imbens和Wager，2019；科尔斯ar和罗斯，2018；诺克和罗斯，2020）。这种方法要求研究人员指定一个她认为回归函数所在的函数空间，一旦选择了这个函数空间，推理过程就会随之进行。文献中提出的方法本质上是利用二阶导数的界来指定函数空间。这是由局部线性回归方法在实践中的流行所推动的，这种方法通常通过对回归函数的二阶导数施加局部边界来进行调整。然而，在实践中，选择二阶导数的合理界限可能很困难。我们通过考虑在单调性和Lipschitz条件下对快速回归不连续（RD）参数进行推理的问题来解决这个问题。具体而言，假设所有或部分运行变量的回归函数都是单调的，且一阶导数有界。单调性自然出现在许多回归不连续设计（RDD）环境中，Babii和Kumar（2020）对此进行了充分的记录。Lipschitz常数，或第一导数的界限，有一个直观的解释，因为这是一个界限，取决于如果运行变量改变一个单位，结果会发生多大的变化。

因此，如果研究人员报告了推断结果以及用于执行建议程序的Lipschitz常数，则很容易看出研究人员在回归函数的什么（可解释）条件下获得了此类结果。我们利用单调性和Lipschitz连续性限制的组合来构造一个有效的置信区间（CI），该区间在一个潜在的更大、更可解释的函数空间上保持正确的覆盖率。我们提供了一个极小极大双边CI和一个自适应单边CI。对于双面CI，研究人员需要选择真实回归函数的一阶导数的界。界是唯一的调整参数，结果CI具有均匀覆盖，并在考虑的回归函数类上获得最小最大最优长度。此外，通过利用单调性，theCI的长度比在没有这种形状限制的情况下构造的minimax CI短得多。据我们所知，当回归函数被假定为单调时，本文是考虑极小极大优化过程的第一步。可以构造单边CI以保持覆盖所有单调函数，从而在Lipschitz常数的选择方面提供最大可信度。由于单调性，只要真回归函数有一个有界的一阶导数，由此产生的CI仍然有有限的剩余长度，其中该界允许非常大且未知。这与没有单调性条件的极小极大CI形成对比，在这种情况下，长度必须与覆盖函数一致。此外，我们提出的单边CI适用于基础平滑度类别，当真实回归函数的一阶导数界较小时，会产生较短的CI。

这使得研究人员能够对RD参数进行非保守推断，同时在显著更大的回归函数空间内保持诚实的覆盖率。这种适应的代价是，根据治疗分配规则，我们只能构造一个单侧的下限或上限CI，但不能同时构造两者。我们描述了治疗分配规则和我们可以构建的自适应单边CI方向之间的关系。我们的方法，尤其是双边CI，与RDDs中诚实推理的文献密切相关。通过使用二阶导数边界，文献中的推理程序基于局部线性回归估计，这与RDD设置中使用的更传统的方法是一致的。然而，很难评估Aresearch指定的二阶导数界限的有效性。虽然忽略带有扭结的回归函数似乎是无害的，因此对于有限的二阶导数来说，二阶导数应该被视为“太大”还是“太小”，目前尚不清楚。因此，文献通常建议进行敏感性分析，以增强推理结果的可信度。然而，当平滑度参数不容易解释时，灵敏度分析的可信度增益有限。例如，很难判断灵敏度分析中考虑的最大值是否足够大。相比之下，可以根据更直接的经验推理来选择第一个导数的界限，因为第一个导数对部分效应有直观的解释。

例如，如果一个结果变量y和一个运行变量X是当前和以前的测试分数，则这类回归函数的值要求回归函数在所有运行变量中都是单调的。当x的标准偏差增加1/10时，y的标准偏差增加不超过1，这是合理的。Armstrong和Koles’ar（2020a）在其经验应用中采用了类似的方法来指定Lipschitz常数，这是一个不同环境下平均治疗效果的推理问题。通过对一阶导数施加一个界，我们的程序基于Nadaraya–Watsontype估计量，并正确考虑了边界偏差。Armstrong（2015）和Armstrong and Koles\'ar（2018b）首次考虑了在单调性下RDD设置中形成自适应单侧CI的可能性。不同之处在于，这些论文关注的是如何适应H？older指数β∈ （0，1]在拟合Lipschitz常数时。在这里，我们拟合β=1并适应Lipschitz常数。当β=1时，决定自适应CIS性能的是常数的大小乘以收敛速度，而不是速度本身。这与阿姆斯特朗（2015）和阿姆斯特朗与科尔斯的ar（2018b）中主要讨论速度适应的设置相反。在本文中，我们提供了一个程序，使相乘常数的大小相当小。Babii和库马尔（2020）也考虑了具有单调回归函数的RDD设置。他们引入了一个基于等渗回归刺激的推理过程，向我们传达了一个类似的信息，即单调性限制可以导致更高效的推理过程。

