不确定性下的决策：两个自我的博弈

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英文标题：
《Decision Making under Uncertainty: A Game of Two Selves》
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作者：
Jianming Xia
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  In this paper we characterize the niveloidal preferences that satisfy the Weak Order, Monotonicity, Archimedean, and Weak C-Independence Axioms from the point of view of an intra-personal, leader-follower game. We also show that the leader\'s strategy space can serve as an ambiguity aversion index.
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中文摘要：
在本文中，我们从个人内部的领导者-追随者博弈的角度刻画了满足弱序、单调性、阿基米德和弱C-独立公理的Niveloid偏好。我们还表明，领导者的战略空间可以作为模糊厌恶指数。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Theoretical Economics        理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Decision_Making_under_Uncertainty:_A_Game_of_Two_Selves.pdf (242.96 KB)

2022-4-26 13:27:17 上传

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关键词：不确定性 确定性 不确定 Mathematical independence

不确定性下的决策：两个自我的博弈*夏建明+本文从个人内部的领导者-追随者博弈的角度，刻画了满足弱序、单调性、阿基米德和弱C-独立公理的Niveloid偏好。我们还表明，领导者的策略空间可以作为模糊厌恶指数。1引言为了解决埃尔斯伯格（1961年）观察到的悖论，以及萨维奇（1954年）和安斯科姆与奥曼（1963年）的主观预期效用（SEU）所违反的悖论，吉尔博亚和施梅德勒（1989年）引入了maxmin预期效用（maxmin EU），决策者根据一组概率的最小预期效用对安斯科姆-奥曼进行排序。在鲁棒控制方法的推动下，Hansen和Sargent（20002001）提出了乘数偏好，Strzalecki（2011）将ich公理化。Maccheroni、Marinacci和Rustichini（2006）、MMR（2006）从此引入了变分偏好（VP），其中包括作为特例的maxmin-EU和乘法器偏好。Chateauneuf and Faro（2009）介绍了信心偏好。最近，Cerreia Vioglio、Maccheroni、Marinacci和Montrucchio（2011）以及C3M（2011）研究了不确定性厌恶偏好（UAP），其中包括VP和信心偏好的特例。上述所有偏好都满足“不确定性平均”原则。另一方面，Schmeidler（1989）引入了Choquet期望效用（CEU），决策者根据Choquet期望效用对容量（也称为非加性概率）进行排序。一般来说，CEU偏好是*国家重点研究开发项目（NO。

2018YFA0703900）。+中国科学院数学与系统科学研究院，中国科学院，北京100190；电子邮件：xia@amss.ac.cn.neither不确定性厌恶也不寻求不确定性。正如Schmeidler（1989）指出的，CEU偏好是不确定性厌恶的当且仅当相应的容量是凸的。此外，后来的研究表明，人们对歧义的态度并不是系统地消极的。例如，Heath和Tversky（1991年）进行的一系列实验表明，当代理人认为自己知识渊博或有能力时，他们甚至可以寻求模糊性。其他非不确定性厌恶偏好包括α-最大期望效用（α-MEU）（Hurwicz 1951，Arrow和Hurwicz 1972），Ghirardato，Maccheroni和Marin acci（2004），GMM（2004），以及Klibano Off，Marinacci和Mukerji（2005），KMM（2005）的平滑模糊偏好。根据GMM（2004），IB偏好首先被描述为广义α-MEU p参考，其中α取决于act。此后，Cerreia Vioglio、Ghirardato、Maccheroni、Marinacci和Siniscalchi（2011）、CGMMS（2011）将这种广义的α-MEU特征进一步扩展到MBA偏好（单调、伯努利和阿基米德）。Giraud（2005）和Amarante（2009）也将IB偏好描述为二阶CEU。想象一个具有非不确定性厌恶偏好的决策者由两个自我组成是很自然的想法：不确定性厌恶自我和不确定性寻求自我，两个自我之间的互动产生了决策者对行为的最终评估。这可以从仔细观察α-MEU得到启发。

