经济学家的量子技术

此外，当经典造币与经典验证相结合时，不需要量子通信基础设施。3.2.8噪声耐受性实施量子技术（包括量子货币）所面临的最大挑战之一是量子系统与周围环境相互作用和退相干时产生的噪声。处理噪声最直接的方法是使用量子误差校正；然而，一些量子技术，包括某些种类的量子货币，被设计为在系统中建立噪声容忍度，而不是依赖于量子纠错。由于目前的技术难以大规模实现量子纠错，量子货币的实验工作将在第3.3节详细讨论，依靠Pastawski等人（2012年）和Amiri and Arrazola（2017年）提出的抗噪声方案。3.3实验实施当量子货币的概念最初在威斯纳（1983年）提出时，显然在可预见的未来在技术上不可行。正如所提出的，它依赖于将经典态的物理编码转化为单光子的性质，即光的基本粒子，例如它们的偏振。量子光学系统确实是一个特殊的实验平台，有关量子技术中噪声技术挑战的更多细节，请参见第4.2节。量子货币等量子密码方案的实施是因为光子操控技术的成熟，以及光子沿着光纤或自由空间等物理通信信道传输的能力。

然而，即使中央银行有能力构建此类量子票据并以较低的成本进行编码，在检索、使用和验证之前，这些状态也必须在内存中存储一段时间，而不会出现实质性的消相干。量子存储器是一项具有挑战性的技术，尽管近年来在其发展方面取得了重要进展，但其特点——即存储时间、存储后量子态的检索效率、，与初始状态相比，检索到的状态的可靠性——通常无法在单个系统内优化，目前不适合实际使用（Heshami等人，2016）。然而，在理论量子货币计划所需的资源方面已经取得了实质性进展，这使得研究人员能够部分实现某些形式的量子货币。由于公钥方案在理论和实践上都带来了额外的技术挑战，迄今为止的研究主要集中在构建私钥形式的货币上。虽然这不会影响公开验证的可能性，但它可以提供类似于CBDC的支付工具，但具有信息论安全性，这是纯数字货币无法实现的标准。我们简要回顾了两种方案的实验实施情况。3.3.1量子光学货币我们考虑的第一个方案是实现基本量子光学票据，这是Bartkiewicz等人（2017年）首次通过实验证明的。我们注意到，作者在论文中提到了钞票，但事实上，使用了需要与银行互动的验证过程，这意味着它不是一个公共密钥模式。

该方案基于Wiesner（1983），但进行了以下修改：不是使用随机绘制的基对随机绘制的经典比特串进行编码，而是使用偏振光子矩阵对灰度图像进行编码。选择偏振状态以对应灰度图像中的颜色。例如，使用三组编码基将允许使用六种光偏振，每一种对应于白色和黑色之间的不同颜色。他们的原理证明实验实现是在实验室环境中使用光子偏振编码进行的。他们成功地证明了量子货币状态的创建是在他们提出的经过修改的维斯纳（1983）版本下进行的。他们还展示了如何利用最佳克隆攻击进行伪造，重点是针对单个光子的攻击，他们认为这些攻击在短期内是最合理的。3.3.2量子信用卡卡文斯基（2012年）、乔治奥（Georgiou）和凯雷尼迪斯（2015年）、阿米里（Amiri）和阿拉佐拉（Arrazola）（2017年）提出了可归类为“量子信用卡”的方案，这些方案依赖于量子检索游戏（Bar Yossef等人，2004年；阿拉佐拉等人，2016年）。Bozzio等人（2018年）是第一个实验性实施这种方案的人。他们的方法利用了光的偏振弱相干态，并允许进行经典验证，从而消除了与验证者建立量子通信通道的需要。他们还能够严格地证明不可伪造性、可接受性和对现有数字支付形式（如信用卡）的安全性。

随后，他们还在实际环境中更详细地检查了该方案的安全性，并为实际损失和噪声参数区域提供了数值界限（Bozzio等人，2019年）。与量子货币的其他实验实现一样，Bozzio等人（2018年）也受到量子内存开发进展的限制。然而，他们构建的量子货币方案要与量子内存实现的最新发展相兼容，从而在短期内提供此类基本证明。在密切相关的工作中，Guan等人（2018年）实验性地实施了基于Amiri和Arrazola（2017年）的quantummoney方案。它们展示了如何执行方案的每个部分，包括账单状态准备和验证，但也遇到了相同的量子内存瓶颈。Bozzio等人（2018年）和Guan等人（2018年）在评估其方案的安全性时都考虑了实验缺陷。3.3.3剩余挑战全面实施私钥量子货币的主要障碍是难以存储量子态。对于Bozzio等人（2018）实施的方案，如果我们假设只有存储机制负责系统中的损失，那么可以证明，如果相干态的平均光子数等于1，存储器必须达到85%的存储/检索效率，在验证时产生的错误率不到2%（Bozzio，2019）。这在实验范围内，因为已经证明，使用基于冷原子云的量子存储器可以提供高达90%的存储/检索效率（Xiao等人，2018）。此外，当平均光子数大于1时，由于状态准备而导致的错误率也可以降低，量子存储状态可靠性可以接近99%（Vernaz-Gris等人，2018）。

