论绝对变化与相对变化

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英文标题：
《On Absolute and Relative Change》
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作者：
Silvan Brauen, Philipp Erpf and Micha Wasem
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最新提交年份：
2020
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Theoretical Economics        理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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英文摘要：
  Based on an axiomatic approach we propose two related novel one-parameter families of indicators of change which put in a relation classical indicators of change such as absolute change, relative change and the log-ratio.
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PDF下载：
--> On_Absolute_and_Relative_Change.pdf (302.31 KB)

2022-4-24 17:26:29 上传

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关键词：Contribution Theoretical Game Theory equilibrium Indicators

关于绝对变化和相对变化，西尔文·布劳恩、菲利普·埃尔普夫和米莎是一位学者。基于公理化方法，我们提出了两个相关的新单参数变化指标族，将绝对变化、相对变化和对数比等经典变化指标置于一个关系中。关键词：绝对变化、相对变化、变化指标、对数比2010数学学科分类：26B99、62C05JEL分类：C021。引言统计学中最基本的概念之一是变化（例如，数量在时间上的变化）。通常，变化要么用绝对值表示，要么用相对值表示。正如我们将在下文中所示，对这些最基本指标的解释可能已经很困难：对于计量单位的固定选择，绝对和相对变化可能在比较不同尺度的变化时受到限制（见下面的示例2.1），并且可能需要找到一个合适的变化指标，将从绝对和相对变化中获得的信息结合起来。基于[T¨ornqvist等人，1985年，第43页]（见第3节）引入的相对变化的无意识表征的放松，我们将引入变化指标的单参数族fλ，它在测量值变化方面表现得特别好，并将绝对和相对变化作为特例。在另一个方向上，研究表明，相对变化具有某些概念上的缺陷，比如缺乏可加性和反对称性（见[T¨ornqvist等人，1985]，[Wetherell，1986]和[Schuer，1990]），可以通过用对数比代替它来弥补，该对数比似乎首次出现在[McAlister，1879]（另见[Aitchison，1982]和[Aitchison，1983]）。

我们将引入一个新的反对称加性单参数指标族Fλ，它在绝对变化和对数比之间插值，我们将展示Fλ和Fλ是如何相互关联的周四：2020年12月1日。2 S.BRAUEN，P.ERPF&M.Was为绝对变化、相对变化和对数比提供了一个通用框架。作为应用，我们展示了fλ和fλ如何有意义地比较不同尺度的变化（见示例2.1），以及它们如何揭示边际函数和经济弹性之间的简单关系（见示例5.1）。在整篇文章中，将用R+表示（严格）正实数的集合，用abs（x，y）表示绝对变化：=y- x和相对变化率（x，y）：=（y- x） /x，（x6=0）。问题展示我们现在将说明单独分析时绝对和相对变化可能存在的局限性。例2.1以一家公司通过五个不同的销售渠道I到V销售一种商品为例。过去时间（过去价值）的销售量用x表示，现在（当前价值）的销售量用y表示。假设该公司测量以下数字：渠道过去价值x现值y abs（x，y）rel（x，y）I 10 10 100%I 500 570 70 14%I II 140 210 70 50%IV 35 70 35100%V 80 135 55 68.75%（1）考虑到绝对变化，虽然III在相对方面优于II，但无法区分II和II。就绝对值而言，通道I和通道IV的增长率较低，而它们的相对增长率相对较大，而通道II和通道III的绝对增长率较高，即使它们的相对增长率相对较小。（2） 考虑到相对变化，I和IV表现同样好，尽管IV有更高的绝对变化。（3） 绝对和相对变化都不允许有意义地比较不同尺度上的变化（即。