我们的方法主要有以下几个方面：1）我们明确地关注保持一致覆盖和优化CI的长度，2）考虑Lipschitz类在考虑具有指数β＞1/2的H类OLD类的情况下，3）我们的过程可用于具有多个运行变量的设置。本文中对运行变量维度的一般处理允许研究人员在具有多个运行变量的环境中使用我们的程序，Cattaneo等人（2020）将其称为多分数RDD。Imbens and Wager（2019）也考虑过这种设置。我们的论文是第一次在这种情况下考虑单调回归函数的空间，而单调性的增益对于多个运行变量的情况尤其重要，正如我们在本文后面所展示的。我们允许回归函数仅对某些变量是单调的，这拓宽了应用范围。事实上，我们的程序可以很容易地适应β的情况∈ （0,1），使用Kwon和Kwon（2020）中提供的结果。我们关注β=1，主要是因为Lipschitz常数的可解释性，以及假设有界的第一导数在非经验环境中似乎相当无害。我们的程序。论文的其余部分组织如下。第2节描述了该设置下的最佳内核和带宽的设置和形式。第3节介绍了极小极大双边CI，第4节介绍了自适应单边CI。第5节提供了模拟研究的结果，以证明拟议程序的有效性。第6节回顾了Lee（2008）的实证分析。第7节最后讨论了可能的扩展。2设置我们观察i.i.d.观察{（yi，xi）}ni=1，其中yi∈ R是结果变量，而席∈ 十、 RDI是运行变量的标量或向量。

我们假设Xto是Rd中的一个超矩形，让XT和XC与非空元素连接，这些元素构成X的一个分区。在本文中，下标t和c分别对应于“治疗”组和“对照”组。我们写席∈ Xtandxi∈ XC表明个人i分别属于治疗组和对照组。当d=1时，我们的设置对应于标准夏普RD设计，只有一个切入点。让（·）表示指示器功能。然后，我们的设置可以写成非参数回归模型yi=f（xi）+ui，f（x）=ft（x）{x∈ Xt}+fc（x）{x∈ Xc}，（1）其中随机变量Ui在i中是独立的。这里，Ft和Fc分别表示治疗组和对照组的平均结果函数。因此f对应于观察结果的平均结果函数，我们在本文中称之为“回归函数”。我们感兴趣的参数是边界点处的治疗效果参数，∈ B:=Xt∩ Xc，定义为asLRDf:=limx→x、 x∈Xtf（x）- 利克斯→x、 x∈Xcf（x）。当d=1时，LRDf对应于传统的夏普RD参数。另一方面，当d>1时，LRDf是B中特定临界点处的锐RD参数。Imbens and Wager（2019）和Cattaneo等人（2020）在分析具有多个运行变量的RD设计时也考虑了此类参数。在不损失一般性的情况下，我们设置x＝0，因为我们总是可以重新定义席=席。- x、 备注1（两种以上的治疗状态）。我们的框架还可以处理根据多个运行变量的值将个体分配到两个以上治疗的情况，Papay等人（2011）对此进行了分析。例如，当D＝2时，两个Cuto点C、C，四个不同的治疗状态取决于席≥ cifor i=1,2。

设{Xj}j=1是x的分划，其中j=1。。。，4.对不同的治疗状态进行索引。然后，如果我们对关于RST和第二处理的治疗E席感兴趣，我们可以LexEx＝XSX，并且用EX代替X的方法，XT= xANDXC= X.2.1函数空间，我们考虑研究者愿意指定一些C> 0个这样的框架，即FQ（x）。- fq（z）|≤ C·| | x- z | |对于所有x，z∈ Xq，对于每个q∈ |································。当d=1时，范数可以理解为绝对值，当d>1时，范数的选择可以给出不同的解释。我们允许一类一般的形式，只要求| | x | |增加x的每个元素的绝对值。我们说，在（1）中定义的回归函数f在（2）中有一个Lipschitz常数C，如果f满足（2）。除了Lipschitz连续性，研究人员还假设平均潜在结果函数对于运行变量是单调的。形式上，让z（s）表示运行变量z的sth组件∈ 第三，第五 {1，…，d}是单调变量的索引集，研究者假设fq（x）≥ fq（z）如果x（s）≥ z（s）代表所有s∈ V和x（t）=z（t）表示所有t/∈ 五、 （3）对于所有q∈ {t，c}。我们用F（C）来表示rds上分别满足（2）和（3）的函数空间。我们将讨论我们的框架的实际意义。首先，在很多情况下，这种单调性条件是合理的。关于带有单调运行变量的RDD示例，请参见我们论文的附录C以及Babii和Kumar（2020）的附录A.3。单调性盛行的一个原因是政策设计的性质。

例如，考试成绩较低的学生被分配到暑期学校，因为政策制定者担心成绩最低的学生在未来会表现出较低的学业成绩。他们认为，平均未来学业成绩（一个结果变量）在当前的考试成绩（运行变量）中是单调的。接下来，我们的Lipschitz连续性框架与之前的方法不同，后者指定了二阶导数的一个界。例如，阿姆斯壮和Koeles AR（2018a）考虑以下局部光滑函数空间：FT，FC∈ FT，p:=ng：g（x）-Xpj=0g（j）（0）xj/j！≤ C | x | p十、∈ Xo，并在其经验应用中设置p=2。类似地，Imbens and Wager（2019）提出了一个全局平滑假设，即kfqk≤ C代表q∈ {t，c}，其中kfqk表示Hessian矩阵的算子范数。相反，我们考虑的情况是，研究人员相信第一个导数的大小，而不是第二个导数的大小。使用一阶导数的主要优点是函数空间的可解释性。覆盖范围一致的函数空间应该易于解释，因为研究人员本人或分析推理过程的决策者可以评估不属于函数空间的函数是否可以安全地忽略为“极端”。为此，一阶导数的大小提供了一个合理的标准。具体来说，让我们考虑李（2008）分析在职人员对选举结果的影响，结果变量是当前选举中两方标准杆数之间的差额，而在前一次选举中，运行量是相同的。