从长远来看，使用超导纳米线单光子探测器（可以实现90%左右的检测效率）和进一步优化存储/检索效率，可以在安全条件下充分展示该方案，而客户端是可信的。然而，请注意，目前此类量子存储器的存储时间约为微秒（尽管其他技术可能达到毫秒甚至秒），并且必须使用多路复用技术在同一存储器中同时存储多个量子位，例如使用Vernaz Gris等人（2018）中的空间模式。本讨论说明了在实践中使用量子货币作为执行金融交易的手段时需要考虑的各种交易效应。4量子算法本节概述了计量经济学家和计算经济学家近期可能会用到的量子算法。它分为两个小节。第一部分介绍了量子算法构造的理论发展，第二部分介绍了在量子计算设备上实现量子算法的实验进展。在理论部分，我们将重点介绍算法的高级检查，但也将讨论有用的低级细节。对于每一种算法，我们将尝试确定经济学中的潜在应用，确定现有算法可实现的计算加速，并确定算法是否具有不适用于经典算法的附加限制。在实验部分，我们将提供量子计算机的发展历史，包括对其发展最新进展的回顾。

我们还将讨论它们的局限性。我们介绍的许多算法涉及相位回退、相位估计和量子傅里叶变换（QFT）。希望了解这些子程序的详细信息的人，请参见附录中的A.2、A.3和A.4节。感兴趣的读者也可能希望看到Montanaro（2016）对量子算法的高水平调查，Childs（2017）对同一主题的详细课堂讲稿，或者量子动物园对量子算法的定期更新数据库。4.1理论进展与经典算法和经典计算机一样，量子计算的理论进展往往会引领实验实现。在本小节中，我们将概述与预测学家相关的量子算法，以及它们各自的进展状况。看见http://quantumalgorithmzoo.org，这是斯蒂芬·乔丹（Stephen Jordan）定期更新的量子算法列表。4.1.1数值微分通常用于求解经济模型和进行计量经济估算的数值方法通常依赖于计算一阶和二阶导数。例如，爬坡算法需要重复计算梯度。此外，牛顿-拉夫森法、爬山法和拟牛顿法家族，包括Davidon Fletcher-Powell（DFP）、Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）和Berndt-Hall-Hausman（Berndt等人，1974）以及Marquardt（1963）都需要计算二阶导数的梯度矩阵和Hessian矩阵。

这些方法通常用于金融计量经济学、结构微观计量经济学、最大似然估计、动态随机一般均衡（DSGE）建模，以及中央银行和ZF机构进行的大规模宏观经济建模。对于高维模型和估计问题，如果没有封闭形式的解决方案，使用分析梯度可能是不可能的，或者如果模型是有误差的，那么使用分析梯度可能是不可能的。关于ARCH和GARCH模型的大量文献使用了数值梯度和Hessian计算（Bollerslev，1986a；Engle等人，1987；Bollerslev，1986b；Bollerslev，1987；Danielsson，1994；Zakoian，1994；Engle和Russell，1998；Gray，1996；Engle和Russell，1998；De Santisand G’erard，1998；和Engel，2000）。数值微分也被用于求解金融市场的各种不同模型（谢，1991年；希姆斯特拉和琼斯，1994年；朗斯塔夫和施瓦茨，1992年；卡罗利和斯图尔茨，1996年；德桑蒂斯和杰拉德，1997年；杜福尔和恩格尔（2000年）；Bae等人，2003年）。Aguirregabiria和Mira（2002）以及Judd和Su（2012）为利用数值导数的结构微观经济模型提供了算法。Aguirregabiria和Mira（2010）对动态离散选择模型的文献进行了综述，该模型广泛使用了基于梯度的方法。Burtless和Hausman（1978）、Lancaster（1979）和Heckman和Macurdy（1980）使用基于梯度的方法来求解结构微观经济模型。最大似然估计（MLE）用于各种不同的经济和金融问题，包括结构模型的估计（见贝尔斯利，1980年；格林，1982年；怀特，1982年；邦奇，1988年；拉贝·赫斯基等人，2005年；费尔南德斯·维拉维德和鲁比奥·拉姆i雷斯，2007年；贾德和苏，2012年）。

