经济学家的量子技术

因此，在短期内，量子计算的应用将局限于原理证明演示和量子意识和教育的发展。此外，实现量子加速的挑战可能有助于开发更高效的经典算法。论文的其余部分组织如下。第2节概述了全面理解量子货币和量子算法所需的初步材料。这包括量子物理现象的数学和符号描述，因为它被用来执行计算。第3节介绍了量子货币的概念，包括第一个量子货币方案的完整技术细节，以及对文献的所有主要理论和实验贡献的概述。第4节对可用于求解和估计经济模型的量子算法进行了详尽的文献综述，并描述了此类算法的实现方式，以及它们相对于经典算法是否存在局限性。它还描述了量子硬件和软件的现状。最后，第5节结束，附录提供了有关量子货币和量子算法的更多技术细节。2预备知识本节将概述量子计算和量子货币中的概念，这些概念假定具有线性代数和统计学的知识，但不具有物理学或计算机科学的知识。所涵盖的主题集旨在尽可能狭窄，同时仍为读者提供理解简单量子算法和量子货币方案的基础。我们将讨论信息如何在物理系统中编码，这些系统的状态如何用数学表示，以及可以对它们执行什么操作。

有关量子计算的更完整概述，请参阅尼尔森和庄（2000）中关于“基本概念”的章节，波拉克和里夫（2011）中关于“量子构建块”的章节，或约翰·瓦特罗斯关于量子计算的入门课程（瓦特罗斯，2006）的讲稿。2.1量子状态在本小节中，我们将讨论量子状态，这是量子计算机信息存储的媒介。状态可以通过操作来执行计算。2.1.1量子比特二进制数字或“比特”是经典计算的基本单位。位可以位于0或1位置，并且可以使用具有两种状态的经典系统进行物理编码。在现代计算机中，通常用低电压电平对0位进行编码，用高电压电平对1位进行编码。选择usebits允许直接应用布尔逻辑运算。表一显示了此类操作的选择。正如She Offer（1913）所证明的那样，通用计算只能使用NOT-AND（NAND）操作和位对来执行。因此，使用具有许多输入的复杂逻辑运算的经典计算机将无法执行与在成对位上排他性地形成NAND的计算机不同的操作。状态与或异或NAND00 0 0 0 101 0 1 110 0 1 111 1 1 0表I：上表显示了2位逻辑操作的选择。在电路中，这种操作将使用称为门的对象来实现。如果两个输入位都等于1，则AND运算等于1，否则为0。如果至少有一个输入位等于1，则（包括）OR运算为1。如果恰好1个输入位等于1，则异或或运算等于1，否则为0。NOT-AND或NAND运算是AND运算的否定。量子比特是量子计算的基本单元。

就像通用计算机一样，它能够模拟任何其他计算机。经典比特、量子比特在两级系统中编码；然而，与经典比特不同的是，量子比特是在量子系统中编码的，比如光子极化、电子跃迁和能级。量子系统的使用允许利用量子物理性质。例如，量子比特可以同时处于0和1的叠加中，而不是局限于0或1的位置（像经典比特一样）。我们将在第2.1.4节和第2.1.5节中讨论如何利用这些特性——叠加、纠缠和干扰——来提供比使用经典比特所能实现的优势。重要的是，量子计算可以在不深入了解其背后的物理过程的情况下进行，就像在不了解编码信息的底层物理系统的情况下进行经典计算一样。虽然对量子物理的理解可能会提高直觉，但它将有助于理解状态是如何表示的，以及我们可能对它们执行的操作。本节的目的是通过主要的数学描述提供此类信息。2.1.2矢量表示单个经典位仅限于两种配置：0和1。例如，如果我们有五位–0、1、1、0和0–我们可以使用五位字符串表示系统的基本状态：01100。更一般地说，如果我们有n位–0,1。。。，1–我们可以用n位字符串表示基础状态：01。。。1.对于量子位，情况并非如此。除了处于两个“经典”态0或1之外，两能级量子系统还可能处于不可数的有限个叠加态。

因此，我们用一个列向量表示一个单独的量子位，如等式（1）所示。αβ!（1） 注意，α和β被称为“振幅”，位于C中。此外，如等式（2）所示，每个元素的模平方和为一。1=|α|+|β|（2）如果我们有第二个两能级系统，第一个和第二个系统的联合状态由它们的张量积给出，如等式（3）所示。αγαδβγβδ=αγδ!βγδ!=αβ!γδ!（3） 正如我们所看到的，一个单量子位态处于C，而一个双量子位态处于（C）2=C。更一般地说，n量子位态位于（C）n=Cn。这意味着n比特量子系统能够表示2n个复数；然而，n位经典系统只能表示n个二进制数字。量子比特数的线性缩放所产生的计算资源的指数缩放为量子加速提供了基础。然而，重要的是，正如我们在第4.2.2节中所讨论的，这不会导致资源需求或运行时间的总体指数增长。2.1.3 Dirac符号虽然可以使用列向量表示量子态，但使用Dirac（1939）提出的bra-ket符号通常会更方便。这是因为表示系统状态所需的列向量的大小与量子位的数量成指数级。例如，一个20量子位的系统需要一个1048576元素的列向量。正如您在上一小节中可能已经注意到的，我们的列向量表示可以用基向量重新表示，如等式z所示∈ C、 然后我们可以把z分解成实部和虚部，z=x+iy，其中i=√-1.复数的模为| z |=px+y.（4）。