很明显，对于任何行为f，αminp∈PZu（f）dp+（1）- α） maxp∈PZu（f）dp=maxp∈Pminp∈PZu（f）d（αp+（1）- α） p）（1.1a）=minp∈Pmaxp∈PZu（f）d（αp+（1）- α） p），（1.1b），其中p是凸紧集，由一些概率和α组成∈ [0, 1]. 公式（1.1）从azero和博弈的角度解释了α-MEU。考虑如下零和博弈。玩家1和2分别从P选择优先级和PFP。然后由α-组合αp+（1）给出一个公共概率- α） p，根据该值计算预期效用。在这个游戏中，玩家1扮演寻求不确定性的自我，玩家2扮演厌恶不确定性的自我。然后玩家1和2分别根据maxmax EU和maxmin EU评估动作。因此，行为f最终由博弈的均衡值（鞍点值）来评估。因此，α-MEU可以解释为相互作用的结果。GMM（2004）对α-MEU进行了公理化。两个自我之间的零和博弈和两个自我之间的零和博弈可以被视为一个代表互动机制的个人内部博弈。上述从零和博弈角度的解释可以推广到IB偏好（分别是MBA偏好）的广义α-MEU特征。唯一的区别是，对于这些偏好，组合权重α不是给定的常数，而是行为f的函数（尤其是状态效用u）o f） 。因此，广义α-MEU可以看作零和对策的平衡值（鞍点值）。本文从领导者跟随者的角度提供了另一种解释。

在第4节中，具有IB偏好的决策者根据v（f）=maxP对Act f进行排序∈Pminp∈PZu（f）dp（1.2a）=minQ∈Qmaxq∈QZu（f）dq，（1.2b），其中P和dq是由一些凸和紧子集P，Q组成的两个族 和 是由所有概率组成的集合。描述（1.2）从领导者-追随者博弈的角度解释了IB p参考。例如，在表征（1.2a）中，领导者充当寻求不确定性的自我，并优先于厌恶不确定性的自我。博弈的斯塔克勒均衡值决定了行为的最终评估。此外，人内主导-跟随博弈的这种刻画可以扩展到更普遍的偏好（本文称为niveloidalpreference），它满足弱C独立性公理以及弱O阶、单调性和阿基米德公理。本文的主要贡献是从个人内部的领导者-追随者博弈的角度来描述niveloidal偏好。本文的另一个贡献是表明领导者的策略空间可以作为模糊厌恶指数。例如，在表征（1.2a）中，P是领导者的策略空间，领导者充当寻求不确定性的自我；P越大，决策者越不喜欢模糊性。在表征（1.2b）中，Q是领导者的策略空间，领导者现在充当不确定性厌恶自我；Q值越大，决策者越不喜欢模糊性。歧义厌恶程度最终由领导者决定！本文的其余部分组织如下。第2节介绍了设置和一些数学预备知识。Niveloid偏好的表示结果和解释见第3节。

IB偏好的表示结果和解释见第4节。第5节研究了一些特殊偏好。第6节讨论了模糊态度。证据和相关材料见附录。2.预备题设S为世界状态的非空集合，∑S为事件子集的代数，Xa为结果的非空集合。我们用F表示所有简单动作的集合：mappingsf:S→ X我有很多值，并且是∑可测量的。按照惯例，要确定每一个结果∈ 带常数的动作∈ 在每种状态下都会产生x。我们总是假设X是向量空间的凸子集。例如，如果X是一个非空集Z上所有分布的集合，且具有有限的支持度：X=（X:Z），则为这种情况→ [0, 1]x（z）6=0表示数量众多的z∈ Z和XZ∈Zx（z）=1）。对于每一个f，g∈ F和α∈ [0,1]，我们可以定义混合actαf+（1- α） g哪个yieldsconsequenceαf（s）+（1- α） g（s）在每个状态s中。设B（∑）是所有R值∑-可测函数的集合，这些函数有很多个值，B（∑）是其s上范数闭包。当赋上范数时，B（∑）是无规向量空间，B（∑）是Banach空间。对于每一个事件∈ ∑，我们用1表示A的指示函数。通常，对于每个α∈ R、 α1与α相同。显然，B（∑）是{1A | A所跨越的向量空间∈ Σ}. 任何时间间隔T R、 设B（∑，T）（resp.B（∑，T））表示B（∑）（resp.B（∑））中所有函数的集合，取T中的值。每一幕∈ F和function u:X→ R、 u（f）是由所有s的u（f）（s）=u（f（s））定义的B（σ）元素∈ S.B（σ）（分别为B（σ））的范数对偶是∑端上所有有界和有限可加集函数的空间ba（σ），其总变分范数、对偶性为μ，mi=R k dm f或所有μ∈ B（σ）（分别为。

