不确定性下的决策：两个自我的博弈

此外，u（xf）≥ supc∈C*明普∈Zu（f）dp+c（p）≥ 马克斯∈Cminp∈Zu（f）dp+c（p）= u（xf）代表所有f∈ F、 这意味着Maxc∈C*明普∈Zu（f）dp+c（p）= 对于所有f，u（xf）=I（u（xf））=I（u（f））∈ 因此，C*满意度（3.1）。通过类似的方式，我们可以证明*, 由（3.4）给出，是满足（3.2）的C的最大基子集。B.2定理4.1和命题4.2的证明通过模仿Gilboa和Schmeidler（1989，引理3.1–3.3）的论点，可以很容易地证明以下表示结果，另见GMM（2004，引理1）。引理B.1。F上的二元关系%是IB偏好，当且仅当存在一个非恒定函数u:X时→ R和a正齐次niveloid I:B（∑）→这样，对于任何f，g∈ F、 F%g<=> I（u（f））≥ I（u（g））。而且，你是独一无二的，而且，我是独一无二的。定理4.1的证明。显然（ii）=>（i） 及(iii)=>（i） 。（一）=>（ii）假设（i）成立。根据引理B.1，存在一个非常数函数u:X→ R和a正齐次niveloid I:B（∑）→ R使得0∈int（u（X））和，对于所有f，g∈ F、 F%g<=> I（u（f））≥ I（u（g））。让C*由定理3.4给出。那么I的唯一性意味着I（φ）=maxc∈C*明普∈Zφdp+c（p）无论如何∈ B（σ，u（X））。每c∈ C*, letIc（φ）=minp∈Zφdp+c（p）无论如何∈ B（σ，u（X））。显然，Icis是B（∑，u（X））和Ic上的凹niveloid≤ B（σ，u（X））上的I。我们可以用与（A.3）中相同的方法将I（resp.Ic）从B（σ，u（X））扩展到B（σ），并用^I（eaw.^Ic）表示扩展。我们可以看到，^I是B（∑）上的一个正齐次niveloid，^Icis是B（∑）上的一个凹niveloid。此外，^Ic≤^I.设Φc={φ∈ B（σ）|^Ic（φ）≥ 0},Φ = {φ ∈ B（∑）I（φ）≥ 0}.引理A.1表示Φcis凸，Φ是圆锥体，Φc Φ，和^Ic（φ）=sup{α∈ R |φ- α ∈ Φc}适用于所有φ∈ B（∑），^I（φ）=sup{α∈ R |φ- α ∈ Φ}适用于所有φ∈ B（∑）。让圆锥体（Φc）表示由Φc生成的圆锥体。

Th enΦc 锥体（Φc） Φandcone（Φc）是一个凸锥。LetJ（φ）=sup{α∈ R |φ- α ∈ 所有φ的圆锥（Φc）}∈ B（∑）。引理A.1意味着J是正齐次凹的niveloidon B（σ）和^Ic≤ J≤^I.Gilboa和Schmeidler（1989，引理3.5），存在唯一的凸紧子集P  s uch thatJ（φ）=minp∈PZφdp适用于所有φ∈ B（∑）。很明显，明普∈Zφdp+c（p）= Ic（φ）=^Ic（φ）≤ J（φ）=minp∈PZφdp≤^I（φ）=每个φ的I（φ）∈ B（σ，u（X））。因此，I（φ）=maxc∈C*明普∈Zφdp+c（p）= maxP∈Pminp∈PZφdp适用于所有φ∈ B（σ，u（X））。这一结论包括（i）=>（二）。（一）=>（iii）类似于（i）=>（二）。让P*由（4.3）给出。现在我们证明P*最大家庭满意度（4.1）。实际上，设P是一个由s-凸和d-紧子集P组成的族 使得（4.1）适用于f中的任何f和g∈Pminp∈PZu（f）dp=maxP∈Pminp∈PZu（xf）dp=u（xf）， F∈ F、 式中，xf是F的确定性等价物。然后通过（4.3），我们得到P P*. 此外，u（xf）≥ 晚餐∈P*明普∈PZu（f）dp≥ maxP∈Pminp∈PZu（f）dp=u（xf）表示所有f∈ F、 这意味着maxp∈P*明普∈PZu（f）dp=u（xf）=I（u（xf））=I（u（f））对于所有f∈ 因此，P*满意度（4.1）。通过类似的方式，我们可以证明Q*, 由（4.4）给出，是最大的家庭满意度（4.2）。命题4.2的证明。我们只证明（4.7），因为（4.8）可以被类似地证明。\"” 第（4.7）部分是显而易见的。剩下的就是证明“” 部分现在假设c∈ C*.设^Ic，J和P如（i）的证明中所示=>（ii）定理4.1的一部分。然后P∈ P*通过MMR（2006，引理26），c（p）=supφ∈B（∑）^Ic（φ）-Zφdp≤ supφ∈B（∑）J（φ）-Zφdp≤ 0,  P∈ P、 这意味着c≤ δP。B.3命题证明5.1我们首先展示（5.2）。假设c∈ C

