不确定性下的决策：两个自我的博弈

如果对于每一个f，存在（3.5）中零和博弈的值，即maxc∈Cminp∈Zu（f）dp+c（p）= 明普∈supc∈CZu（f）dp+c（p）,thenV（f）=minp∈Zu（f）dp+c（p）,其中c（p）=supc∈Cc（p）适用于所有p∈ . 显然，c∈ C在这种情况下，根据MMR（2006）的主要表示定理，%是一种不确定性厌恶变分偏好。类似地，如果（3.6）中的零和博弈的值对于每一个f都存在，那么%是一个不确定性，看起来是变分偏好。此外，如果零和博弈的值对每一个f都有性别歧视，那么%是一种不确定性厌恶和不确定性寻求变量偏好。因此，%满足了不确定性厌恶和不确定性寻求的公理。因此，在弱C-独立公理下，%满足了Anscombe和Aumann（1963）的独立公理，因此是SEU偏好。4不变双可操作偏好Gilboa和Schmeidler（1989）在描述maxmin-EU偏好时引入了下一个公理。公理A7（C-独立性）适用于所有f，g∈ F、 x∈ 十、 和α∈ （0,1），f%g<=> αf+（1）- α） x%αg+（1）- α） x.继GMM（2004）之后，如果二元关系%满足公理A1–A3和A7，则称其为不变二分参照（IB偏好）。有关更多可分离偏好的讨论，请参见Ghirardato和Marinacci（2001）。显然，公理A7意味着公理A4。因此，IB偏好是一种特殊的Niveloid偏好。extn定理描述了IB偏好。定理4.1。设%为F上的二元关系。

以下条件是等效的：（i）%是IB偏好；（ii）存在一个非恒定函数u:X→ R和由一些凸紧子集P组成的f族P  这样，对于f中的任何f和g，f%g<=> maxP∈Pminp∈PZu（f）dp≥ maxP∈Pminp∈PZu（g）dp；（4.1）（iii）存在一个非恒定函数u:X→ R和一个由凸紧子集Q组成的族Q  这样，对于f中的任何f和g，f%g<=> 明克∈Qmaxq∈QZu（f）dq≥ 明克∈Qmaxq∈QZu（g）dq。（4.2）函数u基本上是唯一的，存在一个（唯一的）极大族P*令人满意（4.1），gi ven byP*=P P是凸紧的，minp∈PZu（f）dp≤ u（xf）f或全部f∈ F,（4.3）存在一个（唯一的）最大f族Q*满足（4.2），byQ给出*=Q Q是凸紧的，maxq∈QZu（f）dq≥ u（xf）f或全部f∈ F.（4.4）证据。见附录九B。具有IB偏好的决策者根据p referencefunctionalV（f）=maxP对f进行排序∈Pminp∈PZu（f）dp（4.5）orV（f）=minQ∈Qmaxq∈QZu（f）dq。（4.6）就像第3节中的讨论一样，每种表述（4.5）-（4.6）都可以被视为不确定性厌恶自我和不确定性寻求自我之间的领导者-追随者博弈的价值。例如，对应于表象（4.5）的游戏有两个阶段。第一阶段：领导者（寻求不确定性的自我）首先行动并选择战略∈ P、 这是跟随者的战略节奏。第二阶段：然后作为回应，跟随者（不确定性厌恶自我）移动并选择策略p∈ P将预期效用RU（f）dp降至最低，根据事先设定的P采取行动。在第一阶段，领导者考虑跟随者的反应，作为不确定的自我，最大化minp∈PRu（f）dp/P∈ P