B（∑）和所有m∈ ba（σ）；例如，见邓德·奥尔夫和施瓦茨（1958年，第258页）。我们写的是不同的φdm或m（φ）。将值1赋给S的非负元素ba（σ）称为完全可加概率，通常用p表示。关于∑的所有完全可加概率的集合用. 允许被赋予弱*拓扑，即σ(, B（∑）拓扑。设Φ是B（∑）的非空子集。A函数I：Φ→ [-∞, ∞] 如果I（α）=α表示所有α，则称为：o归一化∈ R∩ Φ;o 如果I（ν）单调≥ I（ψ）表示所有的ψ，ψ∈ Φ，以便≥ ψ;o 如果I（ν+α）=I（ν）+α表示所有的∈ Φ和α∈ R w，带φ+α∈ Φ.我们回顾了Dolecki和Greco（1995）的以下定义；另见MMR（2006）。定义2.1。设Φ是B（∑）的非空子集。A函数I：Φ→ R是一个niveloidif，它是单调的，而翻译是可变的。3 Niveloid偏好决策者的偏好由F上的二元关系%给出。通常，其对称和非对称部分用~ 和 分别地3.1代表性首先列出偏好满足的公理。公理A1（弱序）二元关系%在F上是非平凡的、完全的和可传递的。公理A2（单调性）适用于任何F，g∈ F、 如果F（s）%g（s）代表所有s∈ S、 然后f%g.公理A3（阿基米德）表示所有的f，g，h∈ F、 如果F G 然后存在一些α，β∈ （0，1）使得αf+（1- α） h G βf+（1）- β） h.公理A4（弱C-独立性）适用于所有f，g∈ F、 x，y∈ 十、 和α∈ （0,1），αf+（1）- α） x%αg+（1）- α） x=> αf+（1）- α） y%αg+（1）- α） y.公理A1-A3是标准的，并且完全符合标准。在公理A1中，非平凡意味着f g代表一些f，g∈ F.Axiom A4是由MMR（2006）在对变分偏好的表征中引入的。下面的表示结果是fr om MMR（2006，引理28）。引理3.1。

满足公理A 1–A4的二元关系%当且仅当存在一个非恒定函数u:X→ R、 使用0∈ int（u（X））和标准化的niveloidI:B（∑，u（X））→ 这样，对于任何f，g∈ F、 F%g<=> I（u（f））≥ I（u（g））。而且，你是独一无二的，而且，我是独一无二的。考虑到之前的陈述结果，我们给出了以下定义。定义3.2。如果二元关系%满足公理A1–A4，则它是一种Niveloid偏好。设C表示所有下半连续凸函数C的集合： →(-∞, ∞]. 我们需要以下定义。定义3.3。子集C 如果supc∈Cminp∈c（p）=0。在C={C}是单态的情况下，C是接地的当且仅当minp∈c（p）=0。因此，这与MMR（2006年）对单一乐趣的基础性定义一致。下一个定理描述了Niveloid偏好。定理3.4。设%是F上的一个二元关系。下列条件是等价的：（i）%是一个二元偏好；（ii）存在一个非恒定函数u:X→ R和C C这样，对于f中的任何f和g，f%g<=> 马克斯∈Cminp∈Zu（f）dp+c（p）≥ 马克斯∈Cminp∈Zu（g）dp+c（p）; （3.1）（iii）存在一个非恒定函数u:X→ R和a接地子集B C这样，对于f中的任何f和g，f%g<=> 明布∈Bmaxq∈Zu（f）dq- b（q）≥ 明布∈Bmaxq∈Zu（g）dq- b（q）. （3.2）函数u是基数唯一的，有一个（唯一的）最大接地子集C*C满足（3.1），由C给出*=C∈ C明普∈Zu（f）dp+c（p）≤ u（xf）f或全部f∈ F, （3.3）存在一个（唯一的）最大g取整子集B* C（3.2），由B驱动*=B∈ Cmaxp∈Zu（f）dq- b（q）≥ u（xf）f或全部f∈ F. （3.4）证据。见附录九B。

