人类社会循环谱

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英文标题：
《Human Social Cycling Spectrum》
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作者：
Wang Zhijian, Yao Qingmei
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  This paper investigates the reality and accuracy of evolutionary game dynamics theory in human game behavior experiments. In classical game theory, the central concept is Nash equilibrium, which reality and accuracy has been well known since the firstly illustration by the O\'Neill game experiment in 1987. In game dynamics theory, the central approach is dynamics equations, however, its reality and accuracy is rare known, especially in high dimensional games. By develop a new approach, namely the eigencycle approach, with the eigenvectors from the game dynamics equations, we discover the fine structure of the cycles in the same experiments. We show that, the eigencycle approach can increase the accuracy by an order of magnitude in the human dynamic hehavior data. As the eigenvector is fundamental in dynamical systems theory which has applications in natural, social, and virtual worlds, the power of the eigencycles is expectedly. Inspired by the high dimensional eigencycles, we suggest that, the mathematical concept, namely \'invariant manifolds\', could be a candidate as the central concept for the game dynamics theory, like the fixed point concept for classical game theory.
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中文摘要：
本文研究了进化博弈动力学理论在人类博弈行为实验中的真实性和准确性。经典博弈论的核心概念是纳什均衡，自1987年奥尼尔博弈实验首次阐明纳什均衡以来，纳什均衡的真实性和准确性已为人们所熟知。在博弈动力学理论中，主要的方法是动力学方程，然而，它的真实性和准确性是鲜为人知的，尤其是在高维博弈中。通过发展一种新的方法，即特征环方法，利用博弈动力学方程中的特征向量，我们在相同的实验中发现了循环的精细结构。我们表明，本征周期方法可以将人类动态行为数据的精度提高一个数量级。由于本征向量是动力系统理论的基础，在自然、社会和虚拟世界中都有应用，因此本征环的威力是令人期待的。受高维特征环的启发，我们认为，数学概念，即“不变流形”，可以作为博弈动力学理论的中心概念，就像经典博弈论的不动点概念一样。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Theoretical Economics        理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Chaotic Dynamics        混沌动力学
分类描述：Dynamical systems, chaos, quantum chaos, topological dynamics, cycle expansions, turbulence, propagation
动力系统，混沌，量子混沌，拓扑动力学，循环展开，湍流，传播
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PDF下载：
--> Human_Social_Cycling_Spectrum.pdf (1.44 MB)

2022-4-26 12:04:22 上传

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关键词：人类社会 Eigenvectors Applications Mathematical Contribution

人类社会循环谱王志坚和姚勤美浙江大学实验社会科学实验室，杭州310058，中国2021年6月18日本论文研究了进化博弈动力学理论在人类博弈行为实验中的真实性和准确性。在经典博弈论中，核心概念是纳什均衡，自1987年奥尼尔博弈论首次阐明以来，纳什均衡的真实性和准确性已为人们所熟知。在博弈动力学理论中，主要的方法是动力学方程，然而，它的真实性和准确性是鲜为人知的，尤其是在高维博弈中。通过发展一种新的方法，即艾根循环方法，利用博弈动力学方程的特征向量，我们在相同的实验中发现了高维循环。我们表明，本征周期方法可以将数据的精度提高一个数量级。由于本征向量是动力系统理论的基础，该理论在自然、社会和虚拟世界中都有应用，因此本征环的力量是预期的。受奥尼尔博弈中特征环的启发，我们认为，数学概念，即“不变流形”，可以作为博弈动力学理论的核心概念，就像博弈静力学理论中的定点概念（纳什均衡）一样。关键词：行为游戏实验进化博弈论动力学系统理论投资元件特征周期变量手册内容1简介31.1研究问题。31.2本征周期法的背景。31.3内容组织。42关于本征环集的理论结果42.1奥尼尔博弈中的本征向量。

. . . . . 42.2本征周期集。52.3理论结果的解释。63子空间循环的实验观察83.1实验数据的简要总结。83.2作为测量的角动量。83.3实验结果。93.4实验结果的解释：。94本征循环集与实验114.1精细结构验证。114.2超精细结构。134.3本征周期频谱分析。155讨论和结论166附录196.1附录1：本征周期的几何解释。196.2附录2：本征周期和角动量之间的不变量。206.2.1来自同一特征向量的两个分量的干扰。206.2.2两个不同特征向量的两个分量的干扰。216.3附录4：本征系统推导和对称性分析。236.3.1本征系统推导。236.3.2特征系统和不变流形。246.3.3李萨如图及其统计意义。256.3.4本征系统对称性。