因此，主从博弈的Stackelberg均衡值为（4.5），代表决策者的选择标准。表述（4.6）也可以类似地解释。IB偏好具有定理4.1给出的表示，作为特殊的NIVELOIDALLPREFERENCE，它也具有定理3.4给出的表示。一个自然的问题出现了：这些表述之间的关系是什么？它可以由下一个建议解决。继续，对于任何潜艇 , 设函数δP： → (-∞, ∞] 是凸分析中P的指示函数，即δP（P）=如果p∈ P∞ 否则提议4.2。设%为F上的IB首选项。设P*, Q*, C*B*由定理4.1和3.4给出。然后我们有了*= {c∈ C | C≤ 某些P的δpf∈ P*}, （4.7）B*= {b∈ C | b≥ δqf或某些Q∈ Q*}. （4.8）证据。见附录九B。就指标函数而言，（4.5）和（4.6）可以重写为asV（f）=maxP∈Pminp∈Zu（f）dp+δP（P）（4.9）orV（f）=minQ∈Qmaxq∈Zu（f）dq+δQ（Q）. （4.10）它们也与零和博弈有关，一般来说，零和博弈的值不存在。如果，每f∈ F、 （4.9）中零和博弈的值存在，即maxP∈Pminp∈Zu（f）dp+δP（P）= 明普∈晚餐∈PZu（f）dp+δP（P）,thenV（f）=minp∈PZu（f）dp，其中P=∩P∈PP。在这种情况下，%是Gilboa和Schmeidler（1989）的最大欧盟偏好。类似地，如果（4.10）中的零和博弈的值对于每个f都存在，那么%是一个最大EU偏好。此外，如果每f都存在两个零和对策的值，那么%是一个SEU偏好。5特殊情况在本节中，我们提供了C的明确特征*B*对于一些特殊的偏好。5.1变分偏好let%是MMR（2006）的不确定性规避变分p参考，由MINP表示∈Zu（f）dp+c（p）, （5.1）其中c∈ C是接地的。

现在我们将提供C的显式特征*B*. 为此，为了c，c∈ C，我们写C≈ucifminp∈Z k dp+c（p）= 明普∈Z k dp+c（p）为了所有人∈ B（σ，u（X））。提议5.1。考虑由（5.1）表示的MMR（2006）的不确定性规避变分偏好%，其中c∈ C被禁飞了。然后*=北卡罗来纳州∈ CC≈加州大学≤ 一些c∈ Co，（5.2）B*=B∈ C明普∈[b（p）+^c（p）]≤ 0表示某些^c∈ 带^C的C≈加州大学. （5.3）证据。见附录九B。备注5.2。如果u（X）是无界的，那么c≈加州大学<=> c=c，因此，（5.2）-（5.3）降低总有机碳*= {c∈ C | C≤ c} ，B*=B∈ C明普∈[b（p）+c（p）]≤ 0.与命题5.1类似，我们有以下命题。提议5.3。考虑一个满足A1–A4和A6且由Maxp表示的寻求变分偏好%的不确定性∈Zu（f）dp- b（p）,b在哪里∈ C被禁飞了。b，b∈ C，我们写bu≈ bifmaxp∈Z k dp- b（p）= maxp∈Z k dp- b（p）为了所有人∈ B（σ，u（X））。然后*=C∈ C明普∈[^c（p）+b（p）]≤ 0表示某些^c∈ 带^C的C≈加州大学, （5.4）B*=nb∈ CB≤^bu≈ b对于某些^b∈ Co.（5.5）备注5.4。如果u（X）是无界的，那么bu≈ B<=> b=因此，（5.4）-（5.5）降低总有机碳*=C∈ C明普∈[c（p）+b（p）]≤ 0,B*= {b∈ C | b≤ b} .5.2α-Maxmin预期效用偏好考虑由α-Maxmin预期效用表示的偏好%：αminp∈PZu（f）dp+（1）- α） maxp∈PZu（f）dp，f∈ F、 其中P，P  是凸的、紧的和α∈ [0, 1]. 现在%是IB的首选。因此，有必要对P进行表征*Q*, 根据命题4.2。我们首先描述EP*. 假设P  是凸的和紧凑的。