Dirac表示法通过使用“kets”来表示量子态，简化了更麻烦的列向量表示。αβ!= α!+ β!（4） 在方程式（4）中，我们使用了方程式（5）中给出的“计算基础”。(!,!)（5） 在狄拉克表示法中，我们将使用ket，|φi来表示系统的基本状态。我们还可以使用基向量kets来分解状态：{| 0i，| 1i}。公式（6）给出了这种重新表述|φi=α！+β!= α| 0i+β| 1i（6）此外，如果我们有多个量子位，|φi和|ψi，它们的态将是两个单独量子位态的张量积，可以用方程（7）中所示的任何方式来表示|φi |ψi=|φi |ψi=|φψi=（φ| 0i+φ| 1i） （ψ| 0i+ψ| 1i）（7）由于张量积满足分布性质，我们可以将方程（7）重新表示为方程（8）。φψ| 00i+φψ| 01i+φψ| 10i+φψ| 11i（8）除计算基础外，使用其他基通常是方便的，张量积满足分布和结合性质，但不满足交换性质。包括阿达玛基础：{|+i|-i} 。注意|+i和|-我定义了不等式（9）和（10）|+我=√|0i+√|1i（9）|-我=√|0i-√|1i（10）除了ket，Dirac符号还引入了胸罩，这是ket的共轭变换。方程式（11）定义了对应于|φi.hφ|的文胸=α*β*（11） 注意α*和β*是α和β的复合共轭物。当我们想要表达一种经常使用的内在或外在产品时，文胸将非常有用。|0i和|1i的内积用等式（12）表示。h0 | 1i=1 0!= 0（12）等式（13）中定义了等效外积|0ih1 |=！0 1=0 10 0!（13） 2.1.4叠加在计算基础上，叠加是两种基本状态|0i和|1i的线性组合：α|0i+β|1i。

计算基础中的纯态|0i和|1i也是不同基础中的叠加。请注意，我们可以把| 0i写成阿达玛基的叠加，这是计算基中的纯态，如等式（14）所示。如果α=x+iy，那么α*= 十、- iy|0i=（|0i+|1i）+（|0i）- |1i）=√|+我+√|-i（14）创造量子叠加的能力将为我们提供经典计算所不具备的计算资源。虽然经典比特必须处于0或1位置，但量子比特可能处于|0i和|1i状态的无数线性组合中。正如我们将在第2.3节中讨论的，我们无法观察与叠加相关的振幅。相反，我们仅限于在特定的基础上对astate进行测量，这将导致叠加崩溃为basisstate。例如，在计算基础上进行测量时，α| 0i+β| 1i将产生概率为|α|的| 0i和概率为|β|的| 1i。2.1.5纠缠大多数多量子位态可以写成张量积，例如| 00i或（α| 0i+β| 1i）|1i）。然而，有些被称为“纠缠”的态不能用这种方式表达。相反，这些状态表现出“相关性”，即测量一个量子位会产生关于剩余未测量量子位状态的信息。有四个最大纠缠的两量子位态，它们被称为贝尔态，并在Bell（1964）中作为inEinstein等人（1935）悖论的解决方案引入。其中一种钟形态为|φ+i，如等式（15）所示。φ+=√（|00i+|11i）（15）注意，振幅的选择——α、β、γ和δ——都不会满足方程（16）。φ+= （α| 0i+β| 1i） （γ| 0i+δ| 1i）=αγ| 00i+αδ| 01i+βγ| 10i+βδ| 11i（16）重要的是，纠缠并不能简化为经典概率中的相关概念。

相反，如果我们使用计算基础测量|φ+i中的第一个量子位，我们将以概率得到| 0i或| 1i。如果我们的测量结果为第一个量子位返回| 0i，那么第二个量子位也肯定会返回| 0i。或者，如果我们得到第一个量子位的| 1i，我们将得到第二个量子位的|1i。即使我们在空间中分离量子比特并同时进行测量，纠缠量子态的这一性质仍然成立。它有时被称为非局部性，因为交互的速度似乎并不取决于物理上的接近程度。纠缠在一些量子算法中起着重要作用。它还被用于量子隐形传态协议，并具有通过量子互联网进行安全通信的突出特点。2.2量子动力学量子态随时间的演化可以用幺正运算来描述。矩阵U的酉性的必要和充分条件是U+U=I。注意+是等式（17）中定义的伴随算子，它转置ua并取其每个元素的复共轭。U+=U*0,0u*1,0u*0,1u*1,1!（17） 幺正运算保留了欧几里德范数，这确保了量子政治家在变换后保持1的欧几里德长度。此外，通过使用伴随算子，幺正运算是非常可逆的，允许可逆性，这是量子计算的一个要求。最简单的操作是单量子比特单位。其中，常用的单位包括恒等式算子I和泡利算子X，Z，这是薛定谔方程的结果，该方程描述了水系统的时间演化，是可逆的。请注意，经典计算没有这样的要求。例如，如果我们对经典电路中的0和1输入位应用与门，我们得到输出0。