我比我强吗？或者：哪种销售渠道最好？）如何将V频道与其他频道进行比较？我们下面构造的指标fλ取决于一个数λ∈ R和——正如我们将在下面展示的——是绝对和相对变化的插值，提供λ∈ [0, 1].在本例中——由于我们希望结合绝对变化和相对变化的信息——我们将选择λ=（见备注3.2（2））。在这种情况下，指示器由f1/2:R给出+→ R、 f1/2（x，y）=（y）- 十）/√x、 所有销售渠道的f1/2值如下所示：绝对和相对变化3销售渠道过去值x当前值y f1/2（x，y）I 10 20 3.16II 500 570 3.13III 140 210 5.92IV 35 70 5.92V 80 135 6.15结果是，所有值都可以用一个数字进行比较（III和iv同样好），V被评为最佳，而不是绝对或相对最佳。3.fλ的构造[T¨ornqvist等人，1985年，第43页]，相对变化的指标以函数r:r为特征+→ R满足（1）R（x，y）=0<==> x=y，（2）r（x，y） 0<==> 十、 y、 （3）r是连续的，y是7→ r（x，y）在增加。（4） r（Cx，Cy）=r（x，y）表示所有C>0。由于我们寻求在绝对变化和相对变化之间插值的变化指标，我们将放宽公理（4），因为它不包括r（x，y）=abs（x，y）。Ouridea将用一个放松的相对缩放不变性（见下文）代替缩放不变性（4）。此外，自y 7以来→ abs（x，y）和y 7→ rel（x，y）是线性的，我们也把线性作为公理。正如我们将在续集中展示的那样，我们的一组公理将确定一系列指标，这些指标在一个正乘法常数之前是唯一的。3.1. 公理。（1） 在第二个参数中有一个很好的线性关系。图f:R+→ 如果f（x，y）=m（x）y+b（x），那么在第二个参数中，R被认为是一个非常线性的，其中m和b是仍然依赖于x的值。（2）自然性。

如果f是连续的，而且f（x，y）是连续的，我们称f为自然的 0if x y和f（x，x）=0表示所有x>0（即f表示增长（减少）为正（负）数，表示停滞为零）。（3） 相对标度不变性。f是相对缩放不变的，如果它在缩放变化下表现为相对不变，则对于所有C>0和所有对（x，y），（\'x，\'y）∈ R+方程式（3.1）f（x，y）·f（C\'x，C\'y）=f（\'x，y）·f（Cx，Cy）应为真。这意味着测量x和Y的测量单位在相对意义上并不重要。3.2. 建设我们有以下定理：4 S.BRAUEN，P.ERPF&M.Wasem定理3.1If a map f:R+→ 满足公理（1）-（3），则认为f（x，y）=C·y- 对于某些C>0和λ∈ R.证明。非线性条件以及停滞的零分配意味着f（x，x）=m（x）x+b（x）=0，这迫使b（x）=-因此，f的一般形式是f（x，y）=m（x）（y）- x） 。由于（3.1）适用于所有C>0和所有可容许对（x，y）和（\'x，\'y），因此对于某些连续函数g:R，（3.2）f（Cx，Cy）=g（C）f（x，y）+→ R.因此（见[Efthimiou，C.，2010，第163页]）g（C）是幂柯西方程的一个解，该方程只有连续解g（C）=Cu，u∈ R.替换方程（3.2）中的该解，我们推导出m（Cx）=Cu-1m（x），这意味着m是μ度的齐次函数-1.根据欧拉齐次函数定理，m满足常微分方程m（x）-u-1xm（x）=0，解m（x）=Cx-λ对于某些常数C和λ：=1- u. 把我们得到的一切放在一起f（x，y）=C·y- xxλ。常数的符号C>0，由自然性假设决定。这就完成了证明。

此后，我们将设置C=1（见下面的备注3.2（2））并定义λ（x，y）：=y- xxλ。备注3.2我们现在列出fλ的几个性质：（1）Cobb-Douglas函数的形式结构。观察我们可以写出fλ（x，y）=rel（x，y）λ·abs（x，y）1-λ，因此将fλ正式解释为柯布-道格拉斯函数Y（L，K）=ALβKα，具有恒定的标度收益，其中A=1，L=rel（x，Y），K=abs（x，Y），α=1- λ和β=λ。（2） 概括绝对/相对变化和校准。通过观察f（x，y）=abs（x，y）和f（x，y）=rel（x，y）来证明标准化选择C=1。这表明fλ在多大程度上是绝对和相对变化的推广。数值λ允许故意在两者之间称重，因此用作校准。如果将相同的值分配给两对绝对和相对变化5（x，y）和（\'x，\'y），使得x 6=y，\'x 6=\'y和x 6=\'x，则可以使用公式λ=ln确定λ的值“y”-“xy-十、自然对数“-xx”.介于绝对与相对之间的一个自然的选择是，例如，在例子2.1中选择的值。（3） 相对标度不变性。如果测量x和y的单位是u，那么fλ（x，y）的单位是u1-λ. 通过这种方式，fλ不能直接被解释，但它有助于比较不同的对（x，y）和（\'x，\'y），因为单位自由商fλ（\'x，\'y）/fλ（x，y）将独立于根据相对标度不变性（3.1）选择的单位u。（4） 从差异到数量。使用上述Cobb-Douglas函数的结构，并用（绝对和相对）量替换abs（x，y）和rel（x，y）的差异，可以得到绝对和相对量的推广：对于绝对量y>0相对于另一个量x>0，可以得到函数（x，y）7→yxλy1-λ=yxλ，如果λ=0，则恢复绝对量，如果λ=1，则恢复相对量。