3.2解释：领导者-追随者博弈具有Niveloid偏好的决策者根据偏好函数lv（f）=maxc对行为f进行排序∈Cminp∈Zu（f）dp+c（p）（3.5）orV（f）=minb∈Bmaxq∈Zu（f）dq- b（q）. （3.6）上述两种表述中的每一种都与决策者的两个自我之间的主从博弈有关。更准确地说，决策者由两个自我组成：不确定性厌恶自我和不确定性寻求自我。我们首先考虑与表征（3.5）相关的博弈，其中寻求不确定性的自我是领导者，厌恶不确定性的自我是领导者。游戏分两个阶段。第一阶段：领导者首先行动，然后选择策略c∈ C.第二阶段：然后作为回应，跟随者（厌恶不确定性的自我）移动并选择策略p∈  最小化Ru（f）dp+c（p）, 根据带有惩罚函数c的不确定性厌恶变分偏好进行操作。这里，不确定性厌恶变分偏好指的是满足公理A1-A4和下一个公理A5（不确定性厌恶）的偏好，适用于所有f，g∈ F和α∈ （0,1），f~ G=> αf+（1）- α） g%f.在第一阶段，领导者会考虑跟随者的反应，作为不确定的自我，最大化minp∈Ru（f）dp+c（p）超过c∈ C.因此，主从博弈的斯塔克伯格均衡值为（3.5），代表决策者的选择标准。表述（3.6）也可以类似地解释。现在，厌恶不确定性的自我是领导者，寻求不确定性的自我是追随者。

游戏分两个阶段。MMR（2006）研究了可变偏好（满足公理A1-A5的偏好）。它们在这里被称为不确定性规避变分偏好，以区别于满足公理A1–A4和A6的那些，它们在这里被称为不确定性寻求变分偏好。MMR（2006）的一个类似方法导致了以下不确定性寻求变量偏好的选择标准：maxq∈ Zu（f）dq- b（q）,b在哪里∈ C第一阶段：领导者首先行动，然后选择策略b∈ B.第二阶段：然后作为回应，跟随者（不确定的自我）移动并选择策略q∈  最小化Ru（f）dq- b（q）, 根据惩罚函数b的不确定性寻求变分偏好进行操作。这里的不确定性寻求变分偏好指满足公理A1-A4和下一个公理A6（不确定性寻求）的偏好，适用于所有f，g∈ F和α∈ （0,1），f~ G=> f%αf+（1）- α） g.在第一阶段，领导者会考虑追随者的反应，作为不确定的自我，最小化maxq∈Ru（f）dq- b（q）超过b∈ 因此，主从博弈的斯塔克伯格均衡值为（3.6），代表决策者的选择标准。正如上文所讨论的，每个代表（3.5）和（3.6）明确描述了不确定性厌恶者和寻求不确定性的自我在决策中的作用。每个表征的计算过程可以解释为两个自我之间的主从博弈。将代表（3.5）和（3.6）与零和博弈联系起来也很有趣。然而，一般来说，C和B都是非凸的，因此零和博弈的值不存在。