我们有∈ P*<=> 明普∈PZ~ndp≤ α-minp∈PZ~ndp+（1）- α） maxp∈PZ~ndp适用于所有∈ B（∑）<=>α-minp∈PZ~ndp+（1）- α） maxp∈PZ~ndp- 明普∈PZ~ndp≥ 0代表所有人∈ B（∑）<=> 麦克斯（p，p）∈P×PαZ~ndp+（1）- α） Z k dp-Z k dp≥ 0代表所有人∈ B（∑），p∈ P<=> inf~n∈B（∑）max（p，p）∈P×PαZ~ndp+（1）- α） Z k dp-Z k dp≥ 0,  P∈ P<=> 麦克斯（p，p）∈P×Pinf~n∈B（∑）αZ~ndp+（1）- α） Z k dp-Z k dp≥ 0,  P∈ P、 其中，在最后一个等价中使用了极大极小定理。如果αp+（1- α） p6=p，然后infа∈B（∑）αZ~ndp+（1）- α） Z k dp-Z k dp= -∞.此外，如果αp+（1- α） p=p，然后是αZ~ndp+（1- α） Z k dp-Z k dp=0。因此，P∈ P*<=>  P∈ P （p，p）∈ P×P s.t.P=αP+（1）- α） p，<=> αP P- (1 - α） P，就是P*= {P  | P是凸紧的，αP P- (1 - α） P}。同样地，我们有*= {Q  | Q是凸紧的，（1- α） P Q- αP}。特别是，如果P=P=P，则*= {P  | P是凸紧的，αP P- (1 - α） P}，Q*= {Q  | Q是凸紧的，（1- α） P Q- αP}。在α=1的情况下，偏好是Gilboa和S chmeidler（1989）和P*= {P  | P是凸紧的，P P}，Q*= {Q  | Q是凸紧的，Q∩ P6=}.在α=0的情况下，首选的是maxmax EU和P*= {P  | P是凸紧的，P∩ P6=},Q*= {Q  | Q是凸紧的，P Q} 。此外，对于SEU偏好，由DPP的U（f）代表的百分比∈ , 我们有*= Q*= {P  | P是凸紧的，P∈ P}。（5.6）5.3 Choquet预期效用偏好考虑了一个由Schmeidler（1989）的Choquet预期效用表示的差异%：Zu（f）dπ，f∈ F、 式中，π是（S，∑）上的电容，ru（F）dπ是u（F）w.r.t.π的Choquet期望。现在%是IB的首选。因此，有必要对P进行表征*Q*, 第4.2条。我们首先描述了P*. 假设P  是凸的和紧凑的。

韦哈维普∈ P*<=> 明普∈PZ~ndp≤Z k dπ表示所有а∈ B（∑）<=>Z k dπ- 明普∈PZ~ndp≥ 0代表所有人∈ B+（∑）<=> maxp∈PZ k dπ-Z k dp≥ 0代表所有人∈ B+（∑）<=> inf~n∈[φ] maxp∈PZ k dπ-Z k dp≥ 0表示所有φ∈ B+（∑）<=> maxp∈品脱∈[φ]ZИdπ-Z k dp≥ 0表示所有φ∈ B+（∑），其中极小极大定理用于最后一个等价中，[φ]表示由[φ]给出的凸集，φ ∈ B+（∑）对于某些n on-递减函数k:R，φ=k（φ）+→ R+.∑中的有限链是有限序列{Ai，0≤ 我≤ n} ∑这令人满意 = A. A. A. · · ·  对于每个φ，An=S∈ B+（∑），存在一个有限链{Ai，0≤ 我≤ n} α>α>·α>αn递减序列≥ 0使得φ（s）=αifor s∈ 哎呀-1, 1 ≤ 我≤ n、 在这种情况下，我们有∈ [φ] 当且仅当存在一个非递增序列β≥β≥ · · · ≥ βn≥ 0，使得φ（s）=βifor s∈ 哎呀-1, 1 ≤ 我≤ n、 此外，Z~ndπ=nXi=1（βi- βi+1）π（Ai），其中βn+1，0。因此，假设  是凸的和紧的，然后∈ P*<=>  有限链{Ai，0≤ 我≤ n} ,， P∈ pst.nXi=1（βi- βi+1）[π（Ai）- p（Ai）]≥ 0对于所有非递增序列β≥ β≥ · · · ≥ βn≥ βn+1=0<=>  有限链{Ai，0≤ 我≤ n} ,， P∈ P s.t.P（人工智能）≤ π（Ai）对所有1≤ 我≤ N<=> P\\{P∈  | p（人工智能）≤ π（Ai），1≤ 我≤ n} 6= 对于所有有限链{Ai，0≤ 我≤ n} 。类似地，假设Q  是凸的和紧致的∈ Q*<=> Q\\{Q∈  | q（Ai）≥ π（Ai），1≤ 我≤ n} 6= 对于所有有限链{Ai，0≤ 我≤ n} .6模糊态度在本节中，我们根据Ghirardato和Marinacci（2002）提出的应用程序roach，讨论了决策者对niveloidalpreferences模糊性的态度。首先，歧义态度的比较概念陈述如下：定义6.1。设%和%为F上的偏好关系。