我们有∈ C*<=> 明普∈Zu（f）dp+c（p）≤ u（xf）=minp∈Zu（f）dp+c（p）,  F∈ F<=> 明普∈Z k dp+c（p）≤ 明普∈Z k dp+c（p）,  φ ∈ B（σ，u（X））。设I:B（σ，u（X））→ R由i（φ）=minp给出∈Z k dp+c（p）为了所有人∈ B（σ，u（X））。设^I是B（∑）上延伸I的最小niveloid。设^c（p）=sup~n∈B（∑）^I（^）-Z k dp尽管如此，p∈ .然后c≈u^c和c∈ C*=>^I（^）≤ 明普∈Z k dp+c（p）为了所有人∈ B（∑）=> ^c≤ c、 这意味着” 第（5.2）部分。相反地，这个” 第（5.2）部分是显而易见的。因此，证明了（5.2）。接下来我们展示（5.3）。假设b，c∈ C根据极大极小定理，我们得到了∈B（∑）maxp∈Z k dp- b（p）- 明克∈Z k dq+c（q）= inf~n∈B（∑）max（p，q）∈Z k dp-Z k dq- b（p）- c（q）= 最大值（p，q）∈inf~n∈B（∑）Z k dp-Z k dq- b（p）- c（q）.如果p，q∈  p6=q，然后inf~n∈B（∑）Z k dp-Z k dq= -∞,这意味着∈B（∑）maxp∈Z k dp- b（p）- 明克∈Z k dq+c（q）= maxp=q∈inf~n∈B（∑）Z k dp-Z k dq- b（p）- c（q）= - 明普∈[（b（p）+c（p）]。（B.2）设I:B（σ，u（X））→ R由i（φ）=minp给出∈Z k dp+c（p）为了所有人∈ B（σ，u（X））。设^Ibe在扩展域和^c上是B（∑）上的最小niveloid∈ C由^C（p）=sup~n给出∈B（∑）^I（^）-Z k dp尽管如此，p∈ .那么^c≈加州大学。根据B的定义*（B.2）我们有∈ B*<=> maxp∈Z k dp- b（p）≥ 我（~n）代表所有人∈ B（σ，u（X））=> maxp∈Z k dp- b（p）≥^I（^）所有^∈ B（∑）=> maxp∈Z k dp- b（p）≥ 明普∈Z k dp+^c（p）为了所有人∈ B（∑）=> inf~n∈B（∑）maxp∈Z k dp- b（p）- 明普∈Z k dp+^c（p）≥ 0=> 明普∈[（b（p）+^c（p）]≤ 0，这意味着” 第（5.3）部分。相反地，这个” 第（5.3）部分是显而易见的。因此，证明了（5.3）。

例如，参见Mertens、Sorin和Zamir（2015，定理I.1.1）。B.4命题6.4（i）的证明=>（ii）假设%比具有先验p的SEU偏好更厌恶模糊性∈ .然后通过命题6.2和4.2以及例子？？，我们有，任何c∈ C*, C≤ 凸紧子集P的δpf  包含p，意味着c（p）≤ 0.这就完成了（i）=>（二）。（一）=>（iii）假设%比SEU参考之前的p更为模糊∈ .然后通过P位置6.2，4.2和（5.6），我们得到，对于任何凸和紧子集P  在δp处包含p，th∈ B*. 特别是δ{p}∈ B*.（ii）/（iii）的证明=>（i） 这很容易。参考文献Amarante，M.（2009）：“新贝叶斯统计的基础”，《经济学杂志》1442146–2173。Anscombe，F.J.，an d R.J.Aumann（1963）：“主体概率的定义”，《数理统计年鉴》34199–205。Arrow、K.J.和L.Hurwicz。（1972）：“无知情况下决策的最优标准”，载于C.F.卡特和J.L.福特的《不确定性和预期非经济学》。巴兹尔·布莱克：牛津。Cerreia Vioglio，S.，P.Ghirardato，F.Maccheroni，M.Marinacci和M.Siniscalchi（2011）：“模糊条件下的理性偏好”，经济理论48341–375。Cerreia Vioglio，S.，F.Maccheroni，M.Marinacci和L.Montrucchio（2011）：“不确定性厌恶偏好”，经济理论杂志1461275–1330。Cerreia Vioglio，S.，F.Maccheroni，M.Marinacci和A.Rustichini（2014）：“Niveloids及其扩展：小领域的风险度量”，《数学分析与应用杂志》413343–360。Dolecki，S.和G.H.Greco（1995）：“Niveloids”，非线性分析中的拓扑方法5，1-22。N.邓福德和J.T.施瓦茨（1958）：线性算子第I部分：一般理论。纽约：跨科学出版社。埃尔斯伯格博士。

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