256.4附录6：不变流形和本征周期的验证。256.5附录7：净运输和特征周期的验证。276.6附录5：数据和动力学模型有效。286.7附录3：相关工程。306.7.1进化博弈论和实验的相关工作。306.7.2动力学系统理论的相关工作。316.7.3关于奥尼尔游戏中动力学循环的相关工作。326.7.4关于高维游戏动力学模式的相关工作。介绍1。1研究问题我们研究进化博弈动力学理论[20][9]在高维人类博弈行为实验[5]中的真实性和准确性。在博弈静力学理论中，1950年左右建立的混合策略纳什均衡是核心概念。直到1987年，一个具有代表性的游戏实验——奥尼尔游戏[18]提供了第一个例证，表明实验室中的人类策略行为可以被中心概念准确捕捉。表1显示了涉及长期重复、离散时间、两人零和博弈的实验的支付矩阵。从那时起，这个游戏在各种实验环境[15][17]和分析[3]中被广泛重复。到目前为止，文献主要关注个体行为的长时间策略分布和时间依赖性，但很少探讨社会动力学结构。在这里，动态结构指的是博弈状态空间中进化轨迹的几何模式。直觉上，有两个原因阻碍了动力学模式的研究。

首先，游戏具有高维度的战略空间；处理高维动态模式的方法仍然是一个尚未解决的问题[7]。其次，在实验室的游戏实验中，人类的战略决策是高度仓促的，测试动态模式是一项艰巨的任务[5][14]，尤其是在离散时间游戏中[6]。在过去的十年里，一些表象游戏的测试循环动力学模式得到了改善，比如石头剪刀[6,24]和匹配的硬币，比如2×2游戏[25]。但实际上，所有这些都是二维的，而不是高维的。在一个真实的博弈中，总是有许多参与者和许多策略参与，那么演化轨迹将在高维状态空间中。研究高维博弈动力学结构并非易事。作为一个前沿问题，它不仅出现在实验室游戏实验中，而且出现在寻求真实游戏动力学过程中的规律性中。这对自然科学和社会科学，以及工程和艺术领域都有重要意义[9][20][7]。可以说，在现实世界或视觉世界中，无论博弈论在哪里应用，在博弈过程中，总是存在进化过程；那么在呈现几何轨迹的过程中，规律性总是一个奇怪的问题。1.2本征周期方法的背景因此，我们开发了一种方法，即本征周期集，用于识别高维动力学。我们的方法基于数学的一个分支——动力系统理论。如前所述，对于平衡点附近的局部动力学，可以应用基于特征值和特征向量的线性化和解析解。假设初始概率分布可以表示为特征向量的线性组合ξ为[16]，p（0）=aξ+aξ+。。。

+akξk，（1）其中ξi是特征值λi的相关特征向量；概率在时间上会根据top（t）=eλtaξ+eλtaξ+…+而演化eλktakξk，（2）式中，系数（ai，i）∈ [1，k]）和（ξi，i）∈ [1，k]）与时间t无关，唯一的时间依赖项是eλit。在本征值λi的系数α的基础上，我们讨论了本征向量的分量。假设一个归一化特征向量有s个分量，表示为ξi=（η，…，ηm，…，ηn，…，ηs），我们可以给出m维演化aspm（t）=eλtaηm+eλtaηm+…+类似地，n维演化aspn（t）=eλtaηn+eλtaηn+…+eλktakηnk。（4） 显然，pm（t）和pn（t）将在二维空间中形成一条轨迹（以下简称为Ohm它是s维空间的一个子空间）。我们的起点来自于属于给定向量的两个分量之间的同步。存在两个时不变：第一，任意两个分量的相位角差（arg（ηm）- arg（ηn））随时间不变；其次，每个分量ηi，| |ηi | |的振幅随时间变化。然后研究了一般条件下两个分量的推断。由此，我们发展了一种新的理论预期观测，称为特征环集，用于识别高维博弈中的人类动态行为。主要贡献如下：（1）如图2所示，我们在历史人类游戏实验数据中发现了高维游戏动力学模式中的精细和超精细结构，循环测量精度提高了一个数量级。（2） 我们提出了一种通用的动力学系统分析工具，即周期集分析。

我们在1987年O’Neillgame数据中证明了其有效性，该数据首次证明了纳什均衡的准确性。受实验结果以及深深植根于标准动力学系统理论的方法的启发，我们建议，需要考虑博弈动力学理论的核心概念，这将在后面讨论。1.3内容组织本文的其余部分组织如下：在第二节中，我们以奥尼尔博弈为例，解析计算复制子动力学方程的本征系统；然后阐述了特征环集方法和理论结果，并据此预测了精细结构和炒作精细结构；在第三节中，我们介绍了六个人类行为游戏实验数据，并报告了二维子空间上高维循环运动投影的实验结果；在第4节中，我们验证了理论特征环集方法在理论和实验中的有效性。在本节中，报告了精细结构的发现和超精细结构的重要证据。在第5节中，我们总结了我们的贡献、我们的发现和方法的含义，并提出了未来研究的范围。最后，通过数值结果的比较，我们认为“不变流形”可以成为AME动力学理论的潜在核心概念。2本征循环集的理论结果2。1奥尼尔博弈的特征向量奥尼尔博弈是一个零和4×4博弈。