通常需要计算likelihood函数的梯度和Hessian，这会在高维问题的估计算法中造成瓶颈。用于求解和估计DSGE模型的软件包，如Dynare，通常使用数值梯度和Hessian矩阵。有关需要计算梯度或黑森分布的大规模中央银行模型的示例，请参见Christo Off el et al.（2010）和Christian et al.（2011）。非常复杂。出于这个原因，此类计算和经济计量惯例通常采用数值差异。例如，可以使用有限差分方法，通过对点的近似线性邻域执行函数计算，以数值方式计算梯度。前向差分法是最简单的方法，它近似于函数的偏导数，f（x）xj，其中x=（x，x，…，xd），并使用泰勒展开式将误差大小绑定如下：f（x，…，xj+l，…，xd）- f（x）=f（x）xjl+f（x）xjl2+f（x）xjl3！+。。。（42）然后我们可以将方程（42）重新排列如下：f（x）xj=f（x，…，xj+l，…，xd）- f（x）l-f（x）xjl2！-f（x）xjl3！- ... （43）对于较小的l，与使用前向差相关的误差为有序（l）。我们可以通过使用中心差f（x+l）将其减少到O（l）-f（x）-l） 。注意，我们必须执行d+1函数求值来计算梯度，f（x）=(f（x）十、f（x）xd），使用正向差异法。这是因为我们必须对f（x）进行一次计算，对梯度的每个d分量进行一次计算。如果我们使用中心差分法，我们必须进行二维函数计算来计算梯度。此外，Hessian矩阵的数值计算将需要O（d）函数评估。Jordan（2005）介绍了一种用于数值梯度计算的量子算法。

为了比较这种量子算法与经典梯度算法的性能，他采用了查询复杂性的概念，我们在第2.5节中讨论了这一概念。在这里，查询复杂度度量了计算梯度所需的函数求值数量，梯度由d个分量到n个精度位。正如我们之前所展示的，经典数值梯度计算的最简单方法，参见附录A.1节，了解计算复杂性和相关符号的概述。不同的是，需要d+1查询来计算带有d个分量的梯度。相反，Jordan的量子算法只需要一个查询，而不管d的大小。它还能够使用O（dn）计算N阶导数-1） 查询，而不是经典例程所需的O（dn）查询。算法1：量子数值梯度计算（Jordan，2005）1在| 0i位置用n个量子位初始化d输入寄存器。2用位在| 0i位置初始化1输出寄存器。3将H应用于所有输入寄存器。4将X应用于输出寄存器。5.应用量子傅里叶逆变换，得出：√（NdNPN）-1δ=0PN-1δ=0...PN-1δd=0 |δi |δi|δdiPN-1δa=0ei2πa/N | ai7使用oracle计算f.8将输出（模2n）添加到输出寄存器。9对每个寄存器应用量子傅里叶变换，得到：纳米FxE纳米FxE。。。纳米FxdE11计算基础上的度量，屈服f、 Jordan（2005）的伪码在算法1中给出。请注意，oracle的输入和输出是来自有界非负区间的整数，该区间由二进制字符串表示。f的输入和输出是实数。Theoracle保留输入以保持可逆性。

此外，f必须在计算梯度的点x=（x，x，…，xd）附近连续。最后，可以按照方程式（44）的规定设置辅助量子位的数量n，以确保输出在±θ区间内准确。请注意，parameterm是限制渐变各个分量的间隔大小。n=对数“最大值（f）- min（f）mlnθ2π#（44）感兴趣的读者也可能希望看到Bulger（2005）、R¨otteler（2009）和Montanaro（2011），所有这些都是关于约旦（2005）的扩展。目前，在查询复杂度方面，没有哪个量子算法能比经典算法提供更高的多项式加速比。然而，对于高维模型和估计问题，将功能评估的数量从至少d+1减少到1可能会大大减少程序运行时间。在根查找操作中尤其如此，在根查找操作中，必须反复计算梯度以找到最佳值。4.1.2插值求解动态经济模型通常需要使用函数方程，如Bellman方程和Euler方程。虽然这类问题的全局解可以用一个值的张量来表示，该张量近似于离散点集上的未知函数，但由于维数灾难，提高这类表示的准确性将带来较高的计算成本。特别是，如果我们没有连续状态，每个状态被离散成s节点，那么值函数或决策规则的张量积表示将包含k=SN节点。