该函数在第二个参数中是线性的，满足相对标度不变性（上述公理（3））。fλ的一个反对称的加法变体对相对变化的常见批评包括其反对称性的失败，即通常rel（x，y）6=-rel（y，x）及其可加性失效，即一般的yrel（x，y）+rel（y，z）6=rel（x，z）（见[T¨ornqvist等人，1985]，[Wetherell，1986]和[Schuer，1990]）。在[T¨ornqvist et al.，1985]中观察到，对数比r（x，y）=ln（y/x）是相对变化的唯一指标，这种变化是反对称的、加性的和规范化的，即y 7的线性化→ x周围的r（x，y）由rel（x，y）给出。因此，很自然地会问指标Fλ：R+→ R是反对称的、可加的，并且在y 7线性化的意义上是赋范的→ x周围的Fλ（x，y）由Fλ（x，y）给出。下面的定理有力地回答了这个问题：定理4.1指标fλ（x，y）=y1-λ- x1-λ1 - λ、 如果λ6=1ln（y/x），如果λ=16 S.BRAUEN，P.ERPF&M.Wasemi是唯一的反对称和相加指示器，因此y 7的线性化→ x周围的Fλ（x，y）由Fλ（x，y）给出。证据我们首先通过区分可加性性质Fλ（x，x）+Fλ（x，t）=Fλ（x，t）推导出Fλ的某种结构x、 x，t∈ R+相对于t.因此yFλ（x，t）=所有x，x，t的yFλ（x，t）∈ R+这意味着yFλ只依赖于t，特别是它认为（4.1）yFλ（x，t）=yFλ（t，t）表示所有（x，t）∈ R+。因此，Fλ（x，y）是可加分离的（它分解为两个单变量函数的和，分别取决于x和y）。

y7的线性化→ x周围的Fλ（x，y）应该等于Fλ，所以我们得到Fλ（x，x）+yFλ（x，x）（y）- x） =y- xxλ，由于Fλ（x，x）=0与Fλ的反对称性成正比，因此（4.2）yFλ（x，x）=xλ和henceFλ（x，y）=ZyxyFλ（x，t）dt（4.1）=ZyxyFλ（t，t）dt（4.2）=Zyxtλdt=y1-λ- x1-λ1 - λ、 如果λ6=1ln（y/x），如果λ=1。很容易检验Fλ（x，y）+Fλ（y，z）=Fλ（x，z）x、 y，z∈ R+。备注4.2我们现在列出了Fλ的一些性质：（1）观察到Fλ将绝对变化（λ=0）和对数比（λ=1）置于自然关系sincelimλ中→1y1-λ- x1-λ1 - λ=ln（y/x）。此外，Fλ继承了Fλ的自然性和相对标度不变性（但不是第二个参数中的有效线性）。（2） 用y7的泰勒展开式→ Fλ（x，y）围绕x我们得到Fλ（x，y）=Fλ（x，y）+nXk=2(-1） k+1Γ（λ+k）- 1） k！xk+λ-1Γ（λ）（y）- x） k+O（（x）- y） n+1），其中Γ表示欧拉伽马函数，我们注意到截断级数也满足相对标度不变性和自然性。在线性项之后进行截断，并使用绝对和相对变化余数的拉格朗日形式，我们得到了关于Fλ和Fλ之差的二次全局界|Fλ（x，y）- fλ（x，y）| 6λ·（y）- x） min{x，y}1+λ。（3） 如果x=1（对应于测量单位的选择），则函数y 7→ Fλ（1，y）等于参数1的Box-Cox变换- λ（见[Box&Cox，1964]）。在这种情况下，我们有F（1，y）=y，F（1，y）=（py）-1） ，F（1，y）=2(√Y-1） F（1，y）=lny（见图1）。图1。该图显示了F（1，y）、F（1，y）（实心）、F（1，y）（虚线）和F（1，y）（虚线）的图形∈ (0, 5].5.