表1显示了支付矩阵：为了研究动态表1：奥尼尔零和博弈矩阵B1 B2 B3 B4A1 1-1-1-1A2-1-1 1A3-1-1 1A4-1-1-1在实验室实验博弈中，我们使用复制子动力学方程[20]：˙xj=xj* （Uj）-UX），（5）xjis是第j个策略参与者在包含第j个策略参与者的种群中的概率，以及˙xjis是概率的进化速度；uj第j战略参与者的报酬，以及包括第j战略参与者在内的人口的平均报酬。这些非线性微分方程的显式表达式如SI所示。我们一个接一个地将策略概率（A1、A2、A3、A4）分别分配给（x、x、x、x）。类似地，我们将策略概率（B1、B2、B3、B4）分别分配给（x、x、x、x）。那么，在任何时候，系统必须是一个八维空间，其中纳什均衡是x*:= （十）*, 十、*, ..., 十、*) = (2/5, 1/5, 1/5, 1/5, 2/5, 1/5, 1/5, 1/5).这个八维空间有两个集中的x+x+x+x=1∩ x+x+x+x=1∩ xk≥ 0（k）∈ 1, 2, ..., 8） 根据速度向量场F的雅可比矩阵（或特征矩阵或导数矩阵）：=（纳什均衡x下的˙x，˙x，…，˙x）*[20] ，我们可以显式地计算特征值λ及其相关的归一化特征向量ξ的分量（η，η，…η）。这里，分量（η，η，…η）逐个对应于（x，x，…，x）。本征值λ和igenvectorξ的显式分析结果如表2所示。从特征值的符号可以看出，纳什均衡（固定点）沿实特征值的特征方向呈线性。

本征系统推导的详细信息见附录第6.3.2.2节本征周期设置定义我们称由一个归一化本征向量ξi=（η，…，ηm，…，ηn，…）内的两个分量（ηm，ηn）构成的圆为本征周期，标记为σ（mn）。计算公式为：σ（mn）=π·| |ηm |·| |ηn | | sinarg（ηm）- arg（ηn）, （6） 其中m和n分别是二维子空间的横坐标和纵坐标||ηm | |和arg（ηm）分别表示ηm的振幅和相位角。σ（mn）c确定本征周期的方向和振幅。本征循环值的另一种等效表示为σ（mn）=π·<（ηm）=（ηn）- <（ηn）=（ηm）, (7)= π · <η+mηn（8） 其中，<（ηm）是复数η的实部，=（ηm）是虚部；SuperScript+表示复数的共轭。奥尼尔博弈的本征周期值根据这个公式，对于奥尼尔博弈，表2列出了复制因子动力学的本征向量的本征周期值。定义的解释o本征循环的不变性：本征循环是由归一化的向量中的两个分量构成的，因此其值是不变的。这是根据公式（7）和以下几点：（1）每个组件的模式是固定的；（2）特征向量中两个给定分量之间的相位差是固定的；因为，它们由相同的特征值调制，也就是说，这两个分量之间的相对相位差保持不变本征循环数：有N（N-1） /2对应于给定分量归一化特征向量的独立特征环，因为在N维特征向量中，每个分量都有N个空气组合。

考虑到（ηm，ηm）的N个自组合是平凡的（σ（mm）=0），并且（ηN，ηm）和（ηm，ηN）是简单的反转（σ（mn）=-σ（nm）），只有N（N-1） /2组合仍然存在本征周期集：本征周期集，作为向量，由Ohm（mn）ξk被定义为代表一组N（N- 1） /2本征周期元素。下标是以k为索引的归一化特征向量ξ，它生成该特征环集。上标（mn）是二维子空间的索引，集合的元素（本征环）位于该子空间。（mn）定义如下：{m，n}∈ {1,2，…，n}∩ （m<n）}。在本研究中，分配顺序是从1到N的m，然后从2到N的N。o子空间集：子空间集，表示为Ohm（mn），有N（N- 1） /2本征周期元素。超级脚本（mn）是二维子空间的索引。（mn）的定义如下：{m，n}∈ {1,2，…，n}∩ （m<n）}。在本研究中，分配顺序是从1到N的m，然后从2到N的N。由于对称性，存在一个子集Ohm（mn），其中元素的性能相等特征环集的独立性：对应于特征向量的特征环集不是完全独立的。让我们以奥尼尔的比赛为例。在八个本征环集合中，只有树（由（ξ.8i，ξ.4i，ξ.4i）生成）是独立的。我们解释如下：根据一组特征值，（1）两个特征值（0.2和-0.2）是实数。因为只有那些看起来是复数的特征向量才与周期运动有关，所以这两个特征向量是微不足道的。（2） 剩下的六个特征向量构成三对。每对具有复共轭值的特征向量都是共轭的，生成的特征环集对与另一对具有相反的值。因此，我们可以忽略那些与特征值有关的，也就是(-0.8i，-0.4i，-0.4i）。