我们说%比%更模糊，如果，就f而言∈ F和x∈ 十、 X%f=> 为了简单起见，我们写下≈ uto表示效用指数ua和uar基本相等，即它们是彼此的正有效转换。下面三个命题的证明是标准的，省略了。提议6.2。让%和%成为两个Niveloid首选项。设相应的奇异性指数Ui和接地子集C*B区*iof C可以由定理3.4给出。然后，下列条件是等价的：（i）%比%更厌恶歧义；（二）美国≈ UAN和C* C*（前提是u=u）；（三）美国≈ uand B* B*（前提是u=u）。提议6.3。让%和%作为两个IB首选项。让相应的实用性指数Ui和族P*土地Q*ibe由定理4.1给出，i=1，2。那么下列条件是等价的：（i）%比%更厌恶歧义；（二）美国≈ UAN和P* P*（前提是u=u）；（三）美国≈ uand Q* Q*（前提是u=u）。命题6.2表明，如第3节所述，领导者-追随者博弈中领导者的战略空间可作为决策者模糊厌恶的指标。更准确地说，如果寻求歧义的自我是领导者，那么集合C*作为决策者模糊厌恶的一个指标：集合C越小*是的，决策者越是模棱两可。同样地，如果反对模糊的自我是领导者，那么集合B*作为决策者的模糊厌恶指数：挫折越大*是的，决策者越不喜欢模糊性。命题的含义。3是相似的。为了引入模糊厌恶的绝对概念，我们遵循Ghirardato和Marinacci（2002）将SEU偏好作为模糊中立性的基准。然后我们说，如果一个偏好%比某些SE U偏好更为模糊，那么它就是模糊厌恶。提议6.4。让%成为Niveloid的首选。

让C*B*由定理3给出。4.那么以下条件是等效的：遵循与中相同的程序，例如MMR（2006）；另见C3M（2011）。（i） %是歧义厌恶；（二）技术合作∈C*{p∈  | c（p）≤ 0} 6= ;（iii）δ{p}∈ B*为了一些p∈ .证据见附录九B。类似地，我们有下面的建议。提案6.5。让%成为IB首选项。让P*Q*由定理4.1给出。那么下列条件是等价的：（i）%是歧义厌恶的；（二）茶多酚∈P*第6页=;（iii）Q*包含一个单例。附录A niveloids在本附录中，我们提供了niveloids的表示。设Φ是B（∑）的非空子集。A函数I：Φ→ [-∞, ∞] 称为：o正齐次，如果I（αφ）=αI（φ）表示所有φ∈ Φ和α≥ 0，带αψ∈ Φ.o 如果I（ψ+ψ）是超可加的≥ I（ψ）+I（ψ）表示所有的ψ，ψ∈ Φ带φ+ψ∈ Φ.关于下一个引理，请参见，例如，F–ollmer和Schied（2016年，命题4.6–4.7）和Cerreia Vioglio、Maccheroni、Marinacci和Rustichini（2014年，命题1）。引理A.1。A函数I:B（∑）→ R是niveloid当且仅当存在一个子集se tΦ B（∑）使得osu p{α∈ R|- α ∈ Φ} < ∞;o 无论如何∈ Φ和ψ∈ B（∑），ψ≥ φ => ψ ∈ Φ;o I（φ）=sup{α∈ R |φ- α ∈ Φ}.如果是这种情况，集合Φ可以选择为Φ={φ∈ B（∑）I（φ）≥ 0}. 此外，wehaveoI是正齐次的当且仅当Φ是锥I是凹的当且仅当Φ是凸集I是正齐次凹的当且仅当Φ是凸锥。任何时间间隔T R、 我们使用Icc（T）（分别为Icv（T））来表示所有凹（分别为凸）类niveloid I:B（∑，T）→ 下一个引理提供了niveloids的R表示。引理A.2。设I:B（σ，T）→ R是一个函数，其中T R是区间数，0是区间数∈ int（T）。