应用每一个涉及绝对或相对变化的量都可以用fλ（或fλ）自然地进行广义化：应用5.1（边际函数和弹性之间的关系）指标fλ和fλ揭示了边际函数和弹性之间的关系：对于可微分的经济函数g（x），相关的边际函数由其导数g（x）给出。相应的弹性函数由εg（x）=limy定义→x（g（y）- g（x））/g（x）（y- x） /x=g（x）·xg（x），是相对变化商的极限。用fλ代替该定义中的相对变化，我们得到了广义弹性函数ελg（x）=limy→x（g（y）- g（x））/g（x）λ（y）- x） /xλ=g（x）·xg（x）λ8 S.BRAUEN，P.ERPF&M.Wasem将边缘函数（λ=0）和经典弹性（λ=1）置于自然关系中。λ的选择λ的选择在很大程度上取决于上下文。如果希望在绝对变化和相对变化之间“对称”插值，以下概念证据表明λ=是一个不错的选择：为了确定λ，我们要求系数C>0（对于固定相对变化）的绝对变化比例等于相对变化比例（对于固定绝对变化）。观察到对（x，y）和（Cx，Cy）满足abs（Cx，Cy）=C abs（x，y）andrel（Cx，Cy）=rel（x，y），因此绝对变化以C为标度，而相对变化保持不变。成对的（x，y）和xC，y- x+xC满足感xC，y- x+xC= abs（x，y）relxC，y- x+xC= C rel（x，y），因此相对变化与C成比例，而绝对变化保持不变。现在选择参数λ，使fλ满足fλ（Cx，Cy）=fλxC，y- x+xC.这个方程式简化为C1-λ=Cλ，因此λ=。我们将添加一个具体的例子来说明选择。作为参考对，我们选择满足λ（1，2）=1的（1，2）作为每个λ的选择。

这对（2，4）有一个绝对变化，它和（1，2）的变化一样大，但rel（1，2）=rel（2，4）。唯一一对的绝对变化与（1，2）相同，但其相对变化是（1，2）的两倍,.那么fλ（2，4）=21-λ、 fλ,= 2λ和21-λ=2λi offλ=。因此，选择λ的方式是，将绝对变化或相对变化加倍，即得出相同的结果。从f作为Cobb-Douglas函数的角度来看，我们注意到选择λ=具有以下结果：Cobb-Douglas函数Y（L，K）=ALβKα的点（L，K）处的边际替代率由（6.1）给出LY（L，K）KY（L，K）=βLβ-1KαLβKα-1=βα·KL。在我们的例子中，只要L=rel（x，y），K=abs（x，y），α=1- λ和β=λ，（6.1）中的后一表达式等于λ/（1）-λ） ·x.当λ=时，该量正好等于过去的值x。关于绝对和相对变化97。结论我们已经证明，变化指标fλ可以从一些简单的自然公理中挑选出来。通过这种方式，绝对和相对变化的基本概念被确定为更一般数量的特例。在这个指标的基础上，构造了一个新的反对称加性指标Fλ，它与对数比的绝对变化有关。因此，我们的分析将[T¨ornqvist et al.，1985]的主要结果作为特例包含在内。此外，我们还得到了一个新的广义弹性函数，它揭示了经济学中两个经典概念——边际函数和弹性之间的关系。致谢。作者要感谢Thomas Mettler指出fλ作为Cobb-Douglas函数的形式结构。参考文献[Aitchison，1982]John Aitchison（1982）。成分数据的统计分析（附讨论）。英国皇家统计学会杂志，B辑（统计方法学）44（2），139？177.[Aitchison，1983]约翰·艾奇森（1983）。