如果没有其他信息，我们无法反转0来恢复0和1，因为0和0的输入也会产生0。和Y–在等式（18）中定义。I=1001！，X=0110！，Z=100-1.Y=0-ii 0！（18） 恒等式算符保持量子态不变。Pauli X UNITARY应用“比特流”或“非比特流”操作，如等式（19）所示。也就是说，|0i生态组|1i，|1i变成|0i，更一般地说，α| 0i+β| 1i变成β| 0i+α|1i。X |ψi=0110！αβ!=βα!（19） Pauli Z幺正变换适用于相对相位流。也就是说，它改变了第二个振幅的符号。在计算基础上，这将把|+i状态转换为a|-istate和a|-i状态为|+i状态，如等式（20）所示。Z |+i=100-1.√√!=√-√!= |-i（20）如等式（21）和（22）所示，泡利Y幺正性在计算基和阿达玛基中都充当非运算。Y | 0i=0-ii 0=我！=i | 1i（21）Y |+i=0-ii 0！√√!=-我√+我√!= -我|-i（22）注意等式（21）中的i和-方程式（22）中的i被称为globalphases。由于量子态只在全局阶段是唯一的，所以我们可以将|1i视为|1i和-我|-我认为|-i、 除了泡利算符，哈达玛算符H也经常用于量子算法，包括量子傅里叶变换（QFT）。当应用于计算基态时，阿达玛算子会创建|0i和|1i状态的等式叠加，如等式（23）和（24）所示。

哈达玛算符还将哈达玛基中的状态转换为计算基：H |+i=|0i，和H|-i=|1i。H | 0i=√1 11 -1!!= |+i（23）H|1i=√1 11 -1!!= |-i（24）除了i、X、Z、Y和H单量子比特单位，许多量子算法将需要使用旋转矩阵，包括相位运算S和π/8运算T，它们在等式（25）中定义。S=100eiπ！，T=100eiπ！（25）为了在量子位之间产生纠缠，我们将使用受控的NOT或CNOTOPION。这个双量子位操作有一个控制量子位和一个目标量子位。如果控制量子位处于| 1i位置，则X操作将应用于目标量子位。在方程（26）中，我们将CNOT cX应用于量子态| 11i。cX | 11i=1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0== |10i（26）除了cX运算外，我们还将使用cU表示任意可控的基本运算，如cZ、cY或cH。然而，为了执行任何量子计算，I、X、Y、Z、H、S、T和cX将是有效的，因为它们构成了附录中关于量子傅里叶变换概述的A.4。通用操作集。更一般地说，我们可以使用每个单个量子位运算的张量积来执行n量子位运算。例如，在状态|01i中，对量子位1应用I运算，对量子位2应用X运算，相当于对量子位1应用I运算X到| 01i，如等式27所示。IX | 01i=1001！0 11 0!=0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0== |00i（27）最后，虽然我们已经从幺正运算的角度讨论了所有问题，但我们也将使用术语“门”来指代量子电路中这种运算的实现。

我们将在第2.4.2.3节量子测量中介绍量子电路和门。在量子算法中，测量是在向经典计算机读出结果之前进行的。如Born（1926）所示，这会触发“波函数崩溃”对于任意状态，如|ψi=α|0i+β| 1i，这意味着叠加将在测量基础上崩溃为纯态。如果选择计算基础，结果概率| 0i将为|α|，结果概率| 1i将为|β|。这些概率是用hψ| 0ih0 |ψi计算的|0i和用hφ| 1ih1 |φi计算的| 1i。注意，这些概率是不可观测的，但我们可以通过反复准备相同的状态，然后进行测量来推断它们。对多量子位态的测量也同样有效。例如，考虑两个量子位的相等叠加，如等式（28）所示。测量四种可能状态中任何一种的概率由| |=给出。此外，在测量时，叠加将塌陷为| 00i、|01i、|10i或| 11i|φi=|00i+|01i+|10i+|11i（28）也可以仅对一个量子位进行部分测量。例如，如果我们只测量第一个量子位，得到| 0i的概率将是。这是因为量子位元2有两种状态与量子位元1的| 0i状态相关联。与这些状态相关的概率总和为。此外，如果我们测量量子位1并发现它处于状态| 0i，那么第二个未测量量子位的状态将为√（|0i+|1i）。我们可以通过将φi重写为| 0i（| 0i++1i）+1i（| 0i++1i）来看到这一点。请注意，振幅必须重新规范化为√经过测量，因为否则概率总和不会达到1。2.4量子电路量子电路是一种量子计算模型，由初始状态、门、导线和测量组成。