然后，以下断言是等价的：（i）i是规范化的niveloid；（ii）存在一个家庭J 国际商会（T）规定：∈JJ（0）=0和i（）=supJ∈JJ（k）适用于所有а∈ B（σ，T）；（A.1）（iii）存在一个K族 Icv（T）使∈KK（0）=0和i（）=infK∈KK（~n）表示所有∈ B（σ，T）。（A.2）此外，可以选择族J和K，以使（A.1）中的上确界和（A.2）中的上确界是可实现的。证据显然，（ii）=>（i） 及(iii)=>（i） 。（一）=>（ii）：它分为以下几个步骤。假设（i）成立。I.Let^I:B（∑）的一个推广→ R可以表示为^I（ψ）=sup~n∈B（σ，T）I（ν）+infs∈S（ψ（S）- ~n（s））, ψ ∈ B（∑）。（A.3）则^I是B（∑）上延伸I的最小niveloid；参见Dolecki和Greco（1995年）或MMR（2006年，美联社A版）。很容易看出^I是标准化的niveloid。^I的表示。设Φ+为^I的上0级集，即Φ+=n^∈ B（σ）|^I（ν）≥ 0o。每∈ Φ+，设ψ（φ）表示为ψ（φ）={φ∈ B（∑）|φ≥ φ} .显然是∈ Ψ(φ)  Φ+每φ∈ Φ+. 因此，Φ+=[~n∈Φ+{φ} =[φ∈Φ+Ψ(φ).每∈ Φ+，设J~n：B（∑）→ R被定义为asJ~n（ψ）=sup{α∈ R |ψ- α ∈ Ψ(φ)} .ThenJ~n（ψ）=infs∈S（ψ（S）- ψ（s）），ψ∈ B（∑）。毛和王（2020年）以及贾、夏和赵（2020年）使用了这一步骤的论点来调查风险措施。显然，Jа是一个凹形的niveloid。每ψ∈ B（∑），^I（ψ）=supnα∈ R^I（ψ）- α) ≥ 0o=supα ∈ Rψ - α ∈ Φ+= 啜饮α ∈ Rψ - α ∈[φ∈Φ+Ψ(φ)= sup~n∈Φ+sup{α∈ R |ψ- α ∈ ψ（ψ）}=sup~n∈Φ+Jψ（ψ）。（A.4）I的表示。最后，将（A.4）限制在B（∑，T）上会导致toI（ψ）=sup~n∈Φ+Jψ（ψ）适用于所有ψ∈ B（σ，T），式中J~n：B（σ，T）→ R是一个凹面的niveloid，代表每一个ψ∈ Φ+. 很明显，sup~n∈Φ+J~n（0）=I（0）=0。（一）=>（三）假设（一）成立。设J（ψ）=-我(-对于所有人∈ B∑，-T）。那么J:B（σ，-（T）→ R是标准化的niveloid。

然后通过（i）=>（ii）存在一个{Jλ，λ族∈ Λ}  国际刑事法院(-T）使supλ∈λJλ（0）=0和J（φ）=supλ∈λJλ（ν），洎∈ B∑，-T）。设Kλ（ψ）=-Jλ(-对于所有人∈ B（σ，T），然后Kλ∈ Icv（T），infλ∈λKλ（0）=- supλ∈λJλ（0）=0，andI（~n）=-J(-φ) = - supλ∈λJλ(-ν）=infλ∈λKλ（ν）。现在我们证明了（A.1）中的上确界是可以达到的。实际上，对于每一个ψ∈ B（σ，T），设φ=ψ- I（ψ）。然后呢∈ Φ+和jφ（ψ）=sup{α∈ R |ψ- α ≥ ψ}=I（ψ），这意味着（A.1）中的上确界是可达到的。同样，也可以达到（A.2）中的上限。B.证明某人。定理3.4的证明显而易见（ii）=>（i） 及(iii)=>（i） 。（一）=>（ii）假设（i）成立。根据引理3.1，存在一个非常数函数u:X→ R和a归一化的niveloid I:B（∑，u（X））→ R使得0∈ int（u（X））和，对于所有f，g∈ F、 F%g<=> I（u（f））≥ I（u（g））。根据引理A.2，存在一个族J Icc（u（X））这样的时间atI（~n）=maxJ∈JJ（k）适用于所有а∈ B（σ，u（X））。（B.1）由MMR（2006年，Lemm a 26）提供，每∈ 存在一个函数cJ∈ C suchthatJ（）=minp∈Z k dp+cJ（p）为了所有人∈ B（σ，u（X））。因此，通过（B.1），我们有i（φ）=maxJ∈Jminp∈Z k dp+cJ（p）为了所有人∈ B（σ，u（X））和maxj∈Jminp∈cJ（p）=I（0）=0，这意味着（ii）。（一）=>（iii）类似于（i）=>（二）。让C*由（3.3）给出。现在我们证明C*是Csatizing（3.1）的最大固定子集。实际上，设C是C的一个接地SUB集，使得（3.1）适用于任意F和F中的g。然后，适用于所有F∈ F、 马克斯∈Cminp∈Zu（f）dp+c（p）= 马克斯∈Cminp∈Zu（xf）dp+c（p）= u（xf），其中xf是f的确定性等价物。然后通过（3.3），我